滚动习题(七)
1.C [解析] 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.因为AB∥A'B',AC∥A'C',所以∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180°,
又∠BAC=40°,所以∠B'A'C'=40°或140°.故选C.
2.C [解析] 当空间中三点共线时能确定一条直线而不能确定一个平面,故A不正确;当空间中的两条直线异面时,不能确定一个平面,故B不正确;空间中的两条平行直线可以确定一个平面,故C正确;当这个点在这条直线上时,过这条直线的平面有无数个,故D不正确.故选C.
3.C [解析] 当l与平面α相交时,在α内不存在直线与直线l平行,故①是假命题,其余均是真命题.故选C.
4.A [解析] 如图,连接DM,取DM的中点P,连接NP,CP,又N为AD的中点,所以NP∥AM,故直线AM和CN的夹角即为直线NP和CN的夹角.CN=AM=DM=×2=,PN=AM=,CP===
=,则cos∠CNP==,故直线AM和CN夹角的余弦值为.故选A.
5.D [解析] 如图,取AB的中点D,连接PD,QD,PQ,设PQ交平面ABC于点O,连接OD.由该双三棱锥的特征易知O为△ABC的中心,且PD⊥AB,DQ⊥AB,故∠PDQ为二面角P-AB-Q的平面角.设三棱锥的侧棱长为2,易得AB=2,PD=DQ=,OD=AB=,则PQ=2PO=2×=.在△PDQ中,由余弦定理得cos∠PDQ==-.故选D.
6.D [解析] 如图,分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF,则PE⊥AB,EF⊥AB,又PE∩EF=E,PE,EF 平面PEF,所以AB⊥平面PEF,又AB 平面ABCD,所以平面PEF⊥平面ABCD.过P作EF的垂线,垂足为O,即PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABCD,平面PEF∩平面ABCD=EF,PO 平面PEF,PO⊥EF,所以PO⊥平面ABCD.由题意可得PE=2,PF=2,EF=4,则PE2+PF2=EF2,即PE⊥PF,则PE·PF=PO·EF,可得PO==,所以该四棱锥的高为.故选D.
7.BC [解析] 对于A,若m⊥l,n⊥l,则m,n可能相交,可能异面,可能平行,故A错误;对于B,由线面平行的性质定理可知若m∥α,m β,α∩β=n,则m∥n,故B正确;对于C,若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n,故C正确;对于D,若α∥β,m α,n β,则m,n异面或者平行,故D错误.故选BC.
8.BCD [解析] 对于A,因为AB是半圆O的直径,C是半圆周上不同于A,B的任意一点,所以AC⊥BC,所以OC与AC不垂直,因为AC 平面VAC,所以OC与平面VAC不可能垂直,所以A错误;对于B,因为M,N分别为VA,VC的中点,所以MN∥AC,又因为MN 平面ABC,AC 平面ABC,所以MN∥平面ABC,所以B正确;对于C,由选项B可知MN∥AC,所以∠ACB为MN与BC所成的角,因为AC⊥BC,所以MN与BC所成的角为90°,所以C正确;对于D,因为VA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以VA⊥BC,又因为AC⊥BC,VA∩AC=A,VA,AC 平面VAC,所以BC⊥平面VAC,又因为BC 平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,所以D正确.故选BCD.
9.若a⊥α,b∥α,则a⊥b [解析] 过b作平面β,使得β∩α=c,∵b∥α,b β,β∩α=c,∴b∥c,又a⊥α,c α,∴a⊥c,又b∥c,∴a⊥b.
10. [解析] ∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∠PAC=90°,即PA⊥AC,PA 平面PAC,∴PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC,∴PA⊥AB,∴PB==.
11.π [解析] 因为A1B1⊥平面BB1C1C,且A1P=,所以点P的轨迹是圆心为B1,半径r===的圆在△BCC1内的部分.如图①,取BC1的中点E,连接B1E,则B1E⊥BC1,且B1E=BC1=,设圆弧交BC1于M,N两点,连接B1M,B1N,如图②,则sin∠B1ME==×=,所以∠B1ME=,又因为B1M=B1N,所以△B1MN为等边三角形,所以∠MB1N=,故点P的轨迹的长度是r=×=π.
12.证明:(1)连接AC交BD于O,连接OG,如图,
因为四边形ABCD为平行四边形,所以AC,BD互相平分,
又G为FC的中点,所以OG为三角形ACF的中位线,所以AF∥OG.
因为OG 平面BDG,AF 平面BDG,
所以AF∥平面BDG.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,
又因为CD 平面CDEF,AB 平面CDEF,
所以AB∥平面CDEF.
因为AB 平面ABFE,平面CDEF∩平面ABFE=EF,所以AB∥EF.
13.证明:(1)连接DE,如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,BC=B1C1,AA1∥BB1,AA1=BB1,又因为E是B1C1的中点,D是BC的中点,
所以EC1∥BD,EC1=BD,B1E∥BD,B1E=BD,
所以四边形EC1DB,四边形B1EDB均为平行四边形,
所以BE∥C1D,BB1∥DE,BB1=DE,
所以AA1∥DE,AA1=DE,
所以四边形AA1ED是平行四边形,所以A1E∥AD.
因为A1E 平面AC1D,AD 平面AC1D,
所以A1E∥平面AC1D.
同理可得BE∥平面AC1D.
因为A1E∩BE=E,A1E 平面A1BE,BE 平面A1BE,
所以平面AC1D∥平面A1BE.
(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC,△ABC为正三角形.
因为AD 平面ABC,所以CC1⊥AD,
又因为AD⊥C1D,且CC1∩C1D=C1,CC1,C1D 平面BB1C1C,所以AD⊥平面BB1C1C.
因为BC 平面BB1C1C,所以AD⊥BC,
又因为△ABC为正三角形,所以D是BC的中点.
14.解:(1)取AB的中点N,连接EN,CN,如图①,
因为EN∥AA1,EN=AA1,AA1 CC1,F为CC1的中点,所以EN∥CF,EN=CF,
所以四边形CFEN为平行四边形,所以EF∥CN.
又EF 平面ABCD,CN 平面ABCD,
所以EF∥平面ABCD.
(2)连接CO,C1O,如图①,设正方体的棱长为1,
由正方体的性质可得BD⊥CO.
因为CC1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以BD⊥CC1,因为CO∩CC1=C,CO,CC1 平面COC1,所以BD⊥平面COC1.
又C1O 平面COC1,则BD⊥C1O,
所以∠COC1为二面角C1-BD-C的平面角.
在Rt△COC1中,tan∠COC1===,
即二面角C1-BD-C的正切值为.
(3)证明:如图②所示,
连接A1C1,MO,C1M,AC,则O是AC的中点,
设正方体的棱长为1,则AC=A1C1=,AO=CO=.
因为M是AA1的中点,
所以AM=A1M=,又A1M⊥A1C1,AM⊥AO,所以C1M==,MO==.
因为CC1⊥OC,所以C1O==,
所以MO2+C1O2=C1M2,即C1O⊥MO.
因为C1B=C1D=,O为BD的中点,所以C1O⊥BD.
又MO∩BD=O,MO,BD 平面MBD,所以C1O⊥平面MBD,又C1O 平面OC1D1,
所以平面MBD⊥平面OC1D1.滚动习题(七)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知∠BAC=40°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'= ( )
A.40° B.140°
C.40°或140° D.大小无法确定
2.下面四个条件中,能确定一个平面的是 ( )
A.空间中的任意三点
B.空间中的两条直线
C.空间中的两条平行直线
D.空间中的一条直线和一个点
3.已知l是平面α外的一条直线,给出下列命题:
①在α内存在无数条直线与直线l平行;
②在α内存在无数条直线与直线l垂直;
③在α内存在无数条直线与直线l异面;
④一定存在过直线l且与α垂直的平面β.
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.[2024·江苏新海高级中学期中] 在各棱长均为2的四面体ABCD中,M,N分别为BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值是 ( )
A. B.
C.- D.
5.将两个相同的棱锥(侧棱均相等,底面为正三角形)的底面重叠组成的几何体称为“双棱锥”.如图,在双三棱锥P-ABC-Q中,PA,PB,PC两两互相垂直,则二面角P-AB-Q的余弦值为 ( )
A.- B.-
C.- D.-
6.[2024·北京卷] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA=PB=4,PC=PD=2,则该四棱锥的高为 ( )
A.1 B.2
C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2024·江苏镇江期末] 已知α,β是不同的平面,m,n,l是不同的直线,则“m∥n”的充分条件可以是 ( )
A.m⊥l,n⊥l
B.m∥α,m β,α∩β=n
C.m⊥α,n⊥β,α∥β
D.α∥β,m α,n β
8.[2024·江苏南京期末] 如图所示,AB是半圆O的直径,VA垂直于半圆O所在的平面,点C是半圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.OC⊥平面VAC
B.MN∥平面ABC
C.MN与BC所成的角为90°
D.平面VAC⊥平面VBC
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知a,b是两条不同的直线,α是一个平面,给出下列三个论断:①a⊥b;②a⊥α;③b∥α.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个真命题: .
10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB= .
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在三棱锥C1-BCD的侧面C1CB上运动,且A1P=,则点P的轨迹的长度是 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,G为FC的中点,平面ABFE∩平面CDEF=EF.
(1)证明:AF∥平面BDG;
(2)证明:AB∥EF.
13.(15分)[2024·江苏南通海门中学月考] 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1(底面为正三角形的直棱柱)中,E是B1C1的中点,D是BC上一点.
(1)若D是BC的中点,求证:平面AC1D∥平面A1BE;
(2)若AD⊥C1D,求证:D是BC的中点.
14.(15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为BD的中点.
(1)若E,F分别为A1B和CC1的中点,求证:EF∥平面ABCD.
(2)求二面角C1-BD-C的正切值.
(3)若M为棱AA1的中点,求证:平面MBD⊥平面OC1D1.
