第三章 函数的概念与性质（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第三章函数的概念与性质
一、选择题
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
2．函数的定义域是（　　）
A． B．（﹣2，+∞）
C． D．
3．函数的图象关于（　　）
A．y轴对称 B．直线y＝﹣x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
4．设函数，若f（a）+f（﹣1）＝2，则a＝（　　）
A．﹣3 B．±3 C．﹣1 D．±1
5．函数f（x）＝|x|和g（x）＝x（2﹣x）的递增区间依次是（　　）
A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1） B．（﹣∞，0），（1，+∞）
C．[0，+∞），（﹣∞，1） D．[0，+∞），（1，+∞）
6．已知m＞2，点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+1，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
7．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，2] C．[0，4] D．[1，3]
8．设x∈R，定义符号函数sgnx，则（　　）
A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x| C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx
二、填空题
9．幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为 　 　 ．
10．设函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+1在区间（﹣∞，4）上是减函数，则a的取值范围是 　 　 ．
11．已知函数f（x）是定义域在（﹣1，1）上的奇函数，且在[0，1）上为增函数，若f（a﹣2）+f（4﹣a2）＜0，则实数a的取值范围是 　 　 ．
三、多选题
12．已知f（2x﹣1）＝4x2，则下列结论正确的是（　　）
A．f（3）＝9 B．f（﹣3）＝4
C．f（x）＝x2 D．f（x）＝（x+1）2
13．已知幂函数f（x）的图象经过点（27，3），则下列命题正确的有（　　）
A．函数f（x）为增函数
B．函数f（x）为偶函数
C．若x＞1，则f（x）＞1
D．函数f（x）的图象关于原点对称
14．函数f（x）的图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（　　）
A．f（f（5））
B．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．当x∈（﹣1，1）时，f（x）的最大值为﹣1
D．方程f（x）﹣x2+4＝0有四个根
15．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（　　）
A． x∈R，[2x]＝2[x] B． x∈R，[2x]＝2[x]
C． x，y∈R，[x]＝[y]，则x﹣y＜1 D． x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]
四、解答题
16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）≥1的解集．
17．已知函数f（x）＝﹣x2+|x|．
（Ⅰ）画出函数的图象并指出函数的单调区间；
（Ⅱ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅲ）求函数在[﹣1，2]上的最值，并指出取得最值时相应的x的值．
18．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单
价x元与日销售量y件之间有如下关系：
销售单价x（元） 30 40 45 50
日销售量y（件） 60 30 15 0
（Ⅰ）在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（x，y）对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f（x）
（Ⅱ）设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
19．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）＝f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）若f（2）＝1，解不等式f（x）+f（x﹣3）≤2．
20．已知函数f（x），x∈[1，+∞）．
（1）当a＝4时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
21．已知函数g（x）＝﹣x2﹣3，f（x）为二次函数．当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）是奇函数，求f（x）的解析式．
22．已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）＝2b，则函数y＝g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数，定义域为A．
（1）试证明y＝f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称；
（2）当x∈[a﹣2，a﹣1]时，求证：；
（3）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2＝f（x1），x3＝f（x2），…，xn+1＝f（xn）．如果xi∈A（i＝2，3，4…），构造过程将继续下去；如果xi A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．
第三章函数的概念与性质
参考答案与试题解析
一、选择题
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数的概念依次判断．
【解答】解：从图象可知，
A：2找不到对应的元素，故不是从集合M到集合N的函数；
B：成立；
C：1对应两个元素，故不是从集合M到集合N的函数；
D：2对应的元素在集合N外，故不是从集合M到集合N的函数．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的概念，属于基础题．
2．函数的定义域是（　　）
A． B．（﹣2，+∞）
C． D．
【答案】D
【分析】根据分母不为0且负数没有平方根和0指数的底数不为0得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集即为函数的定义域．
【解答】解：由题意可知：，解得x＞﹣2且x，
所以函数的定义域为：（﹣2，）∪（，+∞）
故选：D．
【点评】此题考查学生掌握函数定义域及其求法，是一道基础题．
3．函数的图象关于（　　）
A．y轴对称 B．直线y＝﹣x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
【答案】C
【分析】分析函数的奇偶性，进而可得函数的对称中心为原点．
【解答】解：∵函数是奇函数，
∴函数的图象关于原点对称，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，对称性，难度不大，属于基础题．
4．设函数，若f（a）+f（﹣1）＝2，则a＝（　　）
A．﹣3 B．±3 C．﹣1 D．±1
【答案】D
【分析】讨论a的正负，然后根据分段函数分段的标准进行讨论，代入相应的解析式，建立方程，解之即可求出所求．
【解答】解：设a≥0，则f（a）+f（﹣1）1＝2，
解得：a＝1
设a＜0，则f（a）+f（﹣1）1＝2
解得：a＝﹣1
∴a＝±1
故选：D．
【点评】本题主要考查了分段函数的求值，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题之列．
5．函数f（x）＝|x|和g（x）＝x（2﹣x）的递增区间依次是（　　）
A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1） B．（﹣∞，0），（1，+∞）
C．[0，+∞），（﹣∞，1） D．[0，+∞），（1，+∞）
【答案】C
【分析】根据函数f（x）是绝对值函数，g（x）是二次函数，分别写出f（x）、g（x）的单调递增区间即可．
【解答】解：函数f（x）＝|x|，
∴f（x）的单调增区间是[0，+∞）；
函数g（x）＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，
∴g（x）的单调递增区间是（﹣∞，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了求常见的基本初等的单调性与单调区间的应用问题，是基础题．
6．已知m＞2，点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+1，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数的解析式，可判断出二次函数y＝x2﹣2x的图象形状，进而判断出函数的单调性，结合m＞2可得1＜m﹣1＜m＜m+1，结合函数的单调性可判断出y1，y2，y3的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x的图象是开口朝上且以直线x＝1为对称轴的抛物线，
故二次函数y＝x2﹣2x在区间[1，+∞）上为增函数，
又∵m＞2，
∴1＜m﹣1＜m＜m+1，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，属于基础题．
7．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，2] C．[0，4] D．[1，3]
【答案】D
【分析】由已知把不等式转化为f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），结合f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，即可求得x的取值范围．
【解答】解：由函数f（x）为奇函数，得f（﹣1）＝﹣f（1）＝1，
不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1即为f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
又f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，∴得﹣1≤x﹣2≤1，解得1≤x≤3；
∴满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是[1，3]．
故选：D．
【点评】本题考查函数的性质及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
8．设x∈R，定义符号函数sgnx，则（　　）
A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x| C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx
【答案】D
【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可．
【解答】解：对于选项A，右边＝x|sgnx|，而左边＝|x|，显然不正确；
对于选项B，右边＝xsgn|x|，而左边＝|x|，显然不正确；
对于选项C，右边＝|x|sgnx，而左边＝|x|，显然不正确；
对于选项D，右边＝xsgnx，而左边＝|x|，显然正确；
故选：D．
【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
二、填空题
9．幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为 　3　 ．
【答案】3．
【分析】根据幂函数的定义与单调性可得出关于m的等式与不等式，即可解得实数m的值．
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递增，
则，解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
10．设函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+1在区间（﹣∞，4）上是减函数，则a的取值范围是 　（﹣∞，﹣3]　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】f（x）在区间（﹣∞，4）上是减函数，则（﹣∞，4）为f（x）减区间的子集，借助图象可得关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：函数f（x）图象的对称轴为：x＝1﹣a，开口向上，
因为f（x）在（﹣∞，4）上是减函数，
所以1﹣a≥4，解得a≤﹣3．
故答案为：（﹣∞，﹣3]．
【点评】本题考查函数的单调性，考查数形结合思想，属基础题．
11．已知函数f（x）是定义域在（﹣1，1）上的奇函数，且在[0，1）上为增函数，若f（a﹣2）+f（4﹣a2）＜0，则实数a的取值范围是 　2＜a　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据奇函数将f（a﹣2）+f（4﹣a2）＜0化简一下，再根据f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，建立不等式进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数
∴f（a﹣2）+f（4﹣a2）＜0等价为f（a﹣2）＜﹣f（4﹣a2）＝f（a2﹣4），
∵函数f（x）是定义域在（﹣1，1）上的奇函数，且在[0，1）上为增函数，
∴f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，
∴﹣1＜a﹣2＜a2﹣4＜1，
解得：2＜a．
故答案为：2＜a．
【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数的奇偶性的应用，注意定义域的限制作用．
三、多选题
12．已知f（2x﹣1）＝4x2，则下列结论正确的是（　　）
A．f（3）＝9 B．f（﹣3）＝4
C．f（x）＝x2 D．f（x）＝（x+1）2
【答案】BD
【分析】利用配凑法求出函数解析式，进而得解．
【解答】解：f（2x﹣1）＝（2x﹣1）2+2（2x﹣1）+1，故f（x）＝x2+2x+1，故选项C错误，选项D正确；
f（3）＝16，f（﹣3）＝4，故选项A错误，选项B正确．
故选：BD．
【点评】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
13．已知幂函数f（x）的图象经过点（27，3），则下列命题正确的有（　　）
A．函数f（x）为增函数
B．函数f（x）为偶函数
C．若x＞1，则f（x）＞1
D．函数f（x）的图象关于原点对称
【答案】ACD
【分析】由题意，利用幂函数的定义，求出函数的解析式，再结合函数的单调性、奇偶性、图象的对称性，得出结论．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，根据它的图象经过点（27，3），
可得27α＝3，解得α，故有f（x），
显然，它是R上的增函数，且是奇函数，故A正确B错误；
若x＞1，则f（x）1，故C正确；
显然，奇函数f（x）的图象关于原点对称，故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题主要考查幂函数的定义，函数的单调性、奇偶性、图象的对称性，属于基础题．
14．函数f（x）的图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（　　）
A．f（f（5））
B．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．当x∈（﹣1，1）时，f（x）的最大值为﹣1
D．方程f（x）﹣x2+4＝0有四个根
【答案】ACD
【分析】根据题意，由函数的解析式计算f（f（5））的值，可得A正确；分析f（1﹣x）与f（1+x）的关系，可得B错误，求出x∈（﹣1，1）时，函数f（x）的单调性，进而得到最值可判断C正确，对于D，原问题等价于函数y＝f（x）与函数y＝x2﹣4的图象交点个数，结合函数的图象分析可得D正确．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x），则f（5），则f（f（5）），A正确；
对于B，f（x），f（1+x），f（1﹣x），f（1+x）＝f（1﹣x）不能恒成立，则f（x）的图象不关于直线x＝1对称，B错误；
对于C，当x∈（﹣1，1）时，f（x），易知当x∈（﹣1，0）时，f（x）单调递增，当x∈[0，1）时，f（x）单调递减，
此时有f（x）max＝f（0）＝﹣1，C正确；
对于D，在同一坐标系中，作出函数f（x）和y＝x2﹣4的图象，可得两个函数图象有4个交点，即方程f（x）﹣x2+4＝0有四个根，D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，涉及函数的定义域，对称性，最值以及零点等知识点，属于中档题．
15．取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（　　）
A． x∈R，[2x]＝2[x] B． x∈R，[2x]＝2[x]
C． x，y∈R，[x]＝[y]，则x﹣y＜1 D． x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]
【答案】BC
【分析】直接利用数的取整问题的应用和赋值法的应用求出结果．
【解答】解：根据题意：对于选项A：当x时，[2]＝1，，故选项A错误．
对于选项B：当x＝2时，[2x]＝4＝2[x]．故选项B正确．
对于选项C：只要满足x的整数或y所取的整数相同，则x﹣y＜1，故选项C正确．
对于选项D：当x＝﹣3.5，y＝2.5，所以，[x+y]＝﹣1≥[x]+[y]＝﹣2，故选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识要点：数的取整问题，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
四、解答题
16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）≥1的解集．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0；从而由f（x）＝﹣f（﹣x）求解析式；
（2）分段讨论，求出不等式的解集．
【解答】解：（1）若x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x﹣3，已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，
f（x）＝﹣f（﹣x）＝x+3，又f（0）＝0，
所以f（x）；
（2）因为f（x）≥1，
当x＞0，x﹣3≥1，解得x≥4，
当x＜0，x+3≥1，解得﹣2≤x＜0，
故不等式的解集为[﹣2，0）∪[4，+∞）．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，同时考查了分段函数的单调性及应用，属于基础题．
17．已知函数f（x）＝﹣x2+|x|．
（Ⅰ）画出函数的图象并指出函数的单调区间；
（Ⅱ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅲ）求函数在[﹣1，2]上的最值，并指出取得最值时相应的x的值．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为（﹣∞，]和[0，]；单调递减区间为：（，0）和（，+∞）；
（Ⅱ）偶函数，证明过程见详解；
（Ⅲ）函数最大值为，此时x的值为或；函数的最小值为﹣2，此时x的值为2．
【分析】（Ⅰ）由函数的自变量的范围，可得分段函数的解析式，画出函数的图象，可得函数的单调区间；
（Ⅱ）求出函数的定义域，再求f（﹣x）的解析式，判断函数为偶函数；
（Ⅲ）由函数的图象可知函数的最值及相应的x的值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝﹣x2+|x|，，
可得函数的单调递增区间为（﹣∞，]和[0，]；
单调递减区间为：（，0）和（，+∞）；
（Ⅱ）偶函数，证明过程为：定义域为R，任意的x∈R，都有f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+|﹣x|＝﹣x2+|x|＝f（x），所以函数为偶函数；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的图象知，当x在[﹣1，2]上的最大值为f（）＝f（），最小值为f（2）＝﹣22+2＝﹣2，
所以函数最大值为，此时x的值为或；函数的最小值为﹣2，此时x的值为2．
【点评】本题考查分段函数的解析式及图象，图象的性质的应用，属于基础题．
18．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单
价x元与日销售量y件之间有如下关系：
销售单价x（元） 30 40 45 50
日销售量y（件） 60 30 15 0
（Ⅰ）在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（x，y）对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f（x）
（Ⅱ）设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平面直角坐标系中画出的各点猜测为一次函数，求出解析式后需要验证成立；
（2）销售利润函数＝（售价﹣进价）×销量，代入数值得二次函数，求出最值．
【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系中画出各点，如图：；
猜测为一次函数，故设f（x）＝kx+b（k，b为常数），
则，，解得：
∴f（x）＝﹣3x+150，30≤x≤50，把点（45，15），（50，0）代入函数解析式，检验成立．
（Ⅱ）日销售利润为：P＝（x﹣30） （﹣3x+150）＝﹣3x2+240x﹣4500，30≤x≤50；
∵，∴当销售单价为40元时，所获利润最大．
【点评】本题考查了一次函数，二次函数的图象与性质，以及简单的作图能力，归纳猜想能力，是基础题．
19．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）＝f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）若f（2）＝1，解不等式f（x）+f（x﹣3）≤2．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用定义法证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求出f（4）＝2，不等式f（x）+f（x﹣3）≤2转化为f[x（x﹣3）]≤f（4）求解，注意定义域．
【解答】解：（1）f（x）在（0，+∞）上是单调递增．
证明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
则
∵x＞1时f（x）＞0∴0即f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）2＝1+1＝f（2）+f（2）＝f（4），
f（x）+f（x﹣3）＝f[x（x﹣3）]，f（x）+f（x﹣3）≤2，
即f[x（x﹣3）]≤f（4）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，
∴ 3＜x≤4，∴不等式f（x）+f（x﹣3）≤2的解集为{x|3＜x≤4}．
【点评】本题考查了，抽象函数的单调性证明及函数不等式的解法，属于中档题．
20．已知函数f（x），x∈[1，+∞）．
（1）当a＝4时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将a＝4代入f（x），利用基本不等式求出最值，（2）将恒成立问题转化为最值问题求解，
【解答】解：（1）当a＝4时，
f（x）x2≥22＝6，（当且仅当x＝2时取得相等），
即函数最小值为6；
（2）f（x）＞0即x2＞0对任意x∈[1，+∞），恒成立，
即a＞﹣x（x+2）
a＞﹣（x+1）2+1，
令g（x）＝﹣（x+1）2+1，
g（x）的最大值为当x＝1时取得，为g（1）＝﹣3
所以有a＞﹣3．
【点评】本题考查函数最值问题，用到了基本不等式和恒成立问题的转化求解，属于较经典的题型．
21．已知函数g（x）＝﹣x2﹣3，f（x）为二次函数．当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）是奇函数，求f（x）的解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】待定系数法设出f（x）的解析式，利用奇函数的定义F（x）＝﹣F（﹣x）建立方程组解得a，c；
由于f（x）的对称轴含字母，所以通过分类研究f（x）在闭区间上的最值问题从而求得b．
【解答】解：设f（x）＝ax2+bx+c，所以令F（x）＝f（x）+g（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3
因为F（x）为奇函数，所以F（x）＝﹣F（﹣x），即（a﹣1）x2+bx+（c﹣3）＝﹣（a﹣1）x2+bx﹣（c﹣3）
所以：
所以：a＝1且c＝3，此时f（x）＝x2+bx+3．
①当1 即b＞2时，函数f（x）在[﹣1，2]上为增函数，故f（﹣1）＝1得b＝3
②当2 即b＜﹣4时，函数f（x）在[﹣1，2]上为减函数，故f（2）＝1得b＝﹣3但与b＜﹣4矛盾，舍去
③当 即﹣4≤b≤2时，函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，所以，解得：或（舍）
综上所述，b＝3或b＝﹣2，所以f（x）＝x2+3x+3或f（x）＝x2﹣2x+3．
【点评】本题考查待定系数法设出f（x）的解析式，用到了奇函数的定义F（x）＝﹣F（﹣x），
分类研究f（x）在闭区间上的最值（由于f（x）的对称轴含字母）
22．已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a﹣x）＝2b，则函数y＝g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数，定义域为A．
（1）试证明y＝f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称；
（2）当x∈[a﹣2，a﹣1]时，求证：；
（3）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2＝f（x1），x3＝f（x2），…，xn+1＝f（xn）．如果xi∈A（i＝2，3，4…），构造过程将继续下去；如果xi A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题的要求较高，需要理解新的定理，第（1）小问是对函数对称性的考查，第（2）小问是对函数值域求法的考查，相对比较容易，对于第（3）问要求理解构造的一个新数列的各项不会出现函数定义域A之外的元素，构造过程才可以继续，这就转化为恒成立的问题，进而分类讨论求出a．
【解答】（1）∵，∴．
由已知定理，得y＝f（x）的图象关于点（a，﹣1）成中心对称．（3分）
（2）先证明f（x）在[a﹣2，a﹣1]上是增函数，只要证明f（x）在（﹣∞，a）上是增函数．
设﹣∞＜x1＜x2＜a，则，
∴f（x）在（﹣∞，a）上是增函数．再由f（x）在[a﹣2，a﹣1]上是增函数，得
当x∈[a﹣2，a﹣1]时，f（x）∈[f（a﹣2），f（a﹣1）]，即．（7分）
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意x∈A恒成立．
∴方程无解，即方程（a+1）x＝a2+a﹣1无解或有唯一解x＝a．
∴或由此得到a＝﹣1（13分）
【点评】本例考查的数学知识点有，函数的对称性，函数的定义域和值域的求法；数学思想有极限思想，方程思想；是一道函数综合题．
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