2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章 4.3 对数 同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 4.3 对数
一、单选题
1.（2025广东广州期中）已知，则的值为（ ）
A. 3或4
B. 4或5
C. 3
D. 4
2.（2025安徽蚌埠第二中学期中）若且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2024江苏连云港高中期中）已知，则（ ）
A. -2
B. 0
C. 2
D. 4
4.下列各等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025四川攀枝花七中月考）已知，，则（ ）
A. 9
B. 3
C.
D.
6.方程的根为（ ）
A. -3
B. 3
C. -1或3
D. 1或-3
二、多选题
7.下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
8.（2025河南南阳方城月考）若，，，则下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.（2025福建三明一中质量检测）设，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
10.（2025天津西青期中）已知，则________。
11.方程的解是________。
12.（2025辽宁大连第二十四中学期中）已知，则是________位数。
四、解答题
13.计算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) 。
14.(1) 已知，，试用，表示；
(2) 计算：。
15.解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 。
一、单选题
1.答案：D
解析：根据对数定义，需满足三个条件：
对数为0时，真数=1：，即，解得或；
底数>0且≠1：（得）且（得）；
真数>0：的判别式，恒正。
综上，（因底数=1舍去）。
2.答案：A
解析：指数与对数互化核心公式：若（），则。
由，直接得，故A正确；其他选项均不符合互化规则。
3.答案：C
解析：将对数化为指数形式：
底数为，对数值为4，故；
化简得，结合底数条件且（），解得。
4.答案：D
解析：根据对数运算法则（、）逐一判断：
A：是对数乘积≠（对数加法），错误；
B：，错误；
C：对数真数不能为负，、无意义，错误；
D：，正确。
5.答案：D
解析：将目标式化为以2为底的指数幂，结合已知条件变形：
由得；
由得，即，故，，；
目标式：。
6.答案：B
解析：对数相等需满足“真数相等且均为正”：
真数相等：，即，解得或；
真数为正：（得或）且（得）；
综上，（因舍去）。
二、多选题
7.答案：AC
解析：根据指数与对数互化规则（）判断：
A：，正确；
B：（而非2），对应，错误；
C：，正确；
D：（而非），错误。
8.答案：AD
解析：由得，由得，由得：
A：，正确；
B：，错误；
C：，错误；
D：，，故，正确。
9.答案：AC
解析：由、，结合对数运算法则：
A：，正确；
B：，错误；
C：，正确；
D：，错误。
三、填空题
10.答案：5
解析：由外向内逐层求解：
若，则（对数为0时真数=1），故；
若，则。
11.答案：1
解析：用换底公式统一底数（）：
原方程化为：；
由对数加法法则：，故；
解方程，得或；
检验：（真数）、且（底数），故（舍去）。
12.答案：963
解析：利用对数估算位数：若（），则的位数为。
设，则；
故，的位数为。
四、解答题
13.解：(1)原式 = .
(2)方法一：
原式 = .
方法二：
原式 = .
(3)原式 = .
14. 解： (1) 用换底公式（）：
(2) 分步化简每一项：
；
；
；
；
合并计算：
15. 解： (1) 对数=1时，真数=底数且底数>0≠1、真数>0：
真数=底数：，化简得，解得或；
检验条件：
底数且：得且；
真数：得或；
筛选：（底数=-1<0，舍去），（符合所有条件）。
故方程的解为。
(2) 利用对数加法法则（）：
右边合并：；
对数相等→真数相等：；
换元：设，方程化为；
解方程：或，即（得）或（得）。
故方程的解为或。
(3) 换底公式统一底数为2：
；
；
换元：设，方程化为；
化简求解：→，解得或；
回代：（得），（得）。
故方程的解为或。
(4) 分绝对值正负讨论，换元简化：
换元：设，则，方程化为；
分类讨论：
当时，，方程变为→；
解得（舍去，因），故→；
当时，，方程变为→；
正根为（舍去，因）；
综上，方程的解为。