本章总结提升
【知识辨析】
1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.√ 7.√ 8.×
9.√ 10.×
【素养提升】
题型一
例1 (1)D (2)C [解析] (1)某校为了解高一年级学生的学业生涯规划情况,在高一年级6个班级中任选2个班级,应采用抽签法或随机数表法;在所选的班级中按男女生比例抽取样本,应用分层抽样.故选D.
(2)对于①,从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台,适宜采用简单随机抽样;对于②,800名学生的血型有4种类型,差异明显,为了研究血型与色弱的关系,适宜采用分层抽样.故选C.
变式 (1)A (2)ABD [解析] (1)①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本,不满足总体个数为有限个;②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验,不满足逐个抽取;③某班有56名同学,指定个子较高的5名同学参加学校组织的篮球赛,不满足随机抽取;④盒子中共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验,在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里,不满足不放回抽取.故选A.
(2)因为=0.2,所以派遣的青年男教师的人数占派遣教师人数的20%,则派遣的青年女教师的人数占派遣教师人数的1-30%-40%-20%=10%,则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同,均占派遣教师人数的30%,故A,B正确;派遣的老年教师的人数为150×0.3=45,故C错误;派遣的青年女教师的人数为150×0.1=15,故D正确.故选ABD.
题型二
例2 (1)BC (2)C (3)BC [解析] (1)被调查的所有市民有=900(户),其中二居室住户有900×=150(户),三居室住户有900-300-150=450(户).在A中,样本容量为900×10%=90,故A中说法正确;在B中,样本中三居室住户共抽取了450×10%=45(户),故B中说法错误;在C中,根据样本可估计对四居室满意的住户有300×40%=120(户),故C中说法错误;在D中,样本中对二居室满意的有150×10%×20%=3(户),故D中说法正确.故选BC.
(2)由图知,年龄在[25,35)内的小矩形的面积为0.015×10=0.15,即年龄在[25,35)内的频率为0.15,所以年龄在[25,35)内的人数n=0.15×200=30.由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得0.01×10+0.015×10+a×10+0.030×10+0.010×10=1,解得a=0.035.故选C.
(3)由图可知,2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长,且2021年增长的最多,故A错误;因为6×70%=4.2,所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元,故B正确;由图可知,2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%-14.6%=0.2%,故C正确;由图可知,2022年我国的GDP为17.8÷14.7%≈121.1(万亿元),故D错误.故选BC.
变式 (1)D (2)AD (3)C [解析] (1)由图可知2012-2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的,故A中结论正确;由图可知从2018年开始,中国汽车的出口量大于进口量,故B中结论正确;2012-2021年中国汽车出口量由小到大排列为72.3,73,89.7,92,99,104,108,115,121.5,212,所以60%分位数是=106,故C中结论正确;由图可知2012-2021年中国汽车进口量的波动小于出口量的波动,因此2012-2021年中国汽车进口量的方差小于出口量的方差,故D中结论错误.故选D.
(2)设招商引资前经济收入为a,则招商引资后经济收入为2a.对于A,招商引资前工资性收入为0.6a,招商引资后工资性收入为0.37×2a=0.74a,因为0.74a>0.6a,所以招商引资后,工资性收入较前一年增加了,故A正确;对于B,招商引资前转移净收入为0.04a,招商引资后转移净收入为0.05×2a=0.1a,因为=2.5,所以招商引资后,转移净收入是前一年的2.5倍,故B错误;对于C,招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和占33%<40%,所以招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和不超过该年经济收入的,故C错误;对于D,招商引资前经营净收入为0.3a,招商引资后经营净收入为0.3×2a=0.6a,所以招商引资后,经营净收入较前一年增加了一倍,故D正确.故选AD.
(3)对于A,2024年1月,商品零售总额同比增长2.9%,故A错误;对于B,2023年8月,餐饮收入总额同比增速上升,故B错误;对于C,2023年6~10月,商品零售总额同比增速都为正数,故C正确;对于D,2023年12月,餐饮收入总额环比增速并未告知,故D错误.故选C.
题型三
例3 (1)B (2)C [解析] (1)由频率分布直方图可得众数为67.5,故A错误;平均数为57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75,故C错误;因为体重位于[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)内的频率分别为0.15,0.25,0.3,0.2,且0.15+0.25+0.3<0.8,0.15+0.25+0.3+0.2>0.8,所以80%分位数位于区间[70,75)内,设80%分位数为x,则0.15+0.25+0.3+(x-70)×0.04=0.8,解得x=72.5,故B正确;样本中体重低于65 kg的学生的频率为0.15+0.25=0.4,所以估计该校学生中体重低于65 kg的学生有3000×0.4=1200(人),故D错误.故选B.
(2)对于A,根据频数分布表可知,6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数不小于1050 kg,故A错误;对于B,亩产量低于1100 kg的稻田所占比例为=66%,故B错误;对于C,设稻田亩产量的极差为t,则由题意知t<1200-900=300,且t>1150-950=200,即200(3)解:①甲家民宿“综合满意度”评分为3.2,4.2,5.0,4.5,5.0,4.8,4.5,4.3,5.0,4.5,
∴m=×(3.2+4.2+5.0+4.5+5.0+4.8+4.5+4.3+5.0+4.5)=4.5.
丙家民宿“综合满意度”评分从小到大排列为2.6,3.1,3.8,4.5,4.5,4.5,4.5,4.7,4.8,5.0,∴n==4.5.
②推荐乙,理由为乙的中位数最大,平均分比丙高.答案不唯一,合理即可.
变式 (1)D (2)BC [解析] (1)将数据从小到大排序为3,3,4,5,7,8,9,9,共8个数据,因为8×75%=6,所以这组数据的上四分位数为=8.5,故A错误;这组数据的众数为3和9,故B错误;这组数据的极差为6,故C错误;这组数据的平均数为=6,故D正确.故选D.
(2)对于A,数据中有3个10.5和3个10.6,所以众数是10.5和10.6,故A错误;对于B,极差为10.7-10.3=0.4,故B正确;对于C,将数据从小到大排列,因为10×25%=2.5,所以25%分位数是第3个数,为10.5,故C正确;对于D,平均成绩为=10.53,故D错误.故选BC.
(3)解:①成绩在[70,90)内的频率为1-0.012 5×20-0.007 5×20-0.005 0×20-0.005 0×20=0.4,
所以该组数据对应的矩形的高为=0.020 0,
补全的直方图如图所示.
所求平均数为0.012 5×20×60+0.020 0×20×80+0.007 5×20×100+0.005 0×20×120+0.005 0×20×140=88.
因为前三组的频率之和为0.012 5×20+0.020 0×20+0.007 5×20=0.8,而前四组的频率之和为0.012 5×20+0.020 0×20+0.007 5×20+0.005 0×20=0.9,
所以85%分位数为第四组区间的中点值,即为120.
②设第三组的平均数是,方差为,第四组的平均数是,方差为,这两组的平均数是,方差为s2,
由题意得,第三组和第四组中被抽取的学生人数分别为30和20,
则=+=×94+×124=106,
根据分层抽样方差公式得s2=[+(-)2]+[+(-)2]=×(1+122)+×(2+182)=217.4,
即这200人中分数在[90,130)内的学生成绩的方差为217.4.
例4 解:(1)∵zi=xi-yi(i=1,2,…,10),∴当i=1,2,…,10时,zi的值依次为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,
∴=×[9+6+8+(-8)+15+11+19+18+20+12]=11,
s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=×(22+52+32+192+42+02+82+72+92+12)=×610=61.
(2)∵-4×=112-4×=121-24.4=96.6>0,
∴>4×,即>2,
∴≥2成立.
∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
变式 解:(1)根据频率分布直方图得,第一组的频率为0.01×5=0.05,所以=0.05,所以x=120.
(2)①五个年龄组的平均数=×(93+96+97+94+90)=94,
方差=×[(93-94)2+(96-94)2+(97-94)2+(94-94)2+(90-94)2]=6.
5个职业组的平均数=×(93+98+94+95+90)=94,
方差=×[(93-94)2+(98-94)2+(94-94)2+(95-94)2+(90-94)2]=6.8.
②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度差异更小.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.简单随机抽样主要包括抽签法和随机数表法. ( )
2.在简单随机抽样中,用样本平均数可以估计总体平均数,用样本中的比例可以估计总体中的比例.( )
3.分层抽样中,为确保公平性,在每层都应用同一种抽样方法. ( )
4.频率分布直方图中每个小长方形的面积等于相应组的频率,各个小长方形的面积之和小于1. ( )
5.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势. ( )
6.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大. ( )
7.从频率分布直方图中得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了. ( )
8.从总体中抽取一个样本,用样本的分布估计总体的分布,样本容量越小估计越准确. ( )
9.在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据是众数.( )
10.样本容量越小,用样本的百分位数估计总体的百分位数就越准确. ( )
◆ 题型一 随机抽样
[类型总述] (1)随机抽样的相关概念;(2)用简单随机抽样的方法抽取样本;(3)用分层抽样的方法抽取样本.
例1 (1)某校为了解高一年级学生的学业生涯规划情况,在高一年级6个班级中任选2个班级,并在所选的班级中按男女生比例抽取样本,则应采用的抽样方法是 ( )
A.简单随机抽样
B.分层抽样
C.先用分层抽样,再用随机数表法
D.先用抽签法,再用分层抽样
(2)现有以下两项调查:①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测;②在某校800名学生中,O型、A型、B型和AB型血的学生依次有300,200,180,120人,为了研究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法是 ( )
A.①②都采用简单随机抽样
B.①②都采用分层抽样
C.①采用简单随机抽样,②采用分层抽样
D.①采用分层抽样,②采用简单随机抽样
变式 (1)[2024·甘肃兰州一中高一月考] 下列抽取样本的方法属于简单随机抽样的个数为 ( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;
③某班有56名同学,指定个子较高的5名同学参加学校组织的篮球赛;
④盒子中共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验,在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)(多选题)[2024·唐山期中] 为了实现教育资源的均衡化,某地决定派遣480名教师志愿者(480名教师情况如图所示)轮流支援当地的教育工作.若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师,则 ( )
A.派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同
B.派遣的青年女教师的人数占派遣教师人数的10%
C.派遣的老年教师有144人
D.派遣的青年女教师有15人
◆ 题型二 总体取值规律的估计
[类型总述] (1)频率分布表与频率分布直方图;(2)统计图中的样本分布.
例2 (1)(多选题)[2024·江苏连云港期末] 某市商品房调查机构对n户市民居住的户型结构和满意度进行了调查.如图①,被调查的所有市民中四居室住户共有300户,所占比例为,二居室住户占;如图②是用分层抽样的方法从所有被调查的市民的满意度问卷中,抽取10%的调查结果绘制成的统计图.则下列说法错误的是 ( )
A.样本容量为90
B.样本中三居室住户共抽取了35户
C.根据样本可估计对四居室满意的住户有110户
D.样本中对二居室满意的有3户
(2)从某直播间参与购物的人群中随机选出200人,并将这200人按年龄分组,得到的频率分布直方图如图所示,则在这200人中年龄在[25,35)内的人数n及直方图中a的值是 ( )
A.n=35,a=0.035
B.n=35,a=0.35
C.n=30,a=0.035
D.n=30,a=0.35
(3)(多选题)[2024·江苏南通质检] 随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高,我国社会物流需求不断增加,物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标.如图是2017-2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计,则 ( )
A.2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长,且2019年增长的最多
B.2017-2022这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元
C.2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.2%
D.2022年我国的GDP不达100万亿元
变式 (1)[2024·南京外国语学校月考] 如图所示是中国2012-2021年汽车进、出口量统计图,则下列结论错误的是 ( )
A.2012-2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的
B.从2018年开始,中国汽车的出口量大于进口量
C.2012-2021年中国汽车出口量的60%分位数是106万辆
D.2012-2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差
(2)(多选题)某市2023年经过招商引资后,经济收入较前一年增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该市的经济收入的变化情况,统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例,得到如下扇形图:
则下列结论中正确的是 ( )
A.招商引资后,工资性收入较前一年增加
B.招商引资后,转移净收入是前一年的1.25倍
C.招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D.招商引资后,经营净收入较前一年增加了一倍
(3)如图为某地2023年2月至2024年1月商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图,根据该图,下列结论正确的是 ( )
A.2024年1月,商品零售总额同比增长9.2%
B.2023年3~12月,餐饮收入总额同比增速都降低
C.2023年6~10月,商品零售总额同比增速都为正数
D.2023年12月,餐饮收入总额环比增速为-14.1%
◆ 题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
[类型总述] (1)总体百分位数的估计;(2)总体集中趋势的估计;(3)总体离散程度的估计.
例3 (1)[2024·武汉十一中月考] 少年强则国强,少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长,出台了一系列政策和行动计划,提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测,某校在3000名学生中,抽查了100名学生的体重数据情况,根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.样本的众数为65
B.样本的80%分位数为72.5
C.样本的平均数为67.5
D.估计该校学生中体重低于65 kg的学生有1000人
(2)[2024·新课标Ⅱ卷] 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)都在[900,1200)内,并整理得到下表:
亩产量 [900,950) [950,1000) [1000,1050) [1050,1100) [1100,1150) [1150,1200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据,下列结论正确的是 ( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于1050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg到300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg到1000 kg之间
(3)某市旅游部门为了促进生态特色城镇和新农村建设,将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传.该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查,得到了这三家民宿的“综合满意度”评分,评分越高表明游客体验越好.现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据,并对所得数据进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息.
a.甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图:
b.丙家民宿“综合满意度”评分为2.6,4.7,4.5,5.0,4.5,4.8,4.5,3.8,4.5,3.1.
c.甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数:
甲 乙 丙
平均数 m 4.5 4.2
中位数 4.5 4.7 n
根据以上信息,回答下列问题:
①求表中m,n的值.
②根据“综合满意度”的评分情况,该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐,你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐 说明理由(至少从两个方面说明).
变式 (1)[2024·江苏徐州期末] 已知一组数据4,8,9,3,3,5,7,9,则 ( )
A.这组数据的上四分位数为8
B.这组数据没有众数
C.这组数据的极差为5
D.这组数据的平均数为6
(2)(多选题)[2024·沈阳高一期末] 已知某运动员在10米气步枪项目比赛中进入决赛,他在决赛的第一阶段成绩(环数)如下表:
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
环数 10.5 10.6 10.3 10.5 10.3 10.6 10.7 10.7 10.5 10.6
则下列说法正确的是 ( )
A.成绩的众数是10.5
B.成绩的极差是0.4
C.成绩的25%分位数是10.5
D.平均成绩是10.4
(3)[2024·徐州期末] 为纪念中国航天事业所取得的成就,发掘并传承中国航天精神,某市随机抽取2000名学生进行了航天知识竞赛,将成绩(满分为150分)整理后分成五组,依次为[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],并绘制成如图所示的频率分布直方图.
①补全频率分布直方图,并估计这2000名学生成绩的平均数,求85%分位数(求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表);
②现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人,若第三组中被抽取的学生成绩的平均数为94,方差为1,第四组中被抽取的学生成绩的平均数为124,方差为2,求这200人中分数在[90,130)内的学生成绩的方差.
例4 [2023·全国乙卷] 某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.
变式 “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了x人,按年龄(单位:岁)分成五组,第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人.
(1)求x的值.
(2)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1~5组.从这五个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩.年龄组中一~五组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1~5组的成绩分别为93,98,94,95,90.
①分别求五个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;
②以上述数据为依据,评价五个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度.(共58张PPT)
本章总结提升
题型一 随机抽样
题型二 总体取值规律的估计
题型三 用样本的数字特征估计总体的数字
特征
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.简单随机抽样主要包括抽签法和随机数表法.( )
√
2.在简单随机抽样中，用样本平均数可以估计总体平均数，用样本中
的比例可以估计总体中的比例．( )
√
3.分层抽样中,为确保公平性,在每层都应用同一种抽样方法.( )
×
4.频率分布直方图中每个小长方形的面积等于相应组的频率,各个小
长方形的面积之和小于1.( )
×
5.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.
( )
√
6.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大.( )
√
7.从频率分布直方图中得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图
后,原有的具体数据信息就被抹掉了.( )
√
8.从总体中抽取一个样本,用样本的分布估计总体的分布,样本容量越
小估计越准确.( )
×
9.在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据是众数.( )
√
10.样本容量越小，用样本的百分位数估计总体的百分位数就越准确.
( )
×
题型一 随机抽样
［类型总述］（1）随机抽样的相关概念;（2）用简单随机抽样的方
法抽取样本;（3）用分层抽样的方法抽取样本.
例1（1） 某校为了解高一年级学生的学业生涯规划情况,在高一年级
6个班级中任选2个班级,并在所选的班级中按男女生比例抽取样本,则
应采用的抽样方法是( )
A.简单随机抽样 B.分层抽样
C.先用分层抽样,再用随机数表法 D.先用抽签法,再用分层抽样
[解析] 某校为了解高一年级学生的学业生涯规划情况,在高一年级6
个班级中任选2个班级,应采用抽签法或随机数表法;
在所选的班级中按男女生比例抽取样本,应用分层抽样.故选D.
√
（2）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台
进行质量检测；②在某校800名学生中，型、A型、B型和 型血
的学生依次有300,200,180,120人,为了研究血型与色弱的关系，需从
中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法
是( )
A.①②都采用简单随机抽样
B.①②都采用分层抽样
C.①采用简单随机抽样，②采用分层抽样
D.①采用分层抽样，②采用简单随机抽样
√
[解析] 对于①，从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台，适宜采用简
单随机抽样；
对于②，800名学生的血型有4种类型，差异明显，为了研究血型与色
弱的关系，适宜采用分层抽样.故选C.
变式（1） [2024·甘肃兰州一中高一月考]下列抽取样本的方法属于
简单随机抽样的个数为( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
③某班有56名同学，指定个子较高的5名同学参加学校组织的篮球赛；
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操
作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个
数为有限个；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取；
③某班有56名同学，指定个子较高的5名同学参加学校组织的篮球赛，
不满足随机抽取；
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操
作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，不
满足不放回抽取.故选A.
（2）（多选题）[2024·唐山期中] 为
了实现教育资源的均衡化，某地决定
派遣480名教师志愿者（480名教师情
A.派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同
B.派遣的青年女教师的人数占派遣教师人数的
C.派遣的老年教师有144人
D.派遣的青年女教师有15人
况如图所示）轮流支援当地的教育工作.若第一批志愿者采用分层抽样
的方法随机派遣150名教师，则 ( )
√
√
√
[解析] 因为 ，所以派遣的青年男教师的人数占派遣教师人
数的 ，则派遣的青年女教师的人数占派遣教师人数的
，则派遣的青年男、女教师的人数之和与
老年教师的人数相同，均占派遣教师人数的 ，故A，B正确；
派遣的老年教师的人数为 ，故C错误；
派遣的青年女教师的人数为 ，故D正确.故选 .
题型二 总体取值规律的估计
［类型总述］（1）频率分布表与频率分布直方图;（2）统计图中的
样本分布.
例2（1） （多选题）[2024·江苏连云港期末] 某市商品房调查机构
对 户市民居住的户型结构和满意度进行了调查.如图①，被调查的
所有市民中四居室住户共有300户，所占比例为，二居室住户占 ；
如图②是用分层抽样的方法从所有被调查的市民的满意度问卷中，
抽取 的调查结果绘制成的统计图.则下列说法错误的是( )
A.样本容量为90
B.样本中三居室住户共抽取了35户
C.根据样本可估计对四居室满意的住户有110户
D.样本中对二居室满意的有3户
√
√
[解析] 被调查的所有市民有 （户），其中二居室住户有
（户），三居室住户有 （户）.
在A中，样本容量为 ，故A中说法正确；
在B中，样本中三居室住户共抽取了 （户），故B中说法错误；
在C中，根据样本可估计对四居室满意的住户有 （户），故
C中说法错误；
在D中，样本中对二居室满意的有
（户），故D中说法正确.
故选 .
（2）从某直播间参与购物的人群中随机选出200
人,并将这200人按年龄分组,得到的频率分布直方
图如图所示,则在这200人中年龄在 内的人
数及直方图中 的值是( )
A., B.,
C., D.,
√
[解析] 由图知,年龄在 内的小矩形的面积
为,即年龄在 内的频率
为,所以年龄在 内的人数 .
由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得
,解得 .故选C.
（3）（多选题） 江苏南通质检］
随着国民经济的快速发展和人民生活水
平的不断提高，我国社会物流需求不断
增加，物流行业前景广阔.社会物流总费
用与 的比率是反映地区物流发展水
A. 这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2019年增长的最多
B.这6年我国社会物流总费用的 分位数为16.7万亿元
C.这6年我国社会物流总费用与的比率的极差为
D.2022年我国的 不达100万亿元
平的指标.如图是年我国社会物流总费用与 的比率统计，
则 ( )
√
√
[解析] 由图可知， 这5年我
国社会物流总费用逐年增长，且2021年
增长的最多，故A错误；
因为 ，所以这6年我国社会
物流总费用的 分位数为16.7万亿元，故B正确；
由图可知， 这6年我国社会物流总费用与的比率的极差为
，故C正确；
由图可知，2022年我国的为 （万亿元），故D错误.
故选 .
变式（1） [2024·南京外
国语学校月考]如图所示是
中国 年汽车
进、出口量统计图，则下
列结论错误的是( )
A. 年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的
B.从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量
C.年中国汽车出口量的 分位数是106万辆
D. 年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差
√
[解析] 由图可知 年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的，
故A中结论正确；
由图可知从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量，故B中结论正确；
年中国汽车出口量由小到大排列为，73， ，92，99，104，
108，115， ，212，所以 分位数是 ，故C中结论正确；
由图可知 年中国汽车进口量的波动小于出口量的波动，因此
年中国汽车进口
量的方差小于出口量的方差，
故D中结论错误.故选D.
（2）（多选题）某市2023年经过招商引资后，经济收入较前一年增
加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，
统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是( )
A.招商引资后，工资性收入较前一年增加
B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收
入的
D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
√
√
[解析] 设招商引资前经济收入为，则招商引资后经济收入为 .
对于A，招商引资前工资性收入为 ，招商引资后工资性收入为
，因为 ，所以招商引资后，工资性收入较前一年
增加了，故A正确；
对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为
，因为 ，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，
故B错误；
对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和占 ，
所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和不超过该年经济收入
的，故C错误；
对于D，招商引资前经营净收入为 ，招商引资后经营净收入为
，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.
故选 .
（3）如图为某地2023年2月至2024年1月商品零
售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图,根据
该图,下列结论正确的是( )
A.2024年1月,商品零售总额同比增长
B.2023年 月,餐饮收入总额同比增速都降低
C.2023年 月,商品零售总额同比增速都为正数
D.2023年12月,餐饮收入总额环比增速为
√
[解析] 对于A,2024年1月,商品零售总额同比增长 ,故A错误;
对于B,2023年8月,餐饮收入总额同比增速上升,故B错误;
对于C,2023年 月,商品零售总额同比增速都为正数,故C正确;
对于D,2023年12月,餐饮收入总额环比增速并未告知,故D错误.故选C.
题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
［类型总述］（1）总体百分位数的估计;（2）总体集中趋势的估计;
（3）总体离散程度的估计.
例3（1） [2024·武汉十一中月考]少年强则国强，少年智则国智.党
和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，
提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名
学生中，抽查了100名学生的体重数据情况，根据所得数据绘制样本
的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A.样本的众数为65
B.样本的 分位数为72.5
C.样本的平均数为67.5
D.估计该校学生中体重低于 的学生有1000人
√
[解析] 由频率分布直方图可得众数为 ，故A错误；
平均数为
，故C错误；
因为体重位于,, , 内的
频率分别为,,, ，且 ，
，所以分位数位于区间 内，设分位数为，
则 ，解得，故B正确；
样本中体重低于 的学生的频率为 ，所以估计该校学生
中体重低于的学生有 （人），故D错误.故选B.
（2） 新课标Ⅱ卷］ 某农业研究部门在面积相等的100块稻田
上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位： ）都在
内，并整理得到下表：
亩产 量
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论正确的是( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于
B.100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过
C.100块稻田亩产量的极差介于到 之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于到 之间
√
[解析] 对于A，根据频数分布表可知， ，所
以亩产量的中位数不小于 ，故A错误；
对于B，亩产量低于的稻田所占比例为 ，故B错误；
对于C，设稻田亩产量的极差为，则由题意知 ，且，即 ，故C正确；
对于D，100块稻田亩产量的平均值为 ，故D错误.故选C.
（3）某市旅游部门为了促进生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、
丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传.该平台邀请
部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的
“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好.现从这三家民宿“综
合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整
理、描述和分析，下面给出了部分信息.
.甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
.丙家民宿“综合满意度”评分为，，，，， ，
，，， .
.甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
甲 乙 丙
平均数 4.5 4.2
中位数 4.5 4.7
根据以上信息，回答下列问题：
①求表中， 的值.
解：甲家民宿“综合满意度”
评分为，，，，
， ，，，，
，
.
丙家民宿“综合满意度”评分从小到大排列为，，， ，
，，，，，， .
②根据“综合满意度”的评分情况，该
平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的
一家置顶推荐，你认为该平台会将这
三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理
由（至少从两个方面说明）.
解：推荐乙，理由为乙的中位数最大，平均分比丙高.
答案不唯一，合理即可.
变式（1） 江苏徐州期末］ 已知一组数据4，8，9，3，3，
5，7，9，则( )
A.这组数据的上四分位数为8 B.这组数据没有众数
C.这组数据的极差为5 D.这组数据的平均数为6
√
[解析] 将数据从小到大排序为3，3，4，5，7，8，9，9，共8个数据，
因为 ，所以这组数据的上四分位数为 ，故A错误；
这组数据的众数为3和9，故B错误；
这组数据的极差为6，故C错误；
这组数据的平均数为 ，故D正确.故选D.
（2）（多选题）[2024·沈阳高一期末] 已知某运动员在10米气步枪
项目比赛中进入决赛，他在决赛的第一阶段成绩（环数）如下表：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
环数 10.5 10.6 10.3 10.5 10.3 10.6 10.7 10.7 10.5 10.6
则下列说法正确的是( )
A.成绩的众数是10.5 B.成绩的极差是0.4
C.成绩的 分位数是10.5 D.平均成绩是10.4
√
√
[解析] 对于A，数据中有3个10.5和3个 ，所以众数是10.5和 ，
故A错误；
对于B，极差为 ，故B正确；
对于C，将数据从小到大排列，因为 ，所以分位数
是第3个数，为 ，故C正确；
对于D，平均成绩为 ，故D错误.故选.
（3）[2024·徐州期末] 为纪念中
国航天事业所取得的成就，发掘
并传承中国航天精神，某市随机
抽取2000名学生进行了航天知识
竞赛，将成绩（满分为150分）整
理后分成五组，依次为， ，
，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
①补全频率分布直方图，并估计
这2000名学生成绩的平均数，求
分位数（求平均数时同一组
数据用该组区间的中点值作代
表）；
解：成绩在 内的频率为
，所以该组数据对应的矩形的高为
，
补全的直方图如图所示.
所求平均数为 .
因为前三组的频率之和为 ，而前四组的频率之和为 ，所以 分位数为第四组区间的中点值，即为120.
②现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽
取的学生成绩的平均数为94，方差为1，第四组中被抽取的学生成绩
的平均数为124，方差为2，求这200人中分数在 内的学生成
绩的方差.
解：设第三组的平均数是，方差为 ，
第四组的平均数是，方差为 ，这两组
的平均数是，方差为 ，
由题意得，第三组和第四组中被抽取的学
生人数分别为30和20，则 ，
根据分层抽样方差公式得 ，
即这200人中分数在 内的学生成绩的方差为217.4.
例4 全国乙卷］ 某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸
缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同
的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工
艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后
的橡胶产品的伸缩率分别记为, ,试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记,记,, ,的样本平均数为 ，样本
方差为 .
（1）求， ；
解：， 当,2， ，10时， 的值
依次为9,6,8, ,15,11,19,18,20,12，
，
.
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶
产品的伸缩率是否有显著提高(如果 ，则认为甲工艺处理后
的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提
高,否则不认为有显著提高).
解： ，
,即 ,
成立.
甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的
伸缩率有显著提高.
变式 “一带一路”是“丝绸之路经济带”
和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市
为了了解人们对“一带一路”的认知程
度，对不同年龄和不同职业的人举办
了一次“一带一路”知识竞赛，满分
100分（90分及以上为认知程度高）.
现从参赛者中抽取了 人，按年龄（单位：岁）分成五组，第一组：
，第二组：，第三组：，第四组： ，第五
组： ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.
（1）求 的值.
解：根据频率分布直方图得，第一组的频率为 ，所以
，所以 .
（2）从该市大学生、军人、医务人
员、工人、个体户五种人中用分层抽
样的方法依次抽取6人，42人，36人，
24人，12人，分别记为 组.从这
五个按年龄分的组和5个按职业分的
组中每组各选派1人参加知识竞赛，
分别代表相应组的成绩.年龄组中一～五组的成绩分别为93，96，97，
94，90，职业组中 组的成绩分别为93，98，94，95，90.
①分别求五个年龄组和5个职业组成
绩的平均数和方差；
解：五个年龄组的平均数
，
方差 .
5个职业组的平均数 ，
方差 .
②以上述数据为依据，评价五个年龄
组和5个职业组对“一带一路”的认知
程度.
解：从平均数来看两组的认知程度相
同，从方差来看年龄组的认知程度差
异更小.
