(共44张PPT)
13.2 基本图形位置关系
13.2.3 直线与平面的位置关系
第3课时 线面角、线面垂直的综合应用
探究点一 求直线与平面所成的角
探究点二 线面垂直的综合应用
【学习目标】
1.理解直线和平面所成的角的概念.
2.理解并熟练掌握线面垂直、线线垂直的转化，并能证明一些空
间位置关系的简单命题.
知识点一 直线与平面所成的角
1.斜线、射影的定义
（1）斜线：一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条
直线叫作这个平面的 ______，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上
一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的________.
斜线
斜线段
（2）射影：如图，过平面外一点向平面 引
斜线和垂线，那么过斜足和垂足的直线就是
斜线在平面内的射影，线段 就是斜线段在
平面 内的______.
射影
（3）常用结论：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，
那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.
2.直线与平面所成的角
（1）概念：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的______，
叫作这条直线与这个平面所成的角.
锐角
（2）规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；
如果一条直线与平面平行，或在平面内，那么称它们所成的角是 角.
（3）取值范围：设直线与平面所成的角为 ，则 的取值范围是
_____________.
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是 .( )
×
[解析] 平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是 ,
任意一条直线和平面所成的角的取值范围才是 .
（2）平面的一条斜线和平面内一条直线所成的锐角叫作这条直线和
这个平面所成的角.( )
×
[解析] 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直
线和这个平面所成的角.
（3）平面的斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条
直线所成的角中最小的角.( )
√
[解析] 如图,,斜线在平面 上的射影为,
为斜线与平面 所成的角,
为斜线与平面内除 外的任
意一条直线所成的角.
作 ,垂足为 , 则,.
因为,所以,故 .
知识点二 直线与平面垂直的判定
判定直线与平面垂直的常用方法
（1）利用直线与平面垂直的定义，即证明直线垂直于平面 内的
任意一条直线，从而得到直线平面 （一般不易验证任意性）.
（2）利用直线与平面垂直的判定定理，即如果一条直线与一个平面
内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直，简记为“线线垂
直 线面垂直” .
（3）利用平行线垂直平面的传递性质，即如果两条平行直线中的一
条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
.
探究点一 求直线与平面所成的角
例1 如图，在正方体 中.
（1）求与平面 所成的角；
解：在正方体 中,平面 ,
就是与平面 所成的角.
在中,, ,
,与平面 所成的角是 .
（2）求与平面 所成的角.
解：如图,连接,交于点 ,连接 .
平面, 平面,
,又,,
, 平面 ,平面 ,
就是与平面 所成的角.
设正方体的棱长为1,则 , ,,
,又, ,
与平面所成的角是 .
变式（1） 三棱锥中，，底面 是正三角
形，且 ，则该三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示,在三棱锥 中,因为,
所以在底面 上的射影为的中心,
连接,则底面,取的中点D,
连接,易知在 上,且，
所以即为侧棱与底面所成的角.
, ,在中, ,
即该三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值是 .故选C.
（2）如图,在三棱柱中,底面 是等边三角形,
且 底面,若,,求直线与平面
所成角的正弦值.
解：如图,取的中点,连接, .
因为在三棱柱中,底面 是等边三角形,
所以底面 是等边三角形,从而 .
因为平面,平面 ,所以 ,
又,平面, 平面 ,
所以平面 ,因此为直线与平面 所成的角.
因为, ,所以 .
［素养小结］
求直线与平面所成的角的一般步骤:
（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;
（2）垂足和斜足所在直线即为斜线在平面上的射影,斜线与其射影所
成的锐角即为所求的角;
（3）把该角放在某个三角形中,通过解三角形求出该角.
探究点二 线面垂直的综合应用
例2 如图,矩形是圆柱的一个轴截面,点
在圆上（异于,）,为 的中点.
（1）证明：平面 ;
证明：因为平面,平面 ,
所以 .
因为为圆的直径,所以 ，
又,平面,平面 ,
所以平面 .
（2）当直线与平面所成的角为 时,证明： 平面
.
证明： 因为平面,平面 ,所以,
易知即为直线与平面 所成的角,所以 ,
所以为等腰直角三角形, .
因为为的中点,所以 .
由（1）知, 平面 ,
又平面,所以,又,
平面,平面 ,所以平面 .
变式 如图，在正方体
中，为棱的中点，为棱 的中点．
（1）求证： ；
解：证明：连接, ,如图,由正方体的
性质可知, ,,
又, 平面,
平面 ,平面 .
又平面, .
（2）在棱上求一点，使得直线 平面 .
解：所求点即为 点，证明如下：
由（1）可知，取的中点 ，
连接， ，易知， ，
又，平面，
平面 ，平面 .
平面，.
又，平面 ，平面 ，
平面，即平面 .
［素养小结］
（1）证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线
垂直于另一条直线所在平面即可．
（2）证明的转化途径是线线垂直 线面垂直 线线垂直．
拓展 [2024·湖北新高考联合体高一期末]
如图，在三棱柱 中，底面
是等边三角形，侧面 是矩
形，，， 是
的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：由为等腰直角三角形斜边 的中点，
得 .
在三棱柱中，，
所以 ，
所以，即 .
因为侧面是矩形，所以 ，
又,平面,平面 ，
所以平面 .
（2）试在平面内确定一点，使得平面 ，并求
出线段 的长度.
解：如图,连接,交于点 ,连接 ,
因为 ,所以 ,
由（1）知平面，
又,所以平面 ,因为平面,
所以,所以 ,所以 .
又,平面,平面 ,
所以 平面 .
在平面内过点作 ,垂足为,
因为平面 ,所以 ,
又,, 平面 ,
所以平面 .
在中, , ,
所以 ,所以 .
由（1）知平面, 平面,
所以 ,则 .
在 中,由 ,
得 ,解得 .
1.确定点（或线）在平面内射影位置的常用方法
（1）如果一个角所在平面外一点到角两边的距离相等,那么这一点在
平面内的射影在这个角的平分线所在直线上.
（2）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线与这个角的两
边的夹角相等,那么斜线在这个平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
（3）在三棱锥 中,有下列结论:
①若,则点在平面 内的射影为 的外心;
②若点到,,的距离相等,则点 在平面内的射影为 的内心;
③若,,则点在平面内的射影为 的垂心.
2.最小角定理:直线与平面所成的角是该直线与平面内任意一条直线所成
的角中最小的角.证明如下:
如图所示,直线在平面内的射影为直线 ,平面，
为平面内与 不重合的任意一条直线,过点作,
垂足为,连接 ,下面只需说明 .
因为,, ,
,所以只需证明 ,即 .
因为与分别是 的直角边与斜边,所以.
综上可得 ,即直线与平面所成的角是该直线与平面内
任意一条直线所成的角中最小的角.
直线与平面所成角的计算步骤:（1）作出所求角;
（2）证明所作的角符合;（3）构造三角形并求角.
在求角过程中常用的方法:（1）直接法; （2）垂面法.
例1 在直三棱柱中， , ,
，则与平面 所成的角为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，由题意知， ，
又，， 平面 ，
所以 平面，
又，所以 平面，连接，
则即为 与平面所成的角.
不妨设 ，则，
，故，
可得 .故选A.
例2 如图，在四棱锥中， 底面, ,
,，点为棱 的中点.
（1）证明：平面 ；
证明：取的中点，连接, ，如图.
,分别是,的中点，
，且 .
又，且,,且 ，
四边形 为平行四边形， ，
又 平面, 平面, 平面 .
（2）求与平面 所成的角.
解：由（1）知，则与平面 所
成的角即为与平面 所成的角.
取的中点，连接，可得 ，
底面 ， 底面 ，
则即为与平面 所成的角.
,, ， ，
故与平面所成的角为 .
例3 如图所示,在三棱柱 中,侧棱
底面,且各棱长均相等,为 的中点.
（1）证明: 平面 ;
证明:因为底面是正三角形,为的中点,所以 .
因为侧棱 底面, 底面 ,所以 ,
又,， 平面，所以 平面 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
解：在平面内,过点作 ,
交的延长线于点,连接 ，如图.
因为 平面, 平面 ，
所以,又， ,
， 平面，所以 平面 ,
所以为直线与平面 所成的角.
设三棱柱的各棱长均为,可得 ,
由,易得 .
在中,可得 ,
所以直线与平面所成角的正弦值为 .第3课时 线面角、线面垂直的综合应用
1.B [解析] 若两条直线平行,则它们与同一个平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.
2.D [解析] 对于A选项,若l⊥m,m∥α,则l∥α,l α或l与α相交(不一定垂直),A错误;对于B选项,若l∥α,α∩β=m,则l与m平行或异面,B错误;对于C选项,若l⊥m,m α,则l∥α,l α或l与α相交(不一定垂直),C错误;对于D选项,因为l⊥β,m⊥β,所以l∥m,又因为m⊥α,所以l⊥α,D正确.故选D.
3.A [解析] 设点P在平面ABC内的射影为O,连接OA,OB,OC.∵PA=PB=PC,PO=PO=PO,∠POA=∠POB=∠POC=90°,∴△POA≌△POB≌△POC,∴OA=OB=OC,∴点O一定是△ABC的外心.故选A.
4.A [解析] ∠ABO即为直线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,
∠AOB=90°,所以cos∠ABO=,即∠ABO=60°.故选A.
5.C [解析] 由题意知,BD1与B1C异面.∵A1D1∥BC,BC∩平面AB1C=C,∴A1D1与平面AB1C相交.连接BD,在长方体ABCD - A1B1C1D1中,∵AB=BC,∴AC⊥BD,又易知AC⊥DD1,BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1.∵BD1 平面BDD1,∴AC⊥BD1.连接A1B,由AA1=2AB得A1B与AB1不垂直,假设BD1⊥平面AB1C,则BD1⊥AB1,又A1D1⊥AB1,A1D1∩BD1=D1,∴AB1⊥平面A1BD1,∴AB1⊥A1B,矛盾,假设不成立,故BD1与平面AB1C不垂直.故选C.
6.B [解析] 由题可得,AD∥BC,所以异面直线AD与BC1所成的角即为直线BC与BC1所成的角,即∠C1BC=,所以在Rt△BCC1中,CC1=BCtan∠C1BC=1×=.连接AC,如图,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱,所以CC1⊥平面ABCD,所以AC1与平面ABCD所成的角即为∠C1AC,在Rt△C1AC中,CC1=,AC==,所以tan∠C1AC===.故选B.
7.A [解析] 取BC的中点E,连接AE,DE,则DE⊥平面ABC,∴∠DAE为AD与平面ABC所成的角.设三棱柱的棱长为1,则AE=,DE=,∴tan∠DAE==,∴∠DAE=30°.故选A.
8.AD [解析] 易知A正确;B中θ的取值范围应为0°≤θ≤90°;C中这两条直线可能平行,也可能相交或异面;易知D正确.故选AD.
9.ABC [解析] 对于A,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,可得△A1BD为等边三角形,且AB=AA1=AD,所以三棱锥A-A1BD是正三棱锥,可得A在底面A1BD上的射影是△A1BD的中心,所以点H是△A1BD的垂心,所以A正确;对于B,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,可得BD∥B1D1,A1D∥B1C,因为AH⊥平面A1BD,BD,A1D 平面A1BD,所以AH⊥BD,AH⊥A1D,所以AH⊥B1D1,AH⊥B1C,又B1D1∩B1C=B1,所以AH⊥平面CB1D1,所以B正确;对于C,如图,连接AB1,AC1,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,可得A1B⊥AB1,因为B1C1⊥平面ABB1A1,且A1B 平面ABB1A1,所以A1B⊥B1C1,又因为AB1∩B1C1=B1,且AB1,B1C1 平面AB1C1,所以A1B⊥平面AB1C1,又因为AC1 平面AB1C1,所以AC1⊥A1B,同理可证AC1⊥BD,因为A1B∩BD=B,且A1B,BD 平面A1BD,所以AC1⊥平面A1BD,所以AH的延长线经过点C1,所以C正确;对于D,因为AH⊥平面A1BD,所以直线AH与平面A1BD所成的角为90°,所以D错误.故选ABC.
10.异面垂直 [解析] 如图,因为PC⊥α, 菱形ABCD在平面α内,所以PC⊥BD,BD⊥AC,又PC∩AC=C,所以BD⊥平面PAC,又PA 平面PAC,所以BD⊥PA,显然PA与BD异面,所以PA与对角线BD的位置关系是异面垂直.
11. [解析] 如图,连接AC,交BD于O,取OB的中点M,BC的中点N,连接MN,B1M,B1N,则MN∥AC,EC∥B1N.因为BB1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以BB1⊥AC,又AC⊥BD,BB1∩BD=B,BB1,BD 平面BB1D1D,所以AC⊥平面BB1D1D,所以MN⊥平面BB1D1D,因此∠MB1N为直线CE与平面BB1D1D所成的角.因为B1M 平面BB1D1D,所以MN⊥B1M.因为MN=OC=AC=,B1N==,所以B1M==,则cos∠MB1N==.
12.线段B1C [解析] 连接AB1,B1C,AC,在正方体中易得BD1⊥AB1,BD1⊥AC,因为AB1∩AC=A,所以BD1⊥平面B1AC,又平面B1AC∩平面BCC1B1=B1C,所以P为线段B1C上任何一点时,均有AP⊥BD1.
13.证明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,BD 平面ABD,BD,EF 平面BCD,
∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.
又PA∩PC=P,PA,PC 平面PAC,∴BD⊥平面PAC.
∵EF⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC 平面PAC,
∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD,∴=.
14.解:(1)因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,
所以PA⊥AB.
因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥AD,
又AP∩AD=A,AP,AD 平面ADEP,
所以AB⊥平面ADEP,
故∠BEA就是直线BE与平面ADEP所成的角.
因为AE 平面ADEP,所以AB⊥AE.
因为PA⊥平面ABCD,DE∥PA,所以DE⊥平面ABCD,
又DA 平面ABCD,所以DE⊥DA,
所以AE===2.
在Rt△ABE中,AB=2,所以BE===2,
所以cos∠BEA===,
所以直线BE与平面ADEP所成角的余弦值为.
(2)证明:因为PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以PA⊥AD,又DE∥PA,PA=2DE=2AD=4,
所以四边形ADEP为直角梯形,
所以PE=2,EA=2.
在△PEA中,PE2+EA2=PA2,则PE⊥EA.
因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以PA⊥AB.
在Rt△PAB中,PB==2,
在△PEB中,由(1)知BE=2,则PE2+BE2=PB2,
所以PE⊥EB,又EA∩EB=E,EA,EB 平面ABE,
所以PE⊥平面ABE.
15.B [解析] 根据题意,直线BP与平面ABCD所成的角等于直线BP与平面A1B1C1D1所成的角.如图,连接B1P,因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以∠BPB1为直线BP与平面A1B1C1D1所成的角,则∠BPB1=60°.因为BB1=1,所以PB1==,故点P的轨迹是以B1为圆心,为半径且位于面A1B1C1D1内的弧,又该弧所对的圆心角为,故所求点P的轨迹长度为×=π.故选B.
16.解:(1)证明:由题可得BP=AB=1,CP=CD=1,BM==,CM==.
如图,取BC的中点Q,连接PQ,MQ,
∵BP=CP=1,BM=CM=,Q为BC的中点,
∴BC⊥PQ,BC⊥MQ,
又MQ 平面PMQ,PQ 平面PMQ,MQ∩PQ=Q,
∴BC⊥平面PMQ,
又PM 平面PMQ,∴BC⊥PM.
(2)∵BP=CP=1,BC=AD=,
∴PB2+PC2=BC2,∴PB⊥PC.
∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥AM,即PB⊥PM,
又PM∩PC=P,PM 平面PMC,PC 平面PMC,
∴PB⊥平面PMC,
∴∠BCP为直线BC与平面PMC所成的角,
又sin∠BCP===,
∴直线BC与平面PMC所成角的正弦值为.第3课时 线面角、线面垂直的综合应用
【学习目标】
1.理解直线和平面所成的角的概念.
2.理解并熟练掌握线面垂直、线线垂直的转化,并能证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点一 直线与平面所成的角
1.斜线、射影的定义
(1)斜线:一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫作这个平面的 ,斜线与平面的交点叫作斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的 .
(2)射影:如图,过平面外一点P向平面α引斜线和垂线,那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影,线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的 .
(3)常用结论:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.
2.直线与平面所成的角
(1)概念:平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的 ,叫作这条直线与这个平面所成的角.
(2)规定:如果一条直线垂直于平面,那么称它们所成的角是直角;如果一条直线与平面平行,或在平面内,那么称它们所成的角是0°角.
(3)取值范围:设直线与平面所成的角为θ,则θ的取值范围是 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是[0°,90°]. ( )
(2)平面的一条斜线和平面内一条直线所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角. ( )
(3)平面的斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角. ( )
◆ 知识点二 直线与平面垂直的判定判定直线与平面垂直的常用方法
(1)利用直线与平面垂直的定义,即证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线,从而得到直线a⊥平面α(一般不易验证任意性).
(2)利用直线与平面垂直的判定定理,即如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直,简记为“线线垂直 线面垂直”(a⊥b,a⊥c,b α,c α,b∩c=M a⊥α).
(3)利用平行线垂直平面的传递性质,即如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面(a∥b,b⊥α a⊥α).
◆ 探究点一 求直线与平面所成的角
例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角;
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
变式 (1)三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,底面ABC是正三角形,且PA=AB=2,则该三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值是 ( )
A. B.
C. D.
(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,且AA1⊥底面ABC,若AB=2,AA1=1,求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值.
[素养小结]
求直线与平面所成的角的一般步骤:
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;
(2)垂足和斜足所在直线即为斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角即为所求的角;
(3)把该角放在某个三角形中,通过解三角形求出该角.
◆ 探究点二 线面垂直的综合应用
例2 如图,矩形ABCD是圆柱OO1的一个轴截面,点E在圆O上(异于A,B),F为DE的中点.
(1)证明:BE⊥平面DAE;
(2)当直线DE与平面ABE所成的角为45°时,证明:AF⊥平面BDE.
变式 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.
(1)求证:AE⊥DA1;
(2)在棱AA1上求一点G,使得直线AE⊥平面DFG.
[素养小结]
(1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题,即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可.
(2)证明的转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直.
拓展 [2024·湖北新高考联合体高一期末] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,侧面BCC1B1是矩形,AB=A1B=,AB⊥A1B,M是AA1的中点.
(1)求证:BB1⊥平面BMC;
(2)试在平面A1B1C内确定一点D,使得C1D⊥平面A1B1C,并求出线段C1D的长度.第3课时 线面角、线面垂直的综合应用
一、选择题
1.直线a与平面α所成的角为50°,b∥a,则直线b与平面α所成的角为 ( )
A.40° B.50°
C.90° D.150°
2.设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法中正确的是 ( )
A.若l⊥m,m∥α,则l⊥α
B.若l∥α,α∩β=m,则l∥m
C.若l⊥m,m α,则l⊥α
D.若l⊥β,m⊥β,m⊥α,则l⊥α
3.在三棱锥P-ABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的 ( )
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
4.如图所示,若斜线段AB的长是它在平面α内的射影BO的长的2倍,则直线AB与平面α所成的角是 ( )
A.60° B.45°
C.30° D.120°
5.如图所示,在长方体ABCD - A1B1C1D1中,AA1=2AB,AB=BC,则下列结论中正确的是 ( )
A.BD1∥B1C B.A1D1∥平面AB1C
C.BD1⊥AC D.BD1⊥平面AB1C
6.[2024·江苏淮安淮阴中学月考] 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,异面直线AD与BC1所成角的大小为,则直线AC1与平面ABCD所成角的正切值为 ( )
A.1 B.
C.3 D.
7.如图,三棱柱ABC - A1B1C1的各棱长均相等,且侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面ABC所成的角为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
8.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.平面的斜线与平面所成的角α的取值范围是0°<α<90°
B.直线与平面所成的角θ的取值范围是0°<θ≤90°
C.若两条不同的直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行
D.若两条直线互相平行,则这两条直线与一个平面所成的角相等
9.(多选题)[2024·江苏镇江实验中学高一月考] 如图,正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则以下说法中正确的是 ( )
A.点H是△A1BD的垂心
B.AH⊥平面CB1D1
C.AH的延长线经过点C1
D.直线AH和平面A1BD所成的角为45°
二、填空题
10.菱形ABCD在平面α内,PC⊥α,则PA与对角线BD的位置关系是 .
11.[2024·连云港高一期末] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=3,E为B1C1的中点,则直线CE与平面BB1D1D所成角的余弦值为 .
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是 .
三、解答题
13.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:=.
14.[2024·江阴四校高一期中] 如图,在多面体PABCDE中,PA⊥平面ABCD,DE∥PA,PA=2DE=2AD=4,四边形ABCD是正方形.
(1)求直线BE与平面ADEP所成角的余弦值;
(2)证明:PE⊥平面ABE.
15.[2024·广东东莞期中] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P为正方形A1B1C1D1内的动点,则满足直线BP与平面ABCD所成的角为60°的点P的轨迹长度为 ( )
A. B.π
C. D.π
16.如图,已知矩形ABCD中,AB=1,AD=,M为AD的中点,现分别沿BM,CM将△ABM和△DCM折起,使点A,D重合于点P.
(1)求证:BC⊥PM;
(2)求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.第3课时 线面角、线面垂直的综合应用
【课前预习】
知识点一
1.(1)斜线 斜线段 (2)射影 2.(1)锐角 (3)0°≤θ≤90°
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是(0°,90°),任意一条直线和平面所成的角的取值范围才是[0°,90°].
(2)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.
(3)如图,OB⊥α,斜线AO在平面α上的射影为AB,θ(0°<θ<90°)为斜线与平面α所成的角,θ1(0°<θ1≤90°)为斜线与平面α内除AB外的任意一条直线AC所成的角.作OC⊥AC,垂足为C,则sin θ=,sin θ1=.因为OB【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AA1D1D,
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角.
在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1,∴∠AA1B=45°,∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)如图,连接A1C1,交B1D1于点O,连接BO.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1O 平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1O,
又∵A1O⊥B1D1,BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1 平面BB1D1D,
∴A1O⊥平面BB1D1D,
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1,则A1B=,A1O=,
∵∠A1OB=90°,∴sin∠A1BO==,
又0°≤∠A1BO≤90°,∴∠A1BO=30°,
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
变式 (1)C [解析] 如图所示,在三棱锥P-ABC中,因为PA=PB=PC,所以P在底面ABC上的射影为△ABC的中心O,连接OP,则OP⊥底面ABC,取AB的中点D,连接CD,易知O在CD上,且OC=CD,所以∠PCD即为侧棱PC与底面ABC所成的角.OC=CD=,OP==,在Rt△POC中,sin∠PCD==,即该三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值是.故选C.
(2)解:如图,取A1B1的中点M,连接C1M,BM.
因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,所以底面A1B1C1是等边三角形,从而C1M⊥A1B1.
因为AA1⊥平面A1B1C1,C1M 平面A1B1C1,所以AA1⊥C1M,
又AA1∩A1B1=A1,AA1 平面ABB1A1,A1B1 平面ABB1A1,所以C1M⊥平面ABB1A1,
因此∠C1BM为直线BC1与平面ABB1A1所成的角.
因为C1B==,C1M=,
所以sin∠C1BM==.
探究点二
例2 证明:(1)因为DA⊥平面ABE,BE 平面ABE,
所以DA⊥BE.
因为AB为圆O的直径,所以BE⊥AE,
又DA∩AE=A,DA 平面DAE,AE 平面DAE,所以BE⊥平面DAE.
(2)因为DA⊥平面ABE,AE 平面ABE,
所以DA⊥AE,易知∠DEA即为直线DE与平面ABE所成的角,所以∠DEA=45°,
所以△DAE为等腰直角三角形,AD=AE.
因为F为DE的中点,所以AF⊥DE.
由(1)知,BE⊥平面DAE,
又AF 平面DAE,所以BE⊥AF,
又BE∩DE=E,BE 平面BDE,DE 平面BDE,
所以AF⊥平面BDE.
变式 解:(1)证明:连接AD1,BC1,如图,
由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,AB 平面ABC1D1,AD1 平面ABC1D1,
∴DA1⊥平面ABC1D1.
又AE 平面ABC1D1,∴AE⊥DA1.
(2)所求G点即为A1点,证明如下:
由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH,
易知DF⊥AH,DF⊥EH,
又AH∩EH=H,AH 平面AHE,EH 平面AHE,
∴DF⊥平面AHE.
∵AE 平面AHE,∴DF⊥AE.又DF∩DA1=D,DA1 平面DFA1,DF 平面DFA1,
∴AE⊥平面DFA1,即AE⊥平面DFG.
拓展 解:(1)证明:由M为等腰直角三角形ABA1斜边AA1的中点,得∠MBA1=∠BA1A=45°.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1∥BB1,所以∠A1BB1=∠BA1A=45°,所以∠B1BM=90°,即BB1⊥BM.
因为侧面BCC1B1是矩形,所以BB1⊥BC,
又BM∩BC=B,BM 平面BMC,BC 平面BMC,
所以BB1⊥平面BMC.
(2)如图,连接BC1,交B1C于点O,连接A1O,
因为A1C1=AC=AB=A1B,所以A1O⊥BC1,
由(1)知BB1⊥平面BMC,又AA1∥BB1,所以AA1⊥平面BMC,
因为CM 平面BMC,所以AA1⊥CM,所以A1C=AC=AB=A1B1,所以A1O⊥B1C.
又BC1∩B1C=O,BC1 平面BB1C1C,B1C 平面BB1C1C,所以A1O⊥平面BB1C1C.
在平面BB1C1C内过点C1作C1D⊥CB1,垂足为D,因为C1D 平面BB1C1C,所以A1O⊥C1D,
又A1O∩CB1=O,A1O,CB1 平面A1B1C,
所以C1D⊥平面A1B1C.
在△ABA1中,AB=A1B=,AB⊥A1B,
所以AA1==2,
所以BB1=AA1=2.
由(1)知BB1⊥平面BMC,BC 平面BMC,所以BB1⊥BC,则B1C==3.
在Rt△B1C1C中,由B1C·C1D=B1C1·CC1,得×3C1D=××2,解得C1D=2.
