第五章 三角函数（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第五章 三角函数
一、选择题
1．（5分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知tanθ＝2，则（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
3．（5分）函数的最小正周期是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）已知a是实数，则函数f（x）＝1+asinax的图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知角α是第四象限角，且满足，则tan（π﹣α）是（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ），已知函数f（x）的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x时，f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期是4π
B．函数f（x）在[0，]上单调递增
C．f（x）的图象关于直线x对称
D．f（x）的图象关于点（，0）对称
7．（5分）y＝sin（2x）﹣sin2x的一个单调递增区间是（　　）
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的
点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，当t＝15时，点P到水面的距离为（　　）
A．4m B．3m C．2m D．1m
二、填空题
9．（5分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为 　 　 ．
10．（5分）已知tanx＝3，则的值为 　 　 ．
11．（5分）如图为函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象的一部分，该函数的解析式是 　 　 ．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝3sin（2x）的图象向左平移φ（0＜φ）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值为 　 　 ．
三、解答题
13．（8分）已知，，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
14．（10分）（1）化简：；
（2）求证：tan（）﹣tan（）＝2tan2α．
15．（10分）设函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．
16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），f（x）的图象上两个相邻对称中心间的距离为，且是函数f（x）的一个零点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
第五章 三角函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由题意，推导出，确定α的象限，然后取得结果．
【解答】解：∵P（tanα，cosα）在第三象限，
∴，
由tanα＜0，得α在第二、四象限，
由cosα＜0，得α在第二、三象限
∴α在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．
2．（5分）已知tanθ＝2，则（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
【答案】B
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简，求得要求式子的值．
【解答】解：∵tanθ＝2，则2，
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
3．（5分）函数的最小正周期是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题意利用正切函数的周期性，得出结论．
【解答】解：函数的最小正周期是2，
故选：B．
【点评】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．
4．（5分）已知a是实数，则函数f（x）＝1+asinax的图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的性质结合选项即可得解．
【解答】解：对函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B，，
观察选项可知，选项C的最小正周期大于2π，即，则|a|＜1，
而又由选项C图象可知，，与|a|＜1矛盾，故选项C错误，而对比可知选项A正确．
当a＝0时，选项B正确；
对选项D而言，易知周期小于2π，则|a|＞1，由前面分析可知，符合函数图象．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的图象及性质，考查数形结合思想，记住常见结论是解题关键，属于基础题．
5．（5分）已知角α是第四象限角，且满足，则tan（π﹣α）是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
【解答】解：由，
得﹣cosα+3cosα＝1，即．
∵角α是第四象限角，
∴．
∴tan（π﹣α）＝﹣tanα．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
6．（5分）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ），已知函数f（x）的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x时，f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期是4π
B．函数f（x）在[0，]上单调递增
C．f（x）的图象关于直线x对称
D．f（x）的图象关于点（，0）对称
【答案】A
【分析】根据f（x）的最小正周期为4π，可得ω，当x时，f（x）取得最大值．可得φ的值，得到了f（x）的解析式，利用正弦函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：由题意，f（x）的最小正周期为4π，
∴ω，
∵当x时，f（x）取得最大值．即φ＝2kπ，k∈Z．
∴φ＝2kπ，k∈Z．
∵0＜φ，
可得：φ．
那么f（x）＝2sin（x），
对于A，正确；
对于B，当x∈[0，]，x∈[，]，由正弦函数的单调性可知错误；
对于C，由2sin（）≠2，故错误；
对于D，由2sin（）≠0，故错误；
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的图象变换规律，以及正弦函数的性质的应用，属于基础题．
7．（5分）y＝sin（2x）﹣sin2x的一个单调递增区间是（　　）
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
【答案】B
【分析】首先将函数解析式变成：y＝sin（2x），然后由正弦函数的增区间列式解得kπ≤xkπ，k∈Z，
令k＝1，得，x，故选B
【解答】解：∵y＝sin（2x）﹣sin2x
＝sin2xcoscos2xsinsin2x
sin2xcos2x
＝sin（2x）
由2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
得kπ≤xkπ，k∈Z，
当k＝1时，x，
故选：B．
【点评】本题考查了正弦函数的单调递增区间、三角变换，属中档题．
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的
点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，当t＝15时，点P到水面的距离为（　　）
A．4m B．3m C．2m D．1m
【答案】A
【分析】先计算出筒车旋转的周期，得出15s时p所在的位置，进而求出距离水面的距离．
【解答】解：由题意，得筒车旋转的周期是10s，
第10s时，P点回到原来的位置，第15s时P点旋转了180度，
由三角函数可求出P所在直径与水面的夹角为30度，所以此时P距离水面的距离为8×sin4m，
故选：A．
【点评】本题主要考查了周期性以及三角函数计算，属基础题．
二、填空题
9．（5分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
【解答】解：如图：设∠AOB＝2，AB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，
并延长OC交于D，则∠AOD＝∠BOD＝1，ACAB＝1．
Rt△AOC中，r＝AO，
从而弧长为 α r＝2，
故答案为．
【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键，属于基础题．
10．（5分）已知tanx＝3，则的值为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得 的值．
【解答】解：∵已知tanx＝3，则，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
11．（5分）如图为函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象的一部分，该函数的解析式是 　y＝2sin（2x）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由三角函数的图象直接得到A和T，代入周期公式求得ω，结合五点作图的第二点求得φ，则三角函数的解析式可求．
【解答】解：由图可得，A＝2，T＝2（）＝π，
∴ω，
由五点作图的第二点可得：φ，解得：φ．
∴所求函数解析式为：y＝2sin（2x）．
故答案为：y＝2sin（2x）．
【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，关键是掌握利用五点作图中的某一点求φ的值的方法，是基础题．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝3sin（2x）的图象向左平移φ（0＜φ）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数图象对应的函数解析式；再利用正弦函数的图象的对称性求得2φkπ，k∈z，由此求得φ的值．
【解答】解：函数y＝3sin（2x）的图象向左平移φ（0＜φ）个单位后，所得函数图象对应的函数解析式为y＝3sin（2x+2φ），
由于所得函数图象关于原点成中心对称，∴2φkπ，k∈z，则φ，k∈z．
∴φ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
三、解答题
13．（8分）已知，，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．
【解答】解：（1）∵，α为锐角，∴，
∴．
（2）∵α，β均为锐角，，∴α+β∈（0，π），
∴，
∴．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．
14．（10分）（1）化简：；
（2）求证：tan（）﹣tan（）＝2tan2α．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意利用二倍角公式化简所给的式子，可得结果．
（2）由题意利用三角恒等变换化简等式的左边，可得结果．
【解答】解：（1）tanθ．
（2）证明：∵等式左边＝tan（）﹣tan（）2tan2α＝右边，
∴等式成立．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，证明三角恒等式，属于基础题．
15．（10分）设函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）化简可得2sin（2x），从而确定周期；
（Ⅱ）由可得2sin（2x）．
【解答】解：（Ⅰ）
sin2xsin2xcos2x
sin2x﹣cos2x
＝2sin（2x），
故函数f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵，
∴2x，
∴sin（2x）≤1，
∴﹣1＜2sin（2x）≤2，
∴2sin（2x），
故函数f（x）的值域为（，]．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换的应用及函数的性质的判断与应用．
16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），f（x）的图象上两个相邻对称中心间的距离为，且是函数f（x）的一个零点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
【答案】（1）f（x）＝2sin（2x）；（2）[]．
【分析】（1）直接利用函数的图象上两个相邻对称中心间的距离为，且是函数f（x）的一个零点，求出函数的关系式；
（2）利用整体思想的应用和函数的单调性求出函数的单调递减区间．
【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），f（x）的图象上两个相邻对称中心间的距离为，
故函数的最小正周期为π，
解得ω＝2；
且是函数f（x）的一个零点，
所以，整理得，（k∈Z）；
由于|φ|，
故当k＝1时，φ；
故f（x）＝2sin（2x）．
（2）令：，（k∈Z）；
整理得，（k∈Z）；
故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[]．
【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
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