微突破(二) 与球有关的内切、外接问题
【典型例题】
例1 24 [解析] 记正方体的棱长为a,外接球的半径为R,则=36π,解得R=3.因为正方体的体对角线即为外接球的直径,所以(2R)2=3a2=36,解得a=2,所以正方体的体积为a3=(2)3=24.
变式 6π [解析] 设球的半径为r,由题意,长方体的体对角线即为外接球的直径,则2r==,故这个球的表面积S=4πr2=π(2r)2=6π.
例2 4π [解析] 将矩形ABCD沿对角线AC折起,使顶点A,B,C,D都在同一个球面上,取AC的中点O,则OA=OB=OC=OD,所以该球的半径R=OA=AC=×=1,则该球的表面积S=4πR2=4π.
例3 A [解析] 因为正三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,所以将正三棱锥P-ABC放到如图所示棱长为a的正方体中,正三棱锥的外接球即为正方体的外接球.正方体的外接球的半径R==,所以外接球的表面积S=4πR2=4π×=3πa2.故选A.
变式 8π [解析] 将三棱锥S-ABC放入长、宽、高分别为a,b,c的长方体中,如图所示,则则a2+b2+c2=8.因为球O的直径即为长方体的体对角线,所以球O的半径为=,所以球O的表面积是4π×()2=8π.
例4 100π [解析] 设△A1B1C1与△ABC的外心分别为O1,O2,则线段O1O2的中点O即为直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心.设△ABC外接圆的半径为r,直三棱柱外接球的半径为R.在△ABC中,由正弦定理知=2r,解得r=3,所以R==5,则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积S=4πR2=100π.
变式 96π [解析] 设球的半径为R,圆柱的底面半径为r,由题意可得解得所以该圆柱的体积为6×πr2=96π.
例5 40 [解析] 要使球形配件的体积最大,则球为圆锥形配件的内切球.该圆锥的轴截面为等边三角形,如图所示,设内切球的半径为r,AH=x,所以r=x,CH=x,所以V圆锥=×π·x2·x=·x3,V球=·r3=··x3=x3,设球的重量为m g,则==,解得m=40.
变式 C [解析] 设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则正三棱柱的内切球半径等于底面正三角形的内切圆半径,则内切球的半径r=a,所以正三棱柱的高h=2r=a.设底面正三角形的外接圆半径为r1,易得r1=a,所以正三棱柱外接球的半径R===a.故正三棱柱的外接球与内切球的体积之比为π×∶π×=5∶1.故选C.微突破(二) 与球有关的内切、外接问题
1.A [解析] 由题得长方体外接球的半径R==,则其表面积S=4πR2=24π.故选A.
2.B [解析] 因为圆柱的轴截面是面积为4的正方形,所以该圆柱的底面半径为1,高为2,则该圆柱的内切球的半径为1,所以该圆柱的内切球的体积为π.故选B.
3.C [解析] 圆锥与其内切球的轴截面如图所示,由题得O1D=1,VO1=2,则
∠O1VD=30°,所以圆锥的轴截面为正三角形,因为VO=3,所以圆锥底面圆半径AO=VO·tan 30°=,母线VA==2,则该圆锥的表面积S=π×()2+π××2=9π.故选C.
4.B [解析] 取AB的中点O,连接OC,OD.因为∠ACB=∠ADB=90°,所以OA=OB=OC=OD,所以O是四面体ABCD外接球的球心,且OA=OB=OC=OD=AB=1,所以四面体ABCD外接球的表面积为4π×12=4π.故选B.
5.B [解析] 由截面图可以看出,圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍,即可得R=3r,故①正确,②错误.圆柱的高等于球形巧克力的直径,即h=2r,V1=,V2=πR2h=18πr3,则2V2=27V1,故③错误,④正确.故选B.
6.D [解析] 由题意知正三角形ABC的边长为6,其内切圆的半径r=<2,所以正三棱柱ABC-A1B1C1内的球的半径的最大值为,则V的最大值为πr3=4π.故选D.
7.B [解析] 设球O的半径为R,∵球O的体积为π,∴=π,解得R=.∵AB=AC=1,BC=,∴cos∠CAB===-,∴∠CAB=,∴S△ABC=×12×sin =,△ABC外接圆的半径r满足2r===2,解得r=1.设球心O到直三棱柱的底面的距离为h,则h==2,∴这个直三棱柱的体积V=2h·S△ABC=2×2×=.故选B.
8.BCD [解析] 因为该正方体的棱长为,所以其体积为()3=5,表面积为6×()2=30,故A错误,C正确.该正方体的内切球的直径为,所以内切球的体积为π×=π,故B正确.该正方体的外接球的直径为正方体的体对角线,为=,所以外接球的表面积为4π×=15π,故D正确.故选BCD.
9.ABC [解析] 由题可知,该多面体是棱长均为2的正八面体,如图所示,其中四棱锥A-BCDE和四棱锥F-BCDE均为正四棱锥,连接BD,CE,交于点O,连接AO,则AO为正四棱锥A-BCDE的高,易知BD=CE=2,AO==,所以该多面体的体积V=2=2×××AO=2××2×2×=,该多面体的表面积S=8S△ABC=8××2×2×=8,故A正确,D错误.由题易知,该多面体的外接球的半径为,内切球的半径为,故该多面体的外接球的表面积为8π,内切球的体积为,故B,C正确.故选ABC.
10.61π [解析] 设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,则R=5,r=4.由题意可知,圆台的下底面为球的大圆,所以圆台的高h==3,所以其体积V=πh(R2+r2+Rr)=π×3×(52+42+5×4)=61π.
11.17π [解析] 长方体的外接球即为四棱锥D1-ABCD的外接球,因为AB=BC=2,AA1=3,所以长方体的体对角线长为=,则长方体的外接球的半径R=,所以“阳马”D1-ABCD的外接球的表面积S=4πR2=4π×=17π.
12.π [解析] 设△ABC的外接圆圆心为O1,半径为r,三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心为O,半径为R.易知OO1=AA1=2.取AC的中点D,连接BD,则BD==,sin∠BAC==,可得r==,则R2=r2+O=,所以三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积S=4πR2=π.
13.解:由题可知PA=PB=PC,又PA,PB,PC两两垂直,
∴此正三棱锥的外接球即为以PA,PB,PC为三条棱的正方体的外接球.∵球的半径为,∴正方体的棱长为2,即PA=PB=PC=2,设P到截面ABC的距离为h,则正三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=,又△ABC是边长为2的正三角形,
∴S△ABC=×(2)2=2,∴h=,
∴球心到截面ABC的距离为-=.
14.解:连接AC,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,C1C⊥平面ABCD,
所以∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成的角.
由题知AB=BC=1,则AC=,
在Rt△ACC1中,tan∠C1AC===2,所以C1C=2,AC1==,
又正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径为AC1,所以外接球的半径r=,
所以其表面积S=4πr2=4π×=10π.
15.B [解析] 如图,将第一个球O1靠近该圆柱右侧放置,球O1上的点到该圆柱底面的最大距离为2,将第二个球O2靠近圆柱左侧放置,过点O1作O1A垂直于该圆柱的母线,垂足为A,过点O2作O2B垂直于圆柱的底面,垂足为B,设O1A与O2B交于点C,则AC=BC=1,CO1=1,CO2==,则球O2上的点到该圆柱底面的最大距离为2+,同理可得球O3上的点到该圆柱底面的最大距离为2+2,由此规律可得,每多放一个球,最上面的球上的点到该圆柱底面的最大距离加,因为10+2<20<11+2,所以最多能装下小球的个数为11.故选B.
16.解:(1)剩余部分的体积V1=××33-×=.
(2)图①中阴影部分是由长方形ABCD(长为6,宽为3)的三边和曲线y=x2(-3≤x≤3)围成的,图②中阴影部分是由半径为3的半圆O和直径为3的圆P围成的.
将图①中阴影部分绕y轴旋转一周可得一圆柱挖去中间部分的几何体,记为M,将图②中阴影部分绕小圆的直径OQ旋转一周可得一个半球挖去一个小球的几何体,记为N,将两个几何体放在同一水平面上,用与圆柱下底面或与半球大圆所在平面距离为t(0几何体M的截面面积为π×32-π×()2=9π-3tπ,
几何体N的截面面积为π×()2-
π=9π-3tπ,又两几何体等高,
所以由祖暅原理可得两几何体的体积相等,结合(1)可知几何体M的体积VM=VN=V1=.
由曲线y=x2(-3≤x≤3)与线段y=3(-3≤x≤3)围成的图形绕y轴旋转得到的旋转体即为一个圆柱(底面半径为3,高为3)去掉几何体M,
所以所求体积V2=π×32×3-VM=27π-=.微突破(二) 与球有关的内切、外接问题
【知识综述】
一、解决与球有关的外接、内切问题的关键
①确定球心的位置.
②构造直角三角形,确定球的半径.
即球心定位置,半径定大小.
二、球与多面体
①多面体的外接球:多面体的顶点均在球面上,球心到各个顶点的距离相等.
②多面体的内切球:多面体的各面均与球面相切,球心到各面的距离相等.
三、球与旋转体
①旋转体的外接球:旋转体的顶点在球面上,底面为球的截面,球心在旋转轴上.
②旋转体的内切球:旋转体的各面均与球面相切,球心在旋转轴上.
类型一 长(正)方体与外接球
例1 已知一个正方体的外接球的体积为36π,则正方体的体积为 .
变式 长方体的所有顶点都在一个球面上,若长方体的长、宽、高分别为2,1,1,那么这个球的表面积是 .
类型二 直接法
例2 已知矩形ABCD的边长分别为1,,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 .
类型三 构造补形法
例3 已知正三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,则其外接球的表面积为 ( )
A.3a2π B.a2π
C.12a2π D.4a2π
变式 已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球O的球面上,且SA=BC=2,SB=AC=,SC=AB=,则球O的表面积是 .
类型四 截面法
例4 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知BC=3,AA1=8,∠BAC=30°,则该三棱柱外接球的表面积为 .
变式 已知球O的表面积为100π,高为6的圆柱的上、下底面圆周都在球O的球面上,则该圆柱的体积为 .
类型五 内切球
例5 [2024·福建福州一中高一期中] 如图为一个圆锥形的金属配件,重90克,其轴截面是一个等边三角形,现将其打磨成一个体积最大的球形配件,则该球形配件的重量为
克.
变式 若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球的体积之比为 ( )
A.3∶1 B.5∶1
C.5∶1 D.6∶1微突破(二) 与球有关的内切、外接问题
一、选择题
1.若长方体的长、宽、高分别为2,2,4,则长方体外接球的表面积为 ( )
A.24π B.2π
C.48π D.4π
2.已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则该圆柱的内切球的体积为 ( )
A.32π B.π
C.4π D.π
3.已知圆锥的高为3,若该圆锥的内切球的半径为1,则该圆锥的表面积为 ( )
A.6π B.6π
C.9π D.12π
4.如图,在四面体ABCD中,∠ACB=∠ADB=90°,AB=2,则四面体ABCD外接球的表面积为 ( )
A.2π B.4π
C.8π D.
5.某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒,每盒可装7个球形巧克力,每盒只装一层,相邻的球形巧克力相切,与包装盒侧面接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上、下底面都相切,如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面,设包装盒的底面半径为R,球形巧克力的半径为r,每个球形巧克力的体积为V1,包装盒的体积为V2,则 ( )
①R=3r;②R=6r;③V2=9V1;④2V2=27V1.
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
6.在正三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB=6,AA1=4,则V的最大值是 ( )
A.16π B.
C.12π D.4π
7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1,BC=.若球O的体积为π,则这个直三棱柱的体积为 ( )
A. B. C.2 D.
8.(多选题)若正方体的棱长为,则 ( )
A.该正方体的体积为5
B.该正方体的内切球的体积为π
C.该正方体的表面积为30
D.该正方体的外接球的表面积为15π
9.(多选题)已知某多面体的平面展开图如图所示,每个面都是边长为2的正三角形,则下列结论正确的是 ( )
A.该多面体的体积为
B.该多面体的外接球的表面积为8π
C.该多面体的内切球的体积为
D.该多面体的表面积为8
二、填空题
10.若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为 .
11.我国古代数学名著《九章算术》将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=3,则“阳马”D1-ABCD的外接球的表面积为 .
12.[2024·浙南名校联盟高一期中] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AB=BC=3,AC=4,则三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为 .
三、解答题
13.在正三棱锥P-ABC中,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两垂直,求球心到截面ABC的距离.
14.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,直线AC1与平面ABCD所成角的正切值为2,求正四棱柱的外接球的表面积.
15.用一个内底面直径为3,高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球,最多能装下小球的个数为 ( )
A.10 B.11
C.12 D.13
16.[2024·浙江温州高一期中] 早在公元5世纪,我国数学家祖暅在求球的体积时,就创造性地提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
(1)在一个半径为3的半球体中,挖去一个半径为的球体,求剩余部分的体积.
(2)如图,由曲线y=x2(-3≤x≤3)与线段y=3(-3≤x≤3)围成一个图形,将该图形绕y轴旋转得到一个旋转体,请运用祖暅原理求该旋转体的体积.(共26张PPT)
微突破（二） 与球有关的内切、外
接问题
【知识综述】
一、解决与球有关的外接、内切问题的关键
①确定球心的位置.
②构造直角三角形,确定球的半径.
即球心定位置,半径定大小.
二、球与多面体
①多面体的外接球:多面体的顶点均在球面上，球心到各个顶点
的距离相等.
②多面体的内切球:多面体的各面均与球面相切，球心到各面的
距离相等.
三、球与旋转体
①旋转体的外接球:旋转体的顶点在球面上，底面为球的截面，
球心在旋转轴上.
②旋转体的内切球:旋转体的各面均与球面相切，球心在旋转轴上.
类型一 长（正）方体与外接球
例1 已知一个正方体的外接球的体积为 ，则正方体的体积为
______.
[解析] 记正方体的棱长为,外接球的半径为,则解得 .
因为正方体的体对角线即为外接球的直径,所以,
解得 ,所以正方体的体积为 .
变式 长方体的所有顶点都在一个球面上，若长方体的长、宽、高分
别为2，1，1，那么这个球的表面积是____.
[解析] 设球的半径为 ,由题意,长方体的体对角线即为外接球的直径,
则 ,故这个球的表面积 .
类型二 直接法
例2 已知矩形的边长分别为1，，将矩形沿对角线
折起，使四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____.
[解析] 将矩形沿对角线 折起，
使顶点，，，都在同一个球面上，
取的中点 ，则 ，
所以该球的半径 ，
则该球的表面积 .
类型三 构造补形法
例3 已知正三棱锥的侧棱，， 两两互相垂直，且
，则其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为正三棱锥的侧棱，，
两两互相垂直，且 ，所以
将正三棱锥放到如图所示棱长为 的正方体中，
正三棱锥的外接球即为正方体的外接球.
正方体的外接球的半径 ，
所以外接球的表面积 .故选A.
变式 已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上,且,
,,则球 的表面积是____.
[解析] 将三棱锥放入长、宽、高分别为 ,
,的长方体中,如图所示,则
则 .
因为球 的直径即为长方体的体对角线,
所以球的半径为 ,
所以球的表面积是 .
类型四 截面法
例4 在直三棱柱中，已知， ，
，则该三棱柱外接球的表面积为______.
[解析] 设与的外心分别为,,
则线段 的中点即为直三棱柱外接球的球心.
设 外接圆的半径为,直三棱柱外接球的半径为.
在 中，由正弦定理知,解得,所以 ，
则直三棱柱外接球的表面积 .
变式 已知球的表面积为 ，高为6的圆柱的上、下底面圆周都
在球 的球面上，则该圆柱的体积为_____.
[解析] 设球的半径为，圆柱的底面半径为 ，
由题意可得解得
所以该圆柱的体积为 .
类型五 内切球
例5 [2024·福建福州一中高一期中] 如图为一个圆锥形的金属配件，
重90克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大
的球形配件，则该球形配件的重量为____克.
40
[解析] 要使球形配件的体积最大,则球为圆锥形配件的内切球.
该圆锥的轴截面为等边三角形,如图所示,
设内切球的半径为,,所以 ,,
所以,
,
设球的重量为,则,解得 .
变式 若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球
的体积之比为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设正三棱柱底面正三角形的边长为 ,
则正三棱柱的内切球半径等于底面正三角形的内切圆半径,
则内切球的半径 ,所以正三棱柱的高.
设底面正三角形的外接圆半径为 ,易得 ,
所以正三棱柱外接球的半径 .
故正三棱柱的外接球与内切球的体积之比为
.故选C.
与球有关的切、接问题
（1）正方体的内切球:若球与正方体的六个面都相切,则称球为正方
体的内切球.设正方体的棱长为,则球的半径 ,过在一个平面上的
四个切点作截面如图①.
（2）球与正方体的各条棱都相切:球与正方体的各条棱相切于各棱
的中点.设正方体的棱长为,则球的半径 ,过球心作正方体的
对角面如图②.
（3）长方体的外接球:若长方体的八个顶点都在球面上,则称球为长
方体的外接球.根据球的定义可知,长方体的体对角线长等于球的直径,
若长方体过同一顶点的三条棱的长分别为,, ,则可得球的半径
,如图③.
（4）正方体的外接球:正方体的棱长与外接球半径 的关系为
.
（5）正四面体的外接球:正四面体的棱长与外接球半径 的关系为
.
例1（1） 在直三棱柱中， ,,
,则这个直三棱柱的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 直三棱柱中,,
,所以,
所以 的外接圆的半径为,
则三棱柱的外接球的半径 ,
所以 .故选B.
√
（2）[2024·苏州期末] 如图，在直角三角形中，已知 为斜边
上的高，，，现将沿着 折起，使得点
到达点，且平面 平面，则三棱锥 的外接球
的表面积为_____.
[解析] 因为平面平面,平面平面 ,
,所以平面,又,所以,, 两两垂直.
易得,,,
所以三棱锥 的外接球的半径，
所以三棱锥 的外接球的表面积 .
例2 如图，已知正三棱锥的高为4,底面边长为 .
（1）求该正三棱锥的表面积;
解：设的中心为,连接,,如图,则 为正三棱锥的高.
,,又 , ,
正三棱锥的斜高 ,
,
正三棱锥的表面积 .
（2）用平行于底面 的平面去截该正三棱锥,所得截面三角形
的边长为,若点,,,,, 都在同一球面上,求该球的体积.
解：由题意知几何体 为正三棱台,球心在直线 上.
记与底面的交点为,连接,则 为 的中心,
设球心为,,,连接, ,,
,,, , ,
在和中,可得,
且 或 , 则, ,即, ,
外接球的半径 ,外接球的体积 .
