单元素养测评卷(五)
1.D [解析] 平面是无限延展的,而一张纸只是一个有限的平面图形,A错误;若四边形的四个顶点不共面,则该四边形不是平面图形,B错误;当三点共线时不能确定一个平面,C错误;梯形是一个平面图形,可以确定一个平面,D正确.故选D.
2.C [解析] 若以长为8 cm的一边所在直线为轴旋转一周,则形成的圆柱的底面半径为6 cm,底面面积为36π cm2;若以长为6 cm的一边所在直线为轴旋转一周,则形成的圆柱的底面半径为8 cm,底面面积为64π cm2.故选C.
3.D [解析] 原图形的面积是用斜二测画法画出的直观图的面积的2倍.因为直观图的面积为×(2+4)×1=3,所以原四边形的面积为3×2=6.故选D.
4.A [解析] 若直线l⊥平面α,α∥β,则l⊥β,又直线n∥平面β,所以l⊥n,充分性成立.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,记平面ABCD为平面α,平面DCC1D1为平面β,AA1为l,A1B1为n,如图所示,则满足直线l⊥平面α,直线n∥平面β,l⊥n,但α与β不平行,必要性不成立.所以“α∥β”是“l⊥n”的充分不必要条件.故选A.
5.C [解析] 如图,连接HG,EF.因为H,G分别为AD,CD的中点,所以HG∥AC.同理可得EF∥AC,则HG∥EF,所以E,F,G,H四点共面,显然HF与EG相交.故选C.
6.D [解析] 如图,连接BD,设AC,BD,BC的中点分别为E,F,G,连接EF,EG,DE,BE,FG,则FG∥CD,EG∥AB,故∠FGE(或其补角)为异面直线AB与CD的夹角.设正方形ABCD的边长为2,则FG=1,EG=1.因为二面角D-AC-B为直二面角,BE⊥AC,DE⊥AC,所以∠DEB=.在Rt△DEB中,DE=BE=,则DB=2,所以EF=1,则△EFG为等边三角形,所以∠FGE=,则异面直线AB与CD夹角的正弦值为sin=.故选D.
7.B [解析] 如图,取AC的中点M,连接A1M,BM,AB1.因为四边形ABB1A1是菱形,所以AB1⊥A1B,又因为B1C⊥A1B,AB1,B1C 平面AB1C,AB1∩B1C=B1,所以A1B⊥平面AB1C.因为AC 平面AB1C,所以A1B⊥AC.因为AM=MC,AB=BC,所以BM⊥AC,又因为A1B,BM 平面A1BM,A1B∩BM=B,所以AC⊥平面A1BM.因为A1M 平面A1BM,所以AC⊥A1M,所以A1M==.易知当侧面ACC1A1⊥底面ABC时,三棱柱的体积最大,此时三棱柱的高即为A1M=,所以体积V=S△ABC=××22=3.故选B.
8.C [解析] 翻折前,在矩形ABCD中,AD=BC=4,因为Q为BC的中点,所以QB=QC=2,则翻折后PQ=2.设PA=PD=x(x>0),由题意知PQ⊥PD,PQ⊥PA,PA⊥PD,所以AD==x=4,解得x=2,即PA=PD=2.将三棱锥P-ADQ补成长方体PAMD-QNGT,如图所示,则长方体PAMD-QNGT的外接球即为三棱锥P-QAD的外接球,设长方体PAMD-QNGT的外接球半径为R,则2R===2,所以R=,故球O的表面积为4πR2=4π×5=20π.故选C.
9.ABC [解析] 由题意知,该圆锥的表面积为π×42+π×4×5=36π,所以A正确;该圆锥侧面展开图的圆心角α==,所以B正确;连接SO,易得圆锥的高SO==3,故该圆锥的体积V=π×42×3=16π,所以C正确;设圆锥的轴截面为△ASB,则SA=SB=5,AB=8,由余弦定理得cos ∠ASB==-<0,又0<∠ASB<π,所以∠ASB为钝角,所以圆锥的轴截面是钝角三角形,所以D不正确.故选ABC.
10.BD [解析] 对于A,若l∥m,m β,则l∥β或l β,故A错误.对于B,因为m⊥l,m⊥α,所以l α或l∥α.当l α时,由l⊥β,可得α⊥β.当l∥α时,则存在n α,使得l∥n,因为l⊥β,所以n⊥β,又n α,所以α⊥β,故B正确.对于C,若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l β或l∥β或l与β相交,故C错误.对于D,如图,过直线m作两个平面,分别与α,β相交于直线s和直线t,因为m∥α,过直线m的平面与平面α的交线为直线s,所以m∥s,同理可得m∥t,则s∥t.因为s 平面β,t 平面β,所以s∥平面β.因为s 平面α,α∩β=l,所以s∥l,又m∥s,所以m∥l,故D正确.故选BD.
11.ABC [解析] 对于A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取CD的中点G,连接EG,BG,如图所示,易得A1B∥D1C∥EG,则四边形A1BGE是平面A1BE截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面.分别取C1D1,CC1的中点M,N,连接MN,B1M,B1N,EN,显然EN∥D1C1∥A1B1,EN=D1C1=A1B1,则四边形A1B1NE为平行四边形,则B1N∥A1E,又A1E 平面A1BGE,B1N 平面A1BGE,所以B1N∥平面A1BGE,又MN∥D1C∥EG,EG 平面A1BGE,MN 平面A1BGE,所以MN∥平面A1BGE,又MN∩B1N=N,MN,B1N 平面B1MN,所以平面B1MN∥平面A1BGE.因为B1F∥平面A1BGE,所以B1F 平面B1MN,又F∈平面CDD1C1,平面B1MN∩平面CDD1C1=MN,所以点F的轨迹是线段MN,其长度为,故A正确.对于B,连接ME,如图,在△EMN中,EN=2,ME=MN=,则ME2+MN2=EN2,则∠EMN=,∠ENM=,又A1B∥MN,所以易知直线A1B与EF所成角的取值范围是,故B正确.对于C,B1M=B1N=,当F为线段MN的中点时,B1F⊥MN,又MN∥CD1,所以B1F⊥CD1,故C正确.对于D,在四边形A1BGE中,A1E=BG=,A1B=2,EG=,显然四边形A1BGE为等腰梯形,该等腰梯形的高h==,则=×=,故D错误.故选ABC.
12. [解析] 由题意知,该正四棱台上底面的对角线长为2,下底面的对角线长为4,又侧棱长为3,所以该正四棱台的高为=,故这个正四棱台的体积为×(4++16)×=.
13.8 [解析] 正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线有AC1,BD1,B1D,A1C,共4条.以AC1为例,与AC1垂直的“有效垂面”有2个,分别为平面B1CD1和平面A1BD.类似地,其他3条体对角线也各有2个“有效垂面”,故共有8个“有效垂面”.
14. [解析] 如图,过点E作EF∥CD,交PD于点F,连接AF,因为AB∥CD,EF∥CD,所以AB∥EF,故A,B,E,F共面.因为BE∥平面PAD,BE 平面ABEF,且平面PAD∩平面ABEF=AF,所以BE∥AF,又EF∥AB,所以四边形ABEF是平行四边形,所以EF=AB=2,又CD=4,所以EF为△PDC的中位线,则E为PC的中点.因为PD⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PD⊥CD,在Rt△PCD中,因为PD=2,CD=4,所以PC===2,所以CE=PC=.
15.解:(1)因为OA=1,所以OM=,则圆M的半径为==,所以圆M的面积为×π=.
(2)因为圆M的面积为3π,所以圆M的半径为,
则OA2=+3,即OA2=3,可得OA=2.
16.解:(1)由题知,该三棱柱的侧面展开图是宽为4,长为9的矩形,所以该三棱柱侧面展开图的对角线的长为=.
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB1“剪开”,并使其在同一平面内,如图所示.
设PC的长为x,则MP2=MA2+(AC+x)2,因为MP=,MA=2,AC=3,所以x=2,即PC的长为2.
因为CN∥AM,所以=,即=,所以CN=.
17.证明:(1)因为平面ABC⊥平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,BA⊥AC,BA 平面ABC,所以BA⊥平面ACD,
又CD 平面ACD,所以AB⊥CD.
(2)连接GE,HF,因为G,E分别为AB,BC的中点,所以GE∥AC,GE=AC.
因为DF∶FC=DH∶HA=1∶2,所以HF∥AC,HF=AC,
所以HF∥GE,且HF≠GE,则四边形EFHG为梯形,所以GH与EF相交于一点,设为P,则P∈GH,P∈EF.
因为EF 平面BCD,GH 平面ABD,所以P∈平面BCD,P∈平面ABD,所以P在平面BCD与平面ABD的交线上,
又平面BCD∩平面ABD=BD,所以P∈BD,
则直线EF,GH,BD相交于一点.
18.解:(1)证明:如图,连接A1C,交AC1于点O,连接OD,则O是A1C的中点,
因为D是BC的中点,所以OD∥A1B,
又OD 平面ADC1,A1B 平面ADC1,
所以A1B∥平面ADC1.
(2)证明:因为△ABC为等边三角形,且D是BC的中点,所以AD⊥BC.
由正三棱柱的性质知,BB1⊥平面ABC,
因为AD 平面ABC,所以BB1⊥AD,
又BC∩BB1=B,BC,BB1 平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1.
因为AD 平面ADC1,所以平面ADC1⊥平面BCC1B1.
(3)由(1)知A1B∥平面ADC1,
则直线A1B到平面ADC1的距离等于点B到平面ADC1的距离.
由(2)知AD⊥平面BCC1B1,
所以点A到平面BDC1的距离为AD,
连接BC1,则=AD·DC1=×2×=2,
=BD·CC1=×2×4=4.
设点B到平面ADC1的距离为d,因为=,
所以·d·=·AD·,即·d·2=×2×4,解得d=,所以直线A1B到平面ADC1的距离为.
19.解:(1)如图,过M作MG∥AC,交AB于G,连接B1G,
则∠B1MG为异面直线AC与B1M所成的角或其补角.
因为AB=2,BC=2,AB⊥BC,所以AC=4.
设BM=x,0由△BMG∽△BCA,得==,
则BG=,MG=x.
又BB1=AA1=2,BB1⊥平面ABC,
所以B1M=,B1G=.
在△B1MG中,cos∠B1MG===,因为02,
则∈,即cos∠B1MG∈,
所以异面直线AC与B1M所成角的余弦值的取值范围为.
(2)由AB⊥BC,AB=2,BC=2,得∠ACB=30°,∠BAC=60°,
如图,将面ABC沿AC旋转到与面ACC1A1在同一平面内,过A1作A1E'⊥BC于E',交AC于M',
则M'E'=M'C,易知A1M+MC的最小值为A1E'.
显然A1M'∥AB,设AM'=a(a>0),则A1M'=2a,M'C=AC-a=4-a,M'E'=M'C=2-a,
从而A1E'=A1M'+M'E'=2a+=2+a,E'C=(4-a),
连接A1C,在Rt△A1E'C中,A1E'2+E'C2=A1C2,
即+(4-a)2=28,
化简得3a2+16=28,可得a=2,所以A1E'=5,
所以A1M+MC的最小值为5.
(3)存在,x0=,对称中心为.
如图,由△BMN∽△BAC,得=,
因为S△BAC=×2×2=2,所以S△BMN=x2.
因为MB=x,MB+BQ=2,所以BQ=2-x,
则V(x)=·x2·(2-x)=x2(2-x)(0设y=V(x)的图象的对称中心为(a,b),则y=V(x+a)-b为奇函数,
所以y=(x+a)2(2-x-a)-b=-x3+(2-3a)x2+(4a-3a2)x+(2a2-a3)-b为奇函数,
则解得
所以对称中心为,由对称性可得x0=.单元素养测评卷(五)
第13章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法中正确的是 ( )
A.铺的很平的一张纸是一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.三点确定一个平面
D.梯形可以确定一个平面
2.以长为8 cm,宽为6 cm的矩形的一边所在直线为轴旋转一周形成的圆柱的底面面积为 ( )
A.64π cm2 B.36π cm2
C.64π cm2或36π cm2 D.48π cm2
3.如图是一个水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图,该直观图是上底为2,下底为4,高为1的等腰梯形,则原四边形的面积为 ( )
A.4 B.4 C.6 D.6
4.[2024·江苏扬州新华中学高一月考] 已知直线l⊥平面α,直线n∥平面β,则“α∥β”是“l⊥n”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设E,F,G,H分别是三棱锥D-ABC的棱AB,BC,CD,DA的中点,则EG,FH的位置关系是 ( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.重合
6.[2023·南昌十九中高一月考] 将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,则异面直线AB与CD夹角的正弦值是 ( )
A. B. C. D.
7.[2024·南京师大附中高一期末] 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1所有棱的长均为2,满足A1B⊥B1C,则该三棱柱体积的最大值为 ( )
A. B.3
C.2 D.4
8.[2023·湖南雅礼中学高一月考] 很多人的童年都少不了折纸的乐趣,传统意义上的手工折纸与数学联系密切.有一张矩形纸片ABCD,BC=4,Q为BC的中点,将△ABQ和△DCQ分别沿AQ,DQ折起,使点B与点C重合于点P,若∠APD=90°,三棱锥P-QAD的所有顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 ( )
A.10π B.16π C.20π D.40π
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.如图,已知圆锥SO的母线长l=5,底面半径r=4,则下列结论中正确的有 ( )
A.该圆锥的表面积为36π
B.该圆锥侧面展开图的圆心角为
C.该圆锥的体积为16π
D.该圆锥的轴截面是锐角三角形
10.[2024·江苏南通高一期末] 在空间中,l,m是不重合的直线,α,β是不重合的平面,则下列说法正确的是 ( )
A.若l∥m,m β,则l∥β
B.若m⊥l,m⊥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
D.若m∥α,m∥β,α∩β=l,则m∥l
11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是棱DD1的中点,F是侧面CDD1C1上的动点,且满足B1F∥平面A1BE,则下列结论中正确的是 ( )
A.动点F的轨迹长度为
B.直线A1B与EF所成角的取值范围是
C.存在点F,使得B1F⊥CD1
D.平面A1BE截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为9
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2023·合肥十中高一期中] 若一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,侧棱长为3,则这个正四棱台的体积为 .
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过8个顶点中的任意3点可作一个平面,其中与某一体对角线垂直的平面称为“有效垂面”,则这样的“有效垂面”共有 个.
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,PD=AD=AB=2,CD=4,E为棱PC的点,若BE∥平面PAD,则CE= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的截面为圆M.
(1)若OA=1,求圆M的面积;
(2)若圆M的面积为3π,求OA的长.
16.(15分)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为棱AA1的中点,P是棱BC上一点,且从点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长为,设这条最短路线与CC1的交点为N.
(1)求该三棱柱侧面展开图的对角线的长;
(2)分别求PC和NC的长.
17.(15分)[2024·宿迁高一期末] 如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC,∠BAC=90°,G,E分别是AB,BC的中点,H是AD上一点.
(1)若平面ABC⊥平面ACD,求证:AB⊥CD;
(2)若点F在CD上,且满足DF∶FC=DH∶HA=1∶2,求证:直线EF,GH,BD相交于一点.
18.(17分)[2024·江苏常州高一期末] 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是BC的中点,AB=AA1=4.
(1)求证:A1B∥平面ADC1;
(2)求证:平面ADC1⊥平面BCC1B1;
(3)求直线A1B到平面ADC1的距离.
19.(17分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=2,BC=AA1=2,点M是平面ABC上的动点.
(1)若点M在棱BC上(不包括端点),求异面直线AC与B1M所成角的余弦值的取值范围.
(2)若点M在棱AC上,求A1M+MC的最小值.
(3)若点M在棱BA上,过M作MN∥AC,交BC于点N,Q是BB1上一点,满足MB+BQ=2.设MB=x,记三棱锥Q-MBN的体积为V(x).我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.据此判断,函数y=V(x)在定义域内是否存在x0,使得函数y=V(x)在(0,x0)上的图象是中心对称图形 若存在,求x0及对称中心;若不存在,说明理由.
