(共31张PPT)
13.2 基本图形位置关系
13.2.2 空间两条直线的位置关系
第2课时 异面直线
探究点一 异面直线的判断
探究点二 异面直线所成的角
【学习目标】
1.理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线.
2.掌握异面直线所成的角.
知识点一 异面直线的判断
1.定理
过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线
是异面直线.
2.判断异面直线的方法
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
定理法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不
经过该点的直线是异面直线
反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就
是异面直线
知识点二 异面直线所成的角
1.定义：如图，与是异面直线,经过空间任意一点，作直线 ,
,我们把直线与所成的________________叫作异面直线，
所成的角或夹角.
锐角（或直角）
2.求异面直线所成角的一般步骤
（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法（常用三角形的中位线
定理、平行四边形的性质）作出异面直线所成的角或其补角.
（2）证明：证明作出的角或其补角就是要求的角.
（3）计算：求角度，常利用三角形的边角关系，通过解三角形求解.
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成
的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
探究点一 异面直线的判断
例1（1） 在四棱锥 中，各棱所在的直线为异面直线的有
___对.
8
[解析] 与直线异面的有直线和 ，同理，底面的各条边所在
直线均与两条侧棱所在直线异面，故异面直线共有 （对）.
（2）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
成正方体，那么，，， 这四条线段所
在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解：还原的正方体如图所示.由图可知， ，
， 这四条线段所在直线中，是异面直线的
有三对，分别为与，与，与 .
变式 如图所示，在三棱锥中，， 是
棱上异于，的不同两点，，是棱 上
异于， 的不同两点，给出下列说法：
①与 为异面直线；
②与， 均为异面直线；
③与 为异面直线；
④与 为异面直线.
其中正确的说法是__________.（填序号）
①②③④
[解析] 因为直线平面,直线平面,点 平面,
点直线,所以由异面直线的判定定理可知, 与 为异面直线,
故①正确；同理,②③④正确.
［素养小结］
判定异面直线的方法
（1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相
交，即不可能同在同一个平面内.
（2）利用异面直线的判定定理.
（3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置
关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.
探究点二 异面直线所成的角
例2 [2024·江阴四校高一期中]在正方体中， 为
的中点，则异面直线与 所成的角为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图,连接,,设与 交于点,连接,
在正方体 中,易知,,
又, 分别为,的中点,所以 ,,
则四边形 为平行四边形,所以,
所以异面直线与 所成的角就是或其补角.
设正方体的棱长为2,可得 ,,,在 中,
由余弦定理得 ,
由,得 ,所以异面直线与所成的角是 .
故选C.
变式1（1） [2024·菏泽一中高一月考]如图，在三
棱锥中，为等边三角形，, 分别
为,的中点，则异面直线与 所成的角为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,分别为, 的中点，
所以，则或其补角是异面直线与所成的角.
因为为等边三角形，所以，
故异面直线 与所成的角为 .故选A.
√
（2）在三棱柱中,,,,, 分别是
和的中点,则异面直线与 所成的角为____.
[解析] 如图,取的中点,连接,,
, 分别为,的中点,,
则 （或其补角）为异面直线与 所成的角.
取的中点,连接,,则 且,
又且, 四边形为平行四边形,.
在 中,由,, ,
得,则 ,
,, ,
,,则,
可得,即异面直线与所成的角为.
变式2 如图所示,在空间四边形中,, ,
的中点分别是,,,且, ,
,证明: .
证明：,,分别为,,的中点,
,, 或其补角是异面直线与所成的角.
,, , ,,
异面直线与所成的角为 , .
［素养小结］
求异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为
两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习
立体几何的一条重要的思维途径.
1.求解异面直线所成的角问题的解题思路:把空间两条异面直线所成
的角通过平移转化为平面内相交直线所成的角,再求出该角.
2.两条直线垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直.
3.要证两条异面直线垂直,只需证这两条异面直线所成的角是直角.
1.判定或证明异面直线的方法有两种
（1）定义法:由定义法判定两直线不可能在同一平面内,常用反证法.
（2）判定定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不
经过该点的直线是异面直线.
例1 如图所示,在四面体中,,分别是棱, 上的
点,且.求证:直线与 是异面直线.
证明：设为上靠近的三等分点,连接 ,如图,
则,故 ,所以,,, 四点共面.
因为平面,平面,所以 平面,
又平面, ,所以直线与 是异面直线.
2.求异面直线所成的角的基本步骤:作（找）、证、求、答.
例2（1） 如图，在正方体
中，，分别为和 的中点，则异面直
线与 所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点,的中点,
连接,, ,如图.
因为,分别为,的中点,
所以, ,
则四边形为平行四边形,所以.
同理可得 ,
则或其补角为异面直线与所成的角.
设正方体的棱长为 ,
则,
,
,,
所以 ,
可得,故异面直线与所成角的正弦值为 .故选B.
（2）如图，在边长为4的正三角形中， ，
，分别为,,的中点，，分别为 ，
的中点，将沿，， 折成四面体
，,,重合于 ，则在此四面体中，异
面直线与 所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接,设的中点为,连接 ,,如图.
因为,分别为, 的中点,所以,
则 或其补角即为异面直线与 所成的角.
由题意知,四面体 的各棱长均为2,
因为为的中点,所以, ,
则,.
在 中,, ,
，
故 ，
故异面直线与所成的角的余弦值为 .故选B.第2课时 异面直线
【课前预习】
知识点二
1.锐角(或直角)
【课中探究】
探究点一
例1 (1)8 [解析] 与直线AB异面的有直线PD和PC,同理,底面的各条边所在直线均与两条侧棱所在直线异面,故异面直线共有4×2=8(对).
(2)解:还原的正方体如图所示.由图可知AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线中,是异面直线的有三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.
变式 ①②③④ [解析] 因为直线DC 平面BCD,直线AB 平面BCD,点B∈平面BCD,点B 直线DC,所以由异面直线的判定定理可知,AB与CD为异面直线,故①正确;同理,②③④正确.
探究点二
例2 C [解析] 如图,连接AC,BD,设AC与BD交于点Q,连接B1Q,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知BD∥B1D1,BD=B1D1,又P,Q分别为B1D1,BD的中点,所以PB1∥DQ,PB1=DQ,则四边形DQB1P为平行四边形,所以DP∥QB1,所以异面直线DP与B1C所成的角就是∠QB1C或其补角.设正方体的棱长为2,可得B1C=2,QC=,QB1=,在△B1QC中,由余弦定理得cos∠QB1C
====,由∠QB1C∈(0,π),得∠QB1C=,所以异面直线DP与B1C所成的角是.故选C.
变式1 (1)A (2)30° [解析] (1)因为M,N分别为PA,PB的中点,所以MN∥AB,则∠BAC或其补角是异面直线MN与AC所成的角.因为△ABC为等边三角形,所以∠BAC=,故异面直线MN与AC所成的角为.故选A.
(2)如图,取AB1的中点F,连接EF,DF,∵D,F分别为AC1,AB1 的中点,∴DF∥B1C1,则∠FDE(或其补角)为异面直线B1C1与DE所成的角.取AC的中点O,连接BO,DO,则DO∥CC1且DO=CC1,又BE∥CC1且BE=CC1,∴四边形DOBE为平行四边形,∴DE=BO.在△ABC中,由AB=1,AC=2,BC=,得AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC,∴OB=AC=1.∵DF=B1C1=BC=,EF=AB=,DE=OB=1,∴DF2+EF2=DE2,∴∠DFE=90°,则sin∠FDE==,可得∠FDE=30°,即异面直线B1C1与DE所成的角为30°.
变式2 证明:∵P,Q,R分别为AB,BC,CD的中点,∴PQ∥AC,QR∥BD,∴∠PQR或其补角是异面直线AC与BD所成的角.∵PQ=2,QR=,PR=3,∴PQ2+QR2=PR2,
∴∠PQR=90°,∴异面直线AC与BD所成的角为90°,
∴AC⊥BD.第2课时 异面直线
1.C [解析] 如图所示,正方体一共有12条棱,其中棱CC1,DD1,A1D1,B1C1所在直线都与棱AB所在直线异面.故选C.
2.A [解析] 两条异面直线指的是不同在任何一个平面内的两条直线,故A正确;在空间中不相交的两条直线可以平行或异面,故B错误;分别位于两个不同平面内的两条直线可以平行、相交或异面,故C错误;某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可以平行、相交或异面,故D错误.故选A.
3.D [解析] 两条异面直线在一个平面上的射影可以是两条相交直线、两条平行直线或一条直线和一个点.故选D.
4.B [解析] 连接A1C1,A1B,如图.因为A1C1∥AC,所以异面直线AC与BC1所成的角就是A1C1与BC1所成的角,即为∠BC1A1或其补角,又易知△BC1A1是等边三角形,所以
∠BC1A1=60°,所以异面直线AC与BC1所成的角为60°.故选B.
5.A [解析] 因为a,b为两条异面直线且a α,b β,α∩β=l,所以a与l共面,b与l共面,假设l与a,b都不相交,则a∥l,b∥l,所以a∥b,与a,b异面矛盾,故A正确;当a,b在如图所示的位置时,可知l与a,b都相交,故B,C,D错误.故选A.
6.A [解析] 如图,过点P作直线a',b',使a'∥a,b'∥b,则a'与b'的夹角为70°,不妨设a'与b'的夹角为∠APB,其补角为∠APC,则∠APB=70°,∠APC=110°,所以与a',b'的夹角相等的直线在a',b'所在平面上的射影与∠APB或∠APC的平分线所在直线重合.因为∠APB的平分线所在直线与a',b'的夹角均为35°,所以其他在a',b'所在平面上的射影与∠APB的平分线所在直线重合的直线与a',b'的夹角都大于35°.因为∠APC的平分线所在直线与a',b'的夹角均为55°,所以其他在a',b'所在平面上的射影与∠APC的平分线所在直线重合的直线与a',b'的夹角都大于55°.所以只有1条直线与a',b'的夹角均为35°,即只有1条直线与a,b的夹角均为35°.故选A.
7.D [解析] 记AB的中点为F,连接EF,A1F,如图,因为E为棱AC的中点,所以EF∥BC,易知EF=2,A1E=A1F==2,所以△A1EF为等腰三角形,∠A1EF为锐角,所以∠A1EF即为异面直线A1E与BC所成的角.记EF的中点为D,连接A1D,所以A1D⊥EF,则cos∠A1EF===,即异面直线A1E与BC所成角的余弦值为.故选D.
8.ABC [解析] 在选项A,B,C中的两直线均可能平行、相交、异面,故A,B,C中说法均错误;由异面直线的定义可知,D中说法正确.故选ABC.
9.BCD [解析] 将展开图还原为正方体,如图.对于A选项,直线EF和直线CD平行,不是异面直线;对于B选项,直线AB和直线HG是异面直线;对于C选项,直线EF和直线HG是异面直线;对于D选项,直线AB和直线CD是异面直线.故选BCD.
10.异面 [解析] ∵E 平面BCD,D∈平面BCD,BF 平面BCD,D BF,∴直线DE与BF是异面直线.
11.无数 [解析] 如图所示,过点P作直线l'使l'∥l,则易知以l'为轴且轴截面为等边三角形的圆锥的所有母线所在直线都与l成30°角.
12.或 [解析] 取BC的中点E,连接EM,EN,如图.∵M,E分别为AB,BC的中点,∴ME∥AC且ME=AC=1,同理可得EN∥BD且EN=BD=,∴∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,则∠MEN=45°或∠MEN=135°.在△MEN中,ME=1,EN=,若∠MEN=45°,则由余弦定理可得MN===;若∠MEN=135°,则由余弦定理可得MN===.综上所述,线段MN的长为或.
13.解:如图,过点A作AN∥OM,交圆O于点N,连接ON,PN,
则∠PAN或其补角即为异面直线OM与AP所成的角,
设 AO=ON=1,可知∠OAN=∠ONA,又∠AOM=∠OAN=30°,所以∠ONA=30°,则AN=.
因为轴截面PAB为等腰直角三角形,所以PA=PN=,
在△APN中,由余弦定理得,cos∠PAN===,所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.
14.证明:如图,取CC'的中点F,连接EF,BF,
∵E为AC的中点,F为CC'的中点,
∴EF∥AC',EF=AC'.
在正三棱柱ABC-A'B'C'中,AC'=2,则EF=,在等边三角形ABC中,BE==,
在Rt△BCF中,BF==.
在△BEF中,∵BE2+EF2=BF2,
∴BE⊥EF,∴BE⊥AC'.
15.B [解析] 对于选项A,在翻折过程中,BE与AE的夹角∠BEA=80°,始终不变,故A错误;对于选项B,∵AD∥EC,∴转化为判断BE和EC是否会垂直,易知翻折过程中BE和EC夹角的变化范围是(20°,180°),故存在某个位置使得BE⊥AD,故B正确;对于选项C,易知翻折过程中AB和AC夹角的变化范围是(20°,60°),故不存在某个位置使得AB⊥AC,故C错误;对于选项D,由于CD平行于翻折前的AB,故只需考虑翻折过程中AB'与翻折前的AB夹角的变化范围,又易知翻折过程中AB与翻折前的AB夹角的变化范围是(0°,80°),所以不存在某个位置使得AB⊥CD,故D错误.故选B.
16.解:(1)证明:∵△ABD为等边三角形,O为BD的中点,
∴AO⊥BD.
在△BCD中,∵O为BD的中点,BC⊥CD,
∴OC=BD=1.
在Rt△AOD中,AD=2,OD=1,∴AO=.
在△AOC中,AO=,OC=1,AC=2,则AO2+OC2=AC2,∴AO⊥OC.
(2)取AD,AC的中点分别为E,F,连接OF,EF,OE,如图.
①由(1)得OF=AC=1,AB=BD=2,
在△ACD,△ABD中,∵E,F,O分别为AD,AC,BD的中点,
∴OE∥AB,EF∥CD且OE=AB=1,EF=CD,
故异面直线AB与CD所成的角即为∠OEF或其补角,
在△BCD中,BC=CD,BD=2,BC⊥CD,则CD=,
∴EF=CD=.
在△OEF中,cos ∠OEF==,
故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
②∵异面直线AB与CD所成角的余弦值为,
∴由①可知|cos∠OEF|==,OE=1,OF=1,∴EF=,故CD=1.
在△BCD中,CD=1,BD=2,BC⊥CD,
∴BC=,故=.第2课时 异面直线
【学习目标】
1.理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线.
2.掌握异面直线所成的角.
◆ 知识点一 异面直线的判断
1.定理
过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.
2.判断异面直线的方法
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
定理法 过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
反证法 判定两条直线既不平行也不相交,那么这两条直线就是异面直线
◆ 知识点二 异面直线所成的角
1.定义:如图,a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的 叫作异面直线a,b所成的角或夹角.
2.求异面直线所成角的一般步骤
(1)构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形的中位线定理、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角或其补角.
(2)证明:证明作出的角或其补角就是要求的角.
(3)计算:求角度,常利用三角形的边角关系,通过解三角形求解.
(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
◆ 探究点一 异面直线的判断
例1 (1)在四棱锥P-ABCD中,各棱所在的直线为异面直线的有 对.
(2)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对 分别是哪几对
变式 如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F是棱AD上异于A,D的不同两点,G,H是棱BC上异于B,C的不同两点,给出下列说法:
①AB与CD为异面直线;
②FH与DC,DB均为异面直线;
③EG与FH为异面直线;
④EG与AB为异面直线.
其中正确的说法是 .(填序号)
[素养小结]
判定异面直线的方法
(1)定义法:利用异面直线的定义,说明两条直线不平行,也不相交,即不可能同在同一个平面内.
(2)利用异面直线的判定定理.
(3)反证法:假设两条直线不是异面直线,根据空间两条直线的位置关系,这两条直线一定共面,即可能相交或平行,然后推出矛盾即可.
◆ 探究点二 异面直线所成的角
例2 [2024·江阴四校高一期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则异面直线DP与B1C所成的角为 ( )
A. B. C. D.
变式1 (1)[2024·菏泽一中高一月考] 如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,M,N分别为PA,PB的中点,则异面直线MN与AC所成的角为 ( )
A. B.
C. D.
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分别是AC1和BB1的中点,则异面直线B1C1与DE所成的角为 .
变式2 如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=,PR=3,证明:AC⊥BD.
[素养小结]
求异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.第2课时 异面直线
一、选择题
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB所在直线异面的棱所在直线有 ( )
A.8条 B.6条
C.4条 D.3条
2.两条异面直线指的是 ( )
A.不同在任何一个平面内的两条直线
B.在空间中不相交的两条直线
C.分别位于两个不同平面内的直线
D.某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
3.两条异面直线在一个平面上的射影是 ( )
A.两条相交直线
B.两条平行直线
C.一条直线和一个点
D.以上都有可能
4.[2024·江苏泰州期末] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成的角为 ( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
5.若a,b为两条异面直线,α,β为两个不同的平面,a α,b β,α∩β=l,则下列结论中正确的是 ( )
A.l至少与a,b中一条相交
B.l至多与a,b中一条相交
C.l至少与a,b中一条平行
D.l必与a,b中一条相交,与另一条平行
6.[2024·江苏南京外国语学校期末] 异面直线a,b的夹角为70°,过空间一点P作直线l,使l与a,b的夹角均为35°,这样的直线条数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.[2024·江苏盐城五校联考] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=4,E为棱AC的中点,则异面直线A1E与BC所成角的余弦值为 ( )
A.- B.-
C. D.
8.(多选题)下列关于异面直线的说法错误的是( )
A.若a α,b β,则a与b是异面直线
B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
9.(多选题)[2024·江苏连云港高级中学月考] 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么下列各组直线中是异面直线的是 ( )
A.直线EF和直线CD
B.直线AB和直线HG
C.直线EF和直线HG
D.直线AB和直线CD
二、填空题
10.[2024·北京海淀区期末] 如图,已知E,F分别为三棱锥D-ABC的棱AB,DC的中点,则直线DE与BF的位置关系是 (填“平行”“异面”或“相交”).
11.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线有 条.
12.[2024·杭州外国语高一月考] 如图,在四面体A-BCD中,AC=2,BD=,AC与BD所成的角为45°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为 .
三、解答题
13.在圆锥PO中,轴截面PAB为等腰直角三角形,M为底面圆O上一点,∠AOM=30°,求异面直线OM与AP所成角的余弦值.
14.如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,E为棱AC的中点,AB=BB'=2.求证:BE⊥AC'.
15.如图①,在菱形ABCD中,AC,BD是其对角线,E是边BC上一点,且∠BAE=∠BAD=40°,将△BAE沿直线AE翻折,形成四棱锥B-AECD(如图②),则在翻折过程中,下列结论中正确的是 ( )
A.存在某个位置使得BE⊥AE
B.存在某个位置使得BE⊥AD
C.存在某个位置使得AB⊥AC
D.存在某个位置使得AB⊥CD
16.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABD为等边三角形,BD=AC,BC⊥CD,O为BD的中点,BD=2.
(1)证明:AO⊥OC;
(2)①当BC=CD时,求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
②当异面直线AB与CD所成角的余弦值为时,求的值.
