(共53张PPT)
13.3 空间图形的表面积和体积
13.3.2 空间图形的体积
探究点一 柱体、锥体、台体的体积
探究点二 球的表面积与体积
探究点三 球的截面问题
探究点四 简单组合体的体积
【学习目标】
1.知道棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的体积计算公式.
2.知道球的表面积和体积的计算公式,能用公式计算一些简单的
与球有关的几何体的表面积和体积.
3.能用公式计算一些简单几何体及组合体的体积.
4.能用公式解决简单的实际问题.
知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式
1.柱体的体积公式____（为底面积， 为高）.
2.锥体的体积公式_____（为底面积， 为高）.
3.台体的体积公式_________________（， 分别为上、下底面
面积， 为高）.
4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
.
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）底面面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相
等.( )
×
[解析] 底面面积相等、高相等的所有棱柱的体积均相等.
（2）锥体的体积是等底面面积、等高的柱体的体积的三分之一.( )
√
（3）两个正方体的体积之比为 ,则这两个正方体的棱长之比为
.( )
√
（4）圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的 ,它的体积
不变.( )
×
[解析] 由圆锥的体积公式知圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,
高缩小为原来的 ,它的体积变为原来体积的2倍.
（5）圆台的上底面半径为2,下底面半径为3,高为6,则此圆台的体积为
.( )
√
知识点二 球的表面积和体积公式
1.球的体积公式 ______.
2.球的表面积公式______（ 为球的半径）.
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若球的半径扩大为原来的3倍,则它的表面积扩大为原来的3倍.
( )
×
[解析] 由球的表面积公式知,若球的半径扩大为原来的3倍,
则它的表面积扩大为原来的9倍.
（2）若三个球的半径之比为 ,则最大球的体积与最小球的体积
之和是另一个球的体积的2倍.( )
×
[解析] 设三个球的半径分别为,,,
则它们的体积分别为 , , ,
所以最大球的体积与最小球的体积之和为,
它是另一个球的体积的 倍.
知识点三 球体的截面的特点
1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均
为圆.
2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把
空间问题转化为平面问题的主要途径.
探究点一 柱体、锥体、台体的体积
例1（1） [2024·江苏淮安高一期末]已知某圆锥的侧面积为 ，
母线长为2，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆锥的底面半径为,高为,母线长为,
则 ,由题得,解得 ,
则 ,
则该圆锥的体积 .故选B.
√
（2）[2024·山西忻州高一期末]已知圆柱的母线长比底面半径长多
,表面积为 ，则该圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆柱底面圆的半径为,则圆柱的母线长为 ,
由圆柱的表面积为,得,可得 ,
所以该圆柱的体积为 .故选C.
√
（3）[2024·江苏南通高一期中]已知正四棱台 的上、
下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为 ，
则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记正四棱台 的上、
下底面的中心分别为,,连接,, ,
在平面中过作平行于,交于 ,
如图所示,易知底面,所以底面,
所以 为侧棱与底面所成的角,即 .
因为正四棱台的上、下底面边长分别为2和4,
所以 ,,则 ,
故,即正四棱台 的高为 ,
所以该正四棱台的体积为 .故选C.
变式（1） 长方体共顶点三个面的面积分别是,, ，则长方体
的体积等于( )
A.6 B. C. D.36
[解析] 设长方体共顶点的三条边的边长分别为,,，则
可得，则长方体的体积 .故选B.
√
（2）已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为 ，
则圆台的体积为______ .
[解析] 设圆台上底面半径为 ,轴截面如图所示,
过作,垂足为,则有 ,,
, .
因为，
所以，解得或 （舍去），
所以圆台的体积为 .
（3）[2024·江苏南通高一期末] 以棱长为2的正方体的六个面为底面，
分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥
的侧面与底面所成的角为 ，则该多面体的体积为____，其面数为
____.
[解析] 画出以正方形 为底面的正四棱锥,如图所示.
取正方形的中心 ,的中点,连接,,.
因为 平面 平面,所以,
又 ,且,,平面,
所以 平面,则 ,所以,
则该多面体的体积 .
该多面体的面数为 .
［素养小结］
（1）常见的求几何体体积的方法
①公式法:直接代入公式求解.
②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积
和高都易求的形式即可.
③分割法:将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
（2）求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分
利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.
拓展 如图，在六面体 中，
平面平面，四边形
与四边形 是两个全等的矩形，
，， 平面
A.288 B.376 C.448 D.600
，，， ，则六面体
的体积为( )
√
[解析] 根据题意可得
.故选B.
探究点二 球的表面积与体积
例2（1） 已知球的直径为 ,求它的表面积和体积；
解：由题得球的半径 ,
, .
（2）已知球的表面积为 ,求它的体积；
解：设球的半径为, ,
,即 , .
（3）已知球的体积为 ,求它的表面积.
解：设球的半径为, ,
,即 , .
变式（1） 已知正方体的内切球的体积是 ，则正方体的棱长为
( )
A. B. C. D.
[解析] 设该内切球的半径为，则，
解得 ，所以正方体的棱长为 .故选A.
√
（2）已知小球与大球的表面积之比为 ,则小球与大球的体积之比
为______.
[解析] 设小球的半径为,表面积为,体积为,大球的半径为 ,
表面积为,体积为,则,
所以 , 故 .
［素养小结］
公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.
探究点三 球的截面问题
例3 已知球的半径为，若它的一个截面圆的面积为 ，
求球心与截面圆圆心之间的距离.
解：如图,设截面圆的半径为 ,
球心与截面圆圆心之间的距离为,球的半径为 .
由图易得 与截面圆垂直,由,可得,
又 , 所以 ,
即球心与截面圆圆心之间的距离为 .
变式 过球面上,, 三点的截面和球心之间的距离是球的半径的一
半,且 ,则球的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以的外接圆半径 .
设球的半径为,则,所以 ,
所以球的体积 .故选D.
√
［素养小结］
（1）有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面
中圆的问题.
（2）解题时要注意借助球的半径,截面圆的半径 ,球心到截面的距
离构成的直角三角形,即 .
探究点四 简单组合体的体积
例4 [2024·江苏南京高一期中] 在平面四边形 中，
， ，，， ，以
直线 为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何
体的体积为_____.
[解析] 如图，延长，过点作 ，
垂足为，则点到所在直线的距离为 .
因为 ，
所以 ， .
以直线 为轴，其余三边旋转一周形成的面围成的几何体可以由以直
线为轴，旋转一周形成的圆台，挖去圆锥后得到.
设, 分别为圆台上、下底面的面积，则该几何体的体积
.
变式 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图①中的故
宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱
交叠而成的几何体（如图②）.这两个三棱柱有一个公共侧面 .
在底面中，若， ，则该几何体的体
积为( )
①
②
A. B. C.27 D.
√
[解析] 该几何体可看作直三棱柱与
三棱锥 和三棱锥的组合体.
由题得，，， 是全等的等腰三角形，
且底边长为，面积为，四边形 是边长为 的正方形，
则该几何体的体积 .故选C.
［素养小结］
计算组合体的体积时，应考虑将其转化为计算柱、台、球等简单图
形的体积.
1.棱柱、棱锥、棱台的体积公式
（1）棱柱、棱锥、棱台的体积公式中的高为几何体的高,即为顶点到
底面或两底面之间的距离.
（2）棱台的体积公式,当时,为棱柱的体积公式,当 时,为
棱锥的体积公式.
.
2.空间几何体的体积公式
（1）柱体、锥体、台体体积公式中的高为几何体的高,即为点到面或
面到面的距离.
（2）对于台体的体积公式,当时,为柱体的体积公式,当 时,
为锥体的体积公式.
（3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
.
3.求几何体体积的常用方法:公式法、等积法、补形法、分割法.求组
合体的体积要先辨认清楚几何体的组成.
1.求简单几何体的体积,一要掌握这些几何体的体积的计算公式,二要
分清要求的是哪类的几何体,或者是由哪些简单几何体组成的,然后再
用公式求其体积.
2.体积变换包括体积割补和等积变换,体积割补的目的是应用公式计
算体积,等积变换的目的是以体积为中间媒介,计算相关元素.特别对于
棱锥,它可补成棱柱,可置换底面、置换顶点,有较大的灵活性,若技巧
运用得当,则可使解题过程简化.
3.“割补法”是求不规则几何体体积的基本方法,通过割补使不规则几
何体成为规则几何体,利用规则几何体的体积公式求出其体积,然后再
加上或减去“割”或“补”的那一部分体积即得原几何体的体积,“割补法”
也体现了转化的数学思想在立体几何中的应用.
例1（1） 如图,某广场设置了一些石凳供大家休息,
这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的,
如果正方体的棱长是 ,那么石凳的体积是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意可知,截去的八个四面体是一样的正三棱锥,
这八个正三棱锥的体积之和是 ,
正方体的体积为 ,
则石凳的体积是 .故选B.
（2）已知三棱柱的体积为120,点,分别在侧棱 ,
上,且,则三棱锥 的体积为( )
A.20 B.30 C.40 D.60
√
[解析] 如图,连接,,, , 且点到平面
的距离等于点B到平面 的距离, ,
又 , ,
,
可得.
又,且与 到平面 的距离相等,
,
又三棱柱 的体积为120,
.故选C.
（3）[2024·河北邢台高一期中] 所有顶点都在两个平行平面内的多
面体叫作拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面,其余各
面叫作拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高.现有一
拟柱体,上、下底面均为正六边形,且下底面边长为 ,上底面各顶点
在下底面的射影为下底面各边的中点,高为3,则该拟柱体的体积为
_______.
[解析] 过上底面的顶点向下底面作垂线,可得
该拟柱体的体积为中间正六棱柱的体积与外侧
6个四棱锥的体积之和,如图, ,
所以 ,
所以正六棱柱的体积为.
取的中点 ,连接,则平面,且 , ,故四棱锥的体积为 ,从而拟柱体的体积为 .
例2 如图,在梯形中,, ,
, ,过点作,以 为
轴旋转一周得到一个旋转体.
（1）求此旋转体的体积;
解：旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.
由图可知, ,
圆锥的底面半径 ,
圆柱的底面半径,
圆柱与圆锥的高均为 ,
所以圆柱的体积 ,
圆锥的体积 ,
故旋转体的体积 .
（2）求此旋转体的表面积.
解：圆柱的侧面积 ,
圆锥的侧面积 ,
圆柱的下底面面积 ,
圆锥的底面积 ,
则此旋转体上底面的面积 ,
故此旋转体的表面积为 .
4.球的截面问题
设球的截面圆上一点,球心为,截面圆的圆心为,则 是以
为直角的直角三角形,解答球的截面问题时,常用该直角三角形
求解,并常用过球心和截面圆心的轴截面.
例3 如图所示,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,
12,13,当球与上底面的三条棱都相切时,球心到下底
面的距离为8,则球的体积为_ ______.
[解析] 直三棱柱的底面边长分别是5,12,13,
底面为直角三角形,设其内切圆的半径为 ,
则,解得 .
又直三棱柱的高为4,且球心到下底面的距离为8,
球心到上底面的距离为4,则球的半径为,
球的体积 .13.3.2 空间图形的体积
【课前预习】
知识点一
1.Sh 2.Sh 3.h(S'++S)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ [解析] (1)底面面积相等、高相等的所有棱柱的体积均相等.
(4)由圆锥的体积公式知圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的,它的体积变为原来体积的2倍.
知识点二
1.πR3 2.4πR2
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)由球的表面积公式知,若球的半径扩大为原来的3倍,则它的表面积扩大为原来的9倍.
(2)设三个球的半径分别为r,2r,3r,则它们的体积分别为πr3,πr3,πr3,所以最大球的体积与最小球的体积之和为 πr3+πr3=πr3,它是另一个球的体积的倍.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)C (3)C [解析] (1)设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则l=2,由题得×2πr×l=2π,解得r=,则h===,则该圆锥的体积V=πr2h=π×()2×=.故选B.
(2)设圆柱底面圆的半径为r,则圆柱的母线长为r+2,由圆柱的表面积为24π,得2πr2+2πr(r+2)=24π,可得r=2,所以该圆柱的体积为πr2(r+2)=16π(cm3).故选C.
(3)记正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面的中心分别为O1,O,连接OO1,AC,A1C1,在平面ACC1A1中过A1作A1E平行于OO1,交AC于E,如图所示,易知OO1⊥底面ABCD,所以A1E⊥底面ABCD,所以∠A1AE为侧棱AA1与底面ABCD所成的角,即∠A1AE=60°.因为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4,所以A1C1=2,AC=4,则AE=×(4-2)=,
故A1E=AE·tan 60°=×=,即正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为,所以该正四棱台的体积为×(22++42)×=.故选C.
变式 (1)B (2)π (3)16 12 [解析] (1)设长方体共顶点的三条边的边长分别为a,b,c,则可得a2b2c2=6,则长方体的体积V=abc=.故选B.
(2)设圆台上底面半径为r(r<4),轴截面如图所示,过B作BE⊥DC,垂足为E,则有AB=r,DC=4,AD=BE=4,BC=2.因为BC2=BE2+CE2,所以(2)2=42+(4-r)2,解得r=2或r=6(舍去),所以圆台的体积为×(π×22+π×2×4+π×42)×4=π(cm3).
(3)画出以正方形ABCD为底面的正四棱锥P-ABCD,如图所示.取正方形ABCD的中心O,CD的中点E,连接PO,OE,PE.因为PO⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以CD⊥PO,又CD⊥PE,且PO∩PE=P,PO,PE 平面POE,所以CD⊥平面POE,则∠PEO=,所以PO=1,则该多面体的体积V=2×2×2+6××2×2×1=16.该多面体的面数为=12.
拓展 B [解析] 根据题意可得=++=+++=+++=++=++=××10+×10×6×6+×××6=376.故选B.
探究点二
例2 解:(1)由题得球的半径R=3 cm,
∴S球=4πR2=36π(cm2),V球=πR3=36π(cm3).
(2)设球的半径为R,∵S球=4πR2=64π,∴R2=16,即R=4,∴V球=πR3=π×43=π.
(3)设球的半径为R,∵V球=πR3=π,∴R3=125,即R=5,∴S球=4πR2=100π.
变式 (1)A (2)1∶27 [解析] (1)设该内切球的半径为r,则π=πr3,解得r=,所以正方体的棱长为2r=2.故选A.
(2)设小球的半径为R1,表面积为S1,体积为V1,大球的半径为R2,表面积为S2,体积为V2,则S1∶S2=4π∶4π=1∶9,所以R1∶R2=1∶3,故V1∶V2=∶=1∶27.
探究点三
例3 解:如图,设截面圆的半径为r,球心与截面圆圆心之间的距离为d,球的半径为R.
由图易得OO'与截面圆垂直,
由πr2=36π可得r=6 cm,又R=10 cm,
所以d==8(cm),即球心与截面圆圆心之间的距离为8 cm.
变式 D [解析] 因为AB=BC=CA=2,所以△ABC的外接圆半径r=. 设球的半径为R,则R2-=,所以R=,所以球的体积V=πR3=.故选D.
探究点四
例4 25π [解析] 如图,延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E,则点C到AD所在直线的距离为CE.因为sin(180°-∠ADC)=sin 60°=,
所以CE=CD·sin 60°=2×=,DE=CD=1.以直线AD为轴,其余三边旋转一周形成的面围成的几何体可以由以直线AE为轴,旋转一周形成的圆台AE,挖去圆锥DE后得到.设S1,S2分别为圆台上、下底面的面积,则该几何体的体积V=V圆台AE-
V圆锥DE=(S1+S2+)·AE-S1·DE=×(3π+27π+)×2-×3π×1=26π-π=25π.
变式 C [解析] 该几何体可看作直三棱柱BCE-ADF与三棱锥S-MAB和三棱锥S-NCD的组合体.由题得△BCE,△ADF,△MAB,△NCD是全等的等腰三角形,且底边长为3,面积为,四边形ABCD是边长为3的正方形,则该几何体的体积V=V三棱柱BCE-ADF+V三棱锥S-MAB+V三棱锥S-NCD=×3+××+××=27.故选C.13.3.2 空间图形的体积
1.C [解析] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,所以S△ABC=×2×2×sin 60°=,则=S△ABC·AA1=×2=2.故选C.
2.C [解析] 根据题意可得截面圆的半径为1,又O到平面α的距离为1,所以球O的半径为=,则球O的表面积为8π.故选C.
3.D [解析] 设正四棱台的高为h cm,则V=×(400+900+600)h=19 000,解得h=30.故选D.
4.B [解析] 如图,在正三棱锥S-ABC中,取AB的中点D,连接CD, 则S在平面ABC上的射影O在CD上,且O为△ABC的中心.∵正三角形ABC的周长为9,∴AB=3,∴CD=,∴CO=,又SC=2,∴正三棱锥S-ABC的高SO==1,∴VS-ABC=S△ABC×SO=××3××1=.故选B.
5.C [解析] 设圆柱底面半径为r,由正弦定理得2r=,解得r=,则圆柱的高h===,所以圆柱的体积V=πr2h=π××=.故选C.
6.B [解析] 设四棱锥P - ABCD的高为h,底面ABCD的面积为S,则V2=VP-ABD=×Sh=Sh.因为CE=2EP,所以PE=PC,所以V1=VP-EBD=VE-PBD=VC-PBD=VP-BCD=×Sh=Sh,所以==.故选B.
7.A [解析] 设AB=a,CD=b,AD=c,BC=d,且a>b,则S1=πc2+2πcb+πcd,V1=πc2b+πc2(a-b),S2=πc2+2πca+πcd,V2=πc2a-πc2(a-b),所以S2-S1=2πc(a-b)>0,V2-V1=πc2(a-b)-πc2(a-b)=πc2(a-b)>0,即 S18.B [解析] 该灯笼去掉圆柱部分的高为40-8=32(cm),则R-h==16(cm).又圆柱的底面圆直径为24 cm,所以(R-h)2+122=R2,即162+122=R2,可得R=20 cm,则h=4 cm,故该灯笼的体积V=2V圆柱+V球-2V球缺=2×4×122×π+×π×203-2×(60-4)×42≈3456+32 000-1792=33 664(cm3).故选B.
9.ACD [解析] 对于A,==×CC1×S△ABC=×4××2×3=4,故A正确;对于B,====×4=2,故B错误;对于C,=-==××2×3×4=8,故C正确;对于D,由题可知,AC=,AC1=,BC1=5,所以AB2+B=A,所以△ABC1是直角三角形,AB⊥BC1,所以三棱锥C1-ABC的表面积为S△ABC+++=×2×3+×3×4+××4+×2×5=14+2,故D正确.故选ACD.
10. [解析] 依题意可得正四棱锥的高h==,所以其体积V=×12×=.
11.47 [解析] 由题意知水深为35×=10(cm),水面直径为24+2××=28(cm),根据圆台的体积公式得降雨的体积V=×(π×122+π×142+)×10=π(cm3),则降水量为≈≈4.7(cm)=47(mm).
12. [解析] 设母线长为l,甲圆锥底面半径为r1,乙圆锥底面半径为r2,则===2,所以r1=2r2,又+=2π,则=1,所以r1=l,r2=l,所以甲圆锥的高h1==l,乙圆锥的高h2==l,所以===.
13.解:(1)长方体的体积为2×2×6=24,
半圆柱的底面积为π×=π×=,
则半圆柱的体积为×AD=×6=3π,
故该几何体的体积为24+3π.
(2)长方体去掉上底面后的表面积为2×6+2×2×2+2×6×2=44,由(1)得半圆柱的底面积为,
则半圆柱的侧面积为2π×××6=6π,
所以该几何体的表面积为44+×2+6π=44+7π.
14.解:(1)过点P作PO⊥底面ABCD于点O,PO交平面A1B1C1D1于点O1,
由正四棱锥及棱台的性质可知,O为底面ABCD的中心,
则O1O=PO-PO1=×PO1-PO1=PO1=4,
即棱台ABCD-A1B1C1D1的高h=4,
=×(S四边形ABCD++)×h=×[(4)2+(2)2+]×4=×56×4=.
(2)连接OA,则AO=AB=×4=4,则AA1=AP=×=2,
作A1M⊥AB于点M,则A1M==3,
故棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积为S正方形ABCD++4=(4)2+(2)2+4××(2+4)×3=32+8+72=112.
15. [解析] 由题得细沙全部在上部时,细沙的高为h,设圆锥的底面半径为r,则细沙形成的圆锥的底面半径为r,所以细沙的体积V=π··h=πr2h.细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为r,设高为h',则V=πr2·h'=πr2h,得h'=h,所以=.
16.解:(1)V四面体=V生成平行六面体.
(2)构造该四面体的“生成长方体”,设长方体共顶点的三条棱的长分别为x,y,z,则有解得故此四面体的体积V=×(3×2×1)=2.13.3.2 空间图形的体积
【学习目标】
1.知道棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的体积计算公式.
2.知道球的表面积和体积的计算公式,能用公式计算一些简单的与球有关的几何体的表面积和体积.
3.能用公式计算一些简单几何体及组合体的体积.
4.能用公式解决简单的实际问题.
◆ 知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式
1.柱体的体积公式V= (S为底面积,h为高).
2.锥体的体积公式V= (S为底面积,h为高).
3.台体的体积公式V= (S',S分别为上、下底面面积,h为高).
4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V柱体=ShV台体=(S'++S)hV锥体=Sh.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)底面面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相等. ( )
(2)锥体的体积是等底面面积、等高的柱体的体积的三分之一. ( )
(3)两个正方体的体积之比为1∶27,则这两个正方体的棱长之比为1∶3. ( )
(4)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的,它的体积不变. ( )
(5)圆台的上底面半径为2,下底面半径为3,高为6,则此圆台的体积为38π. ( )
◆ 知识点二 球的表面积和体积公式
1.球的体积公式V= .
2.球的表面积公式S= (R为球的半径).
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若球的半径扩大为原来的3倍,则它的表面积扩大为原来的3倍. ( )
(2)若三个球的半径之比为1∶2∶3,则最大球的体积与最小球的体积之和是另一个球的体积的2倍. ( )
◆ 知识点三 球体的截面的特点
1.球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何截面均为圆.
2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.
◆ 探究点一 柱体、锥体、台体的体积
例1 (1)[2024·江苏淮安高一期末] 已知某圆锥的侧面积为2π,母线长为2,则该圆锥的体积为 ( )
A. B. C. D.π
(2)[2024·山西忻州高一期末] 已知圆柱的母线长比底面半径长多2 cm,表面积为24π cm2,则该圆柱的体积为 ( )
A.12π cm3 B.14π cm3
C.16π cm3 D.18π cm3
(3)[2024·江苏南通高一期中] 已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4,若侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°,则该正四棱台的体积为 ( )
A.28 B.84 C. D.28
变式 (1)长方体共顶点三个面的面积分别是,,,则长方体的体积等于 ( )
A.6 B. C.6 D.36
(2)已知圆台下底面的半径为4 cm,高为4 cm,母线长为2 cm,则圆台的体积为 cm3.
(3)[2024·江苏南通高一期末] 以棱长为2的正方体的六个面为底面,分别向外作形状相同的正四棱锥,得到一个多面体,已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为,则该多面体的体积为 ,其面数为 .
[素养小结]
(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法:直接代入公式求解.
②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.
③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
(2)求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.
拓展 如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是两个全等的矩形,AB∥A1B1,AD∥A1D1,AA1⊥平面ABCD,AB=B1C1=6,BC=A1B1=10,AA1=6,则六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为 ( )
A.288 B.376 C.448 D.600
◆ 探究点二 球的表面积与体积
例2 (1)已知球的直径为6 cm,求它的表面积和体积;
(2)已知球的表面积为64π,求它的体积;
(3)已知球的体积为π,求它的表面积.
变式 (1)已知正方体的内切球的体积是π,则正方体的棱长为 ( )
A.2 B. C. D.
(2)已知小球与大球的表面积之比为1∶9,则小球与大球的体积之比为 .
[素养小结]
公式是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.
◆ 探究点三 球的截面问题
例3 已知球的半径为10 cm,若它的一个截面圆的面积为36π cm2,求球心与截面圆圆心之间的距离.
变式 过球面上A,B,C三点的截面和球心之间的距离是球的半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的体积为 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.
(2)解题时要注意借助球的半径R,截面圆的半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.
◆ 探究点四 简单组合体的体积
例4 [2024·江苏南京高一期中] 在平面四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC
=120°,AB=3,CD=2,AD=1,以直线AD为轴,其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体,该几何体的体积为 .
变式 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一,图①中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体(如图②).这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中,若BE=CE=3,∠BEC=120°,则该几何体的体积为 ( )
A. B. C.27 D.27
[素养小结]
计算组合体的体积时,应考虑将其转化为计算柱、台、球等简单图形的体积.13.3.2 空间图形的体积
一、选择题
1.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,则该三棱柱的体积为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.
2.[2024·天津红桥区高一期末] 已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π,O到平面α的距离为1,则球O的表面积为 ( )
A.2π B.4π
C.8π D.16π
3.某正四棱台容器上、下底面边长分别为20 cm和30 cm,容积为19 000 cm3,则它的高为 ( )
A.20 cm B.24 cm
C.28 cm D.30 cm
4.在侧棱长为2的正三棱锥中,若其底面周长为9,则该正三棱锥的体积是 ( )
A. B.
C. D.
5.[2024·浙江三锋联盟高一期中] 如图,四面体各个面都是边长为2的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是上底面圆心,则圆柱的体积是 ( )
A.π B.π
C.π D.π
6.如图,四棱锥P - ABCD的底面ABCD为平行四边形,CE=2EP,若三棱锥P - EBD的体积为V1,三棱锥P - ABD的体积为V2,则的值为 ( )
A. B.
C. D.
7.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,∠ADC=90°.以AB所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的几何体的表面积和体积分别记为S1,V1,以CD所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的几何体的表面积和体积分别记为S2,V2,则 ( )
A.S1V2
C.S1>S2,V1>V2 D.S1>S2,V18.如图①,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面的一部分(除去两个球缺).如图②,球缺是指一个球被平面所截后剩下的部分,截得的圆面叫作球缺的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫作球缺的高.已知球缺的体积公式为V=(3R-h)h2,其中R是球的半径,h是球缺的高.若该灯笼的高为40 cm,圆柱的高为4 cm,圆柱的底面圆直径为24 cm,则该灯笼的体积约为(取π=3) ( )
A.32 000 cm3 B.33 664 cm3
C.33 792 cm3 D.35 456 cm3
9.(多选题)[2024·安徽铜陵高一期中] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,BC=3,CC1=4,且AB⊥BC,P为BC1的中点,则 ( )
A.三棱锥A-BCC1的体积为4
B.三棱锥C-APC1的体积为
C.四棱锥C1-ABB1A1的体积为8
D.三棱锥C1-ABC的表面积为14+2
二、填空题
10.已知正四棱锥的所有棱长都为1,则该正四棱锥的体积是 .
11.[2024·长郡中学高一期中] 降水量是指一定时间内,从天空降落到地面上的液态或固态(经融化后)水,未经蒸发、渗透、流失,而在水平面上积聚的深度,用下底面(上口)直径为38 cm,上底面直径为24 cm,深度为35 cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量,若在一次降雨过程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的,则本次降雨的降水量约为
mm(π≈3.14,精确到1 mm) .
12.将一个圆形纸片裁成两个扇形,再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面,甲、乙两个圆锥的侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若=2,则= .
三、解答题
13.如图,该几何体由一个半圆柱和一个长方体组合而成,其中AB=AA1=2,AD=6.
(1)求该几何体的体积;
(2)求该几何体的表面积.
14.[2024·合肥一中高一期中] 如图所示,底面边长为4的正四棱锥P-ABCD被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为4的正四棱锥P-A1B1C1D1.
(1)求棱台ABCD-A1B1C1D1的体积;
(2)求棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积.
15.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.某沙漏由上、下两个高为h的圆锥组成,这两个圆锥的底面直径相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,这个沙堆的高与圆锥的高的比值为 .
16.求一个棱长为的正四面体的体积,有如下解法:
构造一个棱长为1的正方体,我们称之为该四面体的“生成正方体”,如图①,四面体ACB1D1即为棱长是的正四面体,则=V正方体----=.
(1)对一个已知四面体,构造它的“生成平行六面体”,记两者的体积依次为V四面体和
V生成平行六面体,试给出这两个体积之间的关系,不必证明;
(2)如图②,一个相对棱长都相等的四面体(通常称之为等腰四面体),其三组棱长分别为,,,类比上述中的方法或结论,求此四面体的体积.
