(共51张PPT)
13.2 基本图形位置关系
13.2.3 直线与平面的位置关系
第2课时 直线与平面垂直
探究点一 直线与平面垂直概念的理解
探究点二 直线与平面垂直的判定定理的
应用
探究点三 线面垂直的性质定理及应用
探究点四 点面距离与线面距离
【学习目标】
1.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.
2.能够运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命
题.了解平行垂直间的转化关系.
知识点一 直线与平面垂直
定义
记法 ______
有关概念
图示 _________________________________
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平
行四边形的一边垂直
任意一条
垂线
垂面
垂足
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直,那么它与该平面
垂直.( )
×
[解析] 由图①可知与 内无数条平行直线垂直，
但它与该平面不垂直，故错误.
（2）如果一条直线与一个平面不垂直,那么它与平面内任何一条直线
都不垂直.( )
×
[解析] 由图②可知与不垂直，但它可能与 内
无数条平行直线垂直，故错误.
（3）如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面内所有的直线都垂
直.( )
√
[解析] 由直线与平面垂直的定义知正确.
2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时间的
变化,其影子的位置在移动.随着时间的变化旗杆所在的直线与其影子
所在的直线的夹角是否发生变化 若不变,夹角为多少
解：由直线与平面垂直的定义知,随着时间的变化,旗杆所在的直线与
其影子所在的直线的夹角不变,为 .
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的______________直线垂
直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
图形语言 ________________________________________________
两条相交直线
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在线面垂直的判定定理中,平面内两条相交直线和已知直线 必
须有公共点.( )
×
[解析] 它们可以有公共点,也可以没有公共点.
（2）如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平
面垂直.( )
×
[解析] 在线面垂直的判定定理中,要求平面内的两条直线必须相交.
（3）若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则此直线与该三角形所
在平面垂直.( )
√
[解析] 因为三角形的任意两条边都相交,所以根据直线与平面垂直的
判定定理知,此直线与该三角形所在平面垂直.
知识点三 直线和平面垂直的性质定理
1.性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言
图形语言 _____________________________________________
平行
2.两种距离
（1）点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足
间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.
（2） 直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上
任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离.
【诊断分析】
（1）过一点有几条直线与已知平面垂直
解：一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂
直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，与这两条直线过
同一点矛盾，故过一点只有一条直线与已知平面垂直.
（2）两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也
垂直于这个平面吗
解：不垂直.假设另一条直线也垂直于这个平面，则根据直线与平面
垂直的性质定理知，这两条直线互相平行，与这两条直线是异面直
线矛盾，故另一条直线不垂直于这个平面.
知识点四 几种特殊的棱柱
1.直棱柱：________________的棱柱.
2.斜棱柱：__________________的棱柱.
3.正棱柱：________________的直棱柱.
4.平行六面体：__________________的四棱柱.
5.直平行六面体：________________的平行六面体.
6.长方体：____________的直平行六面体.
7.正方体：__________的长方体.
侧棱垂直于底面
侧棱不垂直于底面
底面是正多边形
底面是平行四边形
侧棱与底面垂直
底面是矩形
棱长相等
探究点一 直线与平面垂直概念的理解
例1 在下列条件中,能判定一条直线与一个平面垂直的是( )
A.这条直线垂直于该平面内的一条直线
B.这条直线垂直于该平面内的两条直线
C.这条直线垂直于该平面内的任意两条直线
D.这条直线垂直于该平面内的无数条直线
√
[解析] 由线面垂直的判定定理可得,一条直线与一个平面垂直的
条件是这条直线垂直于平面内的两条相交直线.
只有C选项满足题意,因为当这条直线垂直于该平面内的任意两条
直线时,这条直线也垂直于该平面内的两条相交直线.故选C.
变式 已知直线,和平面,且在 内,不在 内,则下列说法错误
的是( )
A.若,则存在无数条直线,使得
B.若,则存在无数条直线,使得
C.若存在无数条直线,使得,则
D.若存在无数条直线,使得,则
√
[解析] 对于A,若 ,则内存在无数条直线与 平行,故A中说法正确;
对于B,若,则垂直于 内的任意直线,故B中说法正确;
对于C,因为,,,所以 ,故C中说法正确;
对于D,若存在无数条直线,使得,则与 平行或相交（含垂直）,
故D中说法错误.故选D.
［素养小结］
（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要
注意理解.实际上,“任意一条”与“所有”表达相同的含义.当直线
与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,
如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就
一定不与这个平面垂直.
（2）由定义可得线面垂直线线垂直,即若, ,则 .
探究点二 直线与平面垂直的判定定理的应用
例2 如图,在三棱锥中,为的中点,, ,
.求证:平面 .
证明：如图,设是的中点,
连接 ,, .
是的中点,是 的中点,
, ,
又,,平面,
平面,平面 .
平面, ,又,,
平面,平面, 平面 .
变式1 如图，四棱锥中，底面为菱形， 平面
，，是的中点.求证：平面 .
证明：连接，因为底面 为菱形，
，所以 为正三角形.
因为是的中点，所以 ，
又，所以 .
因为平面，平面 ，
所以 ，又，
,平面 ，所以 平面 .
变式2 如图,在长方体 中,
,,为棱 的中点.
求证:平面 .
证明：易知平面 ,平面, .
在中,, ,
则有,,即 .
,平面,平面,平面 .
［素养小结］
（1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的一般步骤:
①在这个平面内找两条直线,使它们和已知直线垂直;
②确定这个平面内的两条直线是相交直线;
③根据判定定理得出结论.
（2）证明线面垂直的常用方法除利用判定定理外,还可用以下结论:
, .
拓展 （多选题）如图,垂直于圆 所在的平面,
是圆的直径,是圆上异于,的一点,, 分
别是,上的点,且, ,给出下列
结论,其中正确的有( )
A. 平面 B. 平面
C. D. 平面
√
√
√
[解析] 垂直于圆所在的平面,
在圆 所在的平面内,,
又,, 平面,
平面,平面 ,故A正确.
平面,平面,,
又 ,,平面,
平面,平面 ,故B正确.
平面, 平面,,
又 ,,平面,
平面, 平面 ,
又平面,,故C正确.
平面 ,且过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,
与平面 不垂直,故D不正确.故选 .
探究点三 线面垂直的性质定理及应用
例3 如图所示,已知平面 平面 ,
,垂足为, ,垂足为 ,直线
,,则直线与直线 的位置关系是
______.
平行
[解析] 平面平面,,又, .同理
,平面,平面, 平面
,,,又,,
平面,平面,平面, .
变式 如图,在正方体中,,分别为和 上的点,
且,.求证: .
证明：如图,连接, .在正方体中, ,
, ,又,,
平面 , 平面 , 平面 .
连接,,易知, ,
又,平面,
平面, 平面 . 平面, .
同理, 平面 ,又 平面, .
, 平面, 平面,
平面, .
［素养小结］
证明线线平行的常用方法
（1）利用线线平行的定义:证明共面且无公共点,
（2）利用基本事实4:证明两线同时平行于第三条直线.
（3）利用线面平行的性质定理:把证明线线平行转化为证明线面平行.
（4）利用线面垂直的性质定理:把证明线线平行转化为证明线面垂直.
探究点四 点面距离与线面距离
例4 在长方体中，,， .
（1）求点到平面 的距离；
解： 如图.
点到平面的距离为 .
（2）求直线到平面 的距离；
解：平面，平面，
到平面的距离为 .
1.直线与平面垂直概念的理解
（1）定义中强调的是垂直于平面内的任意一条直线（即所有直线）,
而不能用垂直于平面内的无数条直线来代替.
（2）若一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,则这条直线就一定
不与这个平面垂直.
（3）直线与平面垂直的定义既可用作线面垂直的判定,也可作为线面
垂直的性质.
2.直线与平面垂直的判定定理解读
（1）直线与平面垂直的判定定理可简述为“若线线垂直,则线面垂直”.
（2）在利用直线与平面垂直的判定定理时,一定要注意这条直线和平
面内的两条相交直线垂直（一交一内一垂直）.
3.直线与平面垂直的性质定理解读
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了一种证明两直线平行的方法,
即只需证明两条直线均与同一个平面垂直,反映了线线平行与线面垂
直逻辑上的相互转化,即“若线面垂直,则线线平行”.
（2）利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线,即使这些直线都
垂直于同一个平面.
1.证明线面垂直的方法:
（1）由线线垂直证明线面垂直:
①定义法（不常用）;②判定定理（最常用）,要着力寻找平面内的两
条相交直线（有时需要作辅助线）,使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法:
, ; , .
在证明中,要关注立体几何中平面图形的特点,比如等腰三角形、菱形、
矩形等,也要关注全等、勾股定理等初中几何知识的运用.
证明：在四棱锥中,底面 是矩形, ,
又,,平面, 平面,
平面 .平面, .
,是棱的中点, ,
又,平面, 平面,平面 .
例1 如图所示,在四棱锥中,
底面 是矩形,,,
是棱的中点.求证: 平面 .
例2 如图,四面体中,是的中点,和 均为等边三
角形,,.求证:平面 .
证明：连接,因为为等边三角形,
且 为的中点,所以 .
因为和均为等边三角形,
且为 的中点,,所以 ,
在中,可得 ,
所以,即 .
因为,平面, 平面,所以平面 .
2.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,
提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
例3 如图,和都垂直于平面,
且,,是 的中点.
（1）求证:平面 ;
证明：因为和都垂直于平面 ,
所以,又平面,平面 ,
所以平面 .
（2）求证:平面 .
证明： 如图,取的中点,连接, .
在中,,分别为, 的中点,
所以, ,
又, ,所以, ,
所以四边形 为平行四边形, 则 .
因为,为 的中点, 所以 .
因为平面,平面 ,所以,
又,平面,平面 ,
所以 平面 ,所以 平面 .
3.线面垂直与线线垂直互相转化
例4 [2024·江苏苏州期中] 如图，在四棱锥中，底面
为矩形，底面，，为棱的中点.求证：
平面 .
证明：因为底面为矩形,所以 .
因为底面,底面 ,所以 ,
又,,平面 ,所以平面 ,
又平面,所以 .
因为,为的中点,所以 ,
又,,平面,所以平面 .第2课时 直线与平面垂直
【课前预习】
知识点一
任意一条 a⊥α 垂线 垂面 垂足
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)由图①可知l与α内无数条平行直线垂直,但它与该平面不垂直,故错误.
(2)由图②可知l与α不垂直,但它可能与α内无数条平行直线垂直,故错误.
(3)由直线与平面垂直的定义知正确.
2.解:由直线与平面垂直的定义知,随着时间的变化,旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角不变,为90°.
知识点二
两条相交直线 m∩n
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)它们可以有公共点,也可以没有公共点.
(2)在线面垂直的判定定理中,要求平面内的两条直线必须相交.
(3)因为三角形的任意两条边都相交,所以根据直线与平面垂直的判定定理知,此直线与该三角形所在平面垂直.
知识点三
1.平行
诊断分析
解:(1)一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,即无公共点,与这两条直线过同一点矛盾,故过一点只有一条直线与已知平面垂直.
(2)不垂直.假设另一条直线也垂直于这个平面,则根据直线与平面垂直的性质定理知,这两条直线互相平行,与这两条直线是异面直线矛盾,故另一条直线不垂直于这个平面.
知识点四
1.侧棱垂直于底面 2. 侧棱不垂直于底面
3.底面是正多边形 4.底面是平行四边形
5.侧棱与底面垂直 6.底面是矩形 7.棱长相等
【课中探究】
探究点一
例1 C [解析] 由线面垂直的判定定理可得,一条直线与一个平面垂直的条件是这条直线垂直于平面内的两条相交直线.只有C选项满足题意,因为当这条直线垂直于该平面内的任意两条直线时,这条直线也垂直于该平面内的两条相交直线.故选C.
变式 D [解析] 对于A,若a∥α,则α内存在无数条直线与a平行,故A中说法正确;对于B,若a⊥α,则a垂直于α内的任意直线,故B中说法正确;对于C,因为a∥b,a α,b α,所以a∥α,故C中说法正确;对于D,若存在无数条直线b,使得a⊥b,则a与α平行或相交(含垂直),故D中说法错误.故选D.
探究点二
例2 证明:如图,设D是AB的中点,连接ED,∵EB=EA,∴ED⊥AB.
∵E是PB的中点,D是AB的中点,
∴ED∥PA,∴PA⊥AB,
又PA⊥AC,AB∩AC=A,AB 平面ABC,AC 平面ABC,∴PA⊥平面ABC.
∵BC 平面ABC,∴PA⊥BC,
又PC⊥BC,PA∩PC=P,PA 平面PAC,PC 平面PAC,∴BC⊥平面PAC.
变式1 证明:连接AC,因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.
因为E是BC的中点,所以AE⊥BC,
又AD∥BC,所以AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE 平面ABCD,所以PA⊥AE,
又PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以AE⊥平面PAD.
变式2 证明:易知BC⊥平面CDD1C1,
∵DE 平面CDD1C1,∴DE⊥BC.
在△CDE中,CD=2a,CE=DE=a,
则有CE2+DE2=CD2,∴∠DEC=90°,即DE⊥EC.
∵BC∩EC=C,BC 平面BCE,EC 平面BCE,∴DE⊥平面BCE.
拓展 ABC [解析] ∵PA垂直于圆O所在的平面,BC在圆O所在的平面内,∴PA⊥BC,又BC⊥AC,AC∩PA=A,AC 平面PAC,PA 平面PAC,∴BC⊥平面PAC,故A正确.∵AF 平面PAC,BC⊥平面PAC,∴AF⊥BC,又AF⊥PC,PC∩BC=C,PC 平面PCB,BC 平面PCB,∴AF⊥平面PCB,故B正确.∵AF⊥平面PCB,PB 平面PCB,∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,AE 平面AEF,AF 平面AEF,∴PB⊥平面AEF,又EF 平面AEF,∴EF⊥PB,故C正确.∵AF⊥平面PCB,且过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,∴AE与平面PCB不垂直,故D不正确.故选ABC.
探究点三
例3 平行 [解析] ∵平面α∩平面β=l,∴l α,又∵EA⊥α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.∵EA∩EB=E,EA 平面EAB,EB 平面EAB,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a β,∴EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,EB 平面EAB,AB 平面EAB,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.
变式 证明:如图,连接AB1,B1C.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D∥B1C,∵EF⊥A1D,∴EF⊥B1C,
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,AC 平面AB1C,B1C 平面AB1C,
∴EF⊥平面AB1C.
连接A1B,C1B,易知B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,
又BC1∩D1C1=C1,BC1 平面BC1D1,D1C1 平面BC1D1,∴B1C⊥平面BC1D1.
∵BD1 平面BC1D1,∴B1C⊥BD1.
同理,B1A⊥平面BA1D1,
又BD1 平面BA1D1,∴B1A⊥BD1.
∵B1A∩B1C=B1,B1A 平面AB1C,B1C 平面AB1C,∴BD1⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
探究点四
例4 解:如图.
(1)点A到平面BCC1B1的距离为AB=4.
(2)∵AB∥平面A1B1C1D1,AA1⊥平面A1B1C1D1,∴AB到平面A1B1C1D1的距离为AA1=2.第2课时 直线与平面垂直
1.C [解析] ∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.故选C.
2.B [解析] 若l⊥α,m α,则l⊥m一定成立,即必要性成立.若l⊥m,m α,则l⊥α不一定成立,只有当l垂直于平面α内的两条相交直线时,该结论才成立,故充分性不成立.综上所述,“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件.故选B.
3.B [解析] 如图,a不与α垂直,A是a上一点,C是a与α的交点,AB⊥α,B∈α,c α,故AB⊥c.若c⊥BC,则由AB∩BC=B,可得c⊥平面ABC,又a 平面ABC,所以c⊥a,故在平面α内与c平行的直线均与a垂直,这样的直线有无数条.故选B.
4.A [解析] 如图,取A1B1的中点F,连接C1F,易得C1F⊥平面ABB1A1.设FB1的中点为H,连接EH,则EH∥C1F,∴EH⊥平面ABB1A1,∴E到平面ABB1A1的距离为EH=C1F=.故选A.
5.B [解析] 在A中,若m α,n α,l⊥m,l⊥n,则l与α相交或l∥α或l α,故A错误;在B中,若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α,故B正确;在C中,若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n,故C错误;在D中,若m α,n⊥α,l⊥n,则l与m相交、平行或异面,故D错误.故选B.
6.B [解析] 连接AC,若MA⊥BD,因为MC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以MC⊥BD,又MA∩MC=M,MA,MC 平面MAC,故BD⊥平面MAC,又因为AC 平面MAC,所以BD⊥AC,故当BD⊥AC时,可推出MA⊥BD.所以MA与BD垂直的一个充分条件是“四边形ABCD为菱形”.故选B.
7.A [解析] 如图,过O作PQ的平行线OG,点G在上底面圆周上,在上底面所在平面上过O作OG⊥CD,点C,D均在上底面圆周上,过C,D分别作圆柱的母线CF,DE,连接EF.易知OG⊥ED,且ED∩CD=D,所以OG⊥平面CDEF,则PQ⊥平面CDEF.由题意得AB不在平面CDEF内,则当PQ⊥AB时,AB∥平面CDEF,结合旋转过程分析可知,有2次(当AB在图中A1B1或A2B2位置时)使得PQ⊥AB.故选A.
8.ABC [解析] 对于A,AB为体对角线,M,N,Q分别为所在棱的中点,由中位线定理可得,MN,MQ分别平行于所在面的一条对角线,作出它们所在面的另一条对角线,如图①,连接BQ,易得MN⊥平面ABQ,故AB⊥MN,同理得AB⊥MQ,又MN∩MQ=M,故AB⊥平面MNQ,故A中直线AB与平面MNQ垂直;对于B,易得AB⊥MN,AB⊥MQ,又MN∩MQ=M,∴AB⊥平面MNQ,故B中直线AB与平面MNQ垂直;对于C,易得AB⊥MN,AB⊥MQ,又MN∩MQ=M,∴AB⊥平面MNQ,故C中直线AB与平面MNQ垂直;对于D,如图②,C,D,E为正方体的三个顶点,连接CD,DE,EC,易得△CDE为等边三角形,可得 AB与MN所成的角为∠CDE=60°,∴直线AB与平面MNQ不垂直,故D中直线AB与平面MNQ不垂直.故选ABC.
9.BD [解析] 对于A,显然AD与C1E异面,故A错误;对于B,如图,取A1C1的中点F,连接DF,CF,易证DE∥CF,又DE 平面AA1C1C,CF 平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C,故B正确;对于C,取AB的中点G,连接DG,EG,假设DE⊥A1B1,因为DG⊥A1B1,DG∩DE=D,所以A1B1⊥平面DEG,又EG 平面DEG,所以A1B1⊥EG,所以AB⊥EG,显然不成立,故C错误;对于D,易证△AA1B∽△A1DA,所以A1B⊥AD,又易得C1D⊥平面AA1B1B,且A1B 平面AA1B1B,所以C1D⊥A1B,因为AD∩C1D=D,所以A1B⊥平面AC1D,故D正确.故选BD.
10.垂直 [解析] 桌面所在平面为平面α,由题意知AB⊥BC,AB⊥BE,且BC 平面α,BE 平面α,BC∩BE=B,所以AB⊥平面α.
11. [解析] 斜线l与平面α所成的角是,则直线l与平面α内所有直线所成的角中最小的角为,显然最大的角为,所以所求角的取值范围为.
12.外 [解析] 连接OA,OB,OC.因为O为P在平面ABC上的射影,所以PO⊥平面ABC,又OA,OB,OC 平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,即∠POA=∠POB=∠POC=.因为PO⊥平面ABC,所以∠PAO,∠PBO,∠PCO分别为PA,PB,PC与平面ABC所成的角.由已知可得∠PAO=∠PBO=∠PCO,又PO=PO=PO,所以△PAO≌△PBO≌△PCO,所以OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心.
13.证明:如图,取CE的中点G,连接FG,BG,
因为F为CD的中点,
所以FG∥DE,FG=DE,
因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE,所以FG∥AB,
又因为AB=DE,所以FG=AB,
所以四边形GFAB为平行四边形,所以AF∥BG.
因为AF 平面BCE,BG 平面BCE,
所以AF∥平面BCE.
14.证明:(1)∵底面ABCD为矩形,∴BC⊥AB,
∵PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,∴BC⊥PA,
又∵PA∩AB=A,PA 平面PAB,AB 平面PAB,
∴BC⊥平面PAB,又∵AE 平面PAB,∴AE⊥BC,
又AE⊥PB,PB∩BC=B,PB 平面PBC,BC 平面PBC,∴AE⊥平面PBC.
(2)∵AE⊥平面PBC,PC 平面PBC,∴AE⊥PC,
又AF⊥PC,AE∩AF=A,AE 平面AEFG,AF 平面AEFG,∴PC⊥平面AEFG,
又AG 平面AEFG,∴PC⊥AG.
∵底面ABCD为矩形,∴CD⊥AD,
∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,∴CD⊥PA,
∵AD∩PA=A,AD 平面PAD,PA 平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,又AG 平面PAD,∴CD⊥AG.
∵PC∩CD=C,PC 平面PCD,CD 平面PCD,
∴AG⊥平面PCD,又PD 平面PCD,∴AG⊥PD.
15.AC [解析] 由已知,得A1B1=B1C1,又D是A1C1的中点,所以B1D⊥A1C1.因为AA1⊥平面A1B1C1,B1D 平面A1B1C1,所以AA1⊥B1D,因为AA1∩A1C1=A1,所以B1D⊥平面AA1C1C,又CE 平面AA1C1C,所以B1D⊥CE.若CE⊥平面B1DE,则CE⊥DE.设AE=x(0≤x≤3a),则CE2=x2+4a2,DE2=a2+(3a-x)2,连接CD,则CD2=a2+9a2=10a2,由10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或x=2a.故选AC.
16.证明:(1)因为在正方形ABCD中,AP⊥AD,CD⊥CQ,
所以在三棱锥M-PDQ中,MP⊥MD,MD⊥MQ,
因为MP∩MQ=M,MP,MQ 平面MPQ,
所以MD⊥平面MPQ.
(2)设点M在平面PDQ上的射影为O,则MO⊥平面PDQ,又PD,PQ 平面PDQ,所以MO⊥PD,MO⊥PQ.
如图,连接DO并延长,与PQ交于点F,连接QO并延长,与PD交于点E.
因为在正方形ABCD中,BP⊥BQ,所以MP⊥MQ.
又MD⊥MQ,MD∩MP=M,MD,MP 平面MPD,所以MQ⊥平面MPD,
因为PD 平面MPD,所以MQ⊥PD.
因为MQ∩MO=M,MQ,MO 平面MOQ,所以PD⊥平面MOQ.
又QE 平面MOQ,所以QE⊥DP.
因为MD⊥平面MPQ,PQ 平面MPQ,所以MD⊥PQ,
又MO⊥PQ,MD∩MO=M,MD,MO 平面MDO,
所以PQ⊥平面MDO,
因为DF 平面MDO,所以PQ⊥DF.
故点M在平面PDQ上的射影为△PDQ的垂心.第2课时 直线与平面垂直
【学习目标】
1.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.
2.能够运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.了解平行垂直间的转化关系.
◆ 知识点一 直线与平面垂直
定义 如果直线a与平面α内的 直线都垂直,那么称直线a与平面α垂直
记法
有关 概念 直线a叫作平面α的 ,平面α叫作直线a的 ,垂线和平面的交点称为
图示
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直,那么它与该平面垂直. ( )
(2)如果一条直线与一个平面不垂直,那么它与平面内任何一条直线都不垂直. ( )
(3)如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面内所有的直线都垂直. ( )
2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时间的变化,其影子的位置在移动.随着时间的变化旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角是否发生变化 若不变,夹角为多少
◆ 知识点二 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号语言 a⊥m,a⊥n, =A,m α,n α a⊥α
图形语言
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在线面垂直的判定定理中,平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点. ( )
(2)如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平面垂直. ( )
(3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则此直线与该三角形所在平面垂直. ( )
◆ 知识点三 直线和平面垂直的性质定理
1.性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言 a∥b
图形语言
2.两种距离
(1)点到平面的距离:从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫作这个点到这个平面的距离.
(2) 直线和平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫作这条直线和这个平面的距离.
【诊断分析】 (1)过一点有几条直线与已知平面垂直
(2)两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面吗
◆ 知识点四 几种特殊的棱柱
1.直棱柱: 的棱柱.
2.斜棱柱: 的棱柱.
3.正棱柱: 的直棱柱.
4.平行六面体: 的四棱柱.
5.直平行六面体: 的平行六面体.
6.长方体: 的直平行六面体.
7.正方体: 的长方体.
◆ 探究点一 直线与平面垂直概念的理解
例1 在下列条件中,能判定一条直线与一个平面垂直的是 ( )
A.这条直线垂直于该平面内的一条直线
B.这条直线垂直于该平面内的两条直线
C.这条直线垂直于该平面内的任意两条直线
D.这条直线垂直于该平面内的无数条直线
变式 已知直线a,b和平面α,且b在α内,a不在α内,则下列说法错误的是 ( )
A.若a∥α,则存在无数条直线b,使得a∥b
B.若a⊥α,则存在无数条直线b,使得a⊥b
C.若存在无数条直线b,使得a∥b,则a∥α
D.若存在无数条直线b,使得a⊥b,则a⊥α
[素养小结]
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上,“任意一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
(2)由定义可得线面垂直 线线垂直,即若a⊥α,b α,则a⊥b.
◆ 探究点二 直线与平面垂直的判定定理的应用
例2 如图,在三棱锥P-ABC中,E为PB的中点,EB=EA,PA⊥AC,PC⊥BC.求证:BC⊥平面PAC.
变式1 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点.求证:AE⊥平面PAD.
变式2 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AD=a,AB=2a,E为棱C1D1的中点.求证:DE⊥平面BCE.
[素养小结]
(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的一般步骤:
①在这个平面内找两条直线,使它们和已知直线垂直;
②确定这个平面内的两条直线是相交直线;
③根据判定定理得出结论.
(2)证明线面垂直的常用方法除利用判定定理外,还可用以下结论:a∥b,a⊥α b⊥α.
拓展 (多选题)如图,PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上异于A,B的一点,E,F分别是PB,PC上的点,且AE⊥PB,AF⊥PC,给出下列结论,其中正确的有 ( )
A.BC⊥平面PAC B.AF⊥平面PCB
C.EF⊥PB D.AE⊥平面PCB
◆ 探究点三 线面垂直的性质定理及应用
例3 如图所示,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是 .
变式 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AC和A1D上的点,且EF⊥AC,EF⊥A1D.求证:EF∥BD1.
[素养小结]
证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行的定义:证明共面且无公共点,
(2)利用基本事实4:证明两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理:把证明线线平行转化为证明线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理:把证明线线平行转化为证明线面垂直.
◆ 探究点四 点面距离与线面距离
例4 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2.
(1)求点A到平面BCC1B1的距离;
(2)求直线AB到平面A1B1C1D1的距离;第2课时 直线与平面垂直
一、选择题
1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 ( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
2.已知两条不同的直线l,m和平面α,若m α,则“l⊥m”是“l⊥α”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2024·盐城期末] 如果直线a与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a垂直的直线 ( )
A.只有一条
B.有无数条
C.是平面α内的所有直线
D.不存在
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是边长为2的等边三角形,点E是B1C1的中点,则E到平面ABB1A1的距离为( )
A. B.1 C. D.
5.[2024·南京期末] 设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则 ( )
A.若m α,n α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
B.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α
C.若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l⊥n
D.若m α,n⊥α,l⊥n,则l∥m
6.如图,在四棱锥M-ABCD中,MC⊥平面ABCD,则MA与BD垂直的一个充分条件是 ( )
A.四边形ABCD为矩形
B.四边形ABCD为菱形
C.四边形ABCD为平行四边形
D.四边形ABCD为梯形
7.如图所示,一个灯笼由一根提竿PQ、一段连接绳QO和一个圆柱组成,提竿平行于圆柱的底面,O为圆柱上底面圆的圆心,在圆柱上、下底面圆周上分别有一点A,B,直线AB与圆柱的底面不垂直且与QO所在直线无交点,则在圆柱绕着其轴旋转一周的过程中,直线PQ与直线AB垂直的次数为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
8.(多选题)在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ垂直的是 ( )
A B C D
9.(多选题)[2024·江苏扬州期末] 已知正三棱柱A1B1C1-ABC中,AB=AA1,D,E分别为棱A1B1,BC的中点,则 ( )
A.AD∥C1E
B.DE∥平面AA1C1C
C.DE⊥A1B1
D.A1B⊥平面AC1D
二、填空题
10.将一本矩形书(厚度忽略不计)打开后竖立在桌面上(如图),则书页的连接处AB所在直线与桌面所在平面α的位置关系为 .
11.平面α的斜线l与平面α交于点A,且斜线l与平面α所成的角是,则l与平面α内所有不过点A的直线所成角的取值范围是 .
12.P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC上的射影.若PA,PB,PC与平面ABC所成的角相等,则O是△ABC的 .
三、解答题
13.[2024·江苏扬州高邮高一月考] 如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,DE=2AB,F为CD的中点.求证:AF∥平面BCE.
14.[2024·湛江期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.
(1)求证:AE⊥平面PBC;
(2)设平面AEFG交PD于点G,求证:AG⊥PD.
15.(多选题)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a(a>0),BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE的值可能是 ( )
A.a B.a
C.2a D.a
16.[2024·山东省实验中学高一月考] 如图①,在正方形ABCD中,P,Q分别是AB,BC的中点,将△APD,△PBQ,△CDQ分别沿PD,PQ,DQ折起,使A,B,C三点重合于点M(如图②).
(1)证明:MD⊥平面MPQ;
(2)证明:点M在平面PDQ上的射影为△PDQ的垂心.
