(共32张PPT)
13.1 基本立体图形
13.1.3 直观图的斜二测画法
探究点一 平面图形的直观图
探究点二 空间图形的直观图的画法
探究点三 直观图的还原与计算
【学习目标】
1.了解平行投影的意义,掌握斜二测画法.
2.能用斜二测画法画出基本立体图形的直观图.
知识点一 水平放置的平面图形的直观图的画法
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）相等的角在直观图中相等.( )
×
[解析] 如正方形（四个内角都相等）的直观图为平行四边形
（相邻的内角互补,相对的内角相等）.
（2）水平放置的正方形的直观图还是一个正方形.( )
×
[解析] 水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形.
（3）水平放置的平面图形中相等的线段在直观图中仍相等.( )
×
[解析] 水平放置的正方形的直观图中邻边不相等.
知识点二 空间图形的直观图画法
（1）在空间图形中取互相垂直的轴和轴，两轴交于点，再取
轴，使，且.
（2）画直观图时把它们画成对应的轴、轴和 轴，它们相交于
点，并使（或），，轴和 轴
所确定的平面表示水平面.
（3）已知图形中平行于轴、轴或 轴的线段，在直观图中分别画
成平行于轴、轴或 轴的线段.
（4）已知图形中平行于轴或 轴的线段，在直观图中保持原长度不
变；平行于 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
直观图的作法可以总结为“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关
系不变”.
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如图所示是一个正方体的直观图.( )
×
[解析] 被遮挡住的三条棱应画为
虚线,如图所示.
（2）若如图所示是一个长方体的直观图
（阴影部分为底面）,则原长方体的高为2.( )
×
[解析] 原长方体中的高线与轴平行,而与 轴平行的线段在直观图中
长度都不变,所以原长方体的高还是1.
探究点一 平面图形的直观图
例1 画出如图所示的水平放置的直角梯形 的直
观图．
解：（1）在已知的直角梯形中，以底边所在直线为 轴，
垂直于的腰所在直线为 轴建立平面直角坐标系．
画出相应的轴和轴，使，如图①②所示．
（2）在轴上截取，在 轴上截取，
过点作轴的平行线，在上沿 轴正方向取点，
使得.连接 ，如图②．
（3）所得四边形就是直角梯形 的直观图，
如图③．
变式 如图所示，在中，,边上的高 ，
试用斜二测画法画出其直观图.
解：（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系 ，
再画出相应的轴和轴，使，如图②所示.
（2）在轴上截取， ；
在轴上截取，使 .
（3）连接,，擦去辅助线，得到 ，
即为 的直观图（如图③所示）.
［素养小结］
在画水平放置的平面图形的直观图时，关键点一：选取适当的直角
坐标系，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便
于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线
段来作出其对应线段.关键点二：确定多边形顶点的位置，借助于平
面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
探究点二 空间图形的直观图的画法
例2 用斜二测画法画出正六棱柱（底面为正六边形，侧面为矩形的
棱柱）的直观图．（尺寸自定）
解：如图所示.
①画轴.画出轴，轴，轴，
使， .
②画底面.画出水平放置的正六边形的直观图ABCDEF.
③画侧棱.过，，，，，各点分别作 轴的平行线，
并在这些平行线上分别截取长度相等的线段，，，
， ， .
④连线成图.顺次连接，，，，， ，
并加以整理，就得到正六棱柱的直观图．
变式 画底面半径为,高为 的圆锥的直观图.
解：（1）如图①所示,画轴、轴,使.
（2）以为中点,在轴上取线段,
使 .利用椭圆模板画椭圆,
使其经过, 两点,这个椭圆就是圆锥的底面的直观图.
（3）在上取点,使,连接, ,
并加以整理,即可得到圆锥的直观图,如图②所示.
［素养小结］
简单几何体直观图的画法
（1）画轴:通常以高所在直线为 轴建系.
（2）画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.
（3）确定顶点:利用与轴平行或在 轴上的线段确定有关顶点.
（4）连线成图.
探究点三 直观图的还原与计算
例3 已知水平放置的按照斜二测画法
画出的直观图为 ，如图所示,其中
,,画出 的原图并求其面积.
解：画出 的原图如图所示,其中,
, 则 .
变式（1） 如图所示是水平放置的 用斜二测画法得到的直观
图，其中，则 是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
√
[解析] 由水平放置的 用斜二测画法得到的直观图，
可知 如图所示,其中,
,.
由勾股定理得 ,
因为,
所以 是等腰三角形,不是等边三角形.
由大边对大角可知,中最大角的余弦值为 ,
即中最大的角是锐角,故 是锐角三角形,不是直角三角形.
综上所述,只有C选项正确,故选C.
（2）[2024·江阴高一期中]已知一个水平放置的四
边形 用斜二测画法画出的直观图是一个底角
为 的等腰梯形，如图，其中，
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，等腰梯形的高为 ，
可得等腰梯形的面积为，
所以四边形 的面积为 .
，，则四边形 的面积为 ( )
√
［素养小结］
由直观图还原为平面图形的关键是找与轴、 轴平行的直线或线段,
且平行于轴的线段还原时长度不变，平行于 轴的线段还原时放大
为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接
即可，由此可得，直观图面积是原图形面积的 .
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时要透彻理解“三变”
与“三不变”.
2.画空间几何体直观图的步骤
（1）在空间图形中取互相垂直的轴、轴,两轴交于点，再取 轴,
使且.
（2）把它们画成对应的轴、轴、轴,它们相交于点 ,使
（或）,,轴和 轴所确定的平面
表示水平面.
（3）画底面时,平行于轴的线段在直观图中长度不变,平行于 轴的
线段在直观图中长度减半.
（4）画侧棱（或高）时,平行于 轴的线段在直观图中长度不变.
（5）成图,顺次连接各个线段的端点,构成直观图（注意看得见的画
实线,看不见的画虚线）.
原图形与直观图的面积的计算
1.由原图形求直观图的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原图形中的
高,在直观图中变为与水平直线成 角且长度为原来一半的线段,这
样可得出所求图形相应的高.
例1 [2024·江苏无锡一中期中] 已知直角梯形
的上、下两底分别为2和4，高为 ，则利
用斜二测画法得到的其直观图的面积为( )
A. B. C.3 D.6
√
[解析] 根据斜二测画法作出梯形 的
直观图O'A'B'C'，如图，
，作轴于D，
则，又 ，轴，
.故选C.
2.若一个水平放置的平面多边形的面积为,它的直观图的面积为 ,则
.
例2 [2024·江苏扬州树人学校期中]如图，已知等
腰三角形 是一个平面图形的直观图，
，， ，则原平
面图形的面积是( )
A. B.1 C. D.
[解析] 是等腰直角三角形， ， ，
，，
原平面图形的面积是 .故选A.
√13.1.3 直观图的斜二测画法
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)如正方形(四个内角都相等)的直观图为平行四边形(相邻的内角互补,相对的内角相等).
(2)水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形.
(3)水平放置的正方形的直观图中邻边不相等.
知识点二
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)被遮挡住的三条棱应画为虚线,如图所示.
(2)原长方体中的高线与z轴平行,而与z轴平行的线段在直观图中长度都不变,所以原长方体的高还是1.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图①②所示.
(2)在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C',使得D'C'=DC.连接B'C',如图②.
(3)所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③.
变式 解:(1)在△ABC中建立如图①所示的平面直角坐标系xOy,再画出相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图②所示.
(2)在x'轴上截取O'B'=OB,O'C'=OC;
在y'轴上截取O'A',使O'A'=OA.
(3)连接A'B',C'A',擦去辅助线,得到△A'B'C',即为△ABC的直观图(如图③所示).
探究点二
例2 解:如图所示.
①画轴.画出x'轴,y'轴,z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°.
②画底面.画出水平放置的正六边形的直观图ABCDEF.
③画侧棱.过A,B,C,D,E,F各点分别作z'轴的平行线,并在这些平行线上分别截取长度相等的线段AA',BB',CC',DD',EE',FF'.
④连线成图.顺次连接A',B',C',D',E',F',并加以整理,就得到正六棱柱的直观图.
变式 解:(1)如图①所示,画x'轴、z'轴,使∠x'O'z'=90°.
(2)以O'为中点,在x'轴上取线段AB,使O'A=O'B=2 cm.利用椭圆模板画椭圆,使其经过A,B两点,这个椭圆就是圆锥的底面的直观图.
(3)在O'z'上取点V,使O'V=4 cm,连接VA,VB,并加以整理,即可得到圆锥的直观图,如图②所示.
探究点三
例3 解:画出△ABC的原图如图所示,其中∠ABC=90°,AB=BC=4,则S△ABC=×4×4=8.
变式 (1)C (2)A [解析] (1)由水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图,可知△ABC如图所示,其中AO=2A'O'=2,OB=OC=B'O'=C'O'=1,AO⊥BC.由勾股定理得AB=AC==,因为AB=AC=>2=BC,所以△ABC是等腰三角形,不是等边三角形.由大边对大角可知,△ABC中最大角的余弦值为=>0,即△ABC中最大的角是锐角,故△ABC是锐角三角形,不是直角三角形.综上所述,只有C选项正确,故选C.
(2)由题意可知,等腰梯形A'B'C'D'的高为=,可得等腰梯形A'B'C'D'的面积为×(1+2)×=,所以四边形ABCD的面积为2×=.13.1.3 直观图的斜二测画法
1.C [解析] 正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.
2.C [解析] 对于A,相等的角在直观图中不一定相等,如一个等腰直角三角形,画出直观图后不是等腰直角三角形,故A错误;对于B,相等的线段在直观图中不一定相等,如正方形在直观图中是平行四边形,邻边不相等,故B错误;对于C,水平放置的三角形的直观图仍然是三角形,故C正确;对于D,正方形的直观图不是正方形,故D错误.故选C.
3.B [解析] 根据斜二测画法可得AB⊥AC,AB=A'B',AC=2A'C',又A'B'=A'C',所以AC=2AB,所以△ABC是直角三角形且不是等腰三角形.故选B.
4.C [解析] 按1∶500的比例,长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合斜二测画法,可知直观图中长方体的长、宽、高和四棱锥的高对应的长度分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
5.D [解析] 根据题意,直观图正方形O'A'B'C'的面积S'=2×2=4,则原平面图形的面积是S=2S'=8,故选D.
6.C [解析] 方法一:如图所示,正三角形ABC的边长为4,则高为4×sin 60°=2,根据斜二测画法的知识,则直观图中三角形的高h=2××sin 45°=,B'C'=4,所以直观图的面积为×4×=.故选C.
方法二:边长为4的等边三角形的面积S=×4×4×sin 60°=4,所以其直观图的面积S'=S=×4=.
7.C [解析] 结合斜二测画法的规则,将直观图,即直角梯形O'A'B'C'还原成平面图形,如图所示,由A'B'∥O'C'可得AB∥OC,则OC=O'C'=3,AB=A'B'=2.由O'A'⊥O'C',∠B'O'C'=45°,A'B'∥O'C',可得∠B'O'A'=∠A'B'O'=45°,∠O'A'B'=90°,又O'A'=A'B'=2,所以OB=2O'B'=2×=4,由勾股定理可得AO==6,BC==,所以该平面图形的周长是2+6+3+=11+.故选C.
8.CD [解析] 如图①,当∠x'O'y'=135°时,其直观图是C;如图②,当∠x'O'y'=45°时,其直观图是D.故选CD.
9.AC [解析] 在△ABC中,AD⊥BC,D为BC的中点,则AB与AC相等,故A正确;AB=AC>AD,故B错误,C正确;BC的长度与AD的长度的大小关系不确定,故D错误.故选AC.
10.③ [解析] 对于①,矩形的直观图是平行四边形,不一定是矩形,故①错误;对于②,等腰三角形的直观图中,两腰对应长度不一定相等,∴等腰三角形的直观图不一定是等腰三角形,故②错误;对于③,根据斜二测画法的规则得到直观图中的平行关系不变,∴平行四边形的直观图一定是平行四边形,故③正确;对于④,菱形的直观图中,邻边的长度不一定相等,∴菱形的直观图不一定是菱形,故④错误.故填③.
11.矩形 8 [解析] 由题意结合斜二测画法,可得四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,OC=4 cm,∴四边形OABC的面积为2×4=8(cm2).
12. [解析] 如图所示,作CD⊥OA于D,BE⊥OA于E,则OD=EA==2,∴OD=CD=2.易知直观图O'A'B'C'是梯形,其高为×2×sin 45°=.
13.解:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图①.
(2)画底面.以O为中点,在x轴上取线段MN(MO=ON),使MN=4 cm,在y轴上取线段PQ(PO=OQ),使PQ=1.5 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是长方体的底面的直观图,如图②.
(3)画侧棱.过A,B,C,D四点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD',如图③.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D'(如图④),并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线),就可得到长方体的直观图,如图⑤.
14.解:(1)根据直观图还原平面图形ABCD,如图,
因为A'B'=3,B'C'=1,A'D'=3,
且A'D'∥B'C',
所以AB=3,BC=2,AD=6,且AD∥BC,AB⊥AD,
原平面图形ABCD为直角梯形,故原平面图形ABCD的面积为=12.
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的部分,如图.
15.8 [解析] 根据题意,设△ABC中,边AB上的高为h,设AB=x,则A'B'=AB=x.因为B'C'⊥x'轴,所以△A'B'C'的面积S'=×A'B'×B'C'=2x,又△ABC的面积S=×AB×h=xh,且S=2S'=4x,所以xh=4x,解得h=8,即△ABC的边AB上的高为8.
16.解:(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD,如图①;
①
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的一个侧面画三棱柱的直观图ADE-BCF,可得组合体的直观图,如图②.
②13.1.3 直观图的斜二测画法
【学习目标】
1.了解平行投影的意义,掌握斜二测画法.
2.能用斜二测画法画出基本立体图形的直观图.
◆ 知识点一 水平放置的平面图形的直观图的画法
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)相等的角在直观图中相等. ( )
(2)水平放置的正方形的直观图还是一个正方形. ( )
(3)水平放置的平面图形中相等的线段在直观图中仍相等. ( )
◆ 知识点二 空间图形的直观图画法
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴交于O点,再取z轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.
(2)画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴,它们相交于点O',并使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'=90°,x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面.
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.
直观图的作法可以总结为“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变”.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如图所示是一个正方体的直观图. ( )
(2)若如图所示是一个长方体的直观图(阴影部分为底面),则原长方体的高为2. ( )
◆ 探究点一 平面图形的直观图
例1 画出如图所示的水平放置的直角梯形(OB∥CD,OD⊥OB)的直观图.
变式 如图所示,在△ABC中,BC=8 cm,BC边上的高AD=6 cm,试用斜二测画法画出其直观图.
[素养小结]
在画水平放置的平面图形的直观图时,关键点一:选取适当的直角坐标系,一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键点二:确定多边形顶点的位置,借助于平面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可.
◆ 探究点二 空间图形的直观图的画法
例2 用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形,侧面为矩形的棱柱)的直观图.(尺寸自定)
变式 画底面半径为2 cm,高为4 cm的圆锥的直观图.
[素养小结]
简单几何体直观图的画法
(1)画轴:通常以高所在直线为z'轴建系.
(2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z'轴平行或在z'轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
◆ 探究点三 直观图的还原与计算
例3 已知水平放置的△ABC按照斜二测画法画出的直观图为△A'B'C',如图所示,其中B'C'=4,A'B'=2,画出△ABC的原图并求其面积.
变式 (1) 如图所示是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图,其中A'O'=B'O'=C'O'=1,则△ABC是 ( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
(2)[2024·江阴高一期中] 已知一个水平放置的四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A'B'C'D',如图,其中A'B'=2,C'D'=1,A'B'∥C'D',则四边形ABCD的面积为 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
由直观图还原为平面图形的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可,由此可得,直观图面积是原图形面积的.13.1.3 直观图的斜二测画法
一、选择题
1.利用斜二测画法画出水平放置的边长为3 cm的正方形的直观图,正确的是 ( )
A B C D
2.利用斜二测画法画直观图,下列结论正确的是 ( )
A.相等的角在直观图中仍然相等
B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.水平放置的三角形的直观图是三角形
D.水平放置的正方形的直观图是正方形
3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图,其中A'C'=A'B',A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,那么△ABC是 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
4.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样.已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和四棱锥的高对应的长度应分别为 ( )
A.4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cm
B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D.2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
5.一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示,此直观图恰好是一个边长为2的正方形,则原平面图形的面积为 ( )
A. B.4
C.8 D.8
6.[2024·盐城五校高一月考] 已知正三角形的边长为4,用斜二测画法画出该三角形的直观图,则所得直观图的面积为 ( )
A. B. C. D.2
7.如图,直角梯形O'A'B'C'满足O'A'⊥O'C',O'A'=A'B'=2,O'C'=3,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是 ( )
A.7+ B.5+2+
C.11+ D.10
8.(多选题)如图为水平放置的等腰三角形ABC,则下列四个图形中,可能是△ABC用斜二测画法得到的直观图的是 ( )
A B C D
9.(多选题)如图所示的△A'B'C'是根据斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图,D'为B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,那么在△ABC中,下列说法正确的是 ( )
A.AB与AC相等
B.AD的长度大于AC的长度
C.AB的长度大于AD的长度
D.BC的长度大于AD的长度
二、填空题
10.斜二测画法是绘制直观图的常用方法,下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是 .
①矩形的直观图一定是矩形;
②等腰三角形的直观图一定是等腰三角形;
③平行四边形的直观图一定是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
11.在用斜二测画法得到的如图所示的直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则原四边形OABC为 (填形状),其面积为 cm2.
12.如图所示,四边形OABC是上底长为2,下底长为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C',则直观图O'A'B'C'的高为 .
三、解答题
13.用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体的直观图.
14.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形ABCD的直观图,得到四边形A'B'C'D',如图所示,已知A'B'=3,B'C'=1,A'D'=3,且A'D'∥B'C'.
(1)求原平面图形ABCD的面积;
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周,判断所形成的几何体的形状.
15.[2024·武汉华师大附中期中] 如图,已知△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图,A'B'在x'轴上,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=4,则△ABC的边AB上的高为 .
16.现欲设计一个阁楼,该阁楼可近似地看作一个直四棱柱(侧面均为矩形的四棱柱)和一个三棱柱的组合体(三棱柱的一个侧面与直四棱柱的上底面重合),请用斜二测画法画出其直观图(尺寸自定).
