(共51张PPT)
13.1 基本立体图形
13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
探究点一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
探究点二 多面体的识别和判断
探究点三 棱柱、棱锥、棱台的画法
探究点四 多面体的平面展开图
【学习目标】
1.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义.
知识点一 棱柱
1.棱柱的相关概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱柱 一般地，由一个 平面多边形沿某 一方向平移形成 的空间图形叫作 棱柱 底面：平移起止位置
的两个面；
侧面：多边形的边平
移所形成的面；
侧棱：相邻侧面的公
共边
2.棱柱的分类
按底面多边形的边数来分，底面为三角形、四边形、五边形……的
棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3.棱柱的特点
棱柱的两个底面是全等的多边形且其对应边互相平行，侧面都是平
行四边形.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形.( )
√
[解析] 正确，由棱柱的定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所
以侧面均为平行四边形.
（2）上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱一定是正
方体.( )
×
[解析] 不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱
柱不一定是正方体.
2.观察螺栓头部模型（如图所示的六棱柱）,它有多少个顶点？多少
条棱？多少个面？能作为棱柱底面的有几对
解：因为螺栓头部模型为六棱柱，所以它有12个顶点，18条棱，
8个面，其中能作为棱柱底面的只有1对.
知识点二 棱锥
1.棱锥的相关概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱锥 当棱柱的一个 底面收缩为一 个点时，得到 的空间图形叫 作棱锥 底面：多边形；
侧面：有一个公共顶点的
三角形；
侧棱：相邻侧面的公共
边；
顶点：由棱柱的一个底面
收缩而成
2.棱锥的分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱
锥、….
3.棱锥的特点：棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.
知识点三 棱台
1.棱台的相关概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱台 用一个平行 于棱锥底面 的平面去截 棱锥，截面 和底面之间 的部分称为 棱台 上底面：平行于棱锥底面的
截面；
下底面：原棱锥的底面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧棱与上、下底面的
公共点
2.棱台的分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥、…截得的棱台分别叫作三棱台、四棱
台、五棱台、….
3.棱台的特点：棱台的两个底面是相似的多边形，侧面都是梯形，侧
棱延长后相交于一点.
【诊断分析】
判断如图所示的空间图形是不是棱锥，为什么？
解：该空间图形不是棱锥．因为棱锥的定义中要求各侧面有一个公
共顶点，但该空间图形的侧面与侧面 没有公共顶点，所以
该空间图形不是棱锥．
知识点四 多面体
定义：由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体.
多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体.
探究点一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1（1） （多选题）下列关于棱柱的说法正确的是( )
A.棱柱的两个底面一定平行
B.棱柱至少有五个面
C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D.长方体是四棱柱
√
√
√
[解析] 对于A，由棱柱的定义可得棱柱的两个底面一定平行，A正确；
对于B，三棱柱是最简单的棱柱，三棱柱有五个面，
则棱柱至少有五个面,B正确；
对于C，如图所示的几何体满足有两个面互相平行，
其余各面都是平行四边形，但该几何体不是棱柱，C错误；
对于D，显然长方体是四棱柱，D正确.故选 .
（2）（多选题）下列说法中，正确的是( )
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何
体是棱锥
C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D.棱台的侧面是等腰梯形
√
√
[解析] 对于A，由棱锥的定义知，棱锥的各个侧面都是三角形，
故A正确；
对于B，有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形
没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错误；
对于C，四面体就是由4个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体
的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确；
对于D，根据棱台的定义，棱台的各个侧面都是梯形，棱台的侧棱长
可能不相等，故D错误.故选 .
变式 [2024·广东佛山高一期中] 下列说法错误的是( )
A.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
B.棱台的各侧棱延长线必交于一点
C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
√
[解析] 对于A，有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，
故A中说法正确；
对于B，根据棱台的定义可得，棱台的各侧棱延长线必交于一点，
故B中说法正确；
对于C，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间
的部分是棱台，故C中说法错误；
对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D中说法正确.
故选C.
［素养小结］
辨析棱柱、棱锥、棱台的结构特征主要抓住以下几个方面:（1）底
面的形状,底面间的平行关系;（2）侧棱的相等关系、侧棱间的平行
关系;（3）侧面的形状,侧面间的平行关系等.
探究点二 多面体的识别和判断
例2 如图,已知长方体 .用平
面 把这个长方体分成两部分后,各部分形
成的几何体还是棱柱吗 如果是,是几棱柱 如果
不是,说明理由.
解：截面上方的部分是三棱柱,
其中 和 是底面.
截面下方的部分是四棱柱,
其中四边形 和四边形 是底面.
变式 （多选题）[2024·江苏无锡高一期中] 在正方体
中，，分别在棱， 上，且
，，过， 的平面将正方体
截成两部分，则所得几何体可能是( )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.三棱台 D.四棱柱
√
√
√
[解析] 如图①，连接,，则平面 截
正方体可得三棱锥，
故A正确；
如图②，过 作，交于，
过作，交于，连接 ，
则平面截正方体
可得三棱柱 ，故B正确；
如图③，延长至，连接,，分别与
,交于 ,，连接，则平面截
正方体 可得三棱台 ，
故C正确；
将正方形 分成一个三角形和一个五边形，
所以不可能得到四棱柱.故选 .
［素养小结］
解答此类问题的关键是正确掌握棱柱、棱锥、棱台的几何特征,在利
用几何体的概念进行判断时,要紧扣定义,注意几何体间的联系与区别.
不要认为底面就一定是所给图中位于上下位置的面.
探究点三 棱柱、棱锥、棱台的画法
例3 画一个三棱柱和一个四棱锥.
解：画三棱柱可分为以下三步完成:
第一步，画上底面，画一个三角形;
第二步，画侧棱，从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段;
第三步，画下底面，顺次连接这些线段的另一个端点.如图所示.
画四棱锥可分为以下两步完成:
第一步，画底面，画一个四边形；
第二步，画侧棱，在四边形的上方任取一个点，
顺次连接该点与四边形的四个顶点.如图所示.
变式 画一个六面体：
（1）使它是一个四棱柱；
解：如图①所示.
（2）使它是由两个三棱锥组成的；
解：如图②所示.
（3）使它是五棱锥.
解：如图③所示.
［素养小结］
在平面几何图形中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线
表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线.
探究点四 多面体的平面展开图
例4 请画出如图所示的几何体的表面展开图.
解：展开图如图所示.（答案不唯一）
例5 如图是空间几何体的展开图，请问各是什么空间几何体？
解：将空间几何体还原，如图所示. 是六棱柱.
解：是五棱锥.
解：是三棱台.
变式（1） 如图所示,不是各棱长都相等的三棱锥的展开图的是
( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
[解析] 可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成三棱锥,
③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成三棱锥.故选C.
√
（2）如图,,, 是一个无盖的正方体盒子展开后的平
面图上的点,则在正方体盒子中, ( )
A. B. C. D.
[解析] 根据展开图复原几何体，如图，连接 ，
易知，， 分别为三个全等的正方形的对
角线，所以，所以 是等边
三角形，所以，故选C.
√
［素养小结］
（1）绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想
象能力或者亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点
标上字母,先把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面,便可得到其表
面展开图.
（2）由展开图复原几何体:通常给出多面体的表面展开图来判断是由哪
一个多面体展开得到的,求解时可把上述过程逆推.同一个几何体的表面
展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
拓展 [2024·安徽淮南高一期中] 如图，底面为正方
形的四棱锥 中，四条侧棱相等，且
，，分别为棱和 上的点，
，，处有只蚂蚁欲沿该四棱锥的侧面爬行到 处，求蚂
蚁爬行的最短距离.
解：将与 展开到同一平面内，如图所示，
连接，则 的长即为所求最短距离.
因为底面为正方形的四棱锥 中，四条
侧棱相等，且，所以四棱锥 的
所有的棱长都相等，故与 均为等边三角形.
在中，，， ，由余弦定理得
，可得 ，所以蚂蚁爬行的最短距离为 .
1.关于棱柱的辨析
棱柱的定义有以下两个要点,缺一不可:①有两个平面（底面）互相平
行;②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行.
求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看
是否满足其他特征.
2.棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的
某些说法不正确.
（2）直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形,此面 即为底面 两个互相平行的面,即为底
面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
因此,解决棱台问题的一种方法是:将有关棱台的问题转化为棱锥的问
题解决（即“还台为锥”）.
3.对于多面体的结构特征要从其反映的几何体的本质去把握.
棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体,但它们之间也有联系,棱柱可以看
成是上、下底面全等的棱台,棱锥又可以看成是一个底面缩为一点的
棱台,即:
4.正棱锥的性质
（1）各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边
上的高相等,叫作正棱锥的斜高.
（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影
组成一个直角三角形;正棱锥的高、侧棱、侧棱
在底面内的射影也组成一个直角三角形.（如图所示）
1.掌握多面体中棱柱、棱锥、棱台的空间结构特征,关键是弄清底面
形状与侧棱的特点.棱柱的侧棱相互平行;棱锥的侧棱交于一点;棱台
的侧棱的延长线交于一点.
例1 写出集合{四棱柱}{正四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长
方体}{正方体}之间的关系.
解：{四棱柱平行六面体直平行六面体长方体 正
四棱柱 正方体}.
例2 斜四棱柱的侧面中矩形的个数最多为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为在斜四棱柱的底面中最多有一组对边和侧棱垂直,所以斜四
棱柱的侧面中最多有2个侧面为矩形,且这两个侧面为相对的面,故选B.
√
2.空间几何体侧面上两点间的最短距离问题常常转化为求平面上两点间
的最短距离问题,先把侧面展开成平面图形,再用平面几何的知识来解决.
例3 在长方体中,,,,则从点
出发沿表面运动到点 的最短路线长是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 沿长方体的棱展开,使得点A, 展开后在同一个平面上,连接 .
展开情况有三种：如图①,图②,图③.
在图①中, ;
在图②中, ;
在图③中,.
由 知点A到点的最短
路径长为 .故选C.第13章 立体几何初步
13.1 基本立体图形
13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
【课前预习】
知识点一
诊断分析
1.(1)√ (2)× [解析] (1)正确,由棱柱的定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形.
(2)不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.
2.解:因为螺栓头部模型为六棱柱,所以它有12个顶点,18条棱,8个面,其中能作为棱柱底面的只有1对.
知识点三
诊断分析
解:该空间图形不是棱锥.因为棱锥的定义中要求各侧面有一个公共顶点,但该空间图形的侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点,所以该空间图形不是棱锥.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)ABD (2)AC [解析] (1)对于A,由棱柱的定义可得棱柱的两个底面一定平行,A正确;对于B,三棱柱是最简单的棱柱,三棱柱有五个面,则棱柱至少有五个面,B正确;对于C,如图所示的几何体满足有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但该几何体不是棱柱,C错误;对于D,显然长方体是四棱柱,D正确.故选ABD.
(2)对于A,由棱锥的定义知,棱锥的各个侧面都是三角形,故A正确;对于B,有一个面是多边形,其余各面都是三角形,如果这些三角形没有一个公共顶点,那么这个几何体就不是棱锥,故B错误;对于C,四面体就是由4个三角形所围成的封闭几何体,因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故C正确;对于D,根据棱台的定义,棱台的各个侧面都是梯形,棱台的侧棱长可能不相等,故D错误.故选AC.
变式 C [解析] 对于A,有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥,故A中说法正确;对于B,根据棱台的定义可得,棱台的各侧棱延长线必交于一点,故B中说法正确;对于C,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分是棱台,故C中说法错误;对于D,棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形,故D中说法正确.故选C.
探究点二
例2 解:截面BCFE上方的部分是三棱柱BEB1-CFC1,其中△BEB1和△CFC1是底面.
截面BCFE下方的部分是四棱柱ABEA1-DCFD1,其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面.
变式 ABC [解析] 如图①, 连接DE,DF,则平面DEF截正方体ABCD-A1B1C1D1可得三棱锥D-D1EF,故A正确; 如图②,过E作EG∥D1D,交AD于G,过F作FH∥D1D,交CD于H,连接GH,则平面EFHG截正方体ABCD-A1B1C1D1可得三棱柱D1EF-DGH,故B正确;如图③,延长D1D至P,连接PE,PF,分别与AD,CD交于M,N,连接MN,则平面EFNM截正方体ABCD-A1B1C1D1可得三棱台DMN-D1EF,故C正确; EF将正方形A1B1C1D1分成一个三角形和一个五边形,所以不可能得到四棱柱.故选ABC.
探究点三
例3 解:(1)画三棱柱可分为以下三步完成:第一步,画上底面,画一个三角形;第二步,画侧棱,从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段;第三步,画下底面,顺次连接这些线段的另一个端点.如图所示.
(2)画四棱锥可分为以下两步完成:第一步,画底面,画一个四边形;第二步,画侧棱,在四边形的上方任取一个点,顺次连接该点与四边形的四个顶点.如图所示.
变式 解:(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
(3)如图③所示.
探究点四
例4 解:展开图如图所示.(答案不唯一)
例5 解:将空间几何体还原,如图所示.
(1)是六棱柱;(2)是五棱锥;(3)是三棱台.
变式 (1)C (2)C [解析] (1)可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成三棱锥,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成三棱锥.故选C.
(2)根据展开图复原几何体,如图,连接CA,易知AB,BC,CA分别为三个全等的正方形的对角线,所以AB=BC=CA,所以△ABC是等边三角形,所以∠ABC=60°,故选C.
拓展 解:将△PAB与△PBC展开到同一平面内,如图所示,连接EF,则EF的长即为所求最短距离.
因为底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,四条侧棱相等,且PA=AB,所以四棱锥P-ABCD的所有的棱长都相等,故△PAB与△PBC均为等边三角形
在△PEF中,PE=3,PF=6,∠EPF=120°,
由余弦定理得EF2=PE2+PF2-2PE·PF·cos∠EPF=9+36-2×3×6×=63,可得EF=3,
所以蚂蚁爬行的最短距离为3.第13章 立体几何初步
13.1 基本立体图形
13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
1.D [解析] 四棱锥共有八条棱,故A错误;五棱锥共有六个面,故B错误;六棱锥的顶点有七个,故C错误;七棱锥的底面是七边形,故D正确.故选D.
2.B [解析] 根据棱柱的概念及几何特征可得选项B为棱柱,选项A,C,D均不为棱柱.故选B.
3.C [解析] 根据棱台的定义,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分叫作棱台,∴棱台的两底面是相似多边形,侧面都是梯形,侧棱延长后交于一点,故棱台具备A,B,D中的性质,不一定具备C中的性质,故选C.
4.D [解析] 对于选项A,长方体的相对侧面也互相平行,故A错误;对于选项B,其余各面的边延长后不一定交于一点,故B错误;对于选项C,当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是360°时,各侧面构成平面图形,故这个棱锥不可能为六棱锥,故C错误;对于选项D,显然存在所有棱长都相等的棱柱,故D正确.故选D.
5.B [解析] 把正方体还原如图,则上面是九,下面是市,左面是县,右面是联,前面是考,后面是区.故选B.
6.D [解析] 如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有2条,为AC1,AD1.同理从点B,C,D,E出发的对角线均有2条,则共有2×5=10(条)对角线.故选D.
7.B [解析] 设长方体中过同一个顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则ab=8,bc=12,ac=24,可得a=4,b=2,c=6,∴长方体的最短棱的长为2,则长方体可削成最大的正方体的棱长为2,∴各棱长均相等的四面体的棱长的最大值为正方体的面对角线的长,即为2.故选B.
8.ABC [解析] 对于A,B,四棱柱、四棱台都有2个底面,4个侧面,共6个面,它们都是六面体,A,B正确;对于C,五棱锥有1个底面,5个侧面,共6个面,是六面体,C正确;对于D,六棱锥有1个底面,6个侧面,共7个面,不是六面体,D不正确.故选ABC.
9.ACD [解析] 作出正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接A1B,D1C,四边形A1BCD1是矩形,故选项A正确;若4个顶点共面,则是平行四边形的4个顶点,不可能是梯形的4个顶点,故选项B错误;连接B1A,B1C,B1D1,AC,AD1,四面体B1-ACD1的四个面均是等边三角形,故选项C正确;连接BD,BD1,四面体D1-BCD的四个面均是直角三角形,故选项D正确.故选ACD.
10.12 [解析] 一个棱柱有10个顶点,则该棱柱为五棱柱,共有5条侧棱,且侧棱长都相等,故每条侧棱长为=12(cm).
11.3 [解析] 由棱锥、棱台的性质可知,棱台的上、下底面相似.又因为上、下底面的面积之比为1∶4,所以上、下底面的对应边之比为1∶2,所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶2,则棱台的高是3 cm.
12.4 [解析] 由题意知△AOB,△BOC,△COD是全等的等腰三角形.如图,将△AOB,△BOC,△COD展开到同一平面内,连接AD,则AE+EF+FD的最小值为AD.在△OAD中,OA=OD=4,∠AOD=3×30°=90°,则AD=OA=4,所以AE+EF+FD的最小值为4.
13.解:(1)如图①所示,三棱锥A1-AB1D1符合题意(答案不唯一).
(2)如图②所示,三棱锥B1-ACD1符合题意(答案不唯一).
(3)如图③所示,三棱柱A1B1D1-ABD符合题意(答案不唯一).
14.解:(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,
因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对.水的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余的几何体,此几何体是棱柱,不可能是棱台或棱锥.
15.B [解析] 还原该多面体,如图.由图可知,该多面体有7个顶点.故选B.
16.解:(1)根据题意得,四面体的棱数a=6,正八面体的顶点数b=6.
∵4+4-6=2,8+6-12=2,6+8-12=2,20+12-30=2,∴顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是V+F-E=2.
(2)由(1)可知,V+F-E=2,∵一个多面体的面数比顶点数小8,且有30条棱,∴V+V-8-30=2,解得V=20,故这个多面体的顶点数为20.
(3)∵有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,两点确定一条直线,∴共有48×3÷2=72(条)棱.设该多面体的面数为F,则48+F-72=2,解得F=26,∴x+y=26.第13章 立体几何初步
13.1 基本立体图形
13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
【学习目标】
1.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义.
◆ 知识点一 棱柱
1.棱柱的相关概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱柱 一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 图中的六棱柱可记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 底面:平移起止位置的两个面; 侧面:多边形的边平移所形成的面; 侧棱:相邻侧面的公共边
2.棱柱的分类
按底面多边形的边数来分,底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3. 棱柱的特点
棱柱的两个底面是全等的多边形且其对应边互相平行,侧面都是平行四边形.
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形. ( )
(2)上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱一定是正方体. ( )
2.观察螺栓头部模型(如图所示的六棱柱),它有多少个顶点 多少条棱 多少个面 能作为棱柱底面的有几对
◆ 知识点二 棱锥
1.棱锥的相关概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的空间图形叫作棱锥 图中的四棱锥可记作棱锥S-ABCD 底面:多边形; 侧面:有一个公共顶点的三角形; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:由棱柱的一个底面收缩而成
2.棱锥的分类:按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、….
3.棱锥的特点:棱锥的底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.
◆ 知识点三 棱台
1.棱台的相关概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分称为棱台 图中的四棱台可记作棱台 ABCD-A'B'C'D' 上底面:平行于棱锥底面的截面; 下底面:原棱锥的底面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧棱与上、下底面的公共点
2.棱台的分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥、…截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台、….
3.棱台的特点:棱台的两个底面是相似的多边形,侧面都是梯形,侧棱延长后相交于一点.
【诊断分析】 判断如图所示的空间图形是不是棱锥,为什么
◆ 知识点四 多面体
定义:由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体.
多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是四面体.
◆ 探究点一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1 (1) (多选题)下列关于棱柱的说法正确的是 ( )
A.棱柱的两个底面一定平行
B.棱柱至少有五个面
C.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D.长方体是四棱柱
(2)(多选题)下列说法中,正确的是 ( )
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥
C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D.棱台的侧面是等腰梯形
变式 [2024·广东佛山高一期中] 下列说法错误的是 ( )
A.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
B.棱台的各侧棱延长线必交于一点
C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台
D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形
[素养小结]
辨析棱柱、棱锥、棱台的结构特征主要抓住以下几个方面:(1)底面的形状,底面间的平行关系;(2)侧棱的相等关系、侧棱间的平行关系;(3)侧面的形状,侧面间的平行关系等.
◆ 探究点二 多面体的识别和判断
例2 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的几何体还是棱柱吗 如果是,是几棱柱 如果不是,说明理由.
变式 (多选题)[2024·江苏无锡高一期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱A1D1,C1D1上,且A1E=ED1,C1F=2FD1,过E,F的平面将正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分,则所得几何体可能是 ( )
A.三棱锥 B.三棱柱
C.三棱台 D.四棱柱
[素养小结]
解答此类问题的关键是正确掌握棱柱、棱锥、棱台的几何特征,在利用几何体的概念进行判断时,要紧扣定义,注意几何体间的联系与区别.不要认为底面就一定是所给图中位于上下位置的面.
◆ 探究点三 棱柱、棱锥、棱台的画法
例3 画一个三棱柱和一个四棱锥.
变式 画一个六面体:
(1)使它是一个四棱柱;
(2)使它是由两个三棱锥组成的;
(3)使它是五棱锥.
[素养小结]
在平面几何图形中,虚线表示作的辅助线,但在空间图形中,虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时,被遮挡的线作成虚线.
◆ 探究点四 多面体的平面展开图
例4 请画出如图所示的几何体的表面展开图.
例5 如图是空间几何体的展开图,请问各是什么空间几何体
变式 (1)如图所示,不是各棱长都相等的三棱锥的展开图的是 ( )
A.①③ B.②④
C.③④ D.①②
(2)如图,A,B,C是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图上的点,则在正方体盒子中,∠ABC= ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
[素养小结]
(1)绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原几何体:通常给出多面体的表面展开图来判断是由哪一个多面体展开得到的,求解时可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
拓展 [2024·安徽淮南高一期中] 如图,底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,四条侧棱相等,且PA=AB,E,F分别为棱PA和PC上的点,PE=3,PF=6,F处有只蚂蚁欲沿该四棱锥的侧面爬行到E处,求蚂蚁爬行的最短距离.第13章 立体几何初步
13.1 基本立体图形
13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
一、选择题
1.下列关于棱锥的说法正确的是 ( )
A.四棱锥共有四条棱
B.五棱锥共有五个面
C.六棱锥的顶点有六个
D.七棱锥的底面是七边形
2.[2024·扬州一中高一月考] 下列几何体为棱柱的是 ( )
A B C D
3.棱台不一定具备的性质是 ( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等
D.侧棱延长后交于一点
4.下列说法正确的是 ( )
A.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B.有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥
D.存在所有棱长都相等的棱柱
5.[2024·福州高一期中] 如图所示是一个正方体的表面展开图,则图中“九”在正方体中的对面是 ( )
A.县 B.市
C.联 D.考
6.在五棱柱中,不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线条数为 ( )
A.20 B.15
C.12 D.10
7.有一个长方体木块,过同一个顶点的三个面的面积分别为8,12,24,现将其削成一个各棱长均相等的四面体,则该四面体的棱长的最大值为 ( )
A.2 B.2
C.4 D.4
8.(多选题)下列几何体是六面体的有 ( )
A.四棱柱 B.四棱台
C.五棱锥 D.六棱锥
9.(多选题)在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点,它们可能是某些几何图形的4个顶点,这些几何图形可以是 ( )
A.矩形
B.等腰梯形
C.每个面都是等边三角形的四面体
D.每个面都是直角三角形的四面体
二、填空题
10.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为 cm.
11.用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,且截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是 cm.
12.如图,在四棱锥O-ABCD中,侧棱长均为4,且相邻两条侧棱所成的角均为30°,E,F分别是棱OB,OC上的点,则AE+EF+FD的最小值为 .
三、解答题
13.如图,试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;
(3)三棱柱.
14.如图所示,在一个长方体的容器中装有少量水,现将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中.
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗
(2)水的形状也不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗
15.如图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点个数为 ( )
A.6 B.7
C.8 D.9
16.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型,解答下列问题:
(1)根据上面的多面体模型,求表格中a,b的值,并写出顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式;
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 a
长方体 8 6 12
正八面体 b 8 12
正十二面体 20 12 30
(2)一个多面体的面数比顶点数小8,且有30条棱,求这个多面体的顶点数;
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,且有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体表面三角形的个数为x,八边形的个数为y,求x+y的值.
