13.2 基本图形位置关系
13.2.1 平面的基本性质
【课前预习】
知识点一
2.②ABCD
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)平面是向四周无限延展的.
知识点三
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上,且这三个着地点不在同一条直线上,所以根据推论1知自行车有一个脚撑就可站稳.
(2)由线段AB在平面α内知,直线AB上至少有两点在平面α内,则由基本事实2知,直线AB在平面α内.
(3)由基本事实3知,两个平面的交线是一条直线.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)A∈α,B α,如图:
(2)M α,M∈a,如图:
(3)a α,a β(或α∩β=a),如图:
变式 (1)B [解析] 由题意知A∈b,b β,即A∈b β.
(2)解:在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在②中,α∩β=l,a α,b β,a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P.
探究点二
例2 证明:(1)分别延长D1F,DA,设交点为P,如图,∵P∈DA,DA 平面ABCD,∴P∈平面ABCD.
∵F是AA1的中点,FA∥D1D,
∴A是DP的中点,连接CP,
∵AB∥DC,∴CP,AB的交点为线段AB的中点,即为E,
∴CE,D1F,DA三线交于点P.
(2)连接CD1,在(1)的结论下,G是D1E上一点,FG交平面ABCD于点H,则FH 平面PCD1,∴H∈平面PCD1,又H∈平面ABCD,∴H∈平面PCD1∩平面ABCD,
同理,P∈平面PCD1∩平面ABCD,
E∈平面PCD1∩平面ABCD,
∴P,E,H都在平面PCD1与平面ABCD的交线上,
∴P,E,H三点共线.
变式 证明:(1)因为在梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰,所以AB,CD必定相交于一点.
设AB∩CD=M,因为AB α,CD β,
所以M∈α,M∈β,所以M∈α∩β.
又α∩β=l,所以M∈l,即AB,CD,l三线共点.
(2)连接BD,因为M∈AB,N∈AD,AB 平面ABD,AD 平面ABD,所以MN 平面ABD.
因为E∈CB,F∈CD,CB 平面CBD,CD 平面CBD,
所以EF 平面CBD.
因为直线MN与直线EF相交于点O,
所以O∈MN,O∈EF,所以O∈平面ABD,O∈平面CBD,
又平面ABD∩平面CBD=BD,所以O∈BD,
所以B,D,O三点共线.
探究点三
例3 证明:如图,在平面ABCD内,连接AE并延长,交DC的延长线于点M,则有CM=CD.
在平面PCD内,连接GF并延长,交DC的延长线于点M1.
取GD的中点N,连接CN,EF,
则由PG=PD可知PG=GN=ND.
∵点F为PC的中点,∴FG∥CN,即GM1∥CN,
∴在△GM1D中,CM1=CD,∴点M与点M1重合,
即AE与GF相交于点M,∴A,E,F,G四点共面.
变式 解:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵AA1∥CC1,∴AA1与CC1能确定一个平面.
(2)∵点B,C1,D不共线,
∴点B,C1,D能确定一个平面.
(3)如图,设 AC∩BD=O,CD1∩DC1=E,连接OC1,OE.
∵O∈AC,O∈BD,AC 平面AA1C1C,BD 平面BC1D,
∴O∈平面AA1C1C,O∈平面BC1D.
又C1∈平面AA1C1C,C1∈平面BC1D,
∴平面AA1C1C∩平面BC1D=OC1.
同理,平面ACD1∩平面BC1D=OE.
拓展 证明:分两种情况讨论:
①有三条直线过同一点,如图①所示.
∵A d,∴点A与直线d可以确定一个平面α,
又B,C,D∈d,∴B,C,D∈α,
∴AB α,AC α,AD α,
∴a,b,c,d四条直线共面.
②任意三条直线都不过同一点,如图②所示.
∵a∩b=A,∴直线a与直线b可以确定一个平面α,
又D,E∈b,B,C∈a,∴D,E∈α,B,C∈α.
由B,E∈α,得c α;由C,D∈α,得d α.
因此a,b,c,d四条直线共面.
综上,两两相交但不过同一点的四条直线共面.13.2 基本图形位置关系
13.2.1 平面的基本性质
1.C [解析] 由平面的概念可知选C.
2.D [解析] 点A在直线l上用符号表示为A∈l,直线l在平面α内用符号表示为l α.故选D.
3.B [解析] 对于选项A,经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面,故A可以确定一个平面.对于选项B,对边相等的四边形,对边有可能不在同一平面内,故B不能确定一个平面.对于选项C,经过两条相交直线有且只有一个平面,故C可以确定一个平面.对于选项D,经过两条平行直线有且只有一个平面,故D可以确定一个平面.故选B.
4.C [解析] 由题意知,D∈l,l β,∴D∈β.∵D∈AB,∴D∈平面ABC,即D在平面ABC与平面β的交线上.∵C∈平面ABC,C∈β,∴点C在平面β与平面ABC的交线上,∴平面ABC∩平面β=CD.
5.B [解析] 不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面.在同一条直线上的三个点所在的平面,就是以这条直线为轴,将过该直线的一个平面旋转任意角度所得的平面,所以有无数个平面.故选B.
6.D [解析] 一条直线和该直线外的一个点可以确定一个平面,故A不正确.当圆心和圆上两点共线时,圆心和圆上两点不能确定一个平面,故B不正确.如图①,a∩b=P,故直线a与b确定一个平面α,若c在平面α内,则直线a,b,c确定一个平面α;如图②,a∩b=P,故直线a与b确定一个平面α,若c不在平面α内,则直线a,b,c确定三个平面α,β,α.故C不正确.因为梯形的一组对边平行,所以梯形可以确定一个平面,故D正确.故选D.
7.D [解析] 当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β与γ没有交线时,α与β和γ各有1条交线,这三个平面有2条交线;当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,这三个平面有3条交线.故选D.
8.B [解析] 因为M∈PQ,直线PQ 平面PQR,M∈BC,直线BC 平面BCD,所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,所以M在平面PQR与平面BCD的交线上,同理可得N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上,所以M,N,K三点共线,所以①正确;因为N 平面PCM,所以②错误;因为BC∩NK=M,所以③错误.故选B.
9.BC [解析] 对于A,空间四点共面,如平面四边形的四个顶点,其中任何三点不共线,故A错误;对于B,空间四点不共面,如果有三点共线,那么这四个点就共面,与已知矛盾,故B正确;对于C,空间四点中恰有三点共线,根据直线与直线外一点确定一个平面,得此四点必共面,故C正确;对于D,空间四点中任何三点不共线,则此四点可能共面,如平面四边形的四个顶点,故D错误.故选BC.
10.P∈l [解析] 由m∩n=P,得P∈m,P∈n,又m α,n β,所以P∈α,P∈β,又α∩β=l,所以P∈l.
11.两条相交直线确定一个平面 [解析] 由于连接对“脚”的两条线段,看它们是否相交,就知道它们是否合格,所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.
12.(1)4 (2)7 [解析] (1)当这4个点为三棱锥的4个顶点时,可以确定的平面最多,此时可以确定4个平面.
(2)当这5个点为四棱锥的5个顶点时,可以确定的平面最多,此时可以确定7个平面.
13.解:(1)如图所示,在平面ADD1A1内延长D1F,交DA的延长线于点P,连接PB,则P∈平面BED1F.
因为DA 平面ABCD,所以P∈平面ABCD,所以P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点.又B是两平面的一个公共点,所以PB为两平面的交线.
(2)证明:因为AB的延长线交平面α于点P,
所以根据基本事实3,知平面ABC与平面α必相交于一条直线,设为直线l.
因为P∈直线AB,所以P∈平面ABC,
又因为AB∩α=P,所以P∈平面α,所以P是平面ABC与平面α的公共点.
因为平面ABC∩平面α=l,所以P∈l.同理可得Q∈l且R∈l,所以P,Q,R三点在同一条直线上.
14.证明:(1)∵b∥c,∴直线b,c可以确定一个平面α.
设a∩b=A,a∩c=B,
则A∈a,B∈a,A∈α,B∈α,∴a α,故直线a,b,c共面.
(2)∵AB≠A1B1,AB∥A1B1,∴四边形AA1B1B为梯形,∴AA1与BB1相交,设其交点为S,则S∈AA1,S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1,∴S∈平面BCC1B1.
同理可证,S∈平面ACC1A1,∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上,即S∈CC1,
∴AA1,BB1,CC1三线共点.
15.2 [解析] 如图,延长DC,AB,交于点G,连接PG,EG,则EG交PC于点F.∵AD∥BC,且AD=2BC,∴点B,C分别是AG,DG的中点,又∵点E是PD的中点,∴PC和GE是△PDG的中线,∴点F是△PDG的重心,∴=2.
16. [解析] 连接AF并延长交CC1的延长线于点M,连接ME交B1C1于点N,连接FN,如图,则线段FN即为过点A,E,F的截面与上底面A1B1C1的交线.因为F为A1C1的中点,所以===,所以MC1=CC1=.过点E作BC的平行线交CC1于点H,因为EH=(BC+B1C1)=,===,所以C1N=EH=.在△C1FN中,由余弦定理得FN==
=.13.2 基本图形位置关系
13.2.1 平面的基本性质
【学习目标】
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.
2.了解平面的基本性质,即基本事实1、基本事实2、基本事实3以及推论.
3.掌握空间中点与直线、点与平面位置关系的分类及表示,会利用平面的基本性质证明点共线、线共点等问题.
◆ 知识点一 平面
1.平面的概念:平面是从现实世界中抽象出来的,没有薄厚,是无限延展的.
2.平面的画法与表示
平面 水平放置 竖直放置
画法
表示 ①希腊字母:平面α,平面β,平面γ; ②平行四边形的四个顶点:平面 ; ③平行四边形的两个相对顶点:平面AC或平面BD
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面就是平行四边形. ( )
(2)两个平面拼在一起,要比一个平面大. ( )
(3)空间图形中,后引的辅助线都是虚线. ( )
◆ 知识点二 点、直线、平面之间的基本位置关系
位置关系 符号表示
点P在直线AB上 P∈AB
点C不在直线AB上 C AB
点M在平面AC内 M∈平面AC
点A1不在平面AC内 A1 平面AC
直线AB与直线BC交于点B AB∩BC=B
直线AB在平面AC内 AB 平面AC
直线AA1不在平面AC内 AA1 平面AC
◆ 知识点三 平面的基本事实及推论
1.基本事实
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α,使A,B,C∈α ①确定平面的依据; ②判定点、线共面
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 AB α ①确定直线在平面内的依据; ②判定点在平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 α∩β=l且P∈l ①判定两平面相交的依据; ②判定点在直线上
2.推论
文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 直线l,点A l 有且只 有一个平面α,使A∈α,l α
(续表)
文字语言 图形语言 符号语言
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 a∩b=P 有且只有一个平面α,使a α,b α
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α,使a α,b α
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)自行车有一个脚撑就可站稳. ( )
(2)若线段AB在平面α内,则直线AB可能不在平面α内. ( )
(3)两个平面的交线可能是一条线段. ( )
(4)若平面α与平面β有公共点,则公共点不只一个. ( )
◆ 探究点一 立体几何的三种语言的互相转化
例1 用符号表示下列语句,并画出相应的图形:
(1)点A在平面α内,点B在平面α外;
(2)直线a经过平面α外的一点M;
(3)直线a既在平面α内,又在平面β内.
变式 (1)若点A在直线b上,b在平面β内,则点A、直线b、平面β之间的关系可以记作 ( )
A.A∈b∈β B.A∈b β
C.A b β D.A b∈β
(2)如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
[素养小结]
用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先应仔细观察图形有几个平面、几条直线及相互之间的位置关系,先用文字语言求解,再用符号语言表示.
◆ 探究点二 共点、共线问题
例2 [2024·陕西咸阳期中] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.
(1)求证:CE,D1F,DA三线交于点P;
(2)在(1)的结论下,G是D1E上一点,若FG交平面ABCD于点H,求证:P,E,H三点共线.
变式 (1)如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β,求证:AB,CD,l三线共点.
(2)已知ABCD是空间四边形,如图所示,M,N,E,F分别是AB,AD,BC,CD上的点,若直线MN与直线EF相交于点O,证明:B,D,O三点共线.
[素养小结]
(1)证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再证明这一点在其余的直线上,在证明后者时,往往依据基本事实3,从而只需证明此点在两个平面的交线上.
(2)点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要证明依据是基本事实3,解决此类问题常用以下两种方法:
①首先找出两个相交平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上;
②选择其中两点,确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
◆ 探究点三 共面问题
例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别是BC,PC的中点,点G在PD上,且PG=PD,证明:A,E,F,G四点共面.
变式 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)AA1与CC1是否能确定一个平面
(2)点B,C1,D是否能确定一个平面
(3)画出平面AA1C1C与平面BC1D,平面ACD1与平面BC1D的交线.
[素养小结]
证明共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及推论.通常有两种方法:(1)先由部分元素确定一个平面,再证明其余元素也在该平面内;(2)先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
拓展 求证:两两相交但不过同一点的四条直线共面.13.2 基本图形位置关系
13.2.1 平面的基本性质
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.桌面是平面
B.一个平面的面积是26 m2
C.空间图形是由点、线、面构成的
D.用平行四边形表示平面,两个平面重叠在一起,比一个平面要厚
2.如果点A在直线l上,而直线l又在平面α内,那么可以记作 ( )
A.A l,l α B.A l,l∈α
C.A∈l,l∈α D.A∈l,l α
3.[2024·广东佛山高一期中] 下列条件不能确定一个平面的有 ( )
A.一条直线和直线外一点
B.对边相等的四边形
C.两条相交直线
D.两条平行直线
4.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C l,则平面ABC与平面β的交线是 ( )
A.AB B.AC
C.CD D.BC
5.经过同一条直线上的三个点的平面 ( )
A.有且仅有1个
B.有无数个
C.不存在
D.有且仅有3个
6.下列说法中正确的是 ( )
A.一条直线和一个点可以确定一个平面
B.圆心和圆上任意两点可以确定一个平面
C.两两相交的三条直线可以确定一个平面
D.梯形可以确定一个平面
7.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可能的交线有 ( )
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条 D.1条或2条或3条
8.[2024·福建泉州高一期中] 如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K,则下列说法中正确的个数是 ( )
①M,N,K三点共线;
②P,N,M,C四点共面;
③BC∥NK.
A.0 B.1
C.2 D.3
9.(多选题)[2024·盐城六校高一期中] 下列说法正确的是 ( )
A.空间四点共面,则其中必有三点共线
B.空间四点不共面,则其中任何三点不共线
C.空间四点中恰有三点共线,则此四点共面
D.空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面
二、填空题
10.已知α∩β=l,m α,n β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 .
11.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时,只需连接对“脚”的两条线段,看它们是否相交,就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是 .
12.(1)空间任意4个点,其中没有任何3个点共线,这4个点最多可以确定 个平面.
(2)空间任意5个点,其中有4个点共面,没有任何3个点共线,这5个点最多可以确定 个平面.
三、解答题
13.(1)如图①所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1和AA1的中点,画出平面BED1F和平面ABCD的交线.
(2)如图②,已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB,BC,AC延长后分别交平面α于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点在同一条直线上.
14.(1)已知直线b∥c,且直线a与直线b,c都相交,求证:直线a,b,c共面.
(2)如图,设△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,且AB≠A1B1,AB∥A1B1,BC∥B1C1,CA∥C1A1,求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
15.在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,E为PD的中点,平面ABE交PC于F,则= .
16.[2024·广州铁一中学月考] 在正三棱台A1B1C1-ABC(上、下底面均为正三角形,侧棱长相等)中,A1B1=1,AB=AA1=2,点E,F分别为棱BB1,A1C1的中点,若过点A,E,F作截面,则截面与上底面A1B1C1的交线的长度为 . (共46张PPT)
13.2 基本图形位置关系
13.2.1 平面的基本性质
探究点一 立体几何的三种语言的互相
转化
探究点二 共点、共线问题
探究点三 共面问题
【学习目标】
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.
2.了解平面的基本性质,即基本事实1、基本事实2、基本事实3以及推论.
3.掌握空间中点与直线、点与平面位置关系的分类及表示，会利用平
面的基本性质证明点共线、线共点等问题.
知识点一 平面
1.平面的概念:平面是从现实世界中抽象出来的,没有薄厚,是无限延
展的.
2.平面的画法与表示
平面 水平放置 竖直放置
画法 _________________________________________________________ _____________________
表示
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）平面就是平行四边形.( )
×
[解析] 平面是向四周无限延展的.
（2）两个平面拼在一起,要比一个平面大.( )
×
（3）空间图形中,后引的辅助线都是虚线.( )
×
知识点二 点、直线、平面之间的基本位置关系
位置关系 符号表示
知识点三 平面的基本事实及推论
1.基本事实
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实1 过不在一条直线 上的三个点，有 且只有一个平面 _________________________________________ ①确定平面
的依据；
②判定点、
线共面
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实2 如果一条直线上 的两个点在一个 平面内，那么这 条直线在这个平 面内 __________________________________________ ①确定直线
在平面内的
依据；
②判定点在
平面内
续表
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实3 如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线 _______________________________ ①判定两平
面相交的依
据；
②判定点在
直线上
续表
2.推论
文字语言 图形语言 符号语言
推论 1 经过一条直线和 这条直线外的一 点，有且只有一 个平面 _____________________________________________________
推论 2 经过两条相交直 线，有且只有一 个平面 _____________________________________________________
文字语言 图形语言 符号语言
推论 3 经过两条平行直 线，有且只有一 个平面 _____________________________________________________
续表
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）自行车有一个脚撑就可站稳.( )
√
[解析] 因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面
上,且这三个着地点不在同一条直线上,所以根据推论1知自行车有一
个脚撑就可站稳.
（2）若线段在平面内,则直线可能不在平面 内.( )
×
[解析] 由线段在平面内知,直线上至少有两点在平面 内,
则由基本事实2知,直线在平面 内.
（3）两个平面的交线可能是一条线段.( )
×
[解析] 由基本事实3知,两个平面的交线是一条直线.
（4）若平面与平面 有公共点,则公共点不只一个.( )
√
探究点一 立体几何的三种语言的互相转化
例1 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点在平面内，点在平面 外；
解：, ，如图：
（2）直线经过平面外的一点 ；
解：, ，如图：
（3）直线既在平面内，又在平面 内.
解：,（或 ），如图：
变式（1） 若点在直线上,在平面内,则点、直线、平面 之
间的关系可以记作( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，，即 .
√
（2）如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解：在①中，，， .
在②中，，，，，
， .
［素养小结］
用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先应仔细观察图形有几
个平面、几条直线及相互之间的位置关系，先用文字语言求解，再
用符号语言表示.
探究点二 共点、共线问题
例2 [2024·陕西咸阳期中] 如图所示，在正
方体中，， 分别是
， 的中点.
（1）求证：，，三线交于点 ；
证明：分别延长，，设交点为 ，如图，
，平面，平面 .
是的中点， ，
是的中点，连接 ，，
，的交点为线段 的中点，即为 ，
，，三线交于点 .
（2）在（1）的结论下，是上一点，若交平面于点 ，
求证：，， 三点共线.
证明： 连接，在（1）的结论下，
是 上一点，交平面于点，
则 平面，平面，
又 平面，平面平面 ，
同理，平面平面 ，平面平面 ，
，，都在平面与平面 的交线上，，， 三点共线.
变式（1） 如图,已知平面,,且 ,设
梯形中,,且, ,求证:
,, 三线共点.
证明：因为在梯形中,,
所以, 是梯形的两腰,所以, 必定相交于一点.
设,因为, ,
所以,,所以 .
又,所以,即,, 三线共点.
（2）已知是空间四边形，如图所示，，，，
分别是，，，上的点，若直线与直线 相
交于点，证明：，， 三点共线.
证明： 连接，因为，，平面 ，
平面，所以平面 .
因为，，平面，平面 ，
所以 平面 .
因为直线与直线相交于点 ，所以，，
所以平面， 平面 ，又平面平面，
所以 ，所以，， 三点共线.
［素养小结］
（1）证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再
证明这一点在其余的直线上,在证明后者时,往往依据基本事实3,从而
只需证明此点在两个平面的交线上.
（2）点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要证
明依据是基本事实3,解决此类问题常用以下两种方法:
①首先找出两个相交平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,
根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上;
②选择其中两点,确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
探究点三 共面问题
例3 如图,在四棱锥中,底面 为菱
形,,分别是,的中点,点在 上,且
, 证明:,,, 四点共面.
证明:如图,在平面内,连接 并延长,
交的延长线于点,则有 .
在平面内,连接并延长,交 的延长线于点 .
取的中点,连接, ，
则由可知 .
点为的中点,,即 , 在中,,
点与点 重合,即与相交于点,,,, 四点共面.
变式 如图所示，在正方体 中.
（1）与 是否能确定一个平面？
解：在正方体 中，
，与 能确定一个平面.
（2）点，， 是否能确定一个平面？
解： 点，， 不共线， 点，， 能确定一个平面.
（3）画出平面与平面，平面与平面 的交线.
解：如图，设 ，
，连接， .
，，
平面 ，平面 ，
平面，平面 .
又平面，平面 ，
平面平面 .
同理，平面平面 .
［素养小结］
证明共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据
是基本事实1、基本事实2及推论.通常有两种方法:（1）先由部分元
素确定一个平面,再证明其余元素也在该平面内;（2）先由有关的点、
线确定平面 ,再由其余元素确定平面 ,最后证明平面 , 重合.
拓展 求证:两两相交但不过同一点的四条直线共面.
证明：分两种情况讨论:
①有三条直线过同一点,如图①所示.
,点与直线可以确定一个平面 ,
又,,,,, ,,, ,
,,, 四条直线共面.
②任意三条直线都不过同一点,如图②所示.
,直线与直线可以确定一个平面 ,
又,,,,,,, .
由,,得;由,,得 .
因此,,, 四条直线共面.
综上,两两相交但不过同一点的四条直线共面.
1.符号语言在立体几何与集合中的差异
（1）用符号语言描述几何关系时,“,, ”等符号虽来源于集合符
号,但在读法上却用几何语言.例如,读作“点在平面 内”;
读作“直线在平面内”;读作“平面, 相交于直线 ”.
（2）在“,”中视为平面（集合）上的点（元素）,
（集合）视为平面 （集合）的子集.
（3）几何符号的用法原则上与集合符号的含义一致,但个别地方与集
合符号略有差异.例如:不再用直线来表示直线,交于点 ,
而简记为,这里的 既是一个点,又可以理解为只含一个元素
（点）的集合.
2.相交平面的画法:当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被
遮住部分的线画成虚线或者不画,以增强立体感.
3.基本事实1和三个推论是确定一个平面的方法.
1.点共线问题的解决方法:首先找出两个相交平面,然后证明这些点在
两个相交平面内,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上.
2.线共点问题的解决方法:先证两条直线相交,再证交点在其余各线上
（往往依据基本事实3）.
例1 如图所示,与 不在同一个
平面内,如果三条直线,, 两两相交,
求证:三条直线,, 交于一点.
证明：设与,与,与 分别确定平面,,,
与的交点为 ,
因为,,, ,
所以, ,即,
又,所以 ,
所以三条直线,, 交于一点.
3.点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要
依据是基本事实1、基本事实2及推论.通常有三种方法:（1）纳入平
面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内;（2）
辅助平面法（平面重合法）:先由有关的点、线确定平面 ,再由其余
元素确定平面 ,最后证明平面 , 重合;（3）反证法.
例2 如图所示,已知, ,
.求证:直线,, 在同一平面内.
证明：方法一（纳入平面法）:
,和确定一个平面 ., .
又, .同理可证.
又,, ,直线,, 在同一平面内.
方法二（辅助平面法）:
,和确定一个平面 .
,和确定一个平面 .
,, .,, .
同理可证,,, ,
不共线的三个点,,既在平面 内,又在平面 内.
平面和重合,即直线,, 在同一平面内.
