(共48张PPT)
13.2 基本图形位置关系
13.2.4 平面与平面的位置关系
第3课时 平面与平面垂直的性质定理以及综合应用
探究点一 平面与平面垂直的性质定理的
应用
探究点二 空间垂直关系的综合应用
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的性质
定理,并能够证明.
2.掌握空间中三种垂直关系的判定及性质的综合应用，并能够解
决一些垂直问题的命题.
知识点一 平面与平面垂直的性质定理
1.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
两个平面垂直,如 果一个平面内有 一条直线______ 于这两个平面的 ______,那么这条 直线与另一个平 面______ ______________________________
垂直
交线
垂直
2.面面垂直的性质定理的作用：
（1）判定直线与平面垂直；
（2）由平面外一点作平面的垂线时，确定垂足的位置.
【诊断分析】
（1）若两个平面垂直，则两个平面内任意两条直线互相垂直吗？
解：不一定垂直.如图①,平面平面,,,但, 不垂直.
（2）若平面平面，且直线，则直线 是否垂直于平面 内
的无数条直线？
解：是.如图②,平面 内存在无数条垂直于两个平面交线的直线,
这些直线都与直线 垂直.
（3）黑板所在平面与地面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
解：能.设黑板所在平面与地面的交线为，
在黑板上画出一条与 垂直的直线，则所画直线必与地面垂直．
知识点二 空间中垂直关系的转化
线线垂直线面垂直 面面垂直
探究点一 平面与平面垂直的性质定理的应用
例1 如图所示，在四棱锥 中，四边形
是边长为的菱形，侧面 为正三角形，
其所在平面垂直于底面，为 的中点，
．
求证：（1） 平面 ；
证明：连接，，为正三角形， 是的中点，
，又平面平面，平面 平面，
平面， 平面， .
四边形是菱形且 ，
是正三角形， .
， 平面 .
（2） .
证明： 由（1）可知，， ，
平面，又 平面， .
变式 如图，在三棱台中，在棱 上，平
面 平面， ， ，
，.证明： .
证明：连接,在中, , ,
由余弦定理得 ,
则 ,所以,
又平面平面,平面 平面,平面,
所以平面 ,又平面,所以 .
因为,,平面,平面 ,
所以平面 ,又平面,所以 ,
又,所以 .
［素养小结］
当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理
推导出线面垂直，进而得到线线垂直．因此见到面面垂直条件时要
找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线．
拓展 如图所示，四边形 是矩形，
，为的中点，以 为折痕
将折起，使到达 的位置，且平面
平面 ，得到四棱锥
.
（1）求证： ；
证明：四边形是矩形,,为 的中点,
, 都是等腰直角三角形,
,,即 .
平面平面,
平面平面,
平面, 平面, .
（2）求二面角 的余弦值.
解：由（1）知 是等腰直角三角形,
.
平面,, ,
是二面角 的平面角,
二面角的余弦值为 .
探究点二 空间垂直关系的综合应用
例2 [2024·南通海门中学高一月考] 如图，在四
棱锥中，底面 是菱形，平面
平面， 是边长为2的正三角
形，，是的中点，过点，，
的平面与交于点 .
（1）求证： ；
证明：因为底面 是菱形，所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为平面 平面，
平面 ，所以 .
（2）求证： ；
证明：由（1）知， ，所以 ，
因为是的中点，所以是 的中点，
又是正三角形，所以 .
因为平面平面，
平面 平面，平面，所以平面 .
因为平面，所以 ，又，所以 .
（3）求二面角 的正切值.
解：过作于，连接 ，如图，
由（2）知 平面 ，
因为平面，平面 ，
所以， .
因为，平面，
平面，所以平面 ，
又平面，所以 ，
所以就是二面角 的平面角.
在正三角形中，， ，
因为在中，，
，所以，
所以在 中， .
因为在中， ，
所以二面角的正切值为 .
变式 如图①，在中， ，，分别为， 的中
点，点是线段上的一点，将沿折起到 的位置，
使，得到四棱锥 ，如图②.
（1）证明： .
证明：由已知得且,
，， ,
， 平面 ，
又 平面， .
,，
平面 ， .
（2）棱上是否存在点，使 平面？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
解：棱上存在点，使 平面 .
理由如下：如图，分别取,的中点, ，
连接，，，则 .
,, 平面 即为平面 .
由（1）知平面, ，
是等腰三角形底边的中点， .
，平面，平面 .
故棱上存在点，使平面，其中 .
［素养小结］
线面垂直是沟通线线垂直与面面垂直的桥梁，线线垂直、线面垂直、
面面垂直三者之间可以相互转化，解题时需要灵活选用.
拓展 正四棱锥的底面边长为2，高为2，是 的中点，
动点在正四棱锥的表面上运动，并且总保持，则动点 的
轨迹的周长为_________.
[解析] 如图所示，连接，设 ，
连接，则 平面，且 ，
分别取，的中点，，
连接，， ，则易证 平面，
故动点的轨迹是 的三边.
， ，
又 ，
.
面面垂直的性质定理解读
（1）平面与平面垂直的性质定理包含三个条件:①两个平面垂直;②
有一条直线在一个平面内（或与一个平面平行）;③这条直线垂直于
两个平面的交线.
（2）两个平面垂直,分别在两个平面内的两条直线可能平行、相交
（含垂直相交）或异面.
运用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线.若已知有面面垂直的条
件,则可设法找出一个平面内的一条直线垂直于它们的交线,这样就能
得到线面垂直的结论.
1.线面、面面垂直的转化证明
例1 如图,多面体中,四边形 为正方形,
平面 平面,， ,
,若是的中点,求证: .
证明：因为四边形 为正方形,所以 ,
又平面平面,平面 平面,平面 ,
所以平面 ,又平面 ,所以 .
如图,连接,则 ,在 中,
,所以 .
因为,,, 平面 ,
且 ,所以 平面 ,
又 平面 , 所以 .
因为,,,平面 ,且 ,
所以平面 ,又平面 ,所以 ,
又,所以 .
因为是的中点,,所以 .
因为,平面,且 ,
所以平面 ,又平面,所以 .
例2 [2024·江苏无锡一中质检] 已知三棱锥
中，，，, 分别
为棱,的中点，且平面 平面 .
求证：平面 平面 .
证明：因为，点是 的中点，所以 ，
又因为平面平面，平面 平面，
平面 ，所以平面 .
因为平面，所以 .
因为,分别为棱,的中点，所以 ，
又因为，所以 .
因为，， 平面，
平面 ，所以 平面 ，
又因为平面，所以平面 平面 .
2.面面垂直、线面垂直、线线垂直间的相互转化
例3 如图所示,已知是所在平面外的一点,且 平面 ,
平面 平面.求证: .
证明：如图,在平面内过作 ,垂足为 .
平面平面,平面 平面 ,
平面,平面 ,
又平面, .
平面, 平面, .
,,平面,
平面 ,又平面, .
3.二面角的求法
例4 如图,在四棱锥中,底面 为
梯形,且,,等边三角形
所在的平面垂直于平面, .
（1）求证: 平面 ;
证明:如图所示,取的中点,连接 ,
是等边三角形,是 的中点, ,
又平面平面,且平面 平面
,平面 ,平面,
又平面 , .
,,,平面 ,平面 .
（2）若直线与平面所成角的正弦值为 ,求二面角
的余弦值.
解：如图所示,连接,过点, 分别作,
,垂足分别为,,过点 作,
交于点,连接 ,设,
, ,则 .
由（1）得平面,即为直线与平面 所成的角.
由（1）知平面,又,平面,, ,
则 ,,
可得 ,故, .
由 ,得 ,可得,, .
平面,,平面 ,
又平面, , 则,
由 ,
得 ,可得,
, ,点为的中点,故点为 的中点,
, .
易知即为二面角 的平面角,
,
二面角的余弦值为 .第3课时 平面与平面垂直的性质定理以及综合应用
【课前预习】
知识点一
1.垂直 交线 垂直
诊断分析
解:(1)不一定垂直.如图①,平面α⊥平面β,a α,b β,但a,b不垂直.
(2)是.如图②,平面β内存在无数条垂直于两个平面交线的直线,这些直线都与直线b垂直.
(3)能.设黑板所在平面与地面的交线为l,在黑板上画出一条与l垂直的直线,则所画直线必与地面垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 证明:(1)连接PG,BD,∵△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG 平面PAD,∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥BG.
∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.
∵AD∩PG=G,∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,∵BG∩PG=G,
∴AD⊥平面PBG,又PB 平面PBG,∴AD⊥PB.
变式 证明:连接DH,在△DCH中,∠ACD=60°,CH=2,CD=4,由余弦定理得DH2=CD2+CH2-2CD·CH·cos∠ACD=12,则CD2=CH2+DH2,
所以DH⊥AC,又平面ACFD⊥平面ABC,平面ACFD∩平面ABC=AC,DH 平面ACFD,所以DH⊥平面ABC,
又BC 平面ABC,所以DH⊥BC.
因为BH⊥BC,BH∩DH=H,BH 平面BDH,DH 平面BDH,所以BC⊥平面BDH,
又BD 平面BDH,所以BC⊥BD,
又BC∥EF,所以EF⊥BD.
拓展 解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,∴△ADE,△BCE都是等腰直角三角形,
∴∠AED=∠BEC=45°,∴∠AEB=90°,即AE⊥BE.
∵平面BEC'⊥平面ABED,平面BEC'∩平面ABED=BE,AE 平面ABED,∴AE⊥平面BEC',∴AE⊥BC'.
(2)由(1)知△BC'E是等腰直角三角形,∴∠BEC'=45°.
∵AE⊥平面BEC',∴EB⊥AE,EC'⊥AE,∴∠BEC'是二面角C'-AE-B的平面角,
∴二面角C'-AE-B的余弦值为.
探究点二
例2 解:(1)证明:因为底面ABCD是菱形,所以AB∥CD,
又AB 平面PCD,CD 平面PCD,所以AB∥平面PCD.
因为平面PCD∩平面ABEF=EF,AB 平面ABEF,
所以AB∥EF.
(2)证明:由(1)知AB∥EF,AB∥CD,所以EF∥CD,
因为E是PC的中点,所以F是PD的中点,
又△PAD是正三角形,所以AF⊥PD.
因为平面PAD⊥平面PCD,平面PAD∩平面PCD=PD,AF 平面PAD,所以AF⊥平面PCD.
因为EF 平面PCD,所以AF⊥EF,
又AB∥EF,所以AF⊥AB.
(3)过F作FH⊥PC于H,连接AH,如图,
由(2)知AF⊥平面PCD,
因为PC 平面PCD,FH 平面PCD,
所以AF⊥PC,AF⊥FH.
因为AF∩FH=F,AF 平面AFH,FH 平面AFH,所以PC⊥平面AFH,
又AH 平面AFH,所以PC⊥AH,
所以∠AHF就是二面角F-PC-A的平面角.
在正三角形PAD中,AF=,PF=1,
因为在△PCD中,PD=CD=2,PC=2,所以∠DPC=30°,所以在Rt△PFH中,FH=PF=.
因为在Rt△AFH中,tan∠AHF==2,
所以二面角F-PC-A的正切值为2.
变式 解:(1)证明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC,∴DE⊥AC,
∴DE⊥A1D,DE⊥CD,
∵A1D∩CD=D,∴DE⊥平面A1DC,
又A1F 平面A1DC,∴DE⊥A1F.
∵A1F⊥CD,DE∩CD=D,∴A1F⊥平面BCDE,
∴A1F⊥BE.
(2)棱A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.
理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,连接PQ,PD,QE,则PQ∥BC.
∵DE∥BC,∴DE∥PQ,∴平面DEQ即为平面DEQP.
由(1)知DE⊥平面A1DC,∴DE⊥A1C,
∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,∴A1C⊥DP.
∵DE∩DP=D,∴A1C⊥平面DEQP,∴A1C⊥平面DEQ.
故棱A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ,其中=.
拓展 + [解析] 如图所示,连接BD,设AC∩BD=O,连接SO,则SO⊥平面ABCD,且SO=2,分别取CD,SC的中点F,G,连接EF,GF,GE,则易证AC⊥平面GEF,故动点P的轨迹是△EFG的三边.∵DB=2,∴EF=DB=,又GF=GE=SB=×=,∴EF+FG+GE=+.第3课时 平面与平面垂直的性质定理以及综合应用
1.C [解析] 当两个平面垂直时,在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.故选C.
2.C [解析] 对于A,平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,则l⊥γ,A中说法正确;对于B,平面α⊥平面β,不妨设α∩β=a,作直线b∥a,且b α,则b∥β,B中说法正确;对于C,所作垂线不一定在平面α内,则该垂线不一定垂直于β,C中说法错误;对于D,假设平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β,这与已知平面α与平面β不垂直矛盾,所以假设不成立,D中说法正确.故选C.
3.D [解析] 易知平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1,因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1=A1B1,EF⊥A1B1,EF 平面ABB1A1,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF与平面A1B1C1D1垂直.故选D.
4.A [解析] 如图所示,连接AB',A'B,则由已知得AA'⊥平面β,∠ABA'=,BB'⊥平面α,∠BAB'=.设AB=a,则BA'=a,BB'=a,则在Rt△BA'B'中,可得A'B'=a,所以AB∶A'B'=2∶1.故选A.
5.C [解析] 因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BC⊥BD,所以BD⊥平面ABC,即B中结论正确;因为AC 平面ABC,所以BD⊥AC,即A中结论正确;因为AB=AC,O为BC的中点,所以BC⊥AO,同理可得AO⊥平面BCD,即D中结论正确;若AB⊥CD,因为BD⊥平面ABC,AB 平面ABC,所以BD⊥AB,又BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,所以AB⊥平面BCD,此时B,O重合,与已知矛盾,故C中结论错误.故选C.
6.B [解析] 由已知得侧面ABB1A1⊥底面ABC,且侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,又CB 平面ABC,若CB⊥AB,则由面面垂直的性质定理可得CB⊥平面ABB1A1,又BB1 平面ABB1A1,所以CB⊥BB1,则“CB⊥BB1”是“CB⊥AB”的必要条件.若三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,底面ABC是正三角形,则BB1⊥底面ABC,又BB1 平面ABB1A1,所以满足条件侧面ABB1A1⊥底面ABC,又CB 平面ABC,所以CB⊥BB1,但此时CB与AB不垂直.所以“CB⊥BB1”不是“CB⊥AB”的充分条件.综上所述,“CB⊥BB1”是“CB⊥AB”的必要不充分条件.故选B.
7.A [解析] 如图所示,取DE的中点M,连接PM,MC.由题意知,PD=PE,∴PM⊥DE,又平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,PM 平面PDE,∴PM⊥平面BCDE,即有PM⊥MC.在等腰直角三角形PDE中,PE=PD=2,∴PM=DE=.在△CDM中,可得CM2=DM2+CD2-2CD·MD·cos∠CDM=()2+42-2××4×=10,则PC===2.故选A.
8.ABC [解析] 因为m∥α,m∥β,α∩β=l,所以m∥l,又AB∥l,所以AB∥m,故A正确;因为AC⊥l,m∥l,所以AC⊥m,故B正确;因为A∈α,AB∥l,l α,所以B∈α,AB β,l β,所以AB∥β,故C正确;因为AC⊥l,当点C在α内时,AC⊥β成立,当点C不在α内时,AC⊥β不成立,故D不正确.故选ABC.
9.BCD [解析] 对于选项B,若BC⊥平面SAB,且SB 平面SAB,则BC⊥SB,由SB=SC,可得∠SBC=∠SCB,所以∠SBC为锐角,矛盾,所以BC与平面SAB不可能垂直,故B正确;对于选项A,若平面SBC⊥平面SAB,作AH⊥SB于H,又平面SBC∩平面SAB=SB,所以AH⊥平面SBC,则AH⊥BC,由题意可知AB⊥BC,又AB∩AH=A,AB,AH 平面SAB,可得BC⊥平面SAB,这与选项B相矛盾,故A错误;对于选项C,因为SO⊥平面ABC,可知直线SA与平面ABC所成的角为∠SAO,由题意可得,cos∠SAO==,且∠SAO为锐角,可得∠SAO=45°,所以直线SA与平面ABC所成的角为45°,故C正确;对于选项D,因为SA 平面SAC,BC∩平面SAC=C,且C SA,所以AS与BC是异面直线,故D正确.故选BCD.
10.②④ [解析] 若这两条直线平行,则这两个平面不一定相互平行,①是假命题;②是面面垂直的判定定理,故是真命题;③中,垂直于同一条直线的两条直线不一定相互平行,如正方体中共顶点的三条棱,故是假命题;易知④是真命题.
11.直角 [解析] 设P在平面ABC上的射影为O.∵平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,∴O∈AB.连接OC,OP,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心,且是AB的中点,∴△ABC是直角三角形.
12. [解析] 连接AG,如图所示.∵四边形ACDE为正方形,∴AE⊥AC,AE∥CD,则CD与GF所成的角即为AE与GF所成的角.∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,AE⊥AC,AE 平面ACDE,∴AE⊥平面ABC.∵AG 平面ABC,∴AE⊥AG.∵AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,∴AG==,AF=1,∴FG==,∴cos∠AFG==,∴CD与GF所成角的余弦值为.
13.证明:(1)因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC,
因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC,又PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC,
又BC 平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.
(2)由(1)知平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,AF⊥PC,AF 平面PAC,
所以AF⊥平面PBC,
又PB 平面PBC,所以AF⊥PB.
又因为AE⊥PB,AE∩AF=A,
所以PB⊥平面AEF,
又EF 平面AEF,所以EF⊥PB.
14.解:(1)证明:在△ABC中,AC=2BC=2,∠CAB=,
则12=AB2+4-2AB×2×cos,∴AB2-2AB+3=0,解得AB=,
∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC.
又∵平面ABC⊥平面B1C1CB,平面ABC∩平面B1C1CB=BC,AB 平面ABC,∴AB⊥平面B1C1CB.
(2)证明:在△BB1C中,BB1=2BC=2,∠CBB1=,
则B1C==
=,
∴B1C2+BC2=B,∴BC⊥B1C.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB,由(1)知AB⊥BC,
∴BC⊥A1B1,
又BC⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C 平面A1B1C,∴BC⊥平面A1B1C,
又BC 平面ABC,∴平面ABC⊥平面A1B1C.
(3)由(2)知BC⊥平面A1B1C,∴A1P在平面A1B1C内的射影为A1C,
∴∠PA1C为直线A1P与平面A1B1C所成的角.
由(1)知AB⊥平面B1C1CB,B1C 平面B1C1CB,
∴AB⊥B1C,又A1B1∥AB,∴A1B1⊥B1C.
在Rt△A1B1C中,A1B1=,B1C=,则A1C==.
在Rt△A1PC中,PC=BC=,
∴tan∠PA1C===,
∴直线A1P与平面A1B1C所成角的正切值为.
15.垂 [解析] 连接AH,BH,CH.由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直,易得PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC,PC⊥平面PAB,则有BC⊥PA,AB⊥PC,CA⊥PB.由BC⊥PA,PH⊥BC,PA∩PH=P,得BC⊥平面PAH,则BC⊥AH.同理可得AB⊥CH,CA⊥BH,所以H为△ABC的垂心.
16.解:(1)证明:∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
又==λ(0<λ<1),
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC.
又EF 平面BEF,
∴不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知,EF⊥BE,
又平面BEF⊥平面ACD,平面BEF∩平面ACD=EF,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∴BD=.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BD,
又∠ADB=60°,∴AB=BDtan 60°=tan 60°=,
∴AC==,
在Rt△ABC中,BE⊥AC,
由AB2=AE·AC得AE=,∴λ==,
故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.第3课时 平面与平面垂直的性质定理以及综合应用
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的性质定理,并能够证明.
2.掌握空间中三种垂直关系的判定及性质的综合应用,并能够解决一些垂直问题的命题.
◆ 知识点一 平面与平面垂直的性质定理
1.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线 于这两个平面的 ,那么这条直线与另一个平面 a⊥α 面面垂直 线面垂直
2.面面垂直的性质定理的作用:
(1)判定直线与平面垂直;
(2)由平面外一点作平面的垂线时,确定垂足的位置.
【诊断分析】 (1)若两个平面垂直,则两个平面内任意两条直线互相垂直吗
(2)若平面α⊥平面β,且直线b α,则直线b是否垂直于平面β内的无数条直线
(3)黑板所在平面与地面垂直,能否在黑板上画一条直线与地面垂直
◆ 知识点二 空间中垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
◆ 探究点一 平面与平面垂直的性质定理的应用
例1 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD的中点,∠DAB=60°.
求证:(1)BG⊥平面PAD;
(2)AD⊥PB.
变式 如图,在三棱台ABC-DEF中,H在棱AC上,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACD=60°,CH=2,CD=4,BH⊥BC.证明:EF⊥BD.
[素养小结]
当题目条件中有面面垂直的条件时,往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直,进而得到线线垂直.因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线,有目的地在平面内找交线的垂线.
拓展 如图所示,四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,以BE为折痕将△BEC折起,使C到达C'的位置,且平面BEC'⊥平面ABED,得到四棱锥C'-ABED.
(1)求证:AE⊥BC';
(2)求二面角C'-AE-B的余弦值.
◆ 探究点二 空间垂直关系的综合应用
例2 [2024·南通海门中学高一月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,平面PAD⊥平面PCD,△PAD是边长为2的正三角形,PC=2,E是PC的中点,过点A,B,E的平面与PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)求证:AF⊥AB;
(3)求二面角F-PC-A的正切值.
变式 如图①,在Rt△ABC中,C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F是线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,得到四棱锥A1-BCDE,如图②.
(1)证明:A1F⊥BE.
(2)棱A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ 若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
[素养小结]
线面垂直是沟通线线垂直与面面垂直的桥梁,线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间可以相互转化,解题时需要灵活选用.
拓展 正四棱锥S - ABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在正四棱锥的表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为 . 第3课时 平面与平面垂直的性质定理以及综合应用
一、选择题
1.设平面α⊥平面β,若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则 ( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面一定垂直
2.下列说法中错误的是 ( )
A.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α⊥平面β,过α内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于β
D.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是 ( )
A.平行
B.EF 平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直
D.垂直
4.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与平面α,β所成的角分别为和.过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A',B',则AB∶A'B'等于 ( )
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
5.[2024·广东部分名校期中] 如图,在四面体ABCD中,AB=AC,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD,O为BC的中点,则下列结论中错误的是 ( )
A.AC⊥BD B.BD⊥平面ABC
C.AB⊥CD D.AO⊥平面BCD
6.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,则“CB⊥BB1”是“CB⊥AB”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知在矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为AB的中点,沿着DE将△ADE翻折到△PDE的位置,得到四棱锥P-EBCD,并使平面PDE⊥平面EBCD,则PC的长为 ( )
A.2 B.2 C.4 D.6
8.(多选题)[2024·聊城外国语学校高一月考] 已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A l,若直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则 ( )
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
9.(多选题)如图,AC为圆锥SO的底面圆O的直径,点B是圆O上异于A,C的动点,SA=,AC=2,则下列说法正确的是 ( )
A.平面SBC⊥平面SAB
B.BC与平面SAB不可能垂直
C.直线SA与平面ABC所成的角为45°
D.AS与BC是异面直线
二、填空题
10.给出下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中所有真命题的序号是 .
11.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是
三角形.
12.如图,正方形ACDE所在的平面与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则CD与GF所成角的余弦值为 .
三、解答题
13.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,过点A分别作AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)求证:EF⊥PB.
14.[2024·泰兴中学高一月考] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BB1=2BC=2,∠CBB1=2∠CAB=,且平面ABC⊥平面B1C1CB.
(1)证明:AB⊥平面B1C1CB;
(2)证明:平面ABC⊥平面A1B1C;
(3)设点P为棱BC的中点,求直线A1P与平面A1B1C所成角的正切值.
15.三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为△ABC的 心.
16.如图,已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1).
(1)求证:不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC;
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD.
