(共52张PPT)
13.3 空间图形的表面积和体积
13.3.1 空间图形的表面积
探究点一 多面体的侧面积和表面积
探究点二 旋转体的侧面积与表面积
探究点三 简单组合体的表面积
【学习目标】
1.知道棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算公式.
2.能用公式计算一些简单几何体的表面积.
3.能用公式计算一些简单组合体的表面积.
4.能用公式解决简单的实际问题.
知识点一 多面体的表面积
1.多面体的表面积:我们一般把多面体展开成__________得到这个多
面体的展开图，通过计算展开图的面积求多面体的表面积.
平面图形
2.几个特殊的空间图形的定义
（1）直棱柱：侧棱和底面______的棱柱；直棱柱的________就是直
棱柱的____.
正棱柱:底面为__________的____棱柱.
垂直
侧棱长
高
正多边形
直
（2）正棱锥：底面是__________，并且顶点在底面的射影是______
_____.
正棱锥的________都相等,侧面均为全等的____________.
正多边形
底面中心
侧棱长
等腰三角形
（3）正棱台:正棱锥被________底面的平面所截，截面和底面之间
的部分叫作正棱台.
正棱台的________都相等,侧面均为全等的__________.
平行于
侧棱长
等腰梯形
3.特殊多面体的表面积
多 面 体 图形 表面积公式
直 棱 柱 _______________________________________________________________________________________________
多 面 体 图形 表面积公式
正 棱 锥 __________________________________________________________________________________
续表
多 面 体 图形 表面积公式
正 棱 台 ________________________________________________________________________________________
续表
4.正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系：
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）五棱锥的表面积等于五个侧面面积之和.( )
×
[解析] 五棱锥的表面积等于五个侧面面积与一个底面面积之和.
（2）沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.
( )
×
[解析] 沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图可能不同，但表面
积相等.
（3）如果一个正方体的每条棱都增加 ,它的表面积扩大为原来
的4倍,那么扩大后的正方体的棱长为 .( )
×
[解析] 设原来正方体的棱长为,则 ,
可得,所以扩大后的正方体的棱长为 .
2.已知正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的两底面面积之和为
_______,侧面积为_____,表面积为____________.
144
[解析] 由题知两底面面积之和为 ,
侧面积为,则该正六棱柱的表面积为 .
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
图形 面积公式
旋转 体 圆 柱
图形 面积公式
旋转 体 圆 锥
续表
图形 面积公式
旋转 体 圆 台
续表
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）圆柱的侧面积等于底面圆的面积与高的积.( )
×
[解析] 圆柱的侧面积等于底面圆的周长与高的积.
（2）圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的 ,它的
表面积不变.( )
×
[解析] 当圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的 时,
它的底面积扩大为原来的4倍,而侧面积不变,所以它的表面积发生了变化.
（3）圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、一个扇形、一个
扇环.( )
×
[解析] 圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形和两个相等的圆、
一个扇形和一个圆、一个扇环和两个不相等的圆.
2.已知圆锥的底面半径为,高为 ,则这个圆锥的底面积为
_____,侧面积为_____,表面积为_____ .
[解析] 因为圆锥的底面半径为,所以底面积为 .
由勾股定理得,圆锥的母线长为 ,
所以圆锥的侧面积为,
故表面积为 .
探究点一 多面体的侧面积和表面积
例1 正四棱台的两底面边长分别为和 .
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为
，求正四棱台的侧面积；
解：如图所示,连接,,分别取, 的中点,,
则, 分别为上、下底面的中心,连接,
过作于,过作于 ,连接,
则 为正四棱台的斜高.
由题意知 , .
在中, ,又 ,
,
.
（2）若正四棱台的侧面积等于两底面面积之和，求正四棱台的高.
解：设正四棱台的高为，斜高为 ，
由题意得， ，
又， .
变式（1） [2024·江苏灌云一中高一期末] 已知直
三棱柱的侧棱长为3，直三棱柱底面的直观图是一
个等腰直角三角形（如图），斜边 ，
则该直三棱柱的侧面积为_______________.
[解析] 由题意知 ，由斜二测画法知，
直三棱柱的底面周长为 ，又直三棱柱的侧棱长为3，
故其侧面积为 .
（2）[2024·江苏连云港高一期末] 用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做
的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是1米，底面的边长
是1.5米，已知每平方米需用油漆150克，则大约需用油漆____千克.
（精确到0.1千克）
1.2
[解析] 如图,正四棱锥 表示冷水塔塔顶,
为底面中心,是高,是斜高,则 米,
底面的边长是1.5米.
在 中,由勾股定 理得 (米),
所以 (平方米).
因为铁皮的正反面都要涂漆,所以共需用油漆 (克),
由精确到0.1千克,实际问题向上取整,可得大约需用油漆1.2千克.
（3）[2024·无锡江阴两校高一期中] 若正三棱台上底面的边长为1，
下底面的边长为2，侧棱长为1，则它的表面积为_ ___.
[解析] 根据题意，正三棱台的上、下底面均为等边三角形，
且上底面的边长为1，下底面的边长为2，侧面为等腰梯形，
则斜高 ，所以它的表面积为
.
［素养小结］
求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量:底面边长、高、斜高、
侧棱.
拓展 已知正四棱台（上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面
的射影是下底面的中心）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，
则它的表面积为______________．
[解析] 方法一：如图,设,分别是, 的中点,
, 分别是下、上底面正方形的中心,连接,
则为正四棱台的高,且 .
连接,,则 , .
过作,垂足为,则 ,,
所以.连接 ,在中,
,所以 .
所以 ,
所以 .
方法二：如图,将正四棱台的侧棱延长后交于一点 .
分别取,的中点,,连接,则 的延长线必过点.
设,分别是正方形 与正方形的中心,
连接,, ,则有, ,
所以,即 ,所以.
在 中,,所以.
在 中, ,所以 ,
所以.
所以 ，所以 .
探究点二 旋转体的侧面积与表面积
例2（1） [2024·南京高一期末]已知圆锥的母线长为2，轴截面为等
边三角形，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为圆锥的母线长为2,轴截面为等边三角形,所以圆锥的底面
半径为1,则该圆锥的侧面积,底面积
,所以该圆锥的表面积 .故选A.
√
（2）一个圆锥被截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是 ,截
去小圆锥的母线长为,则圆台的母线长为___ .
9
[解析] 设圆台的母线长为 ,因为圆台的上、下底面半径的比是
,所以可设圆台的上、下底面半径分别是, ,根据相似三
角形的性质得,解得,故圆台的母线长为 .
（3）已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面
的平面截圆柱所得截面为矩形 ,剩余部分如图所
示.若弦所对的圆心角为 ,则剩余部分的表面积为
______________.
[解析] 因为弦所对的圆心角为 ,
所以剩余部分的底面面积为 ,
侧面积为 ，
所以剩余部分的表面积为 .
变式（1） [2024·江苏无锡堰桥高级中学高一期中]已知圆锥的侧面
积为 ，它的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则此圆锥的高为
( )
A. B. C. D.2
[解析] 设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积为 ，
它的侧面展开图是圆心角为的扇形，所以 可得
所以圆锥的高 .故选B.
√
（2）[2024·江苏连云港高一期末]用油漆涂100个圆台形水桶
（桶内外侧都要涂），桶口直径为30厘米，桶底直径为25厘米，母
线长是27.5厘米.已知每平方米需用油漆120克，则大约需用油漆
（ 取 ，结果精确到0.1千克）( )
A.6.7千克 B.6.8千克 C.6.9千克 D.7.0千克
√
[解析] 30厘米米,25厘米米,
27.5厘米米, 克 千克，
水桶的侧面积 （平方米）,
桶底的面积 （平方米）,
故一个水桶需要涂漆的面积 （平方米）,
故100个水桶共需用油漆 （千克）.
故选C.
［素养小结］
（1）求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底面
的半径和母线长，求半径和母线长时常借助轴截面.
（2）解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面
问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧
面积，进而求出表面积.
探究点三 简单组合体的表面积
例3 [2024·湖北华师大一附中高一月考]毡帐是蒙古族牧民
居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和
搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可
视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为
2.5米，上半部分圆锥的母线长为 米，其轴截面（过圆
锥轴的截面）是面积为 平方米的等腰钝角三角形，则
建造该毡帐（不含底面）需要毛毡( )
A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米
√
[解析] 根据题意,该组合体上半部分为圆锥,其母线长为 米,轴截面
是面积为平方米的等腰钝角三角形,设其高为 米,底面半径为米,
则有所以
则上半部分圆锥的侧面积 (平方米).
又下半部分圆柱的侧面积 (平方米)，
所以该组合体的表面积(不含底面)为 (平方米).
故选A.
变式 [2024·重庆杨家坪中学高一月考] 某广场设置了一些石凳
（如图①）供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面
体得到的（如图②），若被截正方体的棱长是 ,那么该几何体的
表面积是____________ .
[解析] 因为截去的八个四面体是相同的,所以该几何体是由边长为
的六个正方形和八个正三角形围成的,所以该几何体的表面积
为 .
［素养小结］
（1）组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简单空
间图形组成,然后再根据条件求各个空间图形的基本量，注意方程思
想的应用.
（2）在实际问题中,常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，
如何节省原材料等，在求解时应结合实际,明确实际物体究竟是哪种
空间图形，哪些面计算在内,哪些面在实际中没有.
1.多面体的表面积就是多面体各个面的面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式中的高为几何体的斜高（侧面的高）.
3.说明:圆台 及其侧面展开图如图所示,侧面
展开图是扇环,内弧长等于圆台上底面周长,外
弧长等于圆台下底面周长.
由,解得 .
,
所以, .
1.计算棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用面积累加的方式求解.
2.求简单几何体的表面积,一要掌握这些几何体的表面积的计算公式,
二要分清要求的是哪类的几何体,或者是由哪些简单几何体组成的,然
后再用公式求其表面积.
3.解决求旋转体的表面积问题时,要利用好旋转体的轴截面及侧面展
开图,借助平面几何知识,求得所需的几何要素,代入公式求解即可.
例 如图,在直角梯形中,, ,
,,以 边所在的直线为轴,其余三
边旋转一周形成的面围成一个几何体.
（1）求该几何体的表面积;
解：由题知,该几何体是一个上底面半径 ,
下底面半径,母线长 的圆台, 表面积
.
（2）一只蚂蚁在该几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到
点 ,求蚂蚁爬行的最短距离.
解：将圆台的侧面沿母线 剪开,展开得到如图所示的一个扇环,
设的延长线与 的延长线交于点 .
,的长等于的长的2倍,
,又,, .
设 ,则的长 , .
连接,取线段的中点,连接,则 ,
在中,易得 , ,
易知蚂蚁从点 绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短距离即为
线段 的长, , 蚂蚁爬行的最短距离为 .13.3 空间图形的表面积和体积
13.3.1 空间图形的表面积
【课前预习】
知识点一
1.平面图形
2.(1)垂直 侧棱长 高 正多边形 直
(2)正多边形 底面中心 侧棱长 等腰三角形
(3)平行于 侧棱长 等腰梯形
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)五棱锥的表面积等于五个侧面面积与一个底面面积之和.
(2)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图可能不同,但表面积相等.
(3)设原来正方体的棱长为x cm,则6(x+1)2=4×6x2,可得x=1,所以扩大后的正方体的棱长为2 cm.
2.48 144 144+48 [解析] 由题知两底面面积之和为2××42×6=48,侧面积为6×6×4=144,则该正六棱柱的表面积为144+48.
知识点二
1.πr2 2πrl 2πr(r+l) πr2 πrl πr(r+l) πr'2 πr2 π(r'l+rl) π(r2+r'2+rl+r'l)
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)圆柱的侧面积等于底面圆的周长与高的积.
(2)当圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的时,它的底面积扩大为原来的4倍,而侧面积不变,所以它的表面积发生了变化.
(3)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形和两个相等的圆、一个扇形和一个圆、一个扇环和两个不相等的圆.
2.16π 24π 40π [解析] 因为圆锥的底面半径为4 cm,所以底面积为16π cm2.由勾股定理得,圆锥的母线长为=6(cm),所以圆锥的侧面积为π×4×6=24π(cm2),故表面积为16π+24π=40π(cm2).
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)如图所示,连接A1C1,AC,分别取A1C1,AC的中点O1,O,则O1,O分别为上、下底面的中心,连接O1O,过C1作C1E⊥AC于E,过E作EF⊥BC于F,连接C1F,则C1F为正四棱台的斜高.
由题意知∠C1CO=45°,CE=CO-EO=CO-C1O1=(b-a).在Rt△C1CE中,C1E=CE=(b-a),
又EF=CE·sin 45°=(b-a),∴C1F===(b-a),
∴S侧=(4a+4b)×(b-a)=(b2-a2).
(2)设正四棱台的高为h,斜高为h斜,
由题意得(4a+4b)·h斜=a2+b2,∴h斜=,
又EF=,∴h==.
变式 (1)3(1++) (2)1.2 (3) [解析] (1)由题意知O'A'= ,由斜二测画法知,直三棱柱的底面周长为1++ ,又直三棱柱的侧棱长为3,故其侧面积为 3(1++) .
(2)如图,正四棱锥S-ABCD表示冷水塔塔顶,O为底面中心,SO是高,SE是斜高,则SO=1米,底面的边长是1.5米.在Rt△SOE中,由勾股定理得SE==1.25(米),所以S正四棱锥侧=×(1.5×4)×1.25=3.75(平方米).因为铁皮的正反面都要涂漆,所以共需用油漆3.75×2×150=1125(克),由精确到0.1千克,实际问题向上取整,可得大约需用油漆1.2千克.
(3)根据题意,正三棱台的上、下底面均为等边三角形,且上底面的边长为1,下底面的边长为2,侧面为等腰梯形,则斜高h'==,所以它的表面积为×1×1×+×2×2×+3×=.
拓展 108+180 [解析] 方法一:如图,设E,E1分别是BC,B1C1的中点,O,O1分别是下、上底面正方形的中心,连接OO1,则O1O为正四棱台的高,且O1O=12.连接OE,O1E1,则OE=AB=×12=6,O1E1=A1B1=3.过E1作E1H⊥OE,垂足为H,则E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,所以HE=OE-OH=6-3=3.连接EE1,在Rt△E1HE中,E1E2=E1H2+HE2=122+32=153,所以E1E=3.所以S侧=4××(B1C1+BC)×E1E=2×(6+12)×3=108,所以S表=108+62+122=108+180.
方法二:如图,将正四棱台的侧棱延长后交于一点P.分别取B1C1,BC的中点E1,E,连接EE1,则EE1的延长线必过P点.设O1,O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心,连接PO,O1E1,OE,则有O1E1=A1B1=3,OE=AB=6,所以==,即=,所以PO1=O1O=12.在Rt△PO1E1中,P=P+O1=122+32=153,所以PE1=3.在Rt△POE中,PE2=PO2+OE2=242+62=612,所以PE=6,所以E1E=PE-PE1=6-3=3.
所以S侧=4××(BC+B1C1)×E1E=2×(12+6)×3=108,
所以S表=108+62+122=108+180.
探究点二
例2 (1)A (2)9 (3)π+2+6 [解析] (1)因为圆锥的母线长为2,轴截面为等边三角形,所以圆锥的底面半径为1,则该圆锥的侧面积S侧=×(2π×1)×2=2π,底面积S底=π×12=π,所以该圆锥的表面积S表=S侧+S底=3π.故选A.
(2)设圆台的母线长为y cm,因为圆台的上、下底面半径的比是1∶4,所以可设圆台的上、下底面半径分别是x cm,4x cm,根据相似三角形的性质得=,解得y=9,故圆台的母线长为9 cm.
(3)因为弦AB所对的圆心角为,所以剩余部分的底面面积为××22+×22×sin=+,侧面积为π×2×3+2×3=10π+6,所以剩余部分的表面积为×2+10π+6=π+2+6.
变式 (1)B (2)C [解析] (1)设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为圆锥的侧面积为3π,它的侧面展开图是圆心角为的扇形,所以可得所以圆锥的高h==2.故选B.
(2)30厘米=0.3米,25厘米=0.25米,27.5厘米=0.275米,120克=0.12千克,水桶的侧面积S侧=π×0.275×=0.275×0.275π(平方米),桶底的面积S底=π×=0.125×0.125π(平方米),故一个水桶需要涂漆的面积S=2(S侧+S底)=0.182 5π(平方米),故100个水桶共需用油漆100×0.12×0.182 5π=6.876 6≈6.9(千克).故选C.
探究点三
例3 A [解析] 根据题意,该组合体上半部分为圆锥,其母线长为2米,轴截面是面积为3平方米的等腰钝角三角形,设其高为h米,底面半径为r米,则有所以则上半部分圆锥的侧面积S1=π×3×2=6π(平方米).又下半部分圆柱的侧面积S2=2π×3×2.5=15π(平方米),所以该组合体的表面积(不含底面)为S1+S2=(6+15)π(平方米).故选A.
变式 36(3+) [解析] 因为截去的八个四面体是相同的,
所以该几何体是由边长为3 dm的六个正方形和八个正三角形围成的,所以该几何体的表面积为6×(3)2+8××(3)2=36(3+)(dm2).13.3 空间图形的表面积和体积
13.3.1 空间图形的表面积
1.B [解析] 根据题意,圆锥的母线长l==,代入S侧=πrl得S侧=π×1×=π.故选B.
2.A [解析] 设上底面半径为r,因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,所以另一个底面的半径为3r,又圆台的母线长为3,圆台的侧面积为84π,所以π(r+3r)l=84π,解得r=7,所以圆台较小底面的半径为7.故选A.
3.B [解析] 如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD的边长为2,设点P在底面ABCD上的射影为点O,连接AC,BD,且AC∩BD=O,则四棱锥P-ABCD的高PO=,O为AC的中点,则AO=AC=AB=,PB=PA==,取AB的中点E,连接PE,则PE⊥AB,且PE==2,所以S△PAB=AB·PE=2,所以正四棱锥P-ABCD的表面积S=4×2+22=12.故选B.
4.A [解析] 设圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的表面积为2πr2+2πrh,新几何体的表面积为2πr2+2πrh+2rh,故2rh=10,故圆柱的侧面积为2πrh=10π.故选A.
5.A [解析] 因为S圆柱侧=2π××2=6π(cm2),S组合体圆台侧=π××+π××=(36+12)π(cm2),所以该青铜器的表面积S=π×+π×+(36+12)π+6π=(cm2).故选A.
6.A [解析] 设正三棱锥的底面边长为a,侧棱长为b,则底面积S1=a2,侧面积S2=3×a×.表面积是底面积的5倍,则侧面积是底面积的4倍,即4S1=S2,化简可得=a,即=,所以==.故选A.
7.C [解析] 圆锥的轴截面如图所示,设圆柱的底面半径为r,OO'=x,由O'A∥OB可知,=,即=,所以r=,故被挖去的圆柱的侧面积S=2πrx=2πx×=πx(12-x)≤π×=36π,当且仅当x=6时取等号,所以该圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值为36π.故选C.
8.AB [解析] 若绕直角边所在直线旋转,则得到的几何体为底面半径为1,高为1的圆锥,母线长为,故圆锥的表面积为π×12+π×1×=(1+)π;若绕斜边所在直线旋转,则得到的几何体为同底的两个圆锥的组合体,每个圆锥的底面半径和高都是,母线长为1,故组合体的表面积为π××1×2=π.故选AB.
9.ACD [解析] 如图,在正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,因为A1B1=2 cm,AB=6 cm,AA1=5 cm,所以侧面梯形ABB1A1的高即正六棱台的斜高为=(cm),所以梯形ABB1A1的面积S=×(2+6)×=4(cm2),故正六棱台的侧面积为6S=6×4=24(cm2),故B错误;由图可知该正六棱台的上底面面积为6个边长为2的等边三角形的面积和,所以该正六棱台的上底面面积S1=6××2×2×sin 60°
=6(cm2),故A正确;同理得下底面面积S2=6××6×6×sin 60°=54(cm2),所以该正六棱台的表面积是6S+S1+S2=(60+24)cm2,故C正确;正六棱台的高为OO1==3(cm),故D正确.故选ACD.
10.60 cm2 [解析] 设正四棱柱的底面边长为a cm,由题意得a2+a2+25=43,可得a=3,∴侧面积为4a×5=60(cm2).
11.6+4 [解析] 由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,侧棱长为,可得矩形BB1D1D的面积S1=BD·BB1=2×=4,△A1B1D1的面积S2=A1B1·A1D1=×2×2=2,△A1B1B的面积S3=A1B1·BB1=×2×=,△A1D1D的面积S4=S3=,△A1BD中,因为A1B=A1D=,BD=2,则BD边上的高h==2,所以△A1BD的面积S5=×2×2=2,所以四棱锥A1-BB1D1D的表面积为S1+S2+S3+S4+S5=6+4.
12.π(R2-l2) [解析] 题图中的几何体的轴截面如图所示,因为OA=AB=R,所以△AOB是等腰直角三角形.又CD∥OA,所以CD=BC.设O1D=x,则CD=R-x.又BC=R-l,所以x=l,所以所求截面面积S=πR2-πl2=π(R2-l2).
13.解:(1)由题意BE=EC=1,DE=AE=2×sin 60°=,
根据正三棱柱得CC1⊥平面ABC,
又BC 平面ABC,所以CC1⊥BC,
可得在Rt△ECD中,CD===,
又D是CC1的中点,所以侧棱长为2.
(2)底面积S1=2S△ABC=2×2××=2,侧面积S2=3=3×2×2=12.
所以棱柱的表面积S=S1+S2=12+2.
14.解:(1)在△AOB中,由AO⊥OB,∠OBA=60°,OB=,得AB=2.
∴圆锥的底面积S1=π×()2=3π,
圆锥的侧面积S2=π××2=6π,
∴圆锥的表面积S=S1+S2=9π.
(2)当正方体的外接球在圆锥内,且与圆锥相切时a最大,
球心G在AO上,作GH⊥AB于H,如图,
设球的半径为R,由已知可得,OA==3,
在Rt△AGH中,可得R=(3-R),解得R=1,则2R=a,解得a=,∴a的最大值为.
15.C [解析] 设D,D1分别是BC,B1C1的中点,连接AD,A1D1,DD1,设O,O1分别是正三角形ABC和正三角形A1B1C1的中心,连接OO1,则O∈AD,O1∈A1D1,且O1D1=A1D1=,OD=AD=.因为OO1⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以OO1⊥BC,又AD⊥BC,AD∩OO1=O,AD,OO1 平面ADD1A1,所以BC⊥平面ADD1A1,又DD1 平面ADD1A1,所以BC⊥DD1,所以∠D1DA是棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角,所以∠D1DA=60°,过D1作D1E⊥AD,垂足为E,则DE=OD-O1D1=,所以DD1=,所以三棱台的表面积为×22×sin 60°+×42×sin 60°+××3=11.故选C.
16.解:(1)∵O是正六棱锥底面的中心,
∴PO是棱锥的高,如图,连接OC,可知OC=2,
在Rt△POC中,PO==2,即棱锥的高为2,
设BC的中点为M,连接PM,由△PBC是等腰三角形可知, PM⊥BC,
因此PM是斜高,从而PM==,即棱锥的斜高为.
∵△PBC的面积为×BC×PM=×2×=,∴棱锥的侧面积为6,又底面正六边形ABCDEF的底面积S底=6××22=6,
∴棱锥的表面积为S底+S侧=6+6.
(2)设圆柱的高h=x(0易知PO=2,OM=,
设圆柱的底面半径为r,则=,即r=(2-x),
则圆柱的侧面积S=2πr·x=2π·(2-x)·x≤π=π.
当且仅当(2-x)=x,即x=1时,S取得最大值π.此时,圆柱的底面半径r=.13.3 空间图形的表面积和体积
13.3.1 空间图形的表面积
【学习目标】
1.知道棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算公式.
2.能用公式计算一些简单几何体的表面积.
3.能用公式计算一些简单组合体的表面积.
4.能用公式解决简单的实际问题.
◆ 知识点一 多面体的表面积
1.多面体的表面积:我们一般把多面体展开成 得到这个多面体的展开图,通过计算展开图的面积求多面体的表面积.
2.几个特殊的空间图形的定义
(1)直棱柱:侧棱和底面 的棱柱;直棱柱的 就是直棱柱的 .
正棱柱:底面为 的 棱柱.
(2)正棱锥:底面是 ,并且顶点在底面的射影是 .
正棱锥的 都相等,侧面均为全等的 .
(3)正棱台:正棱锥被 底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫作正棱台.
正棱台的 都相等,侧面均为全等的 .
3.特殊多面体的表面积
多面体 图形 表面积公式
直棱柱 S直棱柱侧=ch(c为直棱柱的底面周长,h为直棱柱的高). S表=S侧+2S底
正棱锥 S正棱锥侧=ch'(c为正棱锥的底面周长,h'为斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)). S表=S侧+S底
正棱台 S正棱台侧=(c+c')h'(c',c分别为正棱台的上、下底面的周长,h'为斜高). S表=S侧+S上底+S下底
4.正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系:
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)五棱锥的表面积等于五个侧面面积之和. ( )
(2)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等. ( )
(3)如果一个正方体的每条棱都增加1 cm,它的表面积扩大为原来的4倍,那么扩大后的正方体的棱长为4 cm. ( )
2.已知正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的两底面面积之和为 ,侧面积为 ,表面积为 .
◆ 知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
图形 面积公式
旋 转 体 圆 柱 r为底面半径, l是母线长 底面积:S底= ; 侧面积:S侧= ; 表面积:S=
圆 锥 r为底面半径, l是母线长 底面积:S底= ; 侧面积:S侧= ; 表面积:S=
圆 台 r',r分别是上、下底 面半径,l是母线长 上底面面积:S上底= ; 下底面面积:S下底= ; 侧面积:S侧= ; 表面积:S=
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆柱的侧面积等于底面圆的面积与高的积.( )
(2)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的,它的表面积不变. ( )
(3)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、一个扇形、一个扇环. ( )
2.已知圆锥的底面半径为4 cm,高为2 cm,则这个圆锥的底面积为 cm2,侧面积为 cm2,表面积为 cm2.
◆ 探究点一 多面体的侧面积和表面积
例1 正四棱台的两底面边长分别为a和b(a(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°,求正四棱台的侧面积;
(2)若正四棱台的侧面积等于两底面面积之和,求正四棱台的高.
变式 (1)[2024·江苏灌云一中高一期末] 已知直三棱柱的侧棱长为3,直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形O'A'B'(如图),斜边O'B'=1,则该直三棱柱的侧面积为 .
(2)[2024·江苏连云港高一期末] 用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶(铁皮的正反面都要涂漆),其高是1米,底面的边长是1.5米,已知每平方米需用油漆150克,则大约需用油漆 千克.(精确到0.1千克)
(3)[2024·无锡江阴两校高一期中] 若正三棱台上底面的边长为1,下底面的边长为2,侧棱长为1,则它的表面积为 .
[素养小结]
求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量:底面边长、高、斜高、侧棱.
拓展 已知正四棱台(上、下底面是正方形,上底面的中心在下底面的射影是下底面的中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,则它的表面积为 .
◆ 探究点二 旋转体的侧面积与表面积
例2 (1)[2024·南京高一期末] 已知圆锥的母线长为2,轴截面为等边三角形,则该圆锥的表面积为 ( )
A.3π B.π C.π D.2π
(2)一个圆锥被截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4,截去小圆锥的母线长为3 cm,则圆台的母线长为 cm.
(3)已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD,剩余部分如图所示.若弦AB所对的圆心角为,则剩余部分的表面积为 .
变式 (1)[2024·江苏无锡堰桥高级中学高一期中] 已知圆锥的侧面积为3π,它的侧面展开图是圆心角为的扇形,则此圆锥的高为 ( )
A.π B.2 C.π D.2
(2)[2024·江苏连云港高一期末] 用油漆涂100个圆台形水桶(桶内外侧都要涂),桶口直径为30厘米,桶底直径为25厘米,母线长是27.5厘米.已知每平方米需用油漆120克,则大约需用油漆(π取3.14,结果精确到0.1千克) ( )
A.6.7千克 B.6.8千克
C.6.9千克 D.7.0千克
[素养小结]
(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积,只需求出上、下底面的半径和母线长,求半径和母线长时常借助轴截面.
(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题,即在展开图内求母线的长,再进一步代入侧面积公式求出侧面积,进而求出表面积.
◆ 探究点三 简单组合体的表面积
例3 [2024·湖北华师大一附中高一月考] 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子,内部木架结构,外部毛毡围拢,建造和搬迁都很方便,适合牧业和游牧生活.如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体,下半部分圆柱的高为2.5米,上半部分圆锥的母线长为2米,其轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为3平方米的等腰钝角三角形,则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡 ( )
A.(6+15)π平方米
B.(5+6)π平方米
C.(12+15)π平方米
D.(10+6)π平方米
变式 [2024·重庆杨家坪中学高一月考] 某广场设置了一些石凳(如图①)供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图②),若被截正方体的棱长是6 dm,那么该几何体的表面积是 dm2.
[素养小结]
(1)组合体的侧面积和表面积问题,首先要弄清楚它由哪些简单空间图形组成,然后再根据条件求各个空间图形的基本量,注意方程思想的应用.
(2)在实际问题中,常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料,如何节省原材料等,在求解时应结合实际,明确实际物体究竟是哪种空间图形,哪些面计算在内,哪些面在实际中没有.13.3 空间图形的表面积和体积
13.3.1 空间图形的表面积
一、选择题
1.[2024·江苏南通期末] 已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为 ( )
A.π B.π
C.2π D.2π
2.[2024·江苏湛江期末] 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为 ( )
A.7 B.6
C.5 D.3
3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为 ( )
A.8 B.12
C.16 D.20
4.[2024·扬州一中高一月考] 四等分切割如图所示的圆柱,再将其重新组合成一个新的几何体,若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了10,则圆柱的侧面积是 ( )
A.10π B.20π
C.10 D.20
5.如图,青铜器的上半部分可以近似看作圆柱,下半部分可以近似看作两个圆台的组合体,已知AB=9 cm,CD=3 cm,则该青铜器的表面积为(假设上、下底面圆是封闭的) ( )
A. cm2 B.(18+58)π cm2
C. cm2 D.(18+36)π cm2
6.[2024·重庆育才中学期中] 正三棱锥P-ABC的表面积是底面积的5倍,则= ( )
A. B.
C. D.2
7.如图,圆锥PO的底面直径和高均为12,过PO上一点O'作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱,则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为 ( )
A.12π B.24π
C.36π D.72π
8.(多选题)[2024·江苏江阴期中] 已知一个等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为 ( )
A.π B.(1+)π
C.2π D.(2+)π
9.(多选题)正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm,侧棱长是5 cm,则下列说法正确的是 ( )
A.该正六棱台的上底面面积是6cm2
B.该正六棱台的侧面面积是15 cm2
C.该正六棱台的表面积是(60+24)cm2
D.该正六棱台的高是3 cm
二、填空题
10.已知正四棱柱的侧棱长为5 cm,它的体对角线长为 cm,则这个正四棱柱的侧面积为 .
11.如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,侧棱长为,切割这个正四棱柱,得到四棱锥A1-BB1D1D,则这个四棱锥的表面积为 .
12.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为l,并且平行于底面的平面去截这个几何体,则截面面积为 .
三、解答题
13.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D,E是CC1,BC的中点,AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长;
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
14.如图,在△AOB中,AO⊥OB,∠OBA=60°,OB=,现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥.
(1)求圆锥的表面积;
(2)若一个棱长为a的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动,求a的最大值.
15.[2024·广东深圳宝安中学月考] 已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面的边长分别为2和4,且棱台的侧面与底面所成的二面角为60°,则此三棱台的表面积为 ( )
A.7 B.10
C.11 D.12
16.[2024·郑州期中] 如图,底面边长为2且侧棱长为2的正六棱锥P-ABCDEF,O是底面的中心,在其内部有一个高为x的内接圆柱(圆柱的下底面在棱锥的底面上,上底面圆周与棱锥各侧面相切).
(1)求棱锥的表面积;
(2)求圆柱侧面积的最大值及侧面积取得最大值时圆柱底面半径的值.
