(共48张PPT)
13.2 基本图形位置关系
13.2.3 直线与平面的位置关系
第1课时 直线与平面平行
探究点一 直线与平面的位置关系的理解
与判断
探究点二 线面平行判定定理的应用
探究点三 线面平行性质定理的应用
【学习目标】
1.掌握直线与平面的位置关系的分类与表示.
2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理.
3.能够运用线面平行的判定定理和性质定理证明一些空间位置关
系的简单命题，明确线面、线线平行的转化.
知识点一 空间中直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系有且只有三种,如图所示:
（1）直线在平面内——直线与平面
有________公共点,直线 在平面 内,记作_______；
（2）直线与平面相交——直线与平面
______________公共点,直线与平面 相交于点 ,
记作__________；
无数个
有且只有一个
（3）直线与平面平行——直线与平面
______公共点,直线 与平面 平行,记作______.
没有
说明：我们把直线与平面 相交或平行的情况统称为直线在平面外，
记作 .
知识点二 直线与平面平行的判定定理
1.文字语言:如果________________与此平面内的一条直线平行,那么
该直线与此平面平行.该定理常表述为:线线平行,则线面平行.
符号语言: ______.
平面外一条直线
2.利用判定定理证明直线和平面 平行时,必须具备三个条件:
（1）直线不在平面内,即;
（2）直线在平面内,即 ;
（3）两直线,平行,即 .三个条件缺一不可.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平
面平行.( )
×
[解析] 只有当这条直线在这个平面外时,这条直线才与这个平面平行.
（2）过已知直线外一点有且仅有一个平面与该直线平行.( )
×
[解析] 过直线外一点可作唯一的一条直线与已知直线平行,而经过所
作直线的平面有无数个,根据直线与平面平行的判定定理知,这些平面
（除经过已知直线与所作直线的平面外）都与已知直线平行.
2.一块矩形木板（不计厚度）的一边在平面 内,把这块木
板绕转动,在转动过程中,的对边（不落在内）和平面 有
何位置关系
解：由直线与平面平行的判定定理可知, .
知识点三 直线和平面平行的性质定理
定理 图形表示 文字表示 符号表
示
直线与 平面平 行的性 质定理 _______________________________________________________ 一条直线与一个平面 _______，如果过该直线 的平面与此平面______， 那么该直线与__________ ________________________
平行
相交
交线平行
【诊断分析】
（1）如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和这个平面内的直
线有怎样的位置关系
解：平行或异面,如图所示.
（2）如果两条平行直线中的一条直线平行于一个平面,那么另一条直
线与这个平面有怎样的位置关系
解：当另一条直线与这个平面无公共点时,另一条直线与这个平面平行；
当另一条直线与这个平面有公共点时,另一条直线在这个平面内.
（3）若直线与平面 不平行,则直线就与平面 内的任意一条直
线都不平行,对吗
解：不对.若直线与平面不平行,则直线与平面相交或 .
当 时,内有无数条直线与直线 平行.
探究点一 直线与平面的位置关系的理解与判断
例1（1） 若直线上有一点在平面外,则下列结论正确的是( )
A.直线上所有的点都在平面外 B.直线上有无数多个点在平面外
C.直线上有无数多个点在平面内 D.直线上至少有两个点在平面内
[解析] 若直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,
故直线上有无数多个点在平面外.
√
（2）一条直线上有相异的三个点,,到平面 的距离相等,那么直
线与平面 的位置关系是( )
A. B. C.与相交 D.或
[解析] 当 时,直线上所有的点到 的距离都相等且不为0;
当时,直线上所有的点到的距离都是0;
当与相交时,直线 上到的距离相等且不为0的点有两个，
直线上到 的距离为0的点只有一个.故选D.
√
变式 [2024·浙江温州十校高一期中]设 是给定的平面，， 是不
在 内的任意两点，则下列说法中正确的是( )
A.在内一定存在直线与直线 相交
B.在内一定存在直线与直线 异面
C.直线一定与平面 平行
D.直线一定与平面 相交
√
[解析] 对于选项A,当直线平行于平面时，
在 内不存在与相交的直线,所以A错误；
对于选项B,C,D,因为, 是不在内的任意两点,
所以直线与平面平行或相交,
在 内一定存在直线与直线 异面,所以B正确,C,D错误.故选B.
［素养小结］
直线与平面位置关系的判断
（1）空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判
断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型（如正方体、长
方体等）也是解决这类问题的有效方法.
（2）要证明直线在平面内,只需证明直线上两点在平面内；要证明直
线与平面相交，只需证明直线与平面只有一个公共点；要证明直线
与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
探究点二 线面平行判定定理的应用
例2 如图,在正方体中,是棱 的中点.求证:
平面 .
证明：如图所示,连接 ,
设,连接 .
四边形是正方形,,
是 的中点,又是的中点, .
平面,平面 ,平面 .
例3 如图所示，四边形是平行四边形，是平面 外一
点，，分别是，的中点．求证：平面 .
证明：如图所示,取的中点,连接, .
,分别是,的中点, , .
为平行四边形的边 的中点,
,, ,
四边形为平行四边形, .
又平面,平面 ,平面 .
变式 [2024·广东茂名高新中学高一期中] 如图，在三棱柱
中，为的中点，点在线段上，且 ，
求证：平面 .
证明：连接交于,连接 ,如图.
因为侧面 为平行四边形,
所以,所以.
又 为的中点,所以 ,
又因为,所以 ,所以 .
又平面,平面 ,所以平面 .
以上步骤中,第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯
形中位线的性质,利用平行四边形的性质,利用基本事实4等.
［素养小结］
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的一般步骤：
探究点三 线面平行性质定理的应用
例4 如图所示，在四面体 中,用平行于棱
，的平面截此四面体，与，， ，
分别交于点，，， ，求证：截面
是平行四边形．
证明：因为平面，平面 平面，
且平面 ，所以由线面平行的性质定理知 .
同理，所以 .
同理可得 ，所以截面 是平行四边形．
变式 如图,在四棱锥中,,,点为 上一
点,为的中点,且平面.求证: .
证明：如图,连接,,
设 , ,连接 ,
平面,平面,
平面 平面, .
, , ,
, 点是的重心, 点是 的中点,
,, .
［素养小结］
利用线面平行的性质定理解题的一般步骤:
拓展 已知四棱锥中，底面为平行四边形，是 的
中点，是上一点.若平面，则 的值为__.
[解析] 如图,连接交于点,连接 .
因为,为的中点,所以 .
因为平面,平面 平面,
平面,所以 ,所以 .
1.直线与平面平行的判定定理解读
（1）直线与平面平行的判定定理可简述为“若线线平行,则线面平行”,
体现了转化的思想,即将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题.
（2）线面平行的判定定理包含三个条件“一内一外一平行”,这三个条
件缺一不可.
2.直线与平面平行的性质定理解读
（1）直线与平面平行的性质定理可简述为“若线面平行,则线线平行”.
（2）直线与平面平行的性质定理包含三个条件“一内一交一平行”,应
用该定理的关键是过直线作平面得到与平行平面的交线.
1.证明线面平行的关键是在平面内找与已知直线平行的直线.在具体
解题过程中,通常需要作辅助线,并利用题中已有的平行关系构造平行
四边形,或利用中位线的性质得到线线平行.
例1（1）如图,在长方体 中,
为的中点,为 的中点.
证明:平面 .
证明：如图所示,取的中点,连接, ,
因为为的中点,为 的中点,
所以且 ,
又为的中点,, ,
所以且,
所以四边形 为平行四边形,所以.
因为平面, 平面,所以 平面 .
（2）[2024·江苏南京外国语学校月考] 如图，在四棱锥 中，
底面为梯形，其中，且，点为棱 的中
点.求证：平面 .
证明：取的中点，连接， ，如图.
因为，分别为，的中点，
所以 ，且 ,
又因为，且 ，所以，且 ，
所以四边形为平行四边形，所以 ，
又因为平面，平面 ，所以平面 .
2.线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用,也就是通过线线平
行得到线面平行,再通过线面平行得到线线平行.利用线面平行的性质
定理解题的一般步骤:①确定（或寻找）一条直线平行于一个平面;②
确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面;③确定交线;④
由线面平行的性质定理得出线线平行的结论.
例2 如图,在三棱柱中,, 分别为
棱,的中点,过 作一个平面分别交底面
三角形的边,于点, ,则( )
A.
B.四边形 为梯形
C.四边形 为平行四边形
D.
√
[解析] 在平行四边形中,
, 分别为,的中点,
,,
又 平面,平面,
平面
平面,平面 平面,.
显然在中, ,,四边形 为梯形.故选B.
3.进一步学习关于线面位置关系的判定以及与性质有关的证明问题.
例3 [2024·杭州二中高一期中] 如图所示,
正方体 的棱长为2,
,分别为,的中点,点在棱 上,
且满足 .
（1）若,证明:平面 .
证明:连接 ,如图.当时,为 的中点,
又因为为的中点,所以 .
因为且 ,
所以四边形 为平行四边形,
所以,故 ,
又平面,平面 ,所以平面 .
（2）若点在线段上,且满足平面.当 时,求
长度的取值范围.
解：当时,为的中点,如图①,连接 ,交于点,连接 ,
连接,交于点,取的中点,连接 , .
因为,分别为,的中点,所以 ,
则为的中点,又为的中点,所以 .
因为且,
所以四边形 为平行四边形,所以,故 .
因为平面,平面平面 , 平面 ,
所以,所以和 重合,又 ,
所以此时 .
当时,与重合,如图②,连接,交于点,
连接,连接,交于点 ,
因为,分别为,的中点,
所以,所以 为 的中点.
在上取点使得,连接 , 因为为的中点,
所以 ,又,所以,又 ,
所以四边形为平行四边形,所以 ,即 .
因为平面,平面平面 ,
平面,所以,所以与 重合,
所以此时 .
综上可得,当时, 长度的取值范围为 .13.2.3 直线与平面的位置关系
第1课时 直线与平面平行
【课前预习】
知识点一
(1)无数个 a α (2)有且只有一个 a∩α=A
(3)没有 a∥α
知识点二
1.平面外一条直线 a∥α
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)只有当这条直线在这个平面外时,这条直线才与这个平面平行.
(2)过直线外一点可作唯一的一条直线与已知直线平行,而经过所作直线的平面有无数个,根据直线与平面平行的判定定理知,这些平面(除经过已知直线与所作直线的平面外)都与已知直线平行.
2.解:由直线与平面平行的判定定理可知,CD∥α.
知识点三
平行 相交 交线平行
诊断分析
解:(1)平行或异面,如图所示.
(2)当另一条直线与这个平面无公共点时,另一条直线与这个平面平行;当另一条直线与这个平面有公共点时,另一条直线在这个平面内.
(3)不对.若直线a与平面α不平行,则直线a与平面α相交或a α.当a α时,α内有无数条直线与直线a平行.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)D [解析] (1)若直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,故直线上有无数多个点在平面外.
(2)当l∥α时,直线l上所有的点到α的距离都相等且不为0;当l α时,直线l上所有的点到α的距离都是0;当l与α相交时,直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个,直线l上到α的距离为0的点只有一个.故选D.
变式 B [解析] 对于选项A,当直线MN平行于平面α时,在α内不存在与MN相交的直线,所以A错误;对于选项B,C,D,因为M,N是不在α内的任意两点所以直线MN与平面α平行或相交,在α内一定存在直线与直线MN异面,所以B正确,C,D错误.故选B.
探究点二
例2 证明:如图所示,连接BD,
设BD∩AC=G,连接EG.
∵四边形ABCD是正方形,BD∩AC=G,∴G是BD的中点,
又E是BB1的中点,∴B1D∥GE.
∵B1D 平面ACE,GE 平面ACE,
∴B1D∥平面ACE.
例3 证明:如图所示,取PD的中点G,连接GA,GN.
∵G,N分别是PD,PC的中点,∴GN∥DC,GN=DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点,∴AM=DC,AM∥DC,∴AM GN,
∴四边形AMNG为平行四边形,∴MN∥AG.
又∵MN 平面PAD,AG 平面PAD,∴MN∥平面PAD.
变式 证明: 连接MC交BD于E,连接NE,如图.
因为侧面ABCD为平行四边形,
所以AD∥BC,所以△DEM∽△BEC.又M为AD的中点,所以==2,
又因为NC=2PN,所以==2,所以PM∥NE.
又PM 平面BDN,NE 平面BDN,
所以PM∥平面BDN.
探究点三
例4 证明:因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理知AB∥MN.
同理AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP,
所以截面MNPQ是平行四边形.
变式 证明:如图,连接AC,FC,设AC∩BD=O,FC∩BE=M,连接OM,
∵AF∥平面BDE,AF 平面AFC,平面AFC∩平面BDE=OM,∴AF∥OM.
∵AD∥BC,AD=BC,
∴==,∴==,
∴点M是△PBC的重心,∴点E是PC的中点,
∴==,∴OM∥DE,∴AF∥DE.
拓展 [解析] 如图,连接AC交BE于点O,连接OF.因为AD∥BC,E为AD的中点,所以==.因为PA∥平面EBF,平面EBF∩平面PAC=OF,PA 平面PAC,所以PA∥OF,所以==.13.2.3 直线与平面的位置关系
第1课时 直线与平面平行
一、选择题
1.已知直线a在平面α外,则 ( )
A.a∥α
B.直线a与平面α至少有一个公共点
C.直线a与平面α恰有一个公共点
D.直线a与平面α至多有一个公共点
2.若A是直线m外一点,则过点A且与m平行的平面 ( )
A.存在无数个 B.不存在
C.存在但只有一个 D.只存在两个
3.下列命题中正确的个数为 ( )
①如果直线a,b满足a∥b,那么a平行于经过b的任何平面;②如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b;③如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b α,那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
4.在空间中,对于不同直线l,l1和平面α,若l∥α,则“l1∥l”是“l1 α”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,则在该长方体的6个面所在的平面中,与直线EF平行的平面有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.[2024·江苏连云港期中] 在空间四边形ABCD中,H,G分别为边BC,CD的中点,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶2,则 ( )
A.BD∥平面EFGH且四边形EFGH为矩形
B.HG∥平面ABD且四边形EFGH为菱形
C.HE∥平面ADC且四边形EFGH为梯形
D.EF∥平面BCD且四边形EFGH为梯形
7.如图所示,已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,点P是面AA1D1D的中心,点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为 ( )
A.1 B. C. D.
8.(多选题)如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,满足MN∥平面ABC的是 ( )
A B C D
9.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为线段AC,PC上的点(不包括端点),
且MN∥平面PAD,则 ( )
A.MN∥PD
B.MN∥平面PAB
C.MN∥AD
D.MN∥PA
二、填空题
10.如图,在三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC的位置关系为 .
11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧面BCC1B1(包括边界)上运动,则当点P满足条件 时,A1P∥平面BCD.
12.如图,已知圆锥的顶点为S,AB为底面圆的直径,M,C为底面圆周上的点,并将弧AB三等分(M靠近A),过AC作平面α,使SB∥α,设α与SM交于点N,则的值为 .
三、解答题
13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为B1C1的中点.证明:AC1∥平面A1BM.
14.[2024·淄博六中高一期中] 如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为梯形,AB∥DC,DC=2AB,G为棱CF上一点,GC=2FG.
(1)证明:AF∥平面BDG;
(2)证明:AB∥EF.
15.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,E,F分别是侧棱AA1,CC1上的动点,AE+CF=8,P在棱AA1上,且AP=2.若EF∥平面PBD,则CF= .
16.[2024·泰兴中学高一月考] 如图,四棱锥P-ABCD的底面为梯形,BC∥AD,AD=2BC,点E在棱PD上,且PD=3PE.
(1)证明:PB∥平面ACE;
(2)设平面BCEF与棱PA交于点F,证明:AF=2PF.13.2.3 直线与平面的位置关系
第1课时 直线与平面平行
1.D [解析] 因为直线a在平面α外,所以直线a与平面α平行或相交,则直线a与平面α至多有一个公共点,故选D.
2.A [解析] 过点A作直线m的平行线l,则经过直线l且不经过直线m的所有平面均与直线m平行,所以满足条件的平面有无数个.故选A.
3.B [解析] 对于①,如果直线a,b满足a∥b,那么a平行于经过b的平面或a在经过b的平面内,所以①错误;对于②,如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a与b平行、相交或异面,所以②错误;对于③,过直线a作平面β,交平面α于直线c,如图,根据线面平行的性质定理,可得a∥c,因为a∥b,所以b∥c,又因为b α,所以b∥α,所以③正确.故选B.
4.D [解析] 由l∥α,l1∥l,可得l1∥α或l1 α;由l∥α,l1 α,可得l1与l平行或异面.故“l1∥l”是“l1 α”的既不充分也不必要条件.故选D.
5.C [解析] ∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,∴EF∥CD,EF∥AB,EF∥A1B1,EF∥C1D1,又CD 平面CDD1C1,AB 平面ABCD,A1B1,C1D1 平面A1B1C1D1,∴由直线与平面平行的判定定理得EF∥平面CDD1C1,EF∥平面ABCD,EF∥平面A1B1C1D1,则满足条件的平面有3个.故选C.
6.D [解析] 如图,因为H,G分别为边BC,CD的中点,所以HG∥BD且HG=BD,又HG 平面ABD,BD 平面ABD,所以HG∥平面ABD.因为E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶2,所以EF∥BD且EF=BD,又EF 平面BCD,BD 平面BCD,所以EF∥平面BCD.同理可得BD∥平面EFGH.因为==,==,所以≠,所以HE与AC不平行,即HE与平面ADC不平行.因为EF∥HG且EF≠HG,所以四边形EFGH为梯形.故选D.
7.C [解析] 如图所示,连接AD1,AB1,∵PQ∥平面AA1B1B,PQ 平面AB1D1,平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1,∴PQ∥AB1,又点P为面AA1D1D的中心,∴点P为AD1中点,∴PQ=AB1=×=.
8.ABC [解析] 对于A,如图①所示,连接EF,易得AC∥EF,MN∥EF,则MN∥AC,又MN 平面ABC,AC 平面ABC,所以MN∥平面ABC,故A满足;对于B,如图②所示,G为所在棱的中点,连接GA,GC,GB,易得AG=BC,AG∥BC,则四边形ABCG为平行四边形,则A,B,C,G四点共面,又易知MN∥BG,且MN 平面ABC,BG 平面ABC,所以MN∥平面ABC,故B满足;对于C,如图③所示,点D为所在棱的中点,连接DA,DC,DB,易得四边形ABCD为平行四边形,则A,B,C,D四点共面,又易知MN∥BD,且MN 平面ABC,BD 平面ABC,所以MN∥平面ABC,故C满足;对于D,如图④,连接AM,BN,由已知条件及正方体的性质可知,四边形AMNB是等腰梯形,所以直线AB与MN相交,故直线MN与平面ABC不平行,故D不满足.故选ABC.
9.BD [解析] 因为MN∥平面PAD,MN 平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,所以由直线与平面平行的性质定理可得MN∥PA.因为MN 平面PAB,PA 平面PAB,所以MN∥平面PAB.因为MN∥PA,PA 平面PAD,MN∥平面PAD,PD,AD 平面PAD,PD∩AP=P,AD∩AP=A,所以PD与MN异面,AD与MN异面.故选BD.
10.平行 [解析] 连接AG并延长,交BC于点M,连接SM,则AG=2GM,又AE=2ES,所以EG∥SM.因为EG 平面SBC,SM 平面SBC,所以EG∥平面SBC.
11.P是CC1的中点(答案不唯一) [解析] 当P是CC1的中点时,易得A1D∥PC,A1D=PC,所以四边形A1DCP为平行四边形,所以A1P∥DC.又因为A1P 平面BCD,DC 平面BCD,所以A1P∥平面BCD,满足题意.(答案不唯一,所填条件只要满足点P在以棱BB1,CC1的中点为端点的线段上均可,证明方法与上面类似)
12. [解析] 如图,连接MB,交AC于点D,连接ND,NA,NC,MC,则平面NAC即为平面α.因为SB∥α,平面SMB∩α=DN,SB 平面SMB,所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径,点M,C将弧AB三等分,所以MC=BC=AB,∠ABC=60°,∠ABM=30°,则∠BMC=
∠MBC=30°,所以MC∥AB,所以==.又SB∥DN,所以==,所以=.
13.证明:如图,连接AB1,与A1B交于点O,连接OM,
在三棱柱ABC-A1B1C1中,
侧面ABB1A1为平行四边形,
所以O为AB1的中点,
又因为M为B1C1的中点,
所以OM∥AC1.
因为OM 平面A1BM,
AC1 平面A1BM,
所以AC1∥平面A1BM.
14.证明:(1)如图,连接AC,交BD于O,连接OG.
因为四边形ABCD为梯形,AB∥DC,DC=2AB,所以==,
又因为GC=2FG,所以==,所以AF∥OG,
因为OG 平面BDG,AF 平面BDG,所以AF∥平面BDG.
(2)因为AB∥DC,CD 平面CDEF,AB 平面CDEF,
所以AB∥平面CDEF.
因为AB 平面ABFE,平面CDEF∩平面ABFE=EF,
所以AB∥EF.
15.2 [解析] 如图,连接AC,交BD于点O,连接PO,过点C作CQ∥OP,交AA1于点Q.∵EF∥平面PBD,EF 平面EACF,平面EACF∩平面PBD=PO,∴EF∥PO.∵CQ∥OP,∴EF∥QC,又EQ∥CF,∴四边形EQCF为平行四边形,∴QE=CF.∵四边形ABCD是正方形,∴O是AC的中点,又CQ∥OP,∴PQ=AP=2.
∵AE+CF=AP+PQ+QE+CF=2+2+CF+CF=8,∴CF=2.
16.证明:(1)如图,连接BD,交AC于点O,连接EO.
因为AD∥BC,且AD=2BC,
则==,
又PD=3PE,
则==,
所以PB∥EO,
又PB 平面ACE,EO 平面ACE,
所以PB∥平面ACE.
(2)因为AD∥BC,AD 平面BCEF,BC 平面BCEF,
所以AD∥平面BCEF,
又AD 平面PAD,平面PAD∩平面BCEF=EF,
所以EF∥AD,则有==,即AF=2PF.13.2.3 直线与平面的位置关系
第1课时 直线与平面平行
【学习目标】
1.掌握直线与平面的位置关系的分类与表示.
2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理.
3.能够运用线面平行的判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题,明确线面、线线平行的转化.
◆ 知识点一 空间中直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系有且只有三种,如图所示:
(1)直线在平面内——直线a与平面α有 公共点,直线a在平面α内,记作 ;
(2)直线与平面相交——直线a与平面α 公共点,直线a与平面α相交于点A,记作 ;
(3)直线与平面平行——直线a与平面α 公共点,直线a与平面α平行,记作 .
说明:我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外,记作a α.
◆ 知识点二 直线与平面平行的判定定理
1.文字语言:如果 与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.该定理常表述为:线线平行,则线面平行.
符号语言: .
2.利用判定定理证明直线a和平面α平行时,必须具备三个条件:(1)直线a不在平面α内,即a α;(2)直线b在平面α内,即b α;(3)两直线a,b平行,即a∥b.三个条件缺一不可.
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行. ( )
(2)过已知直线外一点有且仅有一个平面与该直线平行. ( )
2.一块矩形木板(不计厚度)ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系
◆ 知识点三 直线和平面平行的性质定理
定理 图形表示 文字表示 符号表示
直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面 ,如果过该直线的平面与此平面 ,那么该直线与 a∥b
【诊断分析】 (1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系
(2)如果两条平行直线中的一条直线平行于一个平面,那么另一条直线与这个平面有怎样的位置关系
(3)若直线a与平面α不平行,则直线a就与平面α内的任意一条直线都不平行,对吗
◆ 探究点一 直线与平面的位置关系的理解与判断
例1 (1)若直线上有一点在平面外,则下列结论正确的是 ( )
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点在平面外
C.直线上有无数多个点在平面内
D.直线上至少有两个点在平面内
(2)一条直线l上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l∥α
B.l α
C.l与α相交
D.l∥α或l α
变式 [2024·浙江温州十校高一期中] 设α是给定的平面,M,N是不在α内的任意两点,则下列说法中正确的是 ( )
A.在α内一定存在直线与直线MN相交
B.在α内一定存在直线与直线MN异面
C.直线MN一定与平面α平行
D.直线MN一定与平面α相交
[素养小结]
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.
(2)要证明直线在平面内,只需证明直线上两点在平面内;要证明直线与平面相交,只需证明直线与平面只有一个公共点;要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点.
◆ 探究点二 线面平行判定定理的应用
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1的中点.求证:B1D∥平面ACE.
例3 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点,M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN∥平面PAD.
变式 [2024·广东茂名高新中学高一期中] 如图,在三棱柱ADP-BCQ中,M为AD的中点,点N在线段PC上,且NC=2PN,求证:PM∥平面BDN.
[素养小结]
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的一般步骤:
以上步骤中,第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质,利用平行四边形的性质,利用基本事实4等.
◆ 探究点三 线面平行性质定理的应用
例4 如图所示,在四面体ABCD中,用平行于棱AB,CD的平面截此四面体,与AC,BC,BD,AD分别交于点M,N,P,Q,求证:截面MNPQ是平行四边形.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=BC,点E为PC上一点,F为PB的中点,且AF∥平面BDE.求证:AF∥DE.
[素养小结]
利用线面平行的性质定理解题的一般步骤:
拓展 已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是AD的中点,F是PC上一点.若PA∥平面EBF,则的值为 .
