第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
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| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 155.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 14:12:15 | ||
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文档简介
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第三章 圆锥曲线的方程
一、选择题
1．（5分）抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（5分）已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2＝8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）双曲线1中，被点P（2，1）平分的弦所在直线方程是（ ）
A．8x﹣9y＝7 B．8x+9y＝25 C．4x﹣9y＝16 D．不存在
4．（5分）双曲线（n＞1）的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
5．（5分）已知双曲线上存在两点M，N关于直线y＝x+m对称，且MN的中点在抛物线y2＝9x上，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4
6．（5分）已知椭圆y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且 0，则点M到x轴的距离为（
A． B． C． D．
7．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（5分）已知A，B是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（5分）若方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.3
10．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）若方程所表示的曲线为C，则下列说法中正确的是（ ）
A．若1＜t＜5，则C为椭圆
B．若t＜1，则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5
12．（5分）已知椭圆的焦点为F，点A（﹣2，2）为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝8，则m的值可以为（ ）
A． B． C．24 D．25
三、填空题
13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为 ．
14．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间，且G在第一象限），若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，则p＝ ．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 ．
16．（5分）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|的值为 ．
四、解答题
17．（10分）一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过隧道的a的最小整数值．
18．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次满足kOM kON，求△OMN面积的取值范围．
19．（12分）已知直线l：y＝2x+1，及两点A（﹣2，3）、B（1，6），点P在直线l上．
（1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P的坐标；
（2）求|PA|+|PB|的最小值．
20．（12分）若双曲线1（a＞0，b＞0）的焦点坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），且该双曲线经过点P（3，1）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且20，求直线l的斜率．
21．（12分）已知椭圆G：1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
22．（12分）如图，椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB||BF|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】由抛物线的标准方程利用抛物线的简单性质可求得答案．
【解答】解：∵y2＝2px＝8x，
∴p＝4，
∴抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是4．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的标准方程与抛物线的简单性质，属于基础题．
2．（5分）已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2＝8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出抛物线y2＝8x的焦点坐标，由此得到双曲线 的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的渐近线方程
【解答】解：∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），∴c＝2，a2＝4﹣1＝3，∴，∴，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．
3．（5分）双曲线1中，被点P（2，1）平分的弦所在直线方程是（ ）
A．8x﹣9y＝7 B．8x+9y＝25 C．4x﹣9y＝16 D．不存在
【答案】D
【分析】检验线直线方程为x＝2，是否符合题意，然后设直线与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求出直线方程后，代入检验所求直线与已知曲线是否相交
【解答】解：当直线的斜率k不存在时，直线方程为x＝2，直线被双曲线所截线段的中点为（2，0），不符
设直线与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）
把A，B代入到曲线方程且相减可得，
由题意可得，x1+x2＝4，y1+y2＝2
∴
直线的方程为y﹣1（x﹣2）
联立可得28x2﹣112x+373＝0，此时Δ＜0即方程没有实数解
∴所求直线与已知曲线没有交点
故选：D．
【点评】本题主要考 查了点差法在求解直线与曲线相交关系中的应用，学生用“点差法”求出直线方程漏掉检验用“△”验证直线的存在性是导致本题出现错误的最直接的原因
4．（5分）双曲线（n＞1）的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】设F1、F2是双曲线的左右焦点，然后得到两个关于|PF1|与|PF2|的等式，再求出|PF1||PF2|＝2，进一步得到△PF1F2的面积．
【解答】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，
则|PF1|﹣|PF2|＝2①，
又|PF1|+|PF2|＝2②，
由①②解得|PF1|，|PF2|，
∴|PF1|2+|PF2|2＝4n+4＝|F1F2|2，
∴PF1⊥PF2，
又由①②分别平方后作差，得|PF1||PF2|＝2，
∴△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝1．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的应用，考查了学生对双曲线知识的熟练灵活应用，属于中档题．
5．（5分）已知双曲线上存在两点M，N关于直线y＝x+m对称，且MN的中点在抛物线y2＝9x上，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4
【答案】D
【分析】根据双曲线上存在两点M，N关于直线y＝x+m对称，求出MN中点P（，m），利用MN的中点在抛物线y2＝9x上，即可求得实数m的值．
【解答】解：∵MN关于y＝x+m对称∴MN垂直直线y＝x+m，MN的斜率﹣1，MN中点P（x0，x0+m）在y＝x+m上，且在MN上
设直线MN：y＝﹣x+b，∵P在MN上，∴x0+m＝﹣x0+b，∴b＝2x0+m
由消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3＝0
Δ＝4b2﹣4×2（﹣b2﹣3）＝12b2+12＞0恒成立，
∴Mx+Nx＝﹣b，∴x0，∴b
∴MN中点P（，m）
∵MN的中点在抛物线y2＝9x上，
∴
∴m＝0或m＝﹣4
故选：D．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中点P的坐标．
6．（5分）已知椭圆y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且 0，则点M到x轴的距离为（
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得MF1⊥MF2，M在以F1F2为直径的圆上，求得圆方程和椭圆方程联立，解方程可得y，进而得到所求距离．
【解答】解： 0可得MF1⊥MF2，
M在以F1F2为直径的圆上，
可得圆的方程为x2+y2＝3，
联立椭圆方程y2＝1，解得y＝±，
即点M到x轴的距离为，
故选：C．
【点评】本题考查向量垂直的条件，考查椭圆方程的运用，以及联立方程组，计算能力，属于基础题．
7．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2x+4，
联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，
解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．
则 （0，2） （3，4）＝8．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
8．（5分）已知A，B是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出M坐标，由直线AM，BM的斜率之积为得一关系式，再由点M在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合隐含条件求得E的离心率．
【解答】解：由题意方程可知，A（﹣a，0），B（a，0），
设M（x0，y0），∴，
则，整理得：，①
又，得，即，②
联立①②，得，即，解得e．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．
二、多选题
9．（5分）若方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.3
【答案】CD
【分析】根据题意，将方程变形为1，由椭圆的标准方程的形式分析可得2，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若方程x2+ky2＝2，即1表示焦点在y轴上的椭圆，
则有2，
解可得：0＜k＜1，
即实数k的取值范围是（0，1）；
故选：CD．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意将椭圆的方程变形为标准方程．
10．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得y2﹣y﹣k＝0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．
【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y＝k（x﹣1），
由消去x，得y2﹣y﹣k＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2，y1y2＝﹣4，…（*）
∵|AF|＝3|BF|，
∴y1+3y2＝0，可得y1＝﹣3y2，代入（*）得﹣2y2且﹣34，
消去y2得k2＝3，解之得k＝±，
∴直线l方程为y（x﹣1）或y（x﹣1），
故选：AD．
【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．
11．（5分）若方程所表示的曲线为C，则下列说法中正确的是（ ）
A．若1＜t＜5，则C为椭圆
B．若t＜1，则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5
【答案】BD
【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案．
【解答】解：由题意，若方程表示椭圆，则满足，解得1＜t＜3或3＜t＜5，
对于A中，当t＝3时，此时方程x2+y2＝2表示圆，所以不正确；
对于D中，当方程表示焦点在y轴上椭圆，则满足，解得3＜t＜5，所以正确；
对于B中，当t＜1时，5﹣t＞0，t﹣1＜0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以正确；
对于C中，当t＝0时，方程，此时双曲线的焦距为，所以不正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
12．（5分）已知椭圆的焦点为F，点A（﹣2，2）为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝8，则m的值可以为（ ）
A． B． C．24 D．25
【答案】BCD
【分析】由题意求得椭圆的焦点坐标，由椭圆的定义可得2a＝|PF|+|PF'|，即|PF|＝2a﹣|PF′|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2a，运用三点共线取得最值，解不等式可得a的范围，得到m的范围，再由点A（﹣2，2）为椭圆C内一点可得m的范围．
【解答】解：椭圆是焦点在x轴上的椭圆，
则a2＝m，b2＝m﹣4，
∴c2．
可得右焦点F（2，0），左焦点F'（﹣2，0），
由椭圆的定义可得2a＝|PF|+|PF'|，
即|PF|＝2a﹣|PF′|，
可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2a，
由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，
可得﹣2≤8﹣2a≤2，
解得3≤a≤5，即9≤a2≤25．
又点A（﹣2，2）在椭圆C内，
∴1，解得m＜6﹣2或m＞6+2．
∴m的取值范围是（6+2，25]．
故选：BCD．
【点评】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
三、填空题
13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用抛物线定义，计算抛物线方程和m的值，在求出双曲线的左焦点坐标和准线方程，最后利用两直线平行的充要条件列方程即可解得a的值
【解答】解：利用抛物线的定义，点M（1，m）到焦点的距离等于到准线x的距离，即15，解得p＝8
∴抛物线的标准方程为y2＝16x，令x＝1，得m＝4，即M（1，4）
∵双曲线，的左顶点为A（﹣a，0），渐近线方程为y＝±x
依题意，AM的斜率为k0，
∴
解得正实数a的值为
故答案为
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程和双曲线的标准方程，双曲线的几何性质等基础知识，属基础题
14．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间，且G在第一象限），若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，则p＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知|MN|＝2|MF|可得MN所在直线的斜率，写出MN所在直线方程，与抛物线方程联立，求得G的横坐标，再由抛物线焦点弦长公式求解p．
【解答】解：如图，过M作MH⊥l交于H，
由|MN|＝2|MF|，得|MN|＝2|MH|，
∴MN所在直线斜率为，
MN所在直线方程为y（x），
联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．
解得：xGp，
则|GF|4，解得p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】依题意，可设椭圆C的方程为：1，由△ABF2的周长为16，可求得a，离心率为可求得c，利用a2﹣c2＝b2可求得b2，从而可求得C的方程．
【解答】解：设椭圆C的方程为：1，
∵△ABF2的周长为16，
∴4a＝16，
∴a＝4，
又椭圆C的离心率e，
∴c＝2，
∴b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12．
∴椭圆C的方程为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与椭圆的性质，考查方程思想，属于中档题．
16．（5分）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|的值为 7 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y＝0，求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．
【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y＝0，
∴可得，∴a＝2．
∵|PF1|＝3，
∴由双曲线的定义可得||PF2|﹣3|＝4，∴|PF2|＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的方程、渐近线的方程求出a是解题的关键．
四、解答题
17．（10分）一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过隧道的a的最小整数值．
【答案】13．
【分析】建立直角坐标系，则由题意可得O、A、B、D的坐标，a＞0，设抛物线的方程为 x2＝﹣2py，把点B的坐标代入求得p的值，可得抛物线方程为 x2＝﹣ay．把x＝1代入抛物线方程求得y．要使卡车通过时，需a3，由此解得a的范围，可得a的最小正整数值．
【解答】解：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建系如图，
设拱口宽为AB，则根据题意可得：
O（0，0），A（a，a），B（a，a），
C（﹣1，a）、D（1，a），a＞0．
设抛物线的方程为 x2＝﹣2py，
则把点B的坐标代入可得pa，
∴抛物线方程为 x2＝﹣ay，
把x＝0.8代入抛物线方程可得y，
要使卡车通过时，需a3，又a＞0，
∴a＞12.21，
∴a的最小正整数为13．
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程的应用，用坐标法解决几何问题，属于中档题．
18．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次满足kOM kON，求△OMN面积的取值范围．
【答案】（I）；（Ⅱ）（0，1）．
【分析】（1）根据椭圆的几何性质结合a2＝b2+c2解方程组，可以求出a，b的值；
（2）先利用待定系数法给出直线的方程，代入椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后结合韦达定理，斜率公式把kOM kON表达出来，找到待定系数k，m的关系，然后将面积用k，m表示出来，再将刚才的k，m的关系代入，最终把面积表示成一个变量的函数的形式，通过求函数的最值最终解决问题．
【解答】解析：（1）由已知得，∴，所以C方程：．
（2）由题意可设直线l的方程为：y＝kx+m（k≠0，m≠0）
联立，消去y并整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
则Δ＝64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＝16（4k2﹣m2+1）＞0，
此时设M（x1，y1），N（x2，y2），∴，
于是，
又直线OM，MN，ON的斜率满足，
∴，所以，
由m≠0，得，又由Δ＞0，得0＜m2＜2，
显然m2≠1，
设原点O到直线l的距离为d，则，
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．
【点评】本题是直线与椭圆位置关系的综合题，一般是将直线方程代入椭圆，然后消元得到关于x（或y）的一元二次方程，借助于韦达定理完成用所设的参数表示所求的过度，最终利用方程或函数的思想解决问题．
19．（12分）已知直线l：y＝2x+1，及两点A（﹣2，3）、B（1，6），点P在直线l上．
（1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P的坐标；
（2）求|PA|+|PB|的最小值．
【答案】（1）P（1，3）．
（2）．
【分析】（1）线段AB的中点为，kAB1．可得线段AB的垂直平分线方程，再与直线l的方程联立即可得出．
（2）设点A（﹣2，3）关于直线l的对称点为A′（a，b），可得，解得a，b．可得|PA|+|PB|≥|A′B|．
【解答】解：（1）线段AB的中点为，kAB1．
∴线段AB的垂直平分线方程为：y（x），
化为：x+y﹣4＝0．
联立，解得x＝1，y＝3．
∴P（1，3）．
（2）设点A（﹣2，3）关于直线l的对称点为A′（a，b），
则，解得a，b．
则|PA|+|PB|≥|A′B|．
【点评】本题考查了直线方程、对称性、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．（12分）若双曲线1（a＞0，b＞0）的焦点坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），且该双曲线经过点P（3，1）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且20，求直线l的斜率．
【答案】（1）1．（2）±．
【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标，结合双曲线经过的点列出方程组，求解a，b，得到双曲线的方程；
（2）求出过点F，Q的直线l的方程，求出点M的坐标，然后求解Q的坐标，代入双曲线方程，即可求直线l的斜率．
【解答】解：（1）依题意，得，解得a，b，
于是，所求双曲线的方程为1． （5分）
（2）∵点F的坐标为（2，0），∴可设直线l的方程为y＝k（x﹣2），令x＝0，得y＝﹣2k，即M（0，﹣2k）．
设Q（x0，y0），由20，
得（x0，y0+2k）+2（2x0，﹣y0）＝（0，0），
即（4x0，2k﹣y0）＝（0，0），故．
又Q是双曲线上的一点，∴，
即1，解得k2，∴k＝±．
故直线l的斜率为±． （12分）
【点评】本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21．（12分）已知椭圆G：1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c，可求出a的值，再根据b2＝a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c，，
解得a，又b2＝a2﹣c2＝4，
所以椭圆G的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，
由得4x2+6mx+3m2﹣12＝0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），
则x0，
y0＝x0+m，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k，
解得m＝2．
此时方程①为4x2+12x＝0．
解得x1＝﹣3，x2＝0，
所以y1＝﹣1，y2＝2，
所以|AB|＝3，此时，点P（﹣3，2）．
到直线AB：y＝x+2距离d，
所以△PAB的面积s|AB|d．
【点评】此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
22．（12分）如图，椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB||BF|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用|AB||BF|，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）直线l的方程为y﹣2＝2（x﹣0），即2x﹣y+2＝0与椭圆C：联立，OP⊥OQ，可得，
利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，
即，4a2+4b2＝5a2，4a2+4（a2﹣c2）＝5a2，∴．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2＝4b2，∴椭圆C：．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线l的方程为y﹣2＝2（x﹣0），即2x﹣y+2＝0．
由，
即17x2+32x+16﹣4b2＝0．
．
，．…（9分）
∵OP⊥OQ，∴，
即x1x2+y1y2＝0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）＝0，5x1x2+4（x1+x2）+4＝0．
从而，解得b＝1，
∴椭圆C的方程为．…（13分）
【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
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第三章 圆锥曲线的方程
一、选择题
1．（5分）抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（5分）已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2＝8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）双曲线1中，被点P（2，1）平分的弦所在直线方程是（ ）
A．8x﹣9y＝7 B．8x+9y＝25 C．4x﹣9y＝16 D．不存在
4．（5分）双曲线（n＞1）的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
5．（5分）已知双曲线上存在两点M，N关于直线y＝x+m对称，且MN的中点在抛物线y2＝9x上，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4
6．（5分）已知椭圆y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且 0，则点M到x轴的距离为（
A． B． C． D．
7．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（5分）已知A，B是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（5分）若方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.3
10．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）若方程所表示的曲线为C，则下列说法中正确的是（ ）
A．若1＜t＜5，则C为椭圆
B．若t＜1，则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5
12．（5分）已知椭圆的焦点为F，点A（﹣2，2）为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝8，则m的值可以为（ ）
A． B． C．24 D．25
三、填空题
13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为 ．
14．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间，且G在第一象限），若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，则p＝ ．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 ．
16．（5分）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|的值为 ．
四、解答题
17．（10分）一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过隧道的a的最小整数值．
18．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次满足kOM kON，求△OMN面积的取值范围．
19．（12分）已知直线l：y＝2x+1，及两点A（﹣2，3）、B（1，6），点P在直线l上．
（1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P的坐标；
（2）求|PA|+|PB|的最小值．
20．（12分）若双曲线1（a＞0，b＞0）的焦点坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），且该双曲线经过点P（3，1）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且20，求直线l的斜率．
21．（12分）已知椭圆G：1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
22．（12分）如图，椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB||BF|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】由抛物线的标准方程利用抛物线的简单性质可求得答案．
【解答】解：∵y2＝2px＝8x，
∴p＝4，
∴抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是4．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的标准方程与抛物线的简单性质，属于基础题．
2．（5分）已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2＝8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出抛物线y2＝8x的焦点坐标，由此得到双曲线 的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的渐近线方程
【解答】解：∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），∴c＝2，a2＝4﹣1＝3，∴，∴，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．
3．（5分）双曲线1中，被点P（2，1）平分的弦所在直线方程是（ ）
A．8x﹣9y＝7 B．8x+9y＝25 C．4x﹣9y＝16 D．不存在
【答案】D
【分析】检验线直线方程为x＝2，是否符合题意，然后设直线与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求出直线方程后，代入检验所求直线与已知曲线是否相交
【解答】解：当直线的斜率k不存在时，直线方程为x＝2，直线被双曲线所截线段的中点为（2，0），不符
设直线与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）
把A，B代入到曲线方程且相减可得，
由题意可得，x1+x2＝4，y1+y2＝2
∴
直线的方程为y﹣1（x﹣2）
联立可得28x2﹣112x+373＝0，此时Δ＜0即方程没有实数解
∴所求直线与已知曲线没有交点
故选：D．
【点评】本题主要考 查了点差法在求解直线与曲线相交关系中的应用，学生用“点差法”求出直线方程漏掉检验用“△”验证直线的存在性是导致本题出现错误的最直接的原因
4．（5分）双曲线（n＞1）的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】设F1、F2是双曲线的左右焦点，然后得到两个关于|PF1|与|PF2|的等式，再求出|PF1||PF2|＝2，进一步得到△PF1F2的面积．
【解答】解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，
则|PF1|﹣|PF2|＝2①，
又|PF1|+|PF2|＝2②，
由①②解得|PF1|，|PF2|，
∴|PF1|2+|PF2|2＝4n+4＝|F1F2|2，
∴PF1⊥PF2，
又由①②分别平方后作差，得|PF1||PF2|＝2，
∴△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝1．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的应用，考查了学生对双曲线知识的熟练灵活应用，属于中档题．
5．（5分）已知双曲线上存在两点M，N关于直线y＝x+m对称，且MN的中点在抛物线y2＝9x上，则实数m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4
【答案】D
【分析】根据双曲线上存在两点M，N关于直线y＝x+m对称，求出MN中点P（，m），利用MN的中点在抛物线y2＝9x上，即可求得实数m的值．
【解答】解：∵MN关于y＝x+m对称∴MN垂直直线y＝x+m，MN的斜率﹣1，MN中点P（x0，x0+m）在y＝x+m上，且在MN上
设直线MN：y＝﹣x+b，∵P在MN上，∴x0+m＝﹣x0+b，∴b＝2x0+m
由消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3＝0
Δ＝4b2﹣4×2（﹣b2﹣3）＝12b2+12＞0恒成立，
∴Mx+Nx＝﹣b，∴x0，∴b
∴MN中点P（，m）
∵MN的中点在抛物线y2＝9x上，
∴
∴m＝0或m＝﹣4
故选：D．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中点P的坐标．
6．（5分）已知椭圆y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且 0，则点M到x轴的距离为（
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得MF1⊥MF2，M在以F1F2为直径的圆上，求得圆方程和椭圆方程联立，解方程可得y，进而得到所求距离．
【解答】解： 0可得MF1⊥MF2，
M在以F1F2为直径的圆上，
可得圆的方程为x2+y2＝3，
联立椭圆方程y2＝1，解得y＝±，
即点M到x轴的距离为，
故选：C．
【点评】本题考查向量垂直的条件，考查椭圆方程的运用，以及联立方程组，计算能力，属于基础题．
7．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2x+4，
联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，
解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．
则 （0，2） （3，4）＝8．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
8．（5分）已知A，B是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出M坐标，由直线AM，BM的斜率之积为得一关系式，再由点M在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合隐含条件求得E的离心率．
【解答】解：由题意方程可知，A（﹣a，0），B（a，0），
设M（x0，y0），∴，
则，整理得：，①
又，得，即，②
联立①②，得，即，解得e．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．
二、多选题
9．（5分）若方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.3
【答案】CD
【分析】根据题意，将方程变形为1，由椭圆的标准方程的形式分析可得2，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若方程x2+ky2＝2，即1表示焦点在y轴上的椭圆，
则有2，
解可得：0＜k＜1，
即实数k的取值范围是（0，1）；
故选：CD．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意将椭圆的方程变形为标准方程．
10．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得y2﹣y﹣k＝0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．
【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y＝k（x﹣1），
由消去x，得y2﹣y﹣k＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2，y1y2＝﹣4，…（*）
∵|AF|＝3|BF|，
∴y1+3y2＝0，可得y1＝﹣3y2，代入（*）得﹣2y2且﹣34，
消去y2得k2＝3，解之得k＝±，
∴直线l方程为y（x﹣1）或y（x﹣1），
故选：AD．
【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．
11．（5分）若方程所表示的曲线为C，则下列说法中正确的是（ ）
A．若1＜t＜5，则C为椭圆
B．若t＜1，则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5
【答案】BD
【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案．
【解答】解：由题意，若方程表示椭圆，则满足，解得1＜t＜3或3＜t＜5，
对于A中，当t＝3时，此时方程x2+y2＝2表示圆，所以不正确；
对于D中，当方程表示焦点在y轴上椭圆，则满足，解得3＜t＜5，所以正确；
对于B中，当t＜1时，5﹣t＞0，t﹣1＜0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以正确；
对于C中，当t＝0时，方程，此时双曲线的焦距为，所以不正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
12．（5分）已知椭圆的焦点为F，点A（﹣2，2）为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝8，则m的值可以为（ ）
A． B． C．24 D．25
【答案】BCD
【分析】由题意求得椭圆的焦点坐标，由椭圆的定义可得2a＝|PF|+|PF'|，即|PF|＝2a﹣|PF′|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2a，运用三点共线取得最值，解不等式可得a的范围，得到m的范围，再由点A（﹣2，2）为椭圆C内一点可得m的范围．
【解答】解：椭圆是焦点在x轴上的椭圆，
则a2＝m，b2＝m﹣4，
∴c2．
可得右焦点F（2，0），左焦点F'（﹣2，0），
由椭圆的定义可得2a＝|PF|+|PF'|，
即|PF|＝2a﹣|PF′|，
可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2a，
由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，
可得﹣2≤8﹣2a≤2，
解得3≤a≤5，即9≤a2≤25．
又点A（﹣2，2）在椭圆C内，
∴1，解得m＜6﹣2或m＞6+2．
∴m的取值范围是（6+2，25]．
故选：BCD．
【点评】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
三、填空题
13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用抛物线定义，计算抛物线方程和m的值，在求出双曲线的左焦点坐标和准线方程，最后利用两直线平行的充要条件列方程即可解得a的值
【解答】解：利用抛物线的定义，点M（1，m）到焦点的距离等于到准线x的距离，即15，解得p＝8
∴抛物线的标准方程为y2＝16x，令x＝1，得m＝4，即M（1，4）
∵双曲线，的左顶点为A（﹣a，0），渐近线方程为y＝±x
依题意，AM的斜率为k0，
∴
解得正实数a的值为
故答案为
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程和双曲线的标准方程，双曲线的几何性质等基础知识，属基础题
14．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间，且G在第一象限），若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，则p＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知|MN|＝2|MF|可得MN所在直线的斜率，写出MN所在直线方程，与抛物线方程联立，求得G的横坐标，再由抛物线焦点弦长公式求解p．
【解答】解：如图，过M作MH⊥l交于H，
由|MN|＝2|MF|，得|MN|＝2|MH|，
∴MN所在直线斜率为，
MN所在直线方程为y（x），
联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．
解得：xGp，
则|GF|4，解得p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】依题意，可设椭圆C的方程为：1，由△ABF2的周长为16，可求得a，离心率为可求得c，利用a2﹣c2＝b2可求得b2，从而可求得C的方程．
【解答】解：设椭圆C的方程为：1，
∵△ABF2的周长为16，
∴4a＝16，
∴a＝4，
又椭圆C的离心率e，
∴c＝2，
∴b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12．
∴椭圆C的方程为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与椭圆的性质，考查方程思想，属于中档题．
16．（5分）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|的值为 7 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y＝0，求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．
【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y＝0，
∴可得，∴a＝2．
∵|PF1|＝3，
∴由双曲线的定义可得||PF2|﹣3|＝4，∴|PF2|＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的方程、渐近线的方程求出a是解题的关键．
四、解答题
17．（10分）一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过隧道的a的最小整数值．
【答案】13．
【分析】建立直角坐标系，则由题意可得O、A、B、D的坐标，a＞0，设抛物线的方程为 x2＝﹣2py，把点B的坐标代入求得p的值，可得抛物线方程为 x2＝﹣ay．把x＝1代入抛物线方程求得y．要使卡车通过时，需a3，由此解得a的范围，可得a的最小正整数值．
【解答】解：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建系如图，
设拱口宽为AB，则根据题意可得：
O（0，0），A（a，a），B（a，a），
C（﹣1，a）、D（1，a），a＞0．
设抛物线的方程为 x2＝﹣2py，
则把点B的坐标代入可得pa，
∴抛物线方程为 x2＝﹣ay，
把x＝0.8代入抛物线方程可得y，
要使卡车通过时，需a3，又a＞0，
∴a＞12.21，
∴a的最小正整数为13．
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程的应用，用坐标法解决几何问题，属于中档题．
18．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次满足kOM kON，求△OMN面积的取值范围．
【答案】（I）；（Ⅱ）（0，1）．
【分析】（1）根据椭圆的几何性质结合a2＝b2+c2解方程组，可以求出a，b的值；
（2）先利用待定系数法给出直线的方程，代入椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后结合韦达定理，斜率公式把kOM kON表达出来，找到待定系数k，m的关系，然后将面积用k，m表示出来，再将刚才的k，m的关系代入，最终把面积表示成一个变量的函数的形式，通过求函数的最值最终解决问题．
【解答】解析：（1）由已知得，∴，所以C方程：．
（2）由题意可设直线l的方程为：y＝kx+m（k≠0，m≠0）
联立，消去y并整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
则Δ＝64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＝16（4k2﹣m2+1）＞0，
此时设M（x1，y1），N（x2，y2），∴，
于是，
又直线OM，MN，ON的斜率满足，
∴，所以，
由m≠0，得，又由Δ＞0，得0＜m2＜2，
显然m2≠1，
设原点O到直线l的距离为d，则，
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．
【点评】本题是直线与椭圆位置关系的综合题，一般是将直线方程代入椭圆，然后消元得到关于x（或y）的一元二次方程，借助于韦达定理完成用所设的参数表示所求的过度，最终利用方程或函数的思想解决问题．
19．（12分）已知直线l：y＝2x+1，及两点A（﹣2，3）、B（1，6），点P在直线l上．
（1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P的坐标；
（2）求|PA|+|PB|的最小值．
【答案】（1）P（1，3）．
（2）．
【分析】（1）线段AB的中点为，kAB1．可得线段AB的垂直平分线方程，再与直线l的方程联立即可得出．
（2）设点A（﹣2，3）关于直线l的对称点为A′（a，b），可得，解得a，b．可得|PA|+|PB|≥|A′B|．
【解答】解：（1）线段AB的中点为，kAB1．
∴线段AB的垂直平分线方程为：y（x），
化为：x+y﹣4＝0．
联立，解得x＝1，y＝3．
∴P（1，3）．
（2）设点A（﹣2，3）关于直线l的对称点为A′（a，b），
则，解得a，b．
则|PA|+|PB|≥|A′B|．
【点评】本题考查了直线方程、对称性、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．（12分）若双曲线1（a＞0，b＞0）的焦点坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），且该双曲线经过点P（3，1）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且20，求直线l的斜率．
【答案】（1）1．（2）±．
【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标，结合双曲线经过的点列出方程组，求解a，b，得到双曲线的方程；
（2）求出过点F，Q的直线l的方程，求出点M的坐标，然后求解Q的坐标，代入双曲线方程，即可求直线l的斜率．
【解答】解：（1）依题意，得，解得a，b，
于是，所求双曲线的方程为1． （5分）
（2）∵点F的坐标为（2，0），∴可设直线l的方程为y＝k（x﹣2），令x＝0，得y＝﹣2k，即M（0，﹣2k）．
设Q（x0，y0），由20，
得（x0，y0+2k）+2（2x0，﹣y0）＝（0，0），
即（4x0，2k﹣y0）＝（0，0），故．
又Q是双曲线上的一点，∴，
即1，解得k2，∴k＝±．
故直线l的斜率为±． （12分）
【点评】本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21．（12分）已知椭圆G：1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c，可求出a的值，再根据b2＝a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c，，
解得a，又b2＝a2﹣c2＝4，
所以椭圆G的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，
由得4x2+6mx+3m2﹣12＝0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），
则x0，
y0＝x0+m，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k，
解得m＝2．
此时方程①为4x2+12x＝0．
解得x1＝﹣3，x2＝0，
所以y1＝﹣1，y2＝2，
所以|AB|＝3，此时，点P（﹣3，2）．
到直线AB：y＝x+2距离d，
所以△PAB的面积s|AB|d．
【点评】此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
22．（12分）如图，椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB||BF|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用|AB||BF|，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）直线l的方程为y﹣2＝2（x﹣0），即2x﹣y+2＝0与椭圆C：联立，OP⊥OQ，可得，
利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，
即，4a2+4b2＝5a2，4a2+4（a2﹣c2）＝5a2，∴．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2＝4b2，∴椭圆C：．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线l的方程为y﹣2＝2（x﹣0），即2x﹣y+2＝0．
由，
即17x2+32x+16﹣4b2＝0．
．
，．…（9分）
∵OP⊥OQ，∴，
即x1x2+y1y2＝0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）＝0，5x1x2+4（x1+x2）+4＝0．
从而，解得b＝1，
∴椭圆C的方程为．…（13分）
【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
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