(共46张PPT)
13.2 基本图形位置关系
13.2.4 平面与平面的位置关系
第2课时 二面角、两平面垂直的判定定理
探究点一 求二面角
探究点二 平面与平面垂直的判定定理的
应用
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的判定定理.
2.了解二面角及其平面角的概念.
3.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点一 二面角
1.二面角
半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每
一部分都叫作半平面
二面角相 关概念 一般地，一条直线和由这条直线出发的_____________
______的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的
棱，每个半平面叫作二面角的面
两个半平面所组成
画法 ______________________________________________________________ ________________________________
记法
续表
2.二面角的平面角
定义 一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别
作______于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平
面角
图示 _____________________________________________________
符号
垂直
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角
叫作直二面角
范围
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）二面角是从一条直线出发的两个半平面所夹的角度.( )
×
（2）二面角是两个平面相交时两个平面所夹的锐角.( )
×
2.二面角就是两个平面相交所形成的图形吗
解：不是,二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,
两个平面相交能形成四个二面角.
知识点二 两个平面垂直
1.定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是__________，那么就
说这两个平面互相垂直.
直二面角
2.画法：
3.平面与平面垂直的判定定理
判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的______，那
么这两个平面垂直
图形语言 _____________________________________________
符号语言
垂线
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果平面内有一条直线垂直于平面 内的一条直线,那么
.( )
×
（2）如果平面内有一条直线垂直于平面 内的两条直线,那么
.( )
×
（3）如果平面内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线,那
么 .( )
√
探究点一 求二面角
例1（1） 在正方体中,二面角 的正切
值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图,连接,与交于点 ,连接
,, ,
平面,,
为二面角的平面角.
在 中, ,
即二面角 的正切值为 ,故选C.
（2）三棱锥的两侧面,都是边长为 的正三角形,
,则二面角 的大小为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图,取的中点,连接, .
因为,都是边长为 的正三角形,
所以,,
因此 为二面角的平面角.
由题意知 ,又,
所以为正三角形,即 . 故选C.
√
变式 如图所示，已知三棱锥 的各棱长均为2，求二面角
的余弦值.
解：如图，取的中点，连接， ，
则， .由二面角的定义可知
为二面角 的平面角.
在中， ，
由余弦定理得 ，
即所求二面角的余弦值为 .
［素养小结］
求二面角的平面角的大小的步骤：
简称为“一作二证三求”.
拓展 如图，在三棱锥 中，
且为正三角形，， 分
别是，的中点，若平面 平面 ，
求二面角 的余弦值.
解：如图，取的中点，连接 ,
设，连接,,
， 分别是，的中点， ，
,为的中点， .
且 为正三角形，
,,,故 ，
又，分别是，的中点，， ,
为二面角 的平面角.
平面 平面， ,
又， ., ，
为二面角 的平面角.
设，则 ，
， .
在中， ，
即， 二面角 的余弦值为 .
探究点二 平面与平面垂直的判定定理的应用
例2 如图，在三棱柱 中，
, ,
, .求证：平
面 平面 .
证明：如图,取的中点,连接 , ,
因为, ,所以, .
因为,, ,
所以,所以 ,
所以, .
在中,, , ,
所以 ,所以 .
因为,,, 平面 ,
所以平面 ,又平面,所以平面 平面 .
变式 如图,在三棱锥中,, ,
,,.求证:平面平面 .
证明：,, ,
由勾股定理可得,
故 ,同理可得.
过点作,交于 , 连接 ,如图, 则, .
在中, ,
可得 ,又, .
,,平面, 平面 ,
又平面,平面平面 .
［素养小结］
判定面面垂直的方法:
（1）面面垂直的定义;
（2）面面垂直的判定定理 .
1.二面角的理解
（1）一个二面角的平面角有无数个,它们的大小是相等的.
（2）二面角的平面角必须具备三个条件:①二面角的平面角的顶点
在二面角的棱上;②二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个半
平面内;③二面角的平面角的两条边都与棱垂直.
（3）二面角的平面角 的取值范围为 .当两个半平面
重合时,;当两个半平面合成一个平面时, .
2.面面垂直的判定定理解读
（1）平面与平面垂直的判定定理可简述为“若线面垂直,则面面垂直”，
因此要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,并证明线面垂直.
（2）两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,
也是找出与一个平面垂直的平面的依据.
1.二面角的平面角的作法:
（1）定义法:在二面角的棱上找一个点,在两个半平
面内分别作过该点且垂直于棱的射线.如图①所示,
为二面角 的平面角.
①
（2）垂线法:过二面角的一个半平面内的一点作另
一个半平面的垂线,过垂足作棱的垂线,连接该点与
棱上的垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角
或其补角.如图②所示,为二面角
的平面角.
②
（3）垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,
该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两
条交线所成的角即为二面角的平面角.如图③
所示,为二面角 的平面角.
③
例1 在三棱锥中,, ,
,则二面角 的大小为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图,取的中点,连接,
在三棱锥中,,
为 的中点,,,
是二面角 的平面角.
,
,
,即为等边三角形,
, 二面角的大小为 .故选C.
例2 [2024·江苏如皋调研] 如图，在四棱锥
中， 平面， ，且
，是 的中点.
（1）证明： .
证明：如图,取的中点,连接, ,
由平面,,得平面 ,
而平面,则.
由为 的中点,,,
得 , ,
则四边形是平行四边形,因此 ,所以 .
（2）若，直线与直线 所成角的余弦值为 .
（i）求直线与平面 所成的角；
解：如图,连接 .因为,为的中点,
所以 ,又 ,,,平面,
所以 平面,又平面,所以 .
由,得直线与直线所成的角即为直线与
直线 所成的角,为 ,在中, ,
而 ,解得,则 .
由平面,得直线与平面 所成的角为 ,
显然,则 ,
所以直线与平面所成的角为 .
（ii）求二面角 的余弦值.
解：如图,过作,交于,由 可得 ,
由题意得,, ,
由等面积法得 ,
由勾股定理得.
过作,交于,交的延长线于点 ,
则 ,则 ,
,显然 ,则 ,
于是,,,则为 的中点.
连接,显然是二面角 的平面角,
在正三角形中, ,
由平面,平面,得 ,
又, ,平面 ,
所以 平面,
又 平面 ,所以,则 ,
所以二面角的余弦值为 .
2.面面垂直的判定方法:
（1）定义法.
（2）两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,则另一个平面也
垂直于第三个平面.
例3 如图①，已知和 是两个直角三角形，
.现将沿折起到 的位置，如图②
所示，使平面 平面，连接 .
①
②
（1）求证：平面 平面 ；
证明：平面平面,平面 平面,
,平面 ,平面 .
平面, ,
,,,平面 ,
平面 , 又平面 ,平面平面 .
（2）判断与 是否有可能垂直，并写明理由.
①
②
解：与 不可能垂直,理由如下：
假设 ,,,
,平面 ,平面 .
平面,,
与 相矛盾,故假设不成立,
即与 不可能垂直.第2课时 二面角、两平面垂直的判定定理
【课前预习】
知识点一
1.两个半平面所组成 α-l-β P-AB-Q
2.垂直 0°≤θ≤180°
诊断分析
1.(1)× (2)×
2.解:不是,二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,两个平面相交能形成四个二面角.
知识点二
1.直二面角 3.垂线 α⊥β
诊断分析
(1)× (2)× (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)C [解析] (1)如图,连接AC,与BD交于点O,连接A1O.∵BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,∴BD⊥平面AA1O,∴BD⊥A1O,∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.在Rt△A1OA中,tan∠A1OA==,即二面角A1-BD-A的正切值为,故选C.
(2)如图,取PB的中点M,连接AM,CM.因为△PAB,△PBC都是边长为2a的正三角形,所以AM⊥PB,CM⊥PB,因此∠AMC为二面角A-PB-C的平面角.由题意知AM=CM=a,又AC=a,所以△AMC为正三角形,即∠AMC=60°.故选C.
变式 解:如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角.
在△ABM中,AM=BM=×2=,
由余弦定理得cos∠AMB=
==,即所求二面角的余弦值为.
拓展 解:如图,取BC的中点F,连接PF,设PF∩MN=E,连接AE,AF,∵M,N分别是PB,PC的中点,PB=PC,
∴MN∥BC,E为MN的中点,PE⊥MN.
∵PA=PB=PC且△ABC为正三角形,
∴PC=PB,PA=PA,AC=AB,故△APC≌△APB,
又M,N分别是PB,PC的中点,∴AN=AM,∴AE⊥MN,
∴∠PEA为二面角P-MN-A的平面角.
∵平面AMN⊥平面PBC,∴∠PEA=90°,
又PE=EF,∴PA=AF.
∵PF⊥BC,AF⊥BC,
∴∠AFP为二面角P-BC-A的平面角.
设AB=2a,则PA=PB=PC=AF=a,
∴PF==a,∴EF=a.
在Rt△AEF中, cos∠AFE==,即cos∠AFP=,∴二面角P-BC-A的余弦值为.
探究点二
例2 证明:如图,取BC的中点M,连接AM,A1M,
因为AB=AC=2,∠BAC=90°,所以BC=4,AM=2.
因为AB=AC,∠A1AB=∠A1AC,A1A=A1A,所以△ABA1≌△ACA1,所以A1B=A1C=4,
所以A1M⊥BC,A1M=2.
在△A1AM中,A1A=4,A1M=2,AM=2,所以A1A2=AM2+A1M2,所以A1M⊥AM.
因为A1M⊥BC,BC∩AM=M,BC,AM 平面ABC,
所以A1M⊥平面ABC,
又A1M 平面A1BC,所以平面A1BC⊥平面ABC.
变式 证明:∵AB⊥BC,AB=6,BC=2,
∴由勾股定理可得AC=4,故∠BAC=30°,同理可得∠ACD=30°.过点B作BF⊥AC,交AC于F,连接DF,如图,
则BF=3,CF=.
在△CDF中,cos∠ACD==
=,可得DF=,
又BF2+DF2=9+21=30=DB2,∴BF⊥DF.
∵AC∩DF=F,AC,DF 平面ACD,∴BF⊥平面ACD,
又BF 平面ABC,∴平面ABC⊥平面ACD.第2课时 二面角、两平面垂直的判定定理
1.C [解析] 由面面垂直的判定定理知,任何过l的平面都垂直于平面α,所以这样的平面有无数个.故选C.
2.D [解析] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1CD内的一条直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC,但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.故选D.
3.A [解析] 当l∥m时,结合l⊥α,可得m⊥α,又m β,所以α⊥β;当α⊥β,l⊥α时,l与β中的m不一定平行.故“l∥m”是“α⊥β”的充分不必要条件.故选A.
4.A [解析] 如图,设B1D1的中点为E,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接AE,OE,易得∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角.因为正方体的棱长为1,所以B1D1=B1A=AD1=,所以AE=.又OE=BB1=1,OE⊥AO,所以cos∠AEO==,即二面角A-B1D1-B的余弦值为,故选A.
5.B [解析] 由题意知AC⊥BC.因为AD与圆柱的底面垂直,BC在圆柱的上底面上,所以AD⊥BC.又AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.因为BC 平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.
6.B [解析] 如图所示,在四棱锥S-ABCD中,连接AC,作AE垂直于SB,垂足为E,连接CE,易知CE⊥SB,则∠AEC为二面角A-SB-C的平面角θ.由题意知AE
AE2+CE2.在△AEC中,由余弦定理得cos θ=cos∠AEC=<0,所以θ∈,则θ一定是钝角.故选B.
7.C [解析] 如图,取BC的中点E,连接AE,DE.因为△BCD是等腰直角三角形,且BC为斜边,所以DE⊥BC,又△ABC是等边三角形,所以AE⊥BC,从而∠AED为二面角A-BC-D的平面角,即∠AED=150°.因为AE∩DE=E,AE,DE 平面ADE,所以BC⊥平面ADE,又BC 平面BCD,所以平面ADE⊥平面BCD.因为平面ADE∩平面BCD=DE,直线AD 平面ADE,所以直线AD在平面BCD内的射影在直线DE上,从而∠ADE(或其补角)为直线AD与平面BCD所成的角.不妨设BC=2,则DE=1,AE=,在△ADE中,由余弦定理得AD==
=,由正弦定理得=,
所以sin∠ADE==,显然∠ADE是锐角,
所以cos∠ADE===,所以tan∠ADE=,所以直线AD与平面BCD所成角的正切值为.故选C.
8.ACD [解析] 对于A,因为α∥β,β∥γ,所以由平面平行的传递性可得α∥γ,故A正确;对于B,若α⊥β,β⊥γ,则α与γ可以平行,也可以相交,故B错误;对于C,两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面,故C正确;对于D,若一条直线与两个相交平面分别平行,则这条直线与两个平面的交线平行,故D正确.故选ACD.
9.ABC [解析] 因为四棱锥的底面是正方形,且侧棱长均相等,所以顶点S在底面的射影为底面中心O.如图①,过E作EF∥BC,交CD于F,连接SF,则SE=SF,过底面中心O作ON⊥EF交EF于点N,则点N是EF的中点,连接SN,则SN⊥EF,取AB的中点M,连接OM,则有tan α==.在图①中,连接OE,则有tan β=.如图②,连接SM,因为点M是AB的中点,所以SM⊥AB,又OM⊥AB,所以∠SMO是二面角S-AB-C的平面角,所以tan γ=tan∠SMO=.因为SN≥SO,OE≥OM,所以tan α≥tan γ≥tan β,又α,β,γ均为锐角,所以α≥γ≥β.故选ABC.
10.l⊥β(答案不唯一) [解析] 由面面垂直的判定定理知,两个不重合的平面α,β,若直线l α,l⊥β,则α⊥β,所以添加的一个条件是l⊥β.
11.垂直 [解析] ∵AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,∴BE⊥AC,DE⊥AC,又BE∩DE=E,BE 平面BDE,DE 平面BDE,∴AC⊥平面BDE.又AC 平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDE.
12. [解析] 如图,作BE∥AD且BE=AD,连接DE,CE.因为AD⊥AB,所以四边形ABED是矩形,所以BE⊥AB,又BC⊥AB,所以∠CBE是所求二面角的平面角.因为DE∥AB,BC⊥AB,所以BC⊥DE.又BE⊥DE,BC∩BE=B,BC,BE 平面BCE,所以DE⊥平面BCE,又CE 平面BCE,所以DE⊥CE,又DE=AB=5,所以CE===5,BE=AD=5,由题可知BC=5,
则cos∠CBE===-.因为∠CBE是三角形的内角,所以∠CBE=.
13.证明:由题知DC⊥SA,DC⊥DA,
且SA,DA 平面SAD,SA∩DA=A,
∴DC⊥平面SAD,又AM 平面SAD,∴AM⊥DC.
∵SA=AD,M是SD的中点,∴AM⊥SD.
又DC,SD 平面SDC,DC∩SD=D,
∴AM⊥平面SDC,
又SC 平面SDC,∴SC⊥AM.
又SC⊥AN,且AM,AN 平面AMN,AM∩AN=A,
∴SC⊥平面AMN,又SC 平面SAC,
∴平面SAC⊥平面AMN.
14.解:(1)证明:因为四边形B1BCC1为正方形,BB1=1,所以BC=1,又因为BA=1,AC=,所以AB2+BC2=AC2,
所以AB⊥BC.易知BB1⊥AB,又BB1∩BC=B,且BB1,BC 平面B1BCC1,所以AB⊥平面B1BCC1.
因为A1B1∥AB,所以A1B1⊥平面B1BCC1,
又A1B1 平面A1B1C,所以平面A1B1C⊥平面B1BCC1.
(2)因为直角三角形ABB1中,BB1=AB=1,所以AB1=,同理B1C=,所以△AB1C为等边三角形.
如图,取B1C的中点O,连接AO,BO,则AO⊥B1C,
又BB1=BC=1,所以BO⊥B1C,
所以∠AOB为二面角A-B1C-B的平面角.
因为在直角三角形BB1C中,BO=B1C=,在等边三角形AB1C中,AO=AC=,所以在三角形AOB中,cos∠AOB==,
所以二面角A-B1C-B的余弦值为.
15. [解析] 易证△DCE∽△ADC,∴AC⊥DE.易知D'H=,EH=,∵ED'=,∴D'H2+EH2=D'E2,∴D'H⊥EH,过点C在平面CD'E内作CF⊥D'E,垂足为点F,连接FH.∵D'H⊥CH,CH⊥EH,D'H∩EH=H,∴CH⊥平面D'EH,又∵D'E 平面D'EH,∴CH⊥D'E,∵D'E⊥CF,CF∩CH=C,CF,CH 平面CFH,∴D'E⊥平面CFH,∵FH 平面CFH,∴D'E⊥FH,∴二面角H-ED'-C的平面角为∠CFH.在△CD'E中,CD'=,CE=1,ED'=,由余弦定理可得cos∠CD'E==,∴sin∠CD'E==,∴CF=CD'sin∠CD'E=.∵CH⊥平面D'EH,FH 平面D'EH,∴CH⊥FH,易知CH=,∴FH==,故cos∠CFH==,∴二面角H-ED'-C的余弦值为.
16.解:(1)证明:因为PE⊥ED,PE⊥EB,EB∩ED=E,所以PE⊥平面EBCD,
又BC 平面EBCD,所以PE⊥BC.
因为BC⊥EB,EB∩PE=E,所以BC⊥平面PEB,
又EM 平面PEB,所以BC⊥EM.
因为PE=EB,M为PB的中点,所以EM⊥PB,
又BC∩PB=B,所以EM⊥平面PBC.
因为EM 平面EMN,所以平面EMN⊥平面PBC.
(2)假设存在点N满足题意,过M作MQ⊥EB于Q,
因为PE⊥EB,所以PE∥MQ,
由(1)知PE⊥平面EBCD,所以MQ⊥平面EBCD,
又EN 平面EBCD,所以MQ⊥EN.
过Q作QR⊥EN于R,连接MR,
因为MQ∩QR=Q,所以EN⊥平面MQR,
又MR 平面MQR,所以EN⊥MR,
所以∠MRQ为二面角B-EN-M的平面角.
不妨设PE=EB=BC=2,则MQ=1.
在Rt△EBN中,设BN=x(0因为Rt△EBN∽Rt△ERQ,所以=,
即=,得RQ=,
所以tan∠MRQ===,可得x=1,即此时N为BC的中点.
综上,存在点N,使得二面角B-EN-M的正切值为,此时N为BC的中点.第2课时 二面角、两平面垂直的判定定理
一、选择题
1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面 ( )
A.有1个 B.有2个
C.有无数个 D.不存在
2.下面不能确定两个平面垂直的是 ( )
A.两个平面相交,所成的二面角是直二面角
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b垂直
3.已知m,l是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,且满足l⊥α,m β,则“l∥m”是“α⊥β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则二面角A-B1D1-B的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
5.如图,已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD与圆柱的底面垂直,则必有 ( )
A.平面ABC⊥平面BCD
B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面BCD⊥平面ABD
6.若四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,四棱锥相邻两侧面形成的二面角的平面角为θ,则θ ( )
A.一定是锐角
B.一定是钝角
C.可能是直角
D.可能是锐角或钝角,但不是直角
7.已知△ABC为等边三角形,△BCD为等腰直角三角形,BC为斜边,若二面角A-BC-D的大小为150°,则直线AD与平面BCD所成角的正切值为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2024·江苏连云港期末] 已知直线a,l,平面α,β,γ,则下列结论正确的有 ( )
A.若α∥β,β∥γ,则α∥γ
B.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ
C.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l⊥γ
D.若a∥α,a∥β,α∩β=l,则a∥l
9.(多选题)[2024·江苏南京外国语学校期末] 已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是棱AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为α,SE与平面ABCD所成的角为β,二面角S-AB-C的平面角为γ,则下列结论正确的有 ( )
A.α≥β B.β≤γ
C.α≥γ D.α≤γ
二、填空题
10.已知两个不重合的平面α,β,若直线l α,添加一个条件 ,使得α⊥β.
11.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,则平面ADC与平面BDE的位置关系是 .
12.如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,测得从D,C到水库底面与水坝斜面的交线AB的距离分别为DA=5 m,CB=5 m.又测得AB的长为5 m,CD的长为5 m,则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 .
三、解答题
13.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB,点M是SD的中点,AN⊥SC于点N.求证:平面SAC⊥平面AMN.
14.[2024·浙江四校高一联考] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=1,AC=,四边形B1BCC1为正方形.
(1)求证:平面A1B1C⊥平面B1BCC1;
(2)求二面角A-B1C-B的余弦值.
15.[2024·江苏南通海安高级中学月考] 如图,已知在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E是边BC的中点,DE与AC相交于点H,现将△ACD沿AC折起,点D的位置记为D',此时ED'=,则二面角H-ED'-C的余弦值为 .
16.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E为AB的中点,沿DE将△ADE折起,使得点A到达点P的位置,且PE⊥EB,得到四棱锥P-BCDE,已知M为棱PB的中点,N为棱BC上的动点(与点B,C不重合).
(1)证明:平面EMN⊥平面PBC.
(2)是否存在点N,使得二面角B-EN-M的正切值为 若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.第2课时 二面角、两平面垂直的判定定理
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的判定定理.
2.了解二面角及其平面角的概念.
3.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点一 二面角
1.二面角
半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面
二面角 相关概念 一般地,一条直线和由这条直线出发的 的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,每个半平面叫作二面角的面
画法
记法 二面角 或α-AB-β或P-l-Q或
2.二面角的平面角
定义 一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作 于棱的射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角
图示
符号 OA α,OB β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l ∠AOB是二面角α-l-β的平面角
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫作直二面角
范围 二面角θ的取值范围是
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)二面角是从一条直线出发的两个半平面所夹的角度. ( )
(2)二面角是两个平面相交时两个平面所夹的锐角. ( )
2.二面角就是两个平面相交所形成的图形吗
◆ 知识点二 两个平面垂直
1.定义:一般地,如果两个平面所成的二面角是 ,那么就说这两个平面互相垂直.
2.画法:
3.平面与平面垂直的判定定理
判定 定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,那么α⊥β. ( )
(2)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线,那么α⊥β. ( )
(3)如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,那么α⊥β. ( )
◆ 探究点一 求二面角
例1 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A1-BD-A的正切值为 ( )
A. B. C. D.
(2)三棱锥P-ABC的两侧面PAB,PBC都是边长为2a的正三角形,AC=a,则二面角A-PB-C的大小为 ( )
A.90° B.30°
C.60° D.45°
变式 如图所示,已知三棱锥A - BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的余弦值.
[素养小结]
求二面角的平面角的大小的步骤:
简称为“一作二证三求”.
拓展 如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC且△ABC为正三角形,M,N分别是PB,PC的中点,若平面AMN⊥平面PBC,求二面角P-BC-A的余弦值.
◆ 探究点二 平面与平面垂直的判定定理的应用
例2 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=A1B=4,∠A1AB=∠A1AC.求证:平面A1BC⊥平面ABC.
变式 如图,在三棱锥D-ABC中,AB=CD=6,AD=BC=2,AB⊥BC,AD⊥DC,DB=.求证:平面ACD⊥平面ABC.
[素养小结]
判定面面垂直的方法:
(1)面面垂直的定义;
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a α α⊥β).