第二章 一元二次函数、 方程和不等式（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第二章 一元二次函数、 方程和不等式（1）
一、选择题
1．若关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，则m的最大值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
2．若不等式x2﹣|a|x+a﹣1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，则实数a的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．正数a，b满足9a+b＝ab，若不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥3 B．m＜3 C．m＜6 D．m≥6
4．若两个正实数x，y满足1，且4m2﹣6m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．{m|﹣8＜m＜2} B．{m|m＜﹣8或m＞2}
C．{m|﹣2＜m＜8} D．{m|m＜﹣2或m＞8}
5．已知a＞b＞0，则2a的最小值为（　　）
A．4 B．6
C．3 D．3
6．已知a＞1，b＞0，a+b＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知正数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为（　　）
A．6 B．5 C． D．
8．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式4恒成立，则m的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．（，2]
9．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．2
10．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab﹣1，则a+2b的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．9
11．下列命题中正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，c＜d，则
C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
D．若ab＞0，a＞b，则
12．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．a2＞b2
C．a|c|＞b|c| D．
二、填空题
13．若不等式kx2﹣2x+1﹣k＜0对满足﹣2≤k≤2的所有k都成立，则x的取值范围是　 　 ．
14．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为 　 　 ．
15．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则不等式bx2﹣cx+a＜0的解集为 　 　 ．
16．已知x＞1，则函数的最小值为　 　 ．
第二章 一元二次函数、 方程和不等式（1）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，则m的最大值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【答案】C
【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m的最大值．
【解答】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，
又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，
∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，
∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．
2．若不等式x2﹣|a|x+a﹣1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，则实数a的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】对a进行分类讨论①a＞0；②a＜0．将x2﹣|a|x+a﹣1进行分解因式，解不等式，从而求解实数a的最大值．
【解答】解：①当a＞0，不等式x2﹣|a|x+a﹣1＝x2﹣ax+a﹣1＝（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＞0，
∵不等式x2﹣|a|x+a﹣1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
∴a﹣1≤1，
∴a≤2，
∴实数a的最大值为2；
②当a＜0时，不等式x2﹣|a|x+a﹣1＝x2+ax+a﹣1＝（x+1）[x+（a﹣1）]＞0，
∴x＜﹣1或x＞1﹣a
∵不等式x2﹣|a|x+a﹣1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
∴1﹣a≤1，
∴a≥0，
∴实数a不存在．
综上，实数a的最大值为2；
故选：B．
【点评】此题考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．
3．正数a，b满足9a+b＝ab，若不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥3 B．m＜3 C．m＜6 D．m≥6
【答案】A
【分析】将9a+b＝ab变形可得1，再采用“乘1法”求得a+b的最小值，于是原问题转化为16≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，然后结合二次函数的图象与性质，得解．
【解答】解：由9a+b＝ab，知1，
所以a+b＝（a+b）（）10≥210＝16，当且仅当，即a＝4，b＝12时，等号成立，
所以a+b的最小值为16，
故原问题转化为16≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，即x2﹣2x﹣2+m≥0，
所以Δ＝4﹣4（﹣2+m）≤0，解得m≥3．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
4．若两个正实数x，y满足1，且4m2﹣6m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．{m|﹣8＜m＜2} B．{m|m＜﹣8或m＞2}
C．{m|﹣2＜m＜8} D．{m|m＜﹣2或m＞8}
【答案】见试题解答内容
【分析】原不等式等价于m2﹣6m＜（4）min，由乘1法和基本不等式，可得最小值，再由二次不等式的解法，可得所求范围．
【解答】解：4m2﹣6m恒成立，等价为m2﹣6m＜（4）min，
由4（4）（）＝4+48+216，
当且仅当x＝16y＝64时，上式取得等号．
则m2﹣6m＜16，解得﹣2＜m＜8，
故选：C．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，以及基本不等式的运用，求最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
5．已知a＞b＞0，则2a的最小值为（　　）
A．4 B．6
C．3 D．3
【答案】B
【分析】根据条件可得出a+b＞0，a﹣b＞0，从而得出，然后根据基本不等式即可求出的最小值．
【解答】解：∵a＞b＞0
∴a+b＞0，a﹣b＞0，
∴4+2＝6，当且仅当即取等号，
∴的最小值为6．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值时的应用，应用基本不等式需说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．
6．已知a＞1，b＞0，a+b＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：已知a＞1，b＞0，a+b＝2，可得：（a﹣1）+b＝1，a﹣1＞0，
则[（a﹣1）+b][]＝12；
当且仅当，a+b＝2，时取等号．
则的最小值为：；
故选：A．
【点评】本题是应用题，考查的是基本不等式的应用，乘1法”与基本不等式的性质使用时要注意“一正，二定，三相等”．属于中档题．
7．已知正数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为（　　）
A．6 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】将原式子变形为 12，使用基本不等式，求得最小值．
【解答】解：∵正数x，y满足x+2y＝1，∴12
≥3+23+2，当且仅当时，等号成立，
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的应用，变形是解题的关键和难点．
8．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式4恒成立，则m的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．（，2]
【答案】B
【分析】根据条件有，化简后利用基本不等式可得的最小值，然后根据4恒成立可得4，解出m的范围即可．
【解答】解：∵m＞0，xy＞0，x+y＝2，
∴
，
当且仅当，即时取等号．
∵不等式4恒成立，∴4，
整理得，解得，即m≥2，
∴m的取值范围为[2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式及其应用和不等式恒成立问题，关键掌握“1“的代换，属基础题．
9．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．2
【答案】C
【分析】由x+y＝1得x+（1+y）＝2，再将代数式x+（1+y）与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．
【解答】解：∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2，
则2，
所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
10．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab﹣1，则a+2b的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．9
【答案】A
【分析】根据条件将a用b表示后代入a+2b中，得到a+2b，然后利用基本不等式求出最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝ab﹣1，则b≠2，
∴a，∴b＞2，
∴a+2b
≥5，
当且仅当，即b时取等号．
∴a+2b的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属中档题．
11．下列命题中正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，c＜d，则
C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
D．若ab＞0，a＞b，则
【答案】D
【分析】由不等式的性质逐个选项验证可得．
【解答】解：选项A，当a＞b时，取c＝0，则ac2＞bc2不成立，故错误；
选项B，取a＝d＝1，b＝0，c＝﹣1，可得1，0，显然不成立，故错误；
选项C，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，显然有a﹣c＝b﹣d，故错误；
选项D，∵ab＞0，a＞b，∴由不等式的性质可得，即，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，属基础题．
12．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．a2＞b2
C．a|c|＞b|c| D．
【答案】D
【分析】本题中a，b，c∈R，a＞b，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项．
【解答】解：A选项不对，当a＞0＞b时不等式不成立，故排除；
B选项不对，当a＝0，b＝﹣1时不等式不成立，故排除；
C选项不对，当c＝0时，不等式不成立，故排除；
D选项正确，由于，又a＞b故
故选：D．
【点评】本题考查不等式与不等式关系，考查不等式的性质，根据不等式的性质作出正确判断得出正确选项，本题易因考虑不全面选错答案，如武断认为a＞b得出致使出错．
二、填空题
13．若不等式kx2﹣2x+1﹣k＜0对满足﹣2≤k≤2的所有k都成立，则x的取值范围是　（，）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】构造函数f（k）＝kx2﹣2x+1﹣k，把f（k）看作关于k的一次函数，
根据题意列出不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：设f（k）＝kx2﹣2x+1﹣k＝k（x2﹣1）﹣2x+1，
f（k）可看作关于k的一次函数，
∵不等式kx2﹣2x+1﹣k＜0对任意k∈[﹣2，2]时均成立，
∴，
即，
解得，
即x；
∴x的取值范围为（，）．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，考查了等价转化问题以及推理应用与计算能力，是综合性题目．
14．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为 　（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）　 ．
【答案】（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
【分析】利用一元二次不等式的解集可知方程ax2+bx+2＝0的解是2和﹣1，
利用根与系数的关系求得a、b的值，再解所求的不等式解集即可．
【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
∴a＜0且方程ax2+bx+2＝0的解是2和﹣1，
∴2×（﹣1），且2+（﹣1），
解得a＝﹣1，b＝1；
∴不等式bx2﹣ax+2＞0即为x2+x﹣2＞0，
解得x＜﹣2或x＞1，
∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
15．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则不等式bx2﹣cx+a＜0的解集为 　{x|x＜﹣1或x}　 ．
【答案】{x|x＜﹣1或x}．
【分析】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集求出a、b、c的关系，代入不等式bx2﹣cx+a＜0，化简求解即可．
【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，
所以a＜0，且﹣3和1是方程ax2+bx+c＞0的两个实数解，
由根与系数的关系知，
解得b＝2a，c＝﹣3a；
所以不等式bx2﹣cx+a＜0可化为2ax2+3ax+a＜0，
即2x2+3x+1＞0，
解得x＜﹣1或x，
所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x}．
故答案为：{x|x＜﹣1或x}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与对应方程的实数根的应用问题，是基础题．
16．已知x＞1，则函数的最小值为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】化简函数的解析式，得到x﹣1为整体的关系式，利用基本不等式转化求解最值即可．
【解答】解：x＞1，则函数x﹣13≥3+23+2．
当且仅当x＝1时，函数取得最小值．
最小值为．
故答案为：3+2．
【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．
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