(共74张PPT)
14.3 统计图表
14.3.1 扇形统计图、折线统计图、频数直方图
14.3.2 频率分布直方图
探究点一 扇形统计图、折线统计图、
频数直方图及应用
探究点二 绘制频率分布直方图
探究点三 频率分布直方图的应用
【学习目标】
1.结合实际问题,理解扇形统计图、折线统计图、频数直方图、频率
分布表、频率分布直方图的特点及差异.
2.能够在不同情境中,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述,体
会合理使用其他统计图的重要性.
3.结合具体实例,认识样本与总体的关系,逐步建立用样本估计总体的
思想,尝试运用统计语言描述总体的特征.
知识点一 扇形统计图、折线统计图和频数直方图的特点
统计图 主要应用
扇形统计图 直观描述各类数据占总数的比例
折线统计图 描述数据随时间的变化趋势
频数直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
【诊断分析】判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）频数直方图主要用于直观描述各类数据占总数的比例.( )
×
（2）折线统计图主要用于描述数据随时间的变化趋势.( )
√
（3）扇形统计图适用于描述连续型数据.( )
×
（4）频数直方图适用于描述连续型数据.( )
√
知识点二 频率分布直方图
1.频率分布表
当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率
分布.我们把反映样本的频率分布的表格称为____________.
频率分布表
2.频率直方图
把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为______，然后以此段
为底作矩形，它的高等于该组的_ _____，这样得出一系列的矩形，
每个矩形的面积恰好是该组的______，这些矩形就构成了直方图，
这种直方图称为________________.
组距
频率
频率分布直方图
3.频率折线图
将频率分布直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来，并将
两边端点向外延伸半个组距，就得到____________，简称________.
频率折线图
折线图
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）频率分布直方图中小长方形的高表示该组内的个体在样本中出
现的频率与组距的比值.( )
√
（2）频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数.( )
×
（3）频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1.( )
√
（4）将频率分布直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来，
就得到频率折线图.( )
×
2.已知一个容量为32的样本,某组的频率为 ,则该组的频数为___.
4
[解析] 因为样本容量为32,某组的频率为,并且频率 ,
所以该组的频数为 .
探究点一 扇形统计图、折线统计图、频数直方图及应用
例1（1） 某商户收集并整理了2023年1月
到8月线上和线下收入（单位：万元）的数
据，并绘制出如图所示的折线统计图，则
下列说法错误的是( )
A.该商户这8个月中，收入最高的是7月
B.该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入
C.该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月
D.该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是
√
[解析] 对于A，该商户1月到8月的收入依
次为16万元、13.5万元、16万元、17万元、
17万元、16万元、20万元、17.5万元，故A
中说法正确；
对于B，该商户这8个月的线 上总收入为72万元，线下总收入为61万元，
故B中说法错误；
对于C，根据折线统计图可知，该商户这8个月中，线上、线下收入相差
最小的是7月，故C中说法正确；
对于D，该商户这8个月中，月收入不少于17万元的有4个月，
频率为 ，故D中说法正确. 故选B.
（2）（多选题）某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业
旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得
了显著效果.据悉该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍，
其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是
( )
A.2023年甲系列产品收入比2021年的多
B.2023年乙和丙系列产品收入之和比2021年的企业年总收入还多
C.2023年丁系列产品收入是2021年丁系列产品收入的
D.2023年戊系列产品收入是2021年戊系列产品收入的2倍
√
√
√
[解析] 对于A，2023年甲系列产品收入占了总收入的 ，2021年甲系列
产品收入占了总收入的 ，而该企业2023年5种系列产品年总收入是2021
年的2倍，故2023年甲系列产品收入比2021年的多，故A正确；
对于B，2023年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的 ，该企业2023年
5种系列产品年总收入是2021年的2倍，故2023年乙和丙系列产品收入之和比
2021年的企业年总收入还多，故B正确；
对于C，2023年丁系列产品收入占了总收入的 ，2021年丁系列产品收入
占了总收入的 ，而该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍，
故2023年丁系列产品收入是2021年丁系列产品收入的 ，故C错误；
对于D，2023年戊系列产品收入占了总收入的 ，2021年戊系列产品收入
占了总收入的 ，而该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍，
故2023年戊系列产品收入是2021年戊系列产品收入的2倍，故D正确.
故选 .
变式（1） （多选题）某保险公司为客户定制了5个险种:甲,一年期
短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险;戊,重大疾病保险.各种
保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种的参保客户
（假设每位客户只参保一个险种）进行抽样调查,得出如图所示的统
计图,以下四个选项中说法正确的有( )
A.54周岁及以上客户人数最多
B. 周岁客户参保总费用最低
C.丁险种更受客户青睐
D.30周岁及以上的客户约占参保客户的
√
√
[解析] 对于A,观察参保人数比例扇形统计图可知,54周岁及以上客户人数占
比 ,是最少的,故A错误;
对于B,折线统计图显示了人均参保费用,但参保人数比例不同,易知 周
岁客户参保总费用不是最低的,故B错误;
对于C,由参保险种比例统计图可知,丁险种参保比例最高,故C正确;
对于D,周岁客户占比 ,所以30周岁及以上的客户约占参保客户的
,故D正确.故选 .
（2）如图是根据某市3月1日至3
月10日的最低气温（单位: ）绘
制的折线统计图,试根据折线统计
图反映的信息,绘制该市3月1日到3
月10日最低气温（单位: ）的扇
形统计图.
解：由题图知,该市3月1日至3月10
日的最低气温（单位: ）的情况
如下表:
日期（日） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 0 2 2
其中最低气温为 的有1天,占;
最低气温为 的有1天,占;
最低气温为 的有2天,占;
最低气温为 的有2天,占;
最低气温为 的有1天,占;
最低气温为 的有3天,占 .
作出扇形统计图如图所示.
［素养小结］
扇形统计图中,用整个圆的面积代表全部数据,圆内的各个扇形面积的
大小反映了部分数据占全部数据的百分比的大小.扇形统计图能清楚
地表示各部分数据在全部数据中所占的百分比.
探究点二 绘制频率分布直方图
例2 一个农技站为了考察某种麦穗生长长度的分布情况,在一块试验
田里抽取了100株麦穗,量得长度如下（单位: ）:
根据上面的数据列出频率分布表,绘制出频率分布直方图,并估计在这
块试验田里长度在 之间的麦穗所占的百分比.
解：（1）求极差: .
（2）决定组距与组数:若取组距为,由 可知,分为12组较合
适,所以取组距为 ,组数为12.
（3）将数据分组:将数据以组距0.3分为12组:, ,
,, .
（4）列频率分布表:
分组 频数 频率
1 0.01
1 0.01
2 0.02
5 0.05
11 0.11
15 0.15
28 0.28
分组 频数 频率
13 0.13
11 0.11
10 0.10
2 0.02
1 0.01
合计 100 1.00
续表
（5）绘制频率分布直方图如图所示.
从表中看到,样本数据落在内的频率是 ,
于是可以估计在这块试验田里长度在 之间的麦穗占 .
变式1 《国家体质健康标准》的测试类别分为身体形态、身体机能、
身体素质三大类,其中身体形态类的项目包括身高、体重.在针对某校
学生体质健康的抽样检测中,检测组对学校参与检测的女生的身高
（单位: ）数据进行整理后列出了如下频率分布表:
分组 频数 频率
2 0.04
10 0.2
20 0.4
14 0.28
合计 M N
（1）求出表中,,, 所表示的值;
解：由频率分布表得, .
易知, .
（2）画出频率分布直方图;
解：由题意知组距为4,则可画出频率分布直方图如图所示.
（3）估计身高小于 的女生占全部女生人数的百分比.
解：由频率分布表可知,身高小于 的女生在样本中出现的频
率为,所以估计身高小于 的女生占全
部女生人数的 .
变式2 下表给出了在某校500名11岁男孩中，用随机抽样得出的120
人的身高（单位： ）.
分组
人数 5 8 10 22 33
分组 —
人数 20 11 6 5 —
（1）列出样本频率分布表（频率保留2位小数）；
解：列出样本频率分布表如下：
分组 频数 频率
5 0.04
8 0.07
10 0.08
22 0.18
33 0.28
20 0.17
11 0.09
6 0.05
5 0.04
合计 120 1.00
续表
（2）画出频率分布直方图；
解：画出频率分布直方图如图.
（3）估计这500名11岁男孩中身高小于 的人数占总人数的百
分比.
解：由样本频率分布表可知，身高小于 的男孩出现的频率为
，所以估计这500名11岁男孩中身高小于
的人数占总人数的 .
［素养小结］
绘制频率分布直方图时应注意的问题:
（1）在列出频率分布表后,画频率分布直方图的关键就是确定矩形的
高.一般地,频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的,合理
的定高方法是先确定“一个恰当的单位长度”（没有统一规定）,然后
以各组的“ ”所占的比例来定高.
（2）数据要合理分组,组距要恰当选取,在频率分布直方图中,各个矩
形的面积等于各组的频率,小长方形的高与频数成正比,各组频数之和
等于样本量,频率之和为1.
探究点三 频率分布直方图的应用
例3 已知某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）均在
内，以,,, ,
,, 分组的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中 的值，并说明在这100户居民中，月平均
用电量不低于220度的有多少户？
解：由题意得 ，解得 .
月平均用电量在 内的用户有 （户），月平均用电量在 内的用户有 （户），月平均用电量在 内的用户有 （户），月平均用电量在 内的用户有
（户），
所以月平均用电量不低于220度的有
（户）.
（2）从月平均用电量在,,, 内
的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则应从月平均用
电量在 内的居民中抽取多少户？
解：应从月平均用电量在
内的用户中抽取
（户）.
变式 从某校高一年级学生中随机抽取了20
名学生，将他们的数学成绩（单位：分，
满分为100分，成绩均为不低于40分的整数）
分成六组：,, ,
, ，得到如图所示的
频率分布直方图，则成绩在 内的人
数为___.
6
[解析] 由题意得
，
解得 ，
所以成绩在 内的人数为
.
1.在解决问题的过程中,要根据实际问题的特点,选择恰当的统计图对
数据进行可视化描述,通过图形直观地发现样本数据的分布情况.
2.对频率分布直方图的理解
（1）图中每个小长方形的面积表示相应各组的频率,即小长方形的面
积组距 频率,这样频率分布直方图就以面积的形式反映了
数据落在各个小组上的频率.
（2）在频率分布直方图中,各小长方形的面积的总和等于1.
（3）同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的直
方图的形状也就不同,不同的形状给人不同的印象,这种印象有时会影
响我们对总体的判断.
（4）频率分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数,而
频率分布直方图则是从各个小组中数据的个数在样本容量中所占比
例大小的角度来表示数据分布的规律,它可以使我们看到整个样本数
据的频率分布.
3.频率分布表、频率分布直方图的特征
总体分布情况可以通过样本分布情况来估计,频率分布是总体分布的
一种近似,频率分布表和频率分布直方图有以下特征:
（1）频率分布表中的数字和频率分布直方图的形状都与分组数有关,
分组数的变化引起频率分布表和频率分布直方图的结构变化.
（2）随机性,频率分布表和频率分布直方图由样本决定,因此它们会
随着样本的改变而改变.
（3）规律性,若固定分组数,随着样本容量的增加,频率分布表中各个
小组的频率均会稳定在某个值的附近,从而频率分布直方图中的各个
小长方形的高度也会稳定在特定的值上.
4.说明:（1）当频率分布直方图的组数少、组距大时,容易从中看出
数据整体的分布特点,但由于无法看出每组内的数据分布情况,损失了
较多的原始数据信息.
（2）当频率分布直方图的组数多、组距小时,保留了较多的原始数据
信息,但由于小长方形较多,有时图形会变得非常不规则,不容易从中看
出总体数据的分布特点.
1.为了便于分析比较,体现数据前后变化的对比,经常选用复合统计图
表进行直观的比较.
例1（1） （多选题）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全
年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的
百分比，绘制出如图所示的双层扇形图.根据双层扇形图，下列说法
正确的是( )
A.2023年第四季度的销售额为280万元
B.2023年上半年的总销售额为500万元
C.2023年2月份的销售额为40万元
D.2023年有三个月的月销售额为60万元
√
√
[解析] 对于A，2023年全年的销售额为
（万元），故第四季度的销售
额为 （万元），A正确；
对于B，2023年上半年的总销售额为 （万元），B错误；
对于C，2023年2月份的销售额占总销售额的 ，故2月份的销售额为 （万元），C错误；
对于D，3，4，12三个月的月销售额均为（万元），D正确.故选 .
（2）（多选题）睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠
管理工作的通知》（以下简称《通知》）中强调“小学生每天睡眠时间
应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.某机构调查
了1万名学生每天的睡眠时间和学习时间，利用信息得出如图，则以下
说法正确的有( )
A.高三年级学生平均学习时间最长
B.中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》
中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C.大多数年龄段学生平均睡眠时间大于学习时间
D.与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，
释放出的时间基本是在睡眠
√
√
[解析] 对于A，由图可知，高三年级学生平均学
习时间没有高二年级学生平均学习时间长，故A
错误；
对于B，由图可知，中小学生的平均睡眠时间都
没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准，
故B正确；
对于C，学习时间大于睡眠时间的有初二、初三、高一、高二、高三，
占比为 ，睡眠时间大于学习时间的占比为 ，故C正确；
对于D，从高三到大学一年级，学习时间减少（小时），
睡眠时间增加 （小时），故D错误.故选 .
（3）[2024·四川绵阳南山中学高一月考]某银行为客户定制了 ，
，，， 共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样
调查，得到如图所示的统计图.
不同年龄段人数占比
不同年龄段人均理财
费用
选择各理财产品的人
数比例
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是( )
A. 周岁人群的理财人数最多
B. 周岁人群的理财总费用最少
C. 理财产品更受理财人青睐
D.年龄越大，则人均理财费用越高
√
不同年龄段人数占比
不同年龄段人均理财
费用
选择各理财产品的人
数比例
[解析] 对于A，周岁人群的理财人数所占的比例是 ，是最多的，
故A中说法正确；
对于B，设总人数为，则 周岁人群的理财总费用约为
（元）， 周岁人群的理财总费用约为
（元）， 周岁人群的理财总费用约为 （元），
不同年龄段人数占比
不同年龄段人均理财
费用
选择各理财产品的人
数比例
57周岁及以上人群的理财总费用约为 ，所以57
周岁及以上人群的理财总费用最少，故B中说法错误；
对于C，由条形图可知，B理财产品更受理财人青睐，故C中说法正确；
对于D，由折线图知，年龄越大，则人均理财费用越高，故D中说法
正确.故选B.
不同年龄段人数占比
不同年龄段人均理财
费用
选择各理财产品的人
数比例
2.频率分布表与频率分布直方图
（1）用表格整理数据可改变数据的组织方式,提供数据解释.
（2）作图有利于从数据中抽取信息,用图形传递信息.
例2 某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验,其成绩
（单位:分）如下:
48 64 52 86 71 48 64 41 86 79
71 68 82 84 68 64 62 68 81 57
90 52 74 73 56 78 47 66 55 64
56 88 69 40 73 97 68 56 67 59
70 52 79 44 55 69 62 58 32 58
根据上面的数据,回答下列问题:
（1）这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少
解：这次测验成绩的最低分是32分,最高分是97分.
（2）将区间 平均分成7个小区间,试列出这50名学生智力测
验成绩的频率分布表,进而画出频率分布直方图.
解：根据题意,列出样本的频率分布表如下:
分组 频数 频率
1 0.02
6 0.12
12 0.24
14 0.28
9 0.18
6 0.12
2 0.04
合计 50 1.00
频率分布直方图如图所示.
（3）分析频率分布直方图,你能得出什么结论
解：从频率分布直方图可以看出,这50名学生的智力测验成绩大体上
呈两头低、中间高,左右基本对称的规律,说明这50名学生中智力特别
好或特别差的占极少数,而智力一般的占多数,这是一种最常见的分布.
例3 为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举办了一次环保
知识竞赛,共有900名学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛的成绩
情况,从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数,满分为100分）进
行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数直方图
（如图所示）,解答下列问题:
分组 频数 频率
4 0.08
0.16
10
16 0.32
合计 50
（1）补全频率分布表和频数直方图;
解：易知样本容量为50,故第二组的频数为 ,第三组的频
率为 ,
第五组的频数为,频率为 .
补全频率分布表如下:
分组 频数 频率
4 0.08
8 0.16
10 0.20
16 0.32
12 0.24
合计 50 1.00
补全频数直方图如图.
（2）若成绩在 内的学生获得二等奖,估计该校获得二等奖的
学生人数.
解：估计成绩在内的学生人数占内的学生人数的 ,因为
成绩在内的频率为,所以估计成绩在 内的频率为0.1.
估计成绩在内的学生人数占内的学生人数的 ,因为成绩
在内的频率为,所以估计成绩在 内的频率为0.16.
所以估计成绩在内的频率为 ,
又因为有900名学生参加了这次竞赛,所以估计该校获得二等奖的学生
人数为 .14.3 统计图表
14.3.1 扇形统计图、折线统计图、频数直方图
14.3.2 频率分布直方图
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√
知识点二
1.频率分布表
2.组距 频率 频率分布直方图
3.频率折线图 折线图
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.4 [解析] 因为样本容量为32,某组的频率为0.125,并且频率=,所以该组的频数为0.125×32=4.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)ABD [解析] (1)对于A,该商户1月到8月的收入依次为16万元、13.5万元、16万元、17万元、17万元、16万元、20万元、17.5万元,故A中说法正确;对于B,该商户这8个月的线上总收入为72万元,线下总收入为61万元,故B中说法错误;对于C,根据折线统计图可知,该商户这8个月中,线上、线下收入相差最小的是7月,故C中说法正确;对于D,该商户这8个月中,月收入不少于17万元的有4个月,频率为,故D中说法正确.故选B.
(2)对于A,2023年甲系列产品收入占了总收入的20%,2021年甲系列产品收入占了总收入的30%,而该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍,故2023年甲系列产品收入比2021年的多,故A正确;对于B,2023年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的55%,该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍,故2023年乙和丙系列产品收入之和比2021年的企业年总收入还多,故B正确;对于C,2023年丁系列产品收入占了总收入的5%,2021年丁系列产品收入占了总收入的20%,而该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍,故2023年丁系列产品收入是2021年丁系列产品收入的,故C错误;对于D,2023年戊系列产品收入占了总收入的20%,2021年戊系列产品收入占了总收入的20%,而该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍,故2023年戊系列产品收入是2021年戊系列产品收入的2倍,故D正确.故选ABD.
变式 (1)CD [解析] 对于A,观察参保人数比例扇形统计图可知,54周岁及以上客户人数占比8%,是最少的,故A错误;对于B,折线统计图显示了人均参保费用,但参保人数比例不同,易知18~29周岁客户参保总费用不是最低的,故B错误;对于C,由参保险种比例统计图可知,丁险种参保比例最高,故C正确;对于D,18~29周岁客户占比20%,所以30周岁及以上的客户约占参保客户的80%,故D正确.故选CD.
(2)解:由题图知,该市3月1日至3月10日的最低气温(单位:℃)的情况如下表:
日期(日) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低气温(℃) -3 -2 0 -1 1 2 0 -1 2 2
其中最低气温为-3 ℃的有1天,占10%;最低气温为-2 ℃的有1天,占10%;最低气温为-1 ℃的有2天,占20%;最低气温为0 ℃的有2天,占20%;最低气温为1 ℃的有1天,占10%;最低气温为2 ℃的有3天,占30%.
作出扇形统计图如图所示.
探究点二
例2 解:(1)求极差:7.4-4.0=3.4.
(2)决定组距与组数:若取组距为0.3,由≈11.3可知,分为12组较合适,
所以取组距为0.3,组数为12.
(3)将数据分组:将数据以组距0.3分为12组:[3.95,4.25),[4.25,4.55),[4.55,4.85),…,[7.25,7.55].
(4)列频率分布表:
分组 频数 频率
[3.95,4.25) 1 0.01
[4.25,4.55) 1 0.01
[4.55,4.85) 2 0.02
[4.85,5.15) 5 0.05
[5.15,5.45) 11 0.11
[5.45,5.75) 15 0.15
[5.75,6.05) 28 0.28
[6.05,6.35) 13 0.13
[6.35,6.65) 11 0.11
[6.65,6.95) 10 0.10
[6.95,7.25) 2 0.02
[7.25,7.55] 1 0.01
合计 100 1.00
(5)绘制频率分布直方图如图所示.
从表中看到,样本数据落在[5.75,6.35)内的频率是0.28+0.13=0.41,于是可以估计在这块试验田里长度在5.75~6.35 cm之间的麦穗占41%.
变式1 解:(1)由频率分布表得M==50,∴a=50-2-10-20-14=4.易知N=1,∴b=1-0.04-0.2-0.4-0.28=0.08.
(2)由题意知组距为4,则可画出频率分布直方图如图所示.
(3)由频率分布表可知,身高小于161.5 cm的女生在样本中出现的频率为0.04+0.2+0.4=0.64,所以估计身高小于161.5 cm的女生占全部女生人数的64%.
变式2 解:(1)列出样本频率分布表如下:
分组 频数 频率
[122,126) 5 0.04
[126,130) 8 0.07
[130,134) 10 0.08
[134,138) 22 0.18
[138,142) 33 0.28
[142,146) 20 0.17
[146,150) 11 0.09
[150,154) 6 0.05
[154,158] 5 0.04
合计 120 1.00
(2)画出频率分布直方图如图.
(3)由样本频率分布表可知,身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以估计这500名11岁男孩中身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
探究点三
例3 解:(1)由题意得(0.002+0.002 5+0.005+x+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=1,解得x=0.007 5.
月平均用电量在[220,240)内的用户有0.012 5×20×100=25(户),月平均用电量在[240,260)内的用户有0.007 5×20×100=15(户),月平均用电量在[260,280)内的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]内的用户有0.002 5×20×100=5(户),所以月平均用电量不低于220度的有25+15+10+5=55(户).
(2)应从月平均用电量在[220,240)内的用户中抽取11×=5(户).
变式 6 [解析] 由题意得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030,所以成绩在[70,80)内的人数为20×0.030×10=6.14.3 统计图表
14.3.1 扇形统计图、折线统计图、频数直方图
14.3.2 频率分布直方图
1.C [解析] 在125,120,122,105,130,114,116,95,120,134这10个数据中,落在[114.5,124.5)内的有120,122,116,120,共4个,∴样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为=0.4.故选C.
2.B [解析] 折线统计图的一个显著特点就是能反映统计量的变化趋势,所以既能反映一周内每天销售金额的多少,又能反映一周内每天销售金额的变化情况和趋势,则最好选用的统计图表为折线统计图.故选B.
3.A [解析] 由题意得x=100-(10+13+14+15+13+12+9)=100-86=14,则第3组的频数是14,所以第3组的频率是=0.14.故选A.
4.B [解析] 由某地某月1日至15日的日平均气温变化的折线统计图得,在A中,这15天日平均气温的极差为38-19=19,故A错误;在B中,连续2天日平均气温波动最大的是7日、8日,故B正确;在C中,由折线统计图无法预测16日的气温是否低于19 ℃,故C错误;在D中,由折线统计图无法预测本月气温低于25 ℃的天数是否小于气温高于25 ℃的天数,故D错误.故选B.
5.C [解析] 乙的数据分析素养得分为4分,甲的数据分析素养得分为5分,故A错误;乙的数学建模素养得分为3分,数学抽象素养得分为3分,故B错误;甲的六大素养整体水平优于乙,故C正确;甲的六大素养中数学抽象素养、数学建模素养和数学运算素养得分均为4分,数据分析素养得分为5分,故D错误.故选C.
6.C [解析] 由频率分布直方图可知酒精浓度在80 mg/100 ml(含80)以上的频率为(0.01+0.005)×10=0.15,∴估计属于醉酒驾车的人数为20×0.15=3.故选C.
7.B [解析] ①从折线统计图中能看出世界人口的变化情况,故①正确;②从条形统计图中可得到2050年非洲的人口大约为18亿,故②错误;③从扇形统计图中能够明显得到结论:2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,故③正确;④由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故④错误.因此正确的说法有①③.故选B.
8.D [解析] 对于A,由题图可知,猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中,粮食价格同比涨幅最小,所以A错误;对于B,因为34.4%<5×8.5%,所以B错误;对于C,2023年4月鲜菜价格要比2024年4月高,所以C错误;对于D,因为×(-21.2%+7.6%+3%+8.5%+9.6%+10.4%+34.4%)≈7.47%>7%,所以D正确.故选D.
9.AC [解析] 对于A,由题图可知,10×(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1,解得m=0.031,故A正确;对于B,因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11,所以n==1000,故B错误;对于C,因为100分以下的频率为0.006×10=0.06,所以100分以下的人数为1000×0.06=60,故C说法正确;对于D,成绩在区间[120,140)内的频率为0.031×10+0.016×10=0.47<0.5,人数占小半,故D错误.故选AC.
10.0.76 [解析] 由表格中的数据易得出现“安全水位”的频率是0.1+0.28+0.38=0.76.
11.①③④ [解析] 由题图中数据可知,①③正确; 该超市这五个月的总利润为0.5+0.7+0.8+0.5+1=3.5(万元),故④正确;一月份至五月份的利润分别为0.5万元、0.7万元、0.8万元、0.5万元、1万元,不是一直在增长的,故②错误.故填①③④.
12.(1)200 (2)(见解析) (3)54° (4)980 [解析] (1)由图中数据知,此次调查一共随机抽取了50÷25%=200(名)学生.
(2)由题意,C组人数为200-30-50-70-20=30,补全的条形统计图如图所示.
(3)扇形统计图中的圆心角α=360°×=54°.
(4)参加阅读活动小组的学生占抽取学生总人数的=,所以估计该校参加阅读活动小组的学生人数为×2800=980.
13.解:(1)290-(85+80+65)=60(万元),补全的统计图如图.
(2)因为85×23%=19.55,所以该店1月份音乐手机的销售额为19.55万元.
(3)不同意.理由如下:
3月份音乐手机的销售额是60×18%=10.8(万元),4月份音乐手机的销售额是65×17%=11.05(万元),而10.8<11.05,因此4月份音乐手机的销售额比3月份增多了.
14.解:(1)由频率分布直方图可知,[30,35),[45,50]两组的频数与[25,30)组的频数相等,均为20,
第3组[35,40)的频数是第一组[25,30)频数的4倍,为80,
第4组[40,45)的频数是第一组[25,30)频数的3倍,为60.
补全表格中的数据如下:
年龄(岁) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50)
频数 20 20 80 60 20
(2)由频率分布表和频率分布直方图知,
第1组[25,30)的频率为0.02×5=0.1,
第2组[30,35)的频率为0.02×5=0.1,
第3组[35,40)的频率为0.08×5=0.4,
则第1,2,3组的人数比为0.1∶0.1∶0.4=1∶1∶4,
所以从第1, 2,3组分别抽取的人数为1,1,4.
15.CD [解析] 设2020年该地区一次能源消费量为a,则预估2030年一次能源消费量为2.5a.对于选项A,2020年煤的消费量为0.6a,规划2030年煤的消费量为2.5a×0.3=0.75a>0.6a,故选项A错误;对于选项B,2020年石油的消费量为0.2a,规划2030年石油的消费量为2.5a×0.2=0.5a>0.2a,故选项B错误;对于选项C,2020年天然气的消费量为0.1a,规划2030年天然气的消费量为2.5a×0.2=0.5a=5×0.1a,故选项C正确;对于选项D,2020年水、核、风能的消费量为0.1a,规划2030年水、核、风能的消费量为2.5a×0.3=0.75a=7.5×0.1a,故选项D正确.故选CD.
16.解:(1)样本中“水果达人”的频率为(0.007 5+0.005)×20=0.25,∴样本中“水果达人”的人数为100×0.25=25.
由题图可知,消费金额在[80,100)内与[100,120]内的人数之比为3∶2,其中消费金额不低于100元的人数为25×=10,
∴抽取的5人中消费金额不低于100元的人数为5×=2.
(2)依题意得,该游客要购买原价为110元的水果,若选择方案一,则需支付(80-8)+30=102(元),若选择方案二,则需要支付50+(80-50)×0.9+(100-80)×0.8+(110-100)×0.7=100(元),
又102>100,∴应该选择方案二.14.3 统计图表
14.3.1 扇形统计图、折线统计图、频数直方图
14.3.2 频率分布直方图
【学习目标】
1.结合实际问题,理解扇形统计图、折线统计图、频数直方图、频率分布表、频率分布直方图的特点及差异.
2.能够在不同情境中,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述,体会合理使用其他统计图的重要性.
3.结合具体实例,认识样本与总体的关系,逐步建立用样本估计总体的思想,尝试运用统计语言描述总体的特征.
◆ 知识点一 扇形统计图、折线统计图和频数直方图的特点
统计图 主要应用
扇形统计图 直观描述各类数据占总数的比例
折线统计图 描述数据随时间的变化趋势
频数直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)频数直方图主要用于直观描述各类数据占总数的比例. ( )
(2)折线统计图主要用于描述数据随时间的变化趋势. ( )
(3)扇形统计图适用于描述连续型数据. ( )
(4)频数直方图适用于描述连续型数据. ( )
◆ 知识点二 频率分布直方图
1.频率分布表
当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布.我们把反映样本的频率分布的表格称为 .
2.频率直方图
把横轴均分成若干段,每一段对应的长度称为 ,然后以此段为底作矩形,它的高等于该组的 ,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组的 ,这些矩形就构成了直方图,这种直方图称为 .
3.频率折线图
将频率分布直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来,并将两边端点向外延伸半个组距,就得到 ,简称 .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组内的个体在样本中出现的频率与组距的比值. ( )
(2)频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数. ( )
(3)频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1. ( )
(4)将频率分布直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来,就得到频率折线图. ( )
2.已知一个容量为32的样本,某组的频率为0.125,则该组的频数为 .
◆ 探究点一 扇形统计图、折线统计图、频数直方图及应用
例1 (1)某商户收集并整理了2023年1月到8月线上和线下收入(单位:万元)的数据,并绘制出如图所示的折线统计图,则下列说法错误的是 ( )
A.该商户这8个月中,收入最高的是7月
B.该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入
C.该商户这8个月中,线上、线下收入相差最小的是7月
D.该商户这8个月中,月收入不少于17万元的频率是
(2)(多选题)某企业不断自主创新提升技术水平,积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例,近年来取得了显著效果.据悉该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍,其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.2023年甲系列产品收入比2021年的多
B.2023年乙和丙系列产品收入之和比2021年的企业年总收入还多
C.2023年丁系列产品收入是2021年丁系列产品收入的
D.2023年戊系列产品收入是2021年戊系列产品收入的2倍
变式 (1)(多选题)某保险公司为客户定制了5个险种:甲,一年期短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险;戊,重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种的参保客户(假设每位客户只参保一个险种)进行抽样调查,得出如图所示的统计图,以下四个选项中说法正确的有 ( )
A.54周岁及以上客户人数最多
B.18~29周岁客户参保总费用最低
C.丁险种更受客户青睐
D.30周岁及以上的客户约占参保客户的80%
(2)如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位:℃)绘制的折线统计图,试根据折线统计图反映的信息,绘制该市3月1日到3月10日最低气温(单位:℃)的扇形统计图.
[素养小结]
扇形统计图中,用整个圆的面积代表全部数据,圆内的各个扇形面积的大小反映了部分数据占全部数据的百分比的大小.扇形统计图能清楚地表示各部分数据在全部数据中所占的百分比.
◆ 探究点二 绘制频率分布直方图
例2 一个农技站为了考察某种麦穗生长长度的分布情况,在一块试验田里抽取了100株麦穗,量得长度如下(单位:cm):
6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6
5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8
6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.5
6.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4
6.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.4
6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6
5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0
5.6 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7
5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0
6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3
根据上面的数据列出频率分布表,绘制出频率分布直方图,并估计在这块试验田里长度在5.75~6.35 cm之间的麦穗所占的百分比.
变式1 《国家体质健康标准》的测试类别分为身体形态、身体机能、身体素质三大类,其中身体形态类的项目包括身高、体重.在针对某校学生体质健康的抽样检测中,检测组对学校参与检测的女生的身高(单位:cm)数据进行整理后列出了如下频率分布表:
分组 频数 频率
[149.5,153.5) 2 0.04
[153.5,157.5) 10 0.2
[157.5,161.5) 20 0.4
[161.5,165.5) 14 0.28
[165.5,169.5] a b
合计 M N
(1)求出表中a,b,M,N所表示的值;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计这500名11岁男孩中身高小于161.5 cm的女生占全部女生人数的百分比.
变式2 下表给出了在某校500名11岁男孩中,用随机抽样得出的120人的身高(单位:cm).
分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142)
人数 5 8 10 22 33
分组 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158] —
人数 20 11 6 5 —
(1)列出样本频率分布表(频率保留2位小数);
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计这500名11岁男孩中身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.
[素养小结]
绘制频率分布直方图时应注意的问题:
(1)在列出频率分布表后,画频率分布直方图的关键就是确定矩形的高.一般地,频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的,合理的定高方法是先确定“一个恰当的单位长度”(没有统一规定),然后以各组的“”所占的比例来定高.
(2)数据要合理分组,组距要恰当选取,在频率分布直方图中,各个矩形的面积等于各组的频率,小长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本量,频率之和为1.
◆ 探究点三 频率分布直方图的应用
例3 已知某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)均在[160,300]内,以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中x的值,并说明在这100户居民中,月平均用电量不低于220度的有多少户
(2)从月平均用电量在[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]内的四组居民中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则应从月平均用电量在[220,240)内的居民中抽取多少户
变式 从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生,将他们的数学成绩(单位:分,满分为100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图,则成绩在[70,80)内的人数为 . 14.3 统计图表
14.3.1 扇形统计图、折线统计图、频数直方图
14.3.2 频率分布直方图
一、选择题
1.从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量(单位:克)如下:
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为 ( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
2.某商业集团董事长想了解集团旗下五个超市的销售情况,通知五个超市经理把最近一周每天的销售金额统计上报,要求既能反映一周内每天销售金额的多少,又能反映一周内每天销售金额的变化情况和趋势,则最好选用的统计图表为 ( )
A.频数直方图 B.折线统计图
C.扇形统计图 D.统计表
3.将容量为100的样本中的数据按从小到大的顺序分为8组,如下表:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
则第3组的频数和频率分别是 ( )
A.14和0.14 B.0.14和14
C.和0.14 D.和
4.如图是某地某月1日至15日的日平均气温变化的折线统计图,下列结论正确的是 ( )
A.这15天日平均气温的极差为15 ℃
B.连续2天日平均气温波动最大的是7日、8日
C.由折线统计图能预测16日的气温低于19 ℃
D.由折线统计图能预测本月气温低于25 ℃的天数小于气温高于25 ℃的天数
5.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下列说法正确的是 ( )
A.乙的数据分析素养优于甲
B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C.甲的六大素养整体水平优于乙
D.甲的六大素养中数据分析素养最差
6.[2024·江苏连云港期末] 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:血液酒精浓度在80 mg/100 ml(含80)以上时,属醉酒驾车,处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证,并处500元以上2000元以下罚款.近月来,某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人.如图,这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,估计属于醉酒驾车的人数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.给出如图所示的三幅统计图及四个说法:
①从折线统计图中能看出世界人口的变化情况;
②2050年非洲的人口大约为15亿;
③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多;
④从1957年到2050年,各洲中北美洲人口增长速度最慢.
其中正确的有 ( )
A.①② B.①③
C.①④ D.②④
8.(多选题)[2023·辽宁本溪一中高一月考] 2024年4月,国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比(与2023年同期相比)的变化情况如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种东西中,食用油价格同比涨幅最小
B.猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
C.2023年4月鲜菜价格要比2024年4月低
D.这7种东西价格同比涨幅的平均值超过7%
9.(多选题)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分为150分),根据成绩依次分成六组:[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到频率分布直方图如图所示,若不低于140分的人数为110,则下列说法正确的是 ( )
A.m=0.031
B.n=800
C.100分以下的人数为60
D.成绩在区间[120,140)内的人数占大半
二、填空题
10.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如下表:
最高水位范围(米) <10 [10,12) [12,14) [14,16) ≥16
频率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
若当最高水位低于14米时为“安全水位”,则出现“安全水位”的频率是 .
11.如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份至五月份的营业额和支出数据,已知利润=营业额-支出,根据折线图,下列说法中正确的是 (填序号).
①该超市这五个月中的营业额一直在增长;
②该超市这五个月的利润一直在增长;
③该超市这五个月中五月份的利润最高;
④该超市这五个月的总利润为3.5万元.
12.某校为落实“双减”工作,充分用好课后服务时间,为学有余力的学生拓展学习空间,成立了5个活动小组(每位学生只能参加一个活动小组):A—音乐;B—体育;C—美术;D—阅读;E—人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况,随机抽取部分学生进行了调查统计,并根据统计结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次调查一共随机抽取了 名学生;
(2)补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数);
(3)扇形统计图中的圆心角α= ;
(4)若该校有2800名学生,估计该校参加阅读活动小组的学生人数为 .
三、解答题
13.以下是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请根据图①、图②解答下列问题:
(1)来自该店财务部的数据报告表明,该手机店1~4月的手机销售总额一共是290万元,请将图①中的统计图补充完整.
(2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元
(3)小刚观察图②后,认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了,你同意他的看法吗 请说明理由.
14.某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动,他们的年龄在25岁至50岁之间,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的频率分布直方图如图所示,下表是年龄的频数分布表的一部分.
年龄(岁) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50]
频数 20
(1)补全表格中的数据(不需要写过程);
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,求从第1,2,3组中分别抽取的人数.
15.(多选题)2021年11月10日,中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》(以下简称《宣言》).承诺继续共同努力,并与各方一道,加强《巴黎协定》的实施,双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”,推动两国气候变化合作和多边进程.为响应《宣言》要求,某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例,并规划了2030年一次能源消费结构比例,如图所示.经测算,预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的2.5倍,则预计该地区 ( )
A.2030年煤的消费量相对2020年减少了
B.2030年石油的消费量相对2020年不变
C.2030年天然气的消费量是2020年的5倍
D.2030年水、核、风能的消费量是2020年的7.5倍
16.为进一步推进农村经济结构调整,某村举办水果观光采摘节,并推出配套的乡村旅游项目,现统计了4月份100名游客购买水果的情况,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”,现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人,求这5人中消费金额不低于100元的人数.
(2)为吸引游客,该村特推出两种促销方案:
方案一:每满80元可立减8元;
方案二:金额不低于50元但又低于80元的部分打9折,金额不低于80元但又低于100元的部分打8折,金额不低于100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/kg,某游客要购买10 kg,应该选择哪种方案
