(共68张PPT)
13.2 基本图形位置关系
13.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行
探究点一 平面与平面的位置关系
探究点二 两个平面平行的判定定理
探究点三 两个平面平行的性质定理
探究点四 面面距离
探究点五 平行关系的综合应用
【学习目标】
1.掌握平面与平面的位置关系的分类与表示.
2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理.
3.能够运用面面平行的判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的
简单命题，明确线面、线线平行的转化.
知识点一 两个平面的位置关系
1.定义：
两个平面互相平行：如果两个平面______公共点，那么称这两个平
面互相______.
两个平面相交：如果两个平面________公共点，那么由基本事实3可
知，它们相交于经过________的一条直线，此时称这两个平面______.
没有
平行
有一个
这个点
相交
2.两个平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
平面 与平面 平行 _______________________________________________ ______ 没有公共点
平面 与平面 相交 ______________________________________________________ __________ 有一条公共直
线
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）分别位于两个平行平面内的两条直线平行.( )
×
[解析] 这两条直线没有公共点,所以它们平行或异面.
（2）若两个平面有无数个公共点,则这两个平面为同一平面.( )
×
[解析] 当两个平面相交时,它们也有无数个公共点.
知识点二 平面与平面平行的判定定理
1.判定定理
定理 图形表示 文字表示 符号表示
两个平面 平行的判 定定理 ______________________________ 如果一个平面内的 __________直线与 另一个平面平行， 那么这两个平面平 行 ________________________________________________
两条相交
2.利用判定定理证明两个平面平行必须具备的条件：
（1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面;
（2）这两条直线必须相交.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面
平行. ( )
×
[解析] 一个平面内必须有两条相交直线与另一个平面平行,这两个平
面才平行.
（2）若平面内的两条不平行直线都平行于平面,则平面 与平面
平行. ( )
√
（3）如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,那么这两
个平面平行.( )
√
知识点三 平面与平面平行的性质定理
定理 图形表示 文字表示 符号表示
两个平面 平行的性 质定理 _______________________________ 两个平面平行，如果另 一个平面与这两个平面 ______，那么两条交线 ______ ，
，
______
相交
平行
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果两个平面均平行于第三个平面,那么这两个平面平行. ( )
√
（2）若两个平面平行,则分别在两个平面内的两条直线互相平行.
( )
×
[解析] 因为两个平面平行,所以分别在两个平面内的两条直线无公共
点,它们平行或异面.
（3）若两个平面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.
( )
√
2.若夹在两个平面间的三条线段平行且相等,试判断这两个平面的位
置关系.
解：如图所示,两种情况均满足且 ,
故这两个平面的位置关系为平行或相交.
知识点四 两个平行平面间的距离
相关概念：与两个平行平面都______的直线，叫作这两个平行平面
的________，它夹在这两个平行平面间的______，叫作这两个平行
平面的__________.两个平行平面的公垂线段都相等，我们把_______
____的长度叫作______________________.
垂直
公垂线
线段
公垂线段
公垂线段
两个平行平面间的距离
探究点一 平面与平面的位置关系
例1（1） （多选题）下列说法中正确的是( )
A.在平面内有两条直线和平面 平行,那么这两个平面平行
B.在平面内有无数条直线和平面 平行,那么这两个平面平行
C.平面内的的三个顶点在平面的同一侧且到平面 的距
离相等且不为0,那么平面与 平行
D.平面内有无数个点到平面 的距离相等且不为0,那么这两个平
面平行或相交
√
√
[解析] 对于A,这两个平面平行或相交,故A错误;
对于B,平面 内的任意一条直线都和平面 平行,
这两个平面才平行,故B错误;
对于C,因为平面内的的三个顶点在平面的同一侧
且到平面 的距离相等且不为0,所以平面与平行,故C正确;
对于D,平面 内有无数个点到平面的距离相等且不为0,
那么这两个平面平行或相交,故D正确.故选 .
（2）若点,,,则平面与平面 的位置关系是
______.
相交
[解析] 点,,,平面与平面 有公共点,
但不重合,平面与平面 的位置关系是相交.
变式1 [2024·浙江杭州二中高一期中] 以下说法正确的是( )
A.是平面外的一条直线，则过且与 平行的平面有且只有一个
B.若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行
C.平面内不共线的三点到平面的距离相等，则
D.空间中,, 三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1
的平面恰有两个
√
[解析] 对于A,当与相交时,不存在过且与 平行的平面,故A错误；
对于B,当三条平行线段共面时,两平面可能相交也可能平行,
当三条平行线段不共面时,两平面一定平行,故B错误；
对于C,当与相交时,平面内也存在不共线的三点到
平面 的距离相等,故C错误；
对于D,空间中A,B,C三点构成边长为2的正三角形,
则与这三点距离均为1的平面恰有两个,
且这两个平面在 的两侧,故D正确.故选D.
变式2 如果3个平面把空间分成4部分,那么这3个平面有怎样的位置
关系 如果3个平面把空间分成6部分,那么这3个平面有怎样的位置关
系 画图说明.
解：若3个平面把空间分成4部分,则这3个平面平行（如图①）.
若3个平面把空间分成6部分,则这3个平面相交于同一条直线（如图②）
或其中2个平面平行,第3个平面与这2个平面均相交（如图③）.
探究点二 两个平面平行的判定定理
例2 如图所示，在三棱柱中，，
分别是与的中点.求证：平面 平面
.
证明：由棱柱的性质知,, ,
因为,分别为, 的中点,所以,,
所以四边形 为平行四边形,所以,
又平面 ,平面,所以平面 .
连接,易知,,
所以四边形 为平行四边形,则, .
因为,,所以, ,
所以四边形为平行四边形,所以 .
因为平面, 平面 ,所以平面 ,
又,所以平面平面 .
变式1 如图，在正方体中， ，
，，分别是，，， 的中点.求
证：平面平面 .
证明：如图,连接,,,, 分别是,,的中点,
,又平面,
平面, 平面 .
连接,则, ,
又, ,, ,
四边形是平行四边形, .
平面,平面 ,平面 .
,都在平面内,且, 平面平面 .
变式2 [2024·重庆育才学校高一月考] 如图，在直三
棱柱中，点，分别为棱， 的
中点，点在棱上.试确定点 的位置，使得平面
平面 ，并证明.
解：当点为棱的中点时，平面平面 .
证明如下：由点,分别为, 的中点，
可得，因为平面，
平面 ，所以平面 .
因为,，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为平面，平面，所以平面 ，
又，且平面, 平面 ，
所以平面平面 .
［素养小结］
（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线
平行于另一个平面.
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原
则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找
不到再作辅助线.
探究点三 两个平面平行的性质定理
例3 如图，直四棱柱被平面 所截，
截面为四边形，且，证明： .
证明：因为在直四棱柱 中，
平面平面，平面 ，
平面，所以 ，
又且， ，
所以且 ，
则四边形是平行四边形，所以 ，
又，，所以 .
变式 如图所示，平面，，， ，，
直线与交于，若， ，，
求 的长．
解：设直线与确定的平面为 ，
因为，，且 ，所以，
所以，所以 ，即，所以 .
［素养小结］
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤
拓展 如图所示，平面平面， ，
分别在，内，线段，，
交于点，在平面和平面之间，
若 ，， ，
，则 的面积为_ ___．
[解析] 因为，相交于，
所以， 确定的平面与平面，
平面的交线分别为， ，
又，所以，且 ，
同理可得，，
所以， 面积的比为，
又的面积为，所以 的面积为 .
探究点四 面面距离
例4 如图所示，在长方体 中,
,,,分别过和 的两
个平行平面（平面A'EFD'和平面BE'F'C,其中
E,F,E',F'分别在AB,CD,A'B',C'D'上）将长方体分
为体积相等的三部分，求这两个平行平面之间的距离.
解：长方体夹在两个平行平面之间的部分是一
个棱柱，它以四边形为底面， 为高.
根据题意得 ，
即 ， .
作，为垂足，平面，
平面 ， .
又，平面，
即 的长度是所求两个平行平面之间的距离.
在 中， ，
即这两个平行平面之间的距离为 .
探究点五 平行关系的综合应用
例5 如图,在正方体中,是的中点,,, 分别
是,, 的中点.
（1）求证:直线平面 ;
证明:如图,连接,由为的中位线,可得,
又 平面,平面,所以平面 .
（2）求证:平面平面 ;
证明:由题意知,又 平面,
平面,所以 平面 .
由（1）可得平面 ,又,平面,
平面,所以平面平面 .
（3）若正方体的棱长为1,过,, 三点作正方体的截面,画出截面与
正方体的交线,并求出截面的面积.
解：如图,取的中点,连接,, ,可得, .
取的中点,连接,, ,可得, ,
所以, ,所以四边形 为平行四边形.
易知平行四边形为过点,, 的截面,
且 ,
所以平行四边形 为菱形.
连接,,易得, ,
所以截面的面积为 .
变式 [2024·三明一中高一期中] 如图，已知四棱锥 中，
底面是平行四边形，为侧棱 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：连接,设，连接 ，如图，
因为四边形是平行四边形，所以 ，
又为侧棱的中点，所以 .
又 平面， 平面，
所以 平面 .
（2）若为棱的中点，求证：平面 ；
证明： 连接,如图,因为为棱的中点,
,所以 .
因为平面,平面 ,所以平面 .
又,平面,平面 ,所以平面 .
又,平面,平面 ,
所以平面平面 ,又平面,所以平面 .
（3）设平面 平面 ，求证： .
证明： 因为，平面，
平面 ，所以平面 ，
又平面平面，平面 ，所以 .
［素养小结］
（1）立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,
这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系,并且可以相互转化的.
（2）解决平行关系的综合问题一般通过平行关系的转化实现.
拓展 如图,在正方体中,, 分别是棱和
棱 的中点.
（1）求证:平面平面 .
证明：连接 ,如图.,分别是棱和棱的中点,
,且 ,
四边形 为平行四边形, 则 .
又平面, 平面 ,平面 .
,且 , 四边形为平行四边形,则 .
又平面,平面,平面 .
,平面,平面 ,
平面平面 .
（2）试问平面 截正方体所得的截面是什么图形 并说明理由.
解：方法一:如图,取棱的中点,
连接,,可得 且,
由（1）知,且,则
且 ,可得四边形为平行四边形,
易知四边形为平面 截正方体所得的图形.
,四边形为菱形,
即平面 截正方体所得的截面是菱形.
方法二:如图,设平面与棱交于点 ,
连接, ,
平面平面,
平面 平面,
平面平面 , ,
同理有,四边形 为平行四边形,
又易得,四边形为菱形,
即平面 截正方体所得的截面是菱形.
1.面面平行的判定定理解读
（1）面面平行的判定定理可简述为“若线面平行,则面面平行”.
（2）面面平行的判定定理包含三个条件“一内一交一平行”,这三个条
件缺一不可.
2.（1）平面与平面平行的性质定理解读:平面与平面平行的性质定理
可简述为“若面面平行,则线线平行”.
（2）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.
（3）经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行.
（4）若两个平面平行于第三个平面,则这两个平面互相平行.
1.要证明面面平行,依据判定定理找出一个平面内的两条相交直线分
别平行于另一个平面即可.常进行如下转化:线线平行线面平行
面面平行.
例1 如图，已知三棱柱中，为
上一点，为的中点，且平面 .
求证：平面平面 .
证明：连接,设与交于点,连接 ,因为平面 ，
平面 ,平面平面 ,所以 .
因为为 的中点,所以为的中点,即 .
因为为的中点,即,, ,
所以, ,所以四边形 为平行四边形,
所以 ,又平面,平面 ,
所以平面 ,又平面,,
平面,平面 ,所以平面平面 .
2.利用面面平行的性质定理解题的一般步骤:①先找两个平面,使这两
个平面分别经过这两条直线中的一条;②判定这两个平面平行
（此条件有时题目会直接给出）;③再找一个平面,使这两条直线都在
这个平面上;④由定理得出结论.
例2 如图,在棱长为的正方体 中,
,分别是, 的中点.
（1）若平面与直线交于点,求 的值;
解：如图所示,连接, .
因为平面平面 ,
且平面 平面,
平面 平面 ,所以 ,
根据等角定理可知, ,则 ,
又,,,
所以 ,即,则,所以 .
（2）设为棱上一点且,若平面,求 的值.
解：如图,取的中点,则由（1）知 为的中点,
连接,,则 ,又平面,平面,
所以 平面 .
设 平面,连接, ,因为平面平面,
平面平面,平面 平面,
所以,又,所以四边形 为平行四边形,
同理得四边形 也是平行四边形,所以 ,
所以 .
因为平面,,
平面 且,所以平面平面 .
例3 如图,已知四棱锥中,底面为平行四边形,点,,
分别在,, 上.
（1）若,求证:平面平面 .
证明:如图,, .
四边形为平行四边形,, .
平面,平面,平面,
, ,
又平面,平面,平面 .
,,平面, 平面平面 .
（2）若点满足,则点满足什么条件时, 平面
并证明你的结论.
解：当为的中点时,平面 .
证明如下:设,取的中点,连接 , , ,如图所示.
四边形为平行四边形,为 的中点.
为的中点,,为的中点, .
平面, 平面,平面 .
,分别为,的中点, ,
又 平面, 平面,平面 .
,,平面,
平面 平面 ,又平面,平面 .13.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行
【课前预习】
知识点一
1.没有 平行 有一个 这个点 相交
2.α∥β α∩β=a
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)这两条直线没有公共点,所以它们平行或异面.
(2)当两个平面相交时,它们也有无数个公共点.
知识点二
1.两条相交 a∩b=A
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)一个平面内必须有两条相交直线与另一个平面平行,这两个平面才平行.
知识点三
相交 平行 a∥b
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)因为两个平面平行,所以分别在两个平面内的两条直线无公共点,它们平行或异面.
2.解:如图所示,两种情况均满足AA1=BB1=CC1且AA1∥BB1∥CC1,故这两个平面的位置关系为平行或相交.
知识点四
垂直 公垂线 线段 公垂线段 公垂线段 两个平行平面间的距离
【课中探究】
探究点一
例1 (1)CD (2)相交 [解析] (1)对于A,这两个平面平行或相交,故A错误;对于B,平面α内的任意一条直线都和平面β平行,这两个平面才平行,故B错误;对于C,因为平面α内的△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0,所以平面α与β平行,故C正确;对于D,平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交,故D正确.故选CD.
(2)∵点A∈α,B α,C α,∴平面ABC与平面α有公共点,但不重合,∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.
变式1 D [解析] 对于A,当a与α相交时,不存在过a且与α平行的平面,故A错误;对于B,当三条平行线段共面时,两平面可能相交也可能平行,当三条平行线段不共面时,两平面一定平行,故B错误;对于C,当α与β相交时,平面α内也存在不共线的三点到平面β的距离相等,故C错误;对于D,空间中A,B,C三点构成边长为2的正三角形,则与这三点距离均为1的平面恰有两个,且这两个平面在△ABC的两侧,故D正确.故选D.
变式2 解:若3个平面把空间分成4部分,则这3个平面平行(如图①).若3个平面把空间分成6部分,则这3个平面相交于同一条直线(如图②)或其中2个平面平行,第3个平面与这2个平面均相交(如图③).
探究点二
例2 证明:由棱柱的性质知,B1C1∥BC,B1C1=BC,
因为D,E分别为BC,B1C1的中点,
所以C1E∥DB,C1E=DB,所以四边形C1DBE为平行四边形,所以EB∥C1D,又C1D 平面ADC1,EB 平面ADC1,所以EB∥平面ADC1.
连接DE,易知EB1∥BD,EB1=BD,所以四边形EDBB1为平行四边形,则ED∥B1B,ED=B1B.
因为A1A∥B1B,A1A=B1B,所以A1A∥ED,A1A=ED,
所以四边形A1ADE为平行四边形,所以A1E∥AD.
因为AD 平面ADC1,A1E 平面ADC1,
所以A1E∥平面ADC1,
又A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC1.
变式1 证明:如图,连接B1D1,∵M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点,∴MN∥D1B1∥EF,
又MN 平面EFDB,EF 平面EFDB,∴MN∥平面EFDB.
连接NE,则NE∥A1B1,NE=A1B1,
又A1B1∥AB,A1B1=AB,
∴NE∥AB,NE=AB,
∴四边形NEBA是平行四边形,∴AN∥BE.
∵AN 平面EFDB,BE 平面EFDB,
∴AN∥平面EFDB.
∵AN,MN都在平面AMN内,且AN∩MN=N,∴平面AMN∥平面EFDB.
变式2 解:当点F为棱CC1的中点时,平面AB1F∥平面CDE.
证明如下:由点D,E分别为AB,BB1的中点,可得DE∥AB1,因为AB1 平面CDE,DE 平面CDE,所以AB1∥平面CDE.
因为CF=B1E,CF∥B1E,所以四边形CFB1E是平行四边形,所以B1F∥CE.
因为FB1 平面CDE,CE 平面CDE,所以FB1∥平面CDE,又AB1∩FB1=B1,且AB1 平面AB1F,FB1 平面AB1F,所以平面AB1F∥平面CDE.
探究点三
例3 证明:因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩α=CD,平面A1B1C1D1∩α=EF,所以EF∥CD,
又C1D1∥CD且C1D1=CD,EF=CD,
所以C1D1∥EF且C1D1=EF,
则四边形EFC1D1是平行四边形,所以A1D1∥B1C1,
又A1D1∥AD,BC∥B1C1,所以AD∥BC.
变式 解:设直线AB与CD确定的平面为γ,
因为γ∩α=AC,γ∩β=BD,且α∥β,
所以AC∥BD,所以△SAC∽△SBD,所以=,
即=,所以SC=272.
拓展 [解析] 因为AA',BB'相交于O,所以AA',BB'确定的平面与平面α,平面β的交线分别为AB,A'B',又α∥β,所以AB∥A'B',且==,同理可得=,=,所以△ABC,△A'B'C'面积的比为9∶4,又△ABC的面积为,所以△A'B'C'的面积为.
探究点四
例4 解:长方体夹在两个平行平面之间的部分是一个棱柱,它以四边形A'EBE'为底面,A'D'为高.
根据题意得S四边形A'EBE'·A'D'=V长方体,即A'E'·AA'·A'D'=AB·BC·AA',∴A'E'=AB=4.
作E'H⊥A'E,H为垂足,∵A'D'⊥平面ABB'A',E'H 平面ABB'A',∴E'H⊥A'D'.
又A'E∩A'D'=A',∴E'H⊥平面A'EFD',即E'H的长度是所求两个平行平面之间的距离.在Rt△A'HE'中,E'H=A'E'·sin∠E'A'H=4sin∠B'E'B=4×==,即这两个平行平面之间的距离为.
探究点五
例5 解:(1)证明:如图,连接SB,由EG为△CSB的中位线,可得EG∥SB,又EG 平面BDD1B1,SB 平面BDD1B1,所以EG∥平面BDD1B1.
(2)证明:由题意知EF∥DB,又EF 平面BDD1B1,DB 平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1.
由(1)可得EG∥平面BDD1B1,又EF∩EG=E,EF 平面EFG,EG 平面EFG,所以平面EFG∥平面BDD1B1.
(3)如图,取B1C1的中点N,连接A1N,NE,AE,可得AE∥A1N,AE=A1N.
取A1D1的中点M,连接MC1,AM,C1E,
可得MC1=A1N,MC1∥A1N,
所以MC1∥AE,MC1=AE,
所以四边形AEC1M为平行四边形.
易知平行四边形AEC1M为过点A,E,C1的截面,且AE=EC1=AM=MC1==,
所以平行四边形AEC1M为菱形.
连接AC1,ME,易得AC1=,ME=,所以截面的面积为×AC1×ME=××=.
变式 证明:(1)连接AC,设AC∩BD=O,连接OE,如图,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=OC,
又E为侧棱SC的中点,所以SA∥EO.
又SA 平面EDB,EO 平面EDB,所以SA∥平面EDB.
(2)连接OF,如图,因为F为棱AB的中点,DO=BO,所以AD∥FO.
因为FO 平面SAD,AD 平面SAD,
所以FO∥平面SAD.
又SA∥EO,EO 平面SAD,SA 平面SAD,
所以EO∥平面SAD.
又EO∩FO=O,EO 平面EOF,FO 平面EOF,所以平面EOF∥平面SAD,
又EF 平面EOF,所以EF∥平面SAD.
(3)因为AB∥CD,AB 平面SCD,CD 平面SCD,
所以AB∥平面SCD,
又平面SAB∩平面SCD=l,AB 平面SAB,所以AB∥l.
拓展 解:(1)证明:连接EF,如图.
∵E,F分别是棱BB1和棱CC1的中点,∴EF∥BC∥AD,且EF=BC=AD,
∴四边形AEFD为平行四边形,
则AE∥DF.
又AE 平面ACE,DF 平面ACE,
∴DF∥平面ACE.
∵B1E∥CF,且B1E=CF,
∴四边形B1ECF为平行四边形,则CE∥B1F.
又B1F 平面ACE,CE 平面ACE,∴ B1F∥平面ACE.
∵DF∩B1F=F,DF 平面B1DF,B1F 平面B1DF,
∴平面B1DF∥平面ACE.
(2)方法一:如图,取棱AA1 的中点G,连接DG,B1G,可得B1G∥AE且B1G=AE,由(1)知,DF∥AE且DF=AE,则B1G∥DF且B1G=DF,可得四边形DGB1F为平行四边形,易知四边形DGB1F为平面B1DF截正方体所得的图形.
∵B1G=B1F,∴四边形DGB1F为菱形,即平面B1DF截正方体所得的截面是菱形.
方法二:如图,设平面B1DF与棱AA1交于点G,连接DG,B1G,
∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面B1DF=DG,平面BCC1B1∩平面B1DF=B1F,∴DG∥B1F,同理有DF∥B1G,∴四边形DGB1F为平行四边形,
又易得B1F=DF,∴四边形DGB1F为菱形,即平面B1DF截正方体所得的截面是菱形.13.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行
1.B [解析] 因为l∥α,m∥α,l∩m=P,l β,m β,所以β∥α.故选B.
2.A [解析] 平面与平面平行,则两个平面没有公共点,所以在一个平面内的直线和另一个平面没有公共点,所以这条直线与另一个平面平行.故选A.
3.A [解析] ∵直线l⊥平面α,直线n∥平面β,∴由α∥β可得l⊥β,∴l⊥n;若l⊥n,则l不一定垂直于β,∴α与β不一定平行.∴“α∥β”是“l⊥n”的充分不必要条件.故选A.
4.C [解析] 若a∥b,b α,则a∥α或a α,故A错误;若a∥α,b α,则a∥b或a与b异面,故B错误;若α∥γ,β∥γ,则由平行的传递性可知α∥β,故C正确;若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α,β相交,故D错误.故选C.
5.A [解析] 因为=,所以EF∥A1D1,所以EF∥B1C1,又EF 平面BB1C1C,B1C1 平面BB1C1C,所以EF∥平面BB1C1C.因为EH∥B1B,EH 平面BB1C1C,B1B 平面BB1C1C,所以EH∥平面BB1C1C,又EF∩EH=E,EF 平面EFH,EH 平面EFH,所以平面EFH∥平面BB1C1C.故选A.
6.A [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1,因为平面EFGH∩平面ABCD=GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1=EF,所以EF∥GH,同理可证EH∥FG,所以四边形EFGH的形状为平行四边形.故选A.
7.A [解析] 如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,∵EF∥DG,EF=DG,∴EF DM,∴四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥FM且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.∵BF 平面ACGD,AM 平面ACGD,∴BF∥平面ACGD,故A正确.∵无法判断点C的位置,∴CF不一定平行于平面ABED,BC不一定平行于FG,故B,C错误.易知平面ABED与平面CGF相交,故D错误.故选A.
8.AC [解析] 对于A,α内有无数条直线与β平行不能推出α∥β,但由α∥β可以推出β平行于α内的任意一条直线,故“α内有无数条直线与β平行”是“α∥β”的必要不充分条件;对于B,α内有两条相交直线与β平行能推出α∥β,故“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件;对于C,α,β垂直于同一平面不能推出α∥β,但由α∥β能推出α,β垂直于同一平面,故“α,β垂直于同一平面”是“α∥β”的必要不充分条件;对于D,α,β平行于同一平面能推出α∥β,故“α,β平行于同一平面”是“α∥β”的充分条件.故选AC.
9.ABC [解析] 由三棱柱的性质可知平面ABC∥平面A1B1C1,又平面BCHG∩平面ABC=BC,平面BCHG∩平面A1B1C1=GH,所以由面面平行的性质定理可知BC∥GH,又点E,F分别是AB,AC的中点,所以BC∥EF,可得EF∥GH,故A正确;因为EF∥GH,EF 平面A1EF,GH 平面A1EF,所以GH∥平面A1EF,故B正确;因为GH经过△A1B1C1的重心,所以==,又=,所以=,故C正确;因为A1,E,B,B1四点共面,且易知A1E与BB1相交,所以平面A1EF与平面BCC1B1相交,故D错误.故选ABC.
10.相交或平行 [解析] 若α∥β,则存在a α,b,c β,使得a∥b∥c,满足条件;若α与β相交,设交线为l,则存在a α,b,c β,使得b∥c∥l,a∥l,也满足条件.
11. [解析] 根据题意及面面平行的性质定理得CD∥AB,所以△PCD∽△PAB,所以=,即=,解得AB=.
12. [解析] 取BB1的中点P,连接CP,PD1,CD1,如图所示.因为CD1∥A1B,CD1 平面A1BE,A1B 平面A1BE,所以CD1∥平面A1BE.因为CP∥A1E,CP 平面A1BE,A1E 平面A1BE,所以CP∥平面A1BE.又因为CP,CD1 平面CPD1,CP∩CD1=C,所以平面CPD1∥平面A1BE,因此平面α即为平面CPD1,所以平面α与平面B1BCC1的交线即为CP,所以CP==.
13.证明:(1)因为平面AB1M∥平面BC1N,平面AB1M∩平面ACC1A1=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=NC1,所以NC1∥AM.
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC,且A1C1=AC,
因为AC∥A1C1,NC1∥AM,
所以四边形ANC1M为平行四边形,
又M是A1C1的中点,
所以AN=C1M=A1C1=AC,
所以N为AC的中点.
14.证明:∵G,H,I分别是EC,FB,FC的中点,
∴HI∥BC,GI∥EF.∵EF∥DB,∴GI∥DB.
∵HI∥BC,BC 平面ABC,HI 平面ABC,
∴HI∥平面ABC.
∵GI∥DB,DB 平面ABC,GI 平面ABC,
∴GI∥平面ABC.
∵HI 平面GHI,GI 平面GHI,HI∩GI=I,
∴平面GHI∥平面ABC.
15.B [解析] 取AA1的中点E,BB1的中点F,连接C1F,EF,D1E,如图.因为AE∥BF,AE=BF,所以四边形ABFE为平行四边形,所以AB∥EF,又AB⊥平面BCC1B1,所以EF⊥平面BCC1B1,又CN 平面BCC1B1,所以CN⊥EF.因为CC1=C1B1,C1N=B1F,∠CC1N=C1B1F=90°,所以△CC1N≌△C1B1F,所以∠FC1B1=∠NCC1,∠B1FC1=∠C1NC,又∠FC1B1+∠B1FC1=90°,所以∠FC1B1+∠C1NC=90°,所以CN⊥C1F,又CN⊥EF,C1F∩EF=F,C1F,EF 平面C1FED1,所以CN⊥平面C1FED1.取AD的中点T,BC的中点Q,CC1的四等分点R满足CR=C1C,DD1的四等分点S满足DS=D1D,连接SR,ST,TQ,RQ,则D1S=C1R,D1S∥C1R,所以四边形D1SRC1为平行四边形,所以SR∥D1C1.因为SR 平面C1FED1,D1C1 平面C1FED1,所以SR∥平面C1FED1.由已知有==,∠QCR=∠C1B1F=90°,所以△QCR∽△C1B1F,所以∠FC1B1=∠RQC,
∠B1FC1=∠CRQ,又∠B1C1F+∠B1FC1=90°,∠B1C1F+∠FC1C=90°,所以∠CRQ=
∠FC1C,所以QR∥C1F,又QR 平面C1FED1,C1F 平面C1FED1,所以QR∥平面C1FED1.因为QR 平面QRST,SR 平面QRST,QR∩SR=R,所以平面QRST∥平面C1FED1,所以CN⊥平面QRST,又因为平面QRST经过BD的中点M,所以P点轨迹为四边形QRST的边界(不包括点M),所以当点P与点R重合时,AP取最大值,最大值为=.故选B.
16.解:(1)证明:如图,取AD的中点F,连接NF,MF,
因为M,F分别为PD,AD的中点,所以MF∥PA,
又因为MF 平面PAB,PA 平面PAB,所以MF∥平面PAB.
由题意知四边形ABCD为平行四边形.
因为F,N分别为AD,BC的中点,所以NF∥AB,
又因为NF 平面PAB,AB 平面PAB,
所以NF∥平面PAB.
因为MF∩NF=F,且MF,NF 平面MNF,
所以平面MNF∥平面PAB,
又因为MN 平面MNF,所以MN∥平面PAB.
(2)当E,F'分别为PC,AD的中点时,平面EMF'N∥平面PAB.
证明如下:取PC的中点E,连接ME,NE,
由(1)知F'与F重合,在△PCD中,因为M,E分别为PD,PC的中点,所以ME∥CD,
又因为F,N分别为AD,BC的中点,所以NF∥CD,所以ME∥NF,所以点E,M,F,N四点共面.
由(1)知平面MNF∥平面PAB,
即平面EMFN∥平面PAB.
所以过直线MN作一平面与平面PAB平行,且分别交PC,AD于点E,F',
则E,F'分别为PC,AD的中点.13.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行
【学习目标】
1.掌握平面与平面的位置关系的分类与表示.
2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理.
3.能够运用面面平行的判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题,明确线面、线线平行的转化.
◆ 知识点一 两个平面的位置关系
1.定义:
两个平面互相平行:如果两个平面 公共点,那么称这两个平面互相 .
两个平面相交:如果两个平面 公共点,那么由基本事实3可知,它们相交于经过
的一条直线,此时称这两个平面 .
2.两个平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
平面α与 平面β平行 没有 公共点
平面α与 平面β相交 有一条公 共直线
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分别位于两个平行平面内的两条直线平行.( )
(2)若两个平面有无数个公共点,则这两个平面为同一平面. ( )
◆ 知识点二 平面与平面平行的判定定理
1.判定定理
定理 图形表示 文字表示 符号表示
两个平面 平行的 判定定理 如果一个平面内的 直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 α∥β
2.利用判定定理证明两个平面平行必须具备的条件:
(1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面;
(2)这两条直线必须相交.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
(2)若平面α内的两条不平行直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行. ( )
(3)如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
◆ 知识点三 平面与平面平行的性质定理
定理 图形表示 文字表示 符号表示
两个平面 平行的 性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面 ,那么两条交线 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两个平面均平行于第三个平面,那么这两个平面平行. ( )
(2)若两个平面平行,则分别在两个平面内的两条直线互相平行. ( )
(3)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. ( )
2.若夹在两个平面间的三条线段平行且相等,试判断这两个平面的位置关系.
◆ 知识点四 两个平行平面间的距离
相关概念:与两个平行平面都 的直线,叫作这两个平行平面的 ,它夹在这两个平行平面间的 ,叫作这两个平行平面的 .两个平行平面的公垂线段都相等,我们把 的长度叫作 .
◆ 探究点一 平面与平面的位置关系
例1 (1)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.在平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线和平面β平行,那么这两个平面平行
C.平面α内的△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0,那么平面α与β平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交
(2)若点A∈α,B α,C α,则平面ABC与平面α的位置关系是
变式1 [2024·浙江杭州二中高一期中] 以下说法正确的是 ( )
A.a是平面α外的一条直线,则过a且与α平行的平面有且只有一个
B.若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等,则这两个平面平行
C.平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β
D.空间中A,B,C三点构成边长为2的正三角形,则与这三点距离均为1的平面恰有两个
变式2 如果3个平面把空间分成4部分,那么这3个平面有怎样的位置关系 如果3个平面把空间分成6部分,那么这3个平面有怎样的位置关系 画图说明.
◆ 探究点二 两个平面平行的判定定理
例2 如图所示,在三棱柱ABC - A1B1C1中,D,E分别是BC与B1C1的中点.求证:平面A1EB∥平面ADC1.
变式1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.求证:平面AMN∥平面EFDB.
变式2 [2024·重庆育才学校高一月考] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别为棱AB,BB1的中点,点F在棱CC1上.试确定点F的位置,使得平面AB1F∥平面CDE,并证明.
[素养小结]
(1)要证明两平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.
(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
◆ 探究点三 两个平面平行的性质定理
例3 如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面α所截,截面为四边形CDEF,且EF=DC,证明:AD∥BC.
变式 如图所示,平面α∥β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于S,若AS=8,BS=9,CD=34,求CS的长.
[素养小结]
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤
拓展 如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'交于点O,O在平面α和平面β之间,若AB=2,AC=2,∠BAC=60°,OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为 .
◆ 探究点四 面面距离
例4 如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=12,BC=6,AA'=5,分别过A'D'和BC的两个平行平面(平面A'EFD'和平面BE'F'C,其中E,F,E',F'分别在AB,CD,A'B',C'D'上)将长方体分为体积相等的三部分,求这两个平行平面之间的距离.
◆ 探究点五 平行关系的综合应用
例5 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点.
(1)求证:直线EG∥平面BDD1B1;
(2)求证:平面EFG∥平面BDD1B1;
(3)若正方体的棱长为1,过A,E,C1三点作正方体的截面,画出截面与正方体的交线,并求出截面的面积.
变式 [2024·三明一中高一期中] 如图,已知四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为侧棱SC的中点.
(1)求证:SA∥平面EDB;
(2)若F为棱AB的中点,求证:EF∥平面SAD;
(3)设平面SAB∩平面SCD=l,求证:AB∥l.
[素养小结]
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系,并且可以相互转化的.
(2)解决平行关系的综合问题一般通过平行关系的转化实现.
拓展 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BB1和棱CC1的中点.
(1)求证:平面B1DF∥平面ACE.
(2)试问平面B1DF截正方体所得的截面是什么图形 并说明理由.13.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行
一、选择题
1.若直线l∥平面α,直线m∥平面α,直线l与m相交于点P,且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是 ( )
A.相交但不垂直 B.平行
C.垂直 D.不确定
2.已知α∥β,a α,那么a与β的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.a在β内 D.垂直
3.[2024·江苏南通海门中学月考] 已知直线l⊥平面α,直线n∥平面β,则“α∥β”是“l⊥n”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2024·江苏宿迁期末] 已知a,b为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是 ( )
A.若a∥b,b α,则a∥α
B.若a∥α,b α,则a∥b
C.若α∥γ,β∥γ,则α∥β
D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
5.如图所示为正方体ABCD-A1B1C1D1,E在B1D1上,F在A1B1上,且=,过E作EH∥B1B交BD于H,则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.以上都有可能
6.[2024·江苏无锡堰桥高级中学期中] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH(如图)分别交C1D1,A1B1,AB,CD于E,F,G,H,则四边形EFGH的形状为 ( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.梯形
7.如图,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,AB=DE,DG=2EF,则 ( )
A.BF∥平面ACGD
B.CF∥平面ABED
C.BC∥FG
D.平面ABED∥平面CGF
8.(多选题)设α,β为两个平面,则下列条件中是“α∥β”的必要不充分条件的是 ( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β垂直于同一平面
D.α,β平行于同一平面
9.(多选题)[2024·广西南宁期中] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知点G,H分别在A1B1,A1C1上,且GH经过△A1B1C1的重心,点E,F分别是AB,AC的中点,且平面A1EF∥平面BCHG,下列结论正确的是 ( )
A.EF∥GH
B.GH∥平面A1EF
C.=
D.平面A1EF∥平面BCC1B1
二、填空题
10.已知平面α,β是两个不重合的平面,直线a,b,c是三条不同的直线,若a∥b∥c,a α,b,c β,则α与β的位置关系是 .
11.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD和AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB= .
12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是棱DD1的中点,过点D1作平面α,使得平面α∥平面A1BE,则平面α与平面B1BCC1的交线的长度为 .
三、解答题
13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证:
(1)NC1∥AM;
(2)N为AC的中点.
14.在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.已知G,H,I分别是EC,FB和FC的中点,求证:平面GHI∥平面ABC.
15.[2024·江苏泰兴中学、泰州中学联考] 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BD,C1B1的中点,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动,若MP⊥CN,则AP的最大值为 ( )
A.2 B.
C.3 D.
16.如图①,在四边形PBCD中,PD∥BC,A在PD上,且BC=PA=AD.现将△ABP沿AB折起得到四棱锥P-ABCD,如图②,其中点M是PD的中点,点N是BC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAB;
(2)在图②中,过直线MN作一平面与平面PAB平行,且分别交PC,AD于点E,F',注明E,F'的位置,并证明.
