(共48张PPT)
15.1 样本空间和随机事件
探究点一 确定性现象和随机现象
探究点二 试验的样本空间与基本事件
探究点三 随机事件的表示
探究点四 事件之间的关系和运算
【学习目标】
1.结合具体实例理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与
样本点的关系.
2.了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.
3.结合具体实例,了解随机事件的并、交的含义.
4.能结合实例用事件的并、交运算表达随机事件.
知识点一 样本空间
1.现象
（1）确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种
结果，这种现象就是确定性现象.
（2） 随机现象：在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发
生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.
2.随机试验的概念与特点
（1）随机试验的概念
对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称______.
试验
（2）随机试验的特点
①试验可以在相同的条件下__________;
②试验的所有可能结果是明确的,并且不止______;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的______,但事先不能确定
出现________结果.
重复进行
一个
一个
哪一个
3.样本点与样本空间
（1）我们把随机试验的每一个可能结果称为________，用 表示；
（2）所有样本点组成的集合称为__________.用 表示；
（3）如果样本空间 是一个有限集合，则称样本空间为____________.
样本点
样本空间
有限样本空间
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）某试验的样本空间中可能含有多个样本点.( )
√
（2）抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,该试验的样本空间中
含有两个样本点.( )
√
2.有下列现象:①连续两次抛掷同一颗骰子，两次都出现2点；②走到
十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其
中是随机现象的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由随机现象的概念可知①②是随机现象，③④是确定性现象.
故选B.
√
知识点二 随机事件
事件类型 定义（表示）
随机事件
基本事件 一个事件仅包含单一样本点
必然事件
不可能事件
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）连续两周,每周的周五都下雨,可以断定第三周的周五还要下雨.
( )
×
（2）在体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码为奇数”是随机事件.( )
√
知识点三 随机事件的关系及运算
定义 符号表示 图示
包事件 _______________________________________________
并事件 （或和 事件） ______________________________________________
定义 符号表示 图示
交事件 （或积 事件） ______________________________________________
续表
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）抛掷一颗骰子，记向上的点数为，“”为事件，“ ”
为事件，则事件包含于事件 .( )
√
（2）如果某事件发生当且仅当事件发生且事件 发生,那么称此事
件为事件与事件的交事件（或积事件）,记作 .( )
√
（3）在掷骰子试验中,“出现5点”和“出现6点”的和事件是“出现大于
或等于5点”.( )
√
探究点一 确定性现象和随机现象
例1（1） 下列现象是确定性现象的是( )
A.一天中进入某超市的顾客人数 B.一顾客在超市中购买的商品数
C.一颗麦穗上长着的麦粒数 D.早晨太阳从东方升起
[解析] 一天中进入某超市的顾客人数不确定，故A错误；
一顾客在超市中购买的商品数不确定，故B错误；
一颗麦穗上长着的麦粒数是随机的，故C错误；
早晨太阳从东方升起是确定的，故D正确.故选D.
√
（2）[2024·上海宝山区吴淞中学月考] 下列现象中，属于随机现象
的序号是______.
①明天是阴天；
②方程 有两个不相等的实数根；
③明天吴淞口的最高水位是4.5米；
④三角形中，大角对大边.
①③
[解析] 对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故
①③属于随机现象；
对于②，由，得 ，显然在实数域内方程无解，
故②属于确定性现象；
对于④，在三角形中，由正弦定理易知大角对大边，故④属于确定性现象.
故填①③.
变式 判断下列现象哪些是确定性现象，哪些是随机现象.
（1）水在标准大气压下加热到 就沸腾；
解：水在标准大气压下加热到 就沸腾，是确定性现象.
（2）某种型号电视机的寿命；
解：某种型号电视机的寿命是随机的，是随机现象.
（3）一个口袋中有十只完全相同的白球，从中任取一只为白球；
解：一个口袋中有十只完全相同的白球，从中任取一只必然为白球，
是确定性现象.
（4）测量某物理量（长度、直径等）的误差.
解：测量某物理量（长度、直径等）的误差是随机的，是随机现象.
［素养小结］
判断是确定性现象还是随机现象，关键是看给定条件下事件是否能
判断结果.若能判断出结果，则为确定性现象；若不能判断出结果，
则为随机现象.
探究点二 试验的样本空间与基本事件
例2 写出下列随机试验的样本空间.
（1）掷一枚骰子,记录出现的点数;
解：记“掷一枚骰子，出现的点数是”为 ,则该试
验的样本空间,,,,, .
（2）从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，
记下颜色后放回，连续取两次；
解：该试验的样本空间 （红球，红球），（红球，白球），
（红球，黑球），（白球，白球），（白球，红球），（白球，黑
球），（黑球，黑球），（黑球，白球），（黑球，红球）}.
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中
同时取出3只球,观察其编号.
解：一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同
时取出3只球,观察其编号,
该试验的样本空间,,,,, ,
,,, .
变式 写出下列试验的样本空间：
（1）连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况；
解：连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况，该试验的
样本空间（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） .
（2）甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的
顺序，记录抽签的结果；
解：甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，记录抽签确定的演讲
顺序的结果，该试验的样本空间 （甲，乙，丙，丁），
（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），
（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），
（乙，甲，丁，丙），（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），
（乙，丁，甲，丙），（乙，丁，丙，甲），（丙，甲，乙，丁），
（丙，甲，丁，乙），（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），
（丙，丁，甲，乙），（丙，丁，乙，甲），（丁，甲，乙，丙），
（丁，甲，丙，乙），（丁，乙，甲，丙），（丁，乙，丙，甲），
（丁，丙，甲，乙），（丁，丙，乙，甲） .
（3）连续抛掷一枚骰子2次，观察掷出的点数之和；
解：连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和，该试验的样
本空间，3，4，5，6，7，8，9，10，11， .
（4）设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至
白球全部取出为止，记录取球的次数.
解：从装有4个白球和6个黑球的袋子中，不放回地逐个取球，直至
白球全部取出为止，记录取球的次数，该试验的样本空间 ，5，
6，7，8，9， .
［素养小结］
写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，特别注意题目的关
键字，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.
探究点三 随机事件的表示
例3 袋中有大小和质地完全相同的红球、白球各一个，每次任意摸
出一个，有放回地摸三次.
（1）写出试验的样本空间.
解：样本空间 （红，红，红），（红，红，白），（红，白，
红），（白，红，红），（红，白，白），（白，红，白），
（白，白，红），（白，白，白） .
（2）用集合表示下列事件：
①事件 为“三次颜色恰有两次同色”；
解： （红，红，白），（红，白，红），（白，红，红），
（红，白，白），（白，红，白），（白，白，红） .
②事件 为“三次颜色全相同”；
解：（红，红，红），（白，白，白） .
③事件 为“三次摸到的红球多于白球”.
解： （红，红，红），（红，红，白），（红，白，红）
（白，红，红） .
变式 [2024·廊坊期末] 同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，
用表示结果，其中表示红色骰子向上一面的点数， 表示蓝色
骰子向上一面的点数.
（1）写出该试验的样本空间；
解：该试验的样本空间，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，， .
（2）指出，，，，， 所表示的事件；
解：由题意可知，，，，，， 所表示
的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”.
（3）试写出事件“点数之和不超过5”所包含的样本点.
解：事件“点数之和不超过5”所包含的样本点有， ，
，，，，，，， .
［素养小结］
对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后确定随机事件
中含有哪些样本点.
探究点四 事件之间的关系和运算
例4 连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件 为两次出现的
点数相同，事件为两次出现的点数之和为4，事件 为两次出现的
点数之差的绝对值为4，事件 为两次出现的点数之和为6.
（1）用样本点表示事件， ；
解：由题意得，,,,,,， ,
,，,,,，,, ,
, .
则,，,,,,, ,
, .
（2）若,,,,,,，则事件 与已
知事件是什么运算关系？
解：因为,,,,,, ，所以
.
变式 在投掷骰子的试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，例
如“掷一颗骰子，出现的点数为”为事件 ，“掷一
颗骰子，出现的点数不大于1”为事件 ，“掷一颗骰子，出现的点数
小于7”为事件，“掷一颗骰子，出现的点数为奇数”为事件 ，“掷一
颗骰子，出现的点数为偶数”为事件 .
请根据上述定义的事件，回答下列问题.
（1）请找出与事件 相等的事件；
解：因为事件等价于“掷一颗骰子，出现的点数为1”，所以 .
（2）判断事件，， 的包含关系.
解：事件发生，则事件发生，所以.事件发生，则事件 发
生，所以 .
［素养小结］
事件间的运算方法:
（1）利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的
结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
（2）利用 图.借鉴集合间运算的思想，分析同一条件下的试验
所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
1.对随机试验的理解
对于随机事件,知道它发生的可能性的大小是非常重要的,要了解随机
事件发生的可能性的大小,最直接的方法就是试验.一个试验如果满足
下述条件:
（1）试验可以在相同条件下重复进行;
（2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之
前却不能确定这次试验会出现哪一个结果.
那么像这样的试验就是一个随机试验.
如掷硬币这个试验中,试验可以重复进行,每掷一次,就是进行了一次试
验,试验结果“正面向上”“反面向上”是明确可知的,每次试验之前不能
确定出现哪个结果,但一定会出现这两个结果中的一个.
2.样本空间与样本点
随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间,记为 .样
本空间的元素,即试验 的每一个结果,称为样本点.
3.随机试验与样本空间的关系
（1）试验不同,对应的样本空间也不同.
（2）同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.
（3）建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个
样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.
4.必然事件与不可能事件不具有随机性,为了方便统一处理,将必然事
件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样,每个事件都是样
本空间 的一个子集.
利用集合表示事件
利用集合表示事件的目的是把样本点表示出来,表示样本点的方法有
列举法、列表法、坐标系法和树状图法.
例1 甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布）,用表示结果,其中
表示甲出的拳, 表示乙出的拳.
（1）写出样本空间;
解：样本空间 （锤,剪）,（锤,布）,（锤,锤）,（剪,锤）,
（剪,剪）,（剪,布）,（布,锤）,布,剪）,（布,布）}.
（2）用集合表示事件“甲赢”;
解：记“甲赢”为事件,则 （锤,剪）,（剪,布）,（布,锤）}.
（3）用集合表示事件“平局”.
解：记“平局”为事件,则 （锤,锤）,（剪,剪）,（布,布）}.
例2 如图,一个电路中有,, 三个电器元件,每个元件可能正常,也可
能失效,把这个电路是否为通路看成是一个随机现象,观察这个电路中
各元件是否正常.
（1）写出试验的样本空间.
解：分别用,和表示元件,和 的可能
状态,则这个电路的工作状态可用
表示,进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示“失效”状态.
样本空间,,,, ,, ,
.
（2）用集合表示下列事件:事件 为“恰好两个元
件正常”;事件为“电路是通路”;事件 为“电路是
断路”.
解：“恰好两个元件正常”等价于 ,且,, 中恰有两
个为1,所以,, .
“电路是通路”等价于 ,,且, 中至少有一个是
1,所以,, .
“电路是断路”等价于 ,且或, ，
所以,,,, .第15章 概率
15.1 样本空间和随机事件
【课前预习】
知识点一
2.(1)试验 (2)重复进行 一个 一个 哪一个
3.(1)样本点 (2)样本空间 (3)有限样本空间
诊断分析
1.(1)√ (2)√
2.B [解析] 由随机现象的概念可知①②是随机现象,③④是确定性现象.故选B.
知识点二
诊断分析
(1)× (2)√
知识点三
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)①③ [解析] (1)一天中进入某超市的顾客人数不确定,故A错误;一顾客在超市中购买的商品数不确定,故B错误;一颗麦穗上长着的麦粒数是随机的,故C错误;早晨太阳从东方升起是确定的,故D正确.故选D.
(2)对于①③,明天的事是未来才发生的事,具有不确定性,故①③属于随机现象;对于②,由x2+1=0,得x2=-1,显然在实数域内方程无解,故②属于确定性现象;对于④,在三角形中,由正弦定理易知大角对大边,故④属于确定性现象.故填①③.
变式 解:(1)水在标准大气压下加热到100 ℃就沸腾,是确定性现象.
(2)某种型号电视机的寿命是随机的,是随机现象.
(3)一个口袋中有十只完全相同的白球,从中任取一只必然为白球,是确定性现象.
(4)测量某物理量(长度、直径等)的误差是随机的,是随机现象.
探究点二
例2 解:(1)记“掷一枚骰子,出现的点数是k”为ωk(k=1,2,3,4,5,6),则该试验的样本空间Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}.
(2)该试验的样本空间Ω={(红球,红球),(红球,白球),(红球,黑球),(白球,白球),(白球,红球),(白球,黑球),(黑球,黑球),(黑球,白球),(黑球,红球)}.
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取出3只球,观察其编号,
该试验的样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}.
变式 解:(1)连续抛掷一枚硬币2次,观察正面、反面出现的情况,该试验的样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.
(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛,记录抽签确定的演讲顺序的结果,该试验的样本空间Ω={(甲,乙,丙,丁),(甲,乙,丁,丙),(甲,丙,乙,丁),(甲,丙,丁,乙),(甲,丁,乙,丙),(甲,丁,丙,乙),(乙,甲,丙,丁),(乙,甲,丁,丙),(乙,丙,甲,丁),(乙,丙,丁,甲),(乙,丁,甲,丙),(乙,丁,丙,甲),(丙,甲,乙,丁),(丙,甲,丁,乙),(丙,乙,甲,丁),(丙,乙,丁,甲),(丙,丁,甲,乙),(丙,丁,乙,甲),(丁,甲,乙,丙),(丁,甲,丙,乙),(丁,乙,甲,丙),(丁,乙,丙,甲),(丁,丙,甲,乙),(丁,丙,乙,甲)}.
(3)连续抛掷一枚骰子2次,观察2次掷出的点数之和,该试验的样本空间Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
(4)从装有4个白球和6个黑球的袋子中,不放回地逐个取球,直至白球全部取出为止,记录取球的次数,该试验的样本空间Ω={4,5,6,7,8,9,10}.
探究点三
例3 解:(1)样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.
(2)① A={(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红)}.
②B={(红,红,红),(白,白,白)}.
③C={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红) (白,红,红)}.
变式 解:(1)该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
(2)由题意可知,{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子,掷出的点数相同”.
(3)事件“点数之和不超过5”所包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1).
探究点四
例4 解:(1)由题意得,A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},B={(1,3),(2,2),(3,1)},C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
则C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
(2)因为E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},所以E=B∪C.
变式 解:(1)因为事件D等价于“掷一颗骰子,出现的点数为1”,所以D=C1.
(2)事件F发生,则事件E发生,所以F E.事件G发生,则事件E发生,所以G E.第15章 概率
15.1 样本空间和随机事件
1.B [解析] ①抛掷2枚硬币,其中1枚正面朝上,1枚正面朝下为随机现象;②在标准大气压下,水在4 ℃结冰为确定性现象;③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰好抽到1号签为随机现象;④若x∈R,则|x|的值不小于0为确定性现象.故选B.
2.D [解析] 易知3枚硬币落地时正面向上的个数可能是0,1,2,3中的任意一个,所以Ω={0,1,2,3}.故选D.
3.C [解析] 易知A={2,4},B={1,3,5},则A∪B={2,4}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5},故选C.
4.C [解析] 同时抛掷两枚硬币,样本空间为Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A B.故选C.
5.C [解析] 试验E的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},其中事件A中所包含的样本点为(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,事件B中所包含的样本点为(1,3),(2,4),共2个,所以事件A∪B中所包含的样本点为(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5个,事件A∩B中所包含的样本点为(2,4),共1个.故选C.
6.C [解析] 把白球和黑球摸完则一定能摸到红球,∵白球与黑球的个数之和为8+7=15,∴k>15,又k∈N*,∴k的最小值为16.故选C.
7.D [解析] 由题意知样本点共有15个,为(红1,红2),(红1,白1),(红1,白2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,白1),(红2,白2),(红2,黑1),(红2,黑2),(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白2,黑1),(白2,黑2),(黑1,黑2).其中,恰好有2个红色的变形金刚包含的样本点为(红1,红2),恰好有2个黑色的变形金刚包含的样本点为(黑1,黑2),恰好有2个白色的变形金刚包含的样本点为(白1,白2),而至少有1个红色的变形金刚包含的样本点不唯一,则D不是基本事件.故选D.
8.AB [解析] 对于A,“5件都是正品”可能发生,也可能不发生,该事件是随机事件;对于B,“至少有1件次品”可能发生,也可能不发生,该事件是随机事件;对于C,25件同类产品中,有2件次品,则“有3件次品”不会发生,是不可能事件;对于D,25件同类产品中,有2件次品,从中任取5件产品,“至少有3件正品”一定发生,故“至少有3件正品”是必然事件.故选AB.
9.ABD [解析] 事件A为“两次都投中”,事件B为“两次都未投中”,事件C为“恰有一次投中”,事件D为“至少有一次投中”,即“两次都投中”或“恰有一次投中”.对于A,事件A为“两次都投中”,事件D为“至少有一次投中”,则A D,故A正确;对于B,事件B和事件D不可能同时发生,则B∩D= ,故B正确;对于C,事件A∪B为“两次都投中”或“两次都未投中”,而事件B∪D表示“两次都未投中”“两次都投中”或“恰有一次投中”,故C错误;对于D,事件A∪C表示“两次都投中”或“恰有一次投中”,则A∪C=D,故D正确.故选ABD.
10.(1) (2) (3) (4)= (5)H (6)I [解析] 因为事件A,B,C,D发生时,事件H必然发生,所以B H.同理D J,E I.易知事件A与事件G相等,即A=G.因为A={1},B={2},C={3},D={4},H={1,2,3,4},所以A+B+C+D=H.同理A+C+E=I.
11.取出的两件产品都是正品 取出的两件产品中恰有一件次品
12.10 4 [解析] 从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,包含的样本点有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个,其中样本点(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)中三个数字之和为奇数.
13.解:(1)事件A表示两次都摸到白球.
(2)事件B表示摸到的球一黑一白.
(3)事件C表示第一次摸到白球,第二次摸到黑球.
14.解:(1)设3双手套为a1,a2,b1,b2,c1,c2,其中a1,b1,c1分别代表左手的3只手套,a2,b2,c2分别代表右手的3只手套,a1,a2为第一双手套,b1,b2为第二双手套,c1,c2为第三双手套.
试验E的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2)},样本点的个数为15.
(2)随机事件A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2)},样本点的个数为12.
随机事件B={(a1,b1),(a1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b1,c1),(b2,c2)},样本点的个数为6.
随机事件C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)},样本点的个数为6.
(3)A∩B={(a1,b1),(a1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b1,c1),(b2,c2)},B∩C= ,A∩C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)},B∪C={(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2)}.
15.6 [解析] 由题意可知,样本空间Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)},共15个样本点,
函数f(x)有零点,则b2-4a≥0,符合条件的样本点为(1,2),(1,4),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.
16.解:(1)点M在y轴上,则a=0,由题意知b的可能取值为6,7,8,9,所以集合A={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9)}.
(2)由题知a2+(b-6)2≤9.
当a=0时,b=6,7,8,9满足a2+(b-6)2≤9;
当a=1时,b=6,7,8满足a2+(b-6)2≤9;
当a=2时,b=6,7,8满足a2+(b-6)2≤9;
当a=3时,b=6满足a2+(b-6)2≤9.
故B={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2,8),(3,6)}.第15章 概率
15.1 样本空间和随机事件
【学习目标】
1.结合具体实例理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.
2.了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.
3.结合具体实例,了解随机事件的并、交的含义.
4.能结合实例用事件的并、交运算表达随机事件.
◆ 知识点一 样本空间
1.现象
(1)确定性现象:在一定条件下,事先就能断定发生或不发生某种结果,这种现象就是确定性现象.
(2) 随机现象:在一定条件下,某种结果可能发生,也可能不发生,事先不能断定出现哪种结果,这种现象就是随机现象.
2.随机试验的概念与特点
(1)随机试验的概念
对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验,简称 .
(2)随机试验的特点
①试验可以在相同的条件下 ;
②试验的所有可能结果是明确的,并且不止 ;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 ,但事先不能确定出现 结果.
3.样本点与样本空间
(1)我们把随机试验的每一个可能结果称为 ,用ω表示;
(2)所有样本点组成的集合称为 .用Ω表示;
(3)如果样本空间Ω是一个有限集合,则称样本空间为 .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)某试验的样本空间中可能含有多个样本点. ( )
(2)抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,该试验的样本空间中含有两个样本点. ( )
2.有下列现象:①连续两次抛掷同一颗骰子,两次都出现2点;②走到十字路口,遇到红灯;③异性电荷相互吸引;④抛一石块,下落.其中是随机现象的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
◆ 知识点二 随机事件
事件类型 定义(表示)
随机事件 样本空间的子集,简称事件.表示:用A,B,C等大写英文字母
基本事件 一个事件仅包含单一样本点
必然事件 Ω(全集)
不可能事件 (空集)
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)连续两周,每周的周五都下雨,可以断定第三周的周五还要下雨. ( )
(2)在体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码为奇数”是随机事件. ( )
◆ 知识点三 随机事件的关系及运算
定义 符号表示 图示
包事件 事件B发生必导致事件A发生 A B(或B A)
并事件 (或和 事件) 事件A与事件B至少有一个发生即为事件C发生,这时,我们称C是A与B的并,也称C是A与B的和 C=A∪B (或C=A+B)
(续表)
定义 符号表示 图示
交事件 (或积 事件) 事件A与事件B同时发生即为事件C发生,这时,我们称C是A与B的交,也称C是A与B的积 C=A∩B (或C=AB)
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛掷一颗骰子,记向上的点数为x,“x>5”为事件B,“x>2”为事件A,则事件B包含于事件A. ( )
(2)如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,那么称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作AB. ( )
(3)在掷骰子试验中,“出现5点”和“出现6点”的和事件是“出现大于或等于5点”. ( )
◆ 探究点一 确定性现象和随机现象
例1 (1)下列现象是确定性现象的是 ( )
A.一天中进入某超市的顾客人数
B.一顾客在超市中购买的商品数
C.一颗麦穗上长着的麦粒数
D.早晨太阳从东方升起
(2)[2024·上海宝山区吴淞中学月考] 下列现象中,属于随机现象的序号是 .
①明天是阴天;
②方程x2+1=0有两个不相等的实数根;
③明天吴淞口的最高水位是4.5米;
④三角形中,大角对大边.
变式 判断下列现象哪些是确定性现象,哪些是随机现象.
(1)水在标准大气压下加热到100 ℃就沸腾;
(2)某种型号电视机的寿命;
(3)一个口袋中有十只完全相同的白球,从中任取一只为白球;
(4)测量某物理量(长度、直径等)的误差.
[素养小结]
判断是确定性现象还是随机现象,关键是看给定条件下事件是否能判断结果.若能判断出结果,则为确定性现象;若不能判断出结果,则为随机现象.
◆ 探究点二 试验的样本空间与基本事件
例2 写出下列随机试验的样本空间.
(1)掷一枚骰子,记录出现的点数;
(2)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球,记下颜色后放回,连续取两次;
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取出3只球,观察其编号.
变式 写出下列试验的样本空间:
(1)连续抛掷一枚硬币2次,观察正面、反面出现的情况;
(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛,通过抽签确定演讲的顺序,记录抽签的结果;
(3)连续抛掷一枚骰子2次,观察掷出的点数之和;
(4)设袋中装有4个白球和6个黑球,从中不放回地逐个取出,直至白球全部取出为止,记录取球的次数.
[素养小结]
写随机试验的样本空间时,要按照一定的顺序,特别注意题目的关键字,如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.
◆ 探究点三 随机事件的表示
例3 袋中有大小和质地完全相同的红球、白球各一个,每次任意摸出一个,有放回地摸三次.
(1)写出试验的样本空间.
(2)用集合表示下列事件:
①事件A为“三次颜色恰有两次同色”;
②事件B为“三次颜色全相同”;
③事件C为“三次摸到的红球多于白球”.
变式 [2024·廊坊期末] 同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子,用(x,y)表示结果,其中x表示红色骰子向上一面的点数,y表示蓝色骰子向上一面的点数.
(1)写出该试验的样本空间;
(2)指出{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}所表示的事件;
(3)试写出事件“点数之和不超过5”所包含的样本点.
[素养小结]
对于随机事件的表示,应先列出所有的样本点,然后确定随机事件中含有哪些样本点.
◆ 探究点四 事件之间的关系和运算
例4 连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A为两次出现的点数相同,事件B为两次出现的点数之和为4,事件C为两次出现的点数之差的绝对值为4,事件D为两次出现的点数之和为6.
(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;
(2)若E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
变式 在投掷骰子的试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,例如“掷一颗骰子,出现的点数为k”为事件Ck(k=1,2,3,4,5,6),“掷一颗骰子,出现的点数不大于1”为事件D,“掷一颗骰子,出现的点数小于7”为事件E,“掷一颗骰子,出现的点数为奇数”为事件F,“掷一颗骰子,出现的点数为偶数”为事件G.
请根据上述定义的事件,回答下列问题.
(1)请找出与事件D相等的事件;
(2)判断事件E,F,G的包含关系.
[素养小结]
事件间的运算方法:
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借鉴集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.第15章 概率
15.1 样本空间和随机事件
一、选择题
1.下列属于随机现象的个数为 ( )
①抛掷2枚硬币,其中1枚正面朝上,1枚正面朝下;
②在标准大气压下,水在4 ℃结冰;
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰好抽到1号签;
④若x∈R,则|x|的值不小于0.
A.1 B.2
C.3 D.4
2.同时抛掷3枚硬币,观察它们落地时正面向上的个数,则这个试验的样本空间为 ( )
A.Ω={3} B.Ω={4}
C.Ω={1,2,3} D.Ω={0,1,2,3}
3.抛掷一颗骰子,观察其朝上面的点数,若事件A表示“点数为2或4”,事件B表示“点数为奇数”,则事件A与事件B的并事件用集合表示为 ( )
A.{2,4} B.{1,3,5}
C.{1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5,6}
4.[2024·河南信阳期末] 同时抛掷两枚硬币,“向上的面都是正面”记为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”记为事件B,则有 ( )
A.A=B
B.A B
C.A B
D.A与B之间没有关系
5.试验E表示“从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和”,事件A为“这2个数的和大于4”,事件B为“这2个数的和为偶数”,则A∪B和A∩B中包含的样本点的个数分别为 ( )
A.1,6 B.4,2
C.5,1 D.6,1
6.一袋中装有10个红球,8个白球,7个黑球,现在把球随机地一个一个摸出来,为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球,则k的最小值为 ( )
A.10 B.15 C.16 D.17
7.袋中有2个红色的变形金刚,2个白色的变形金刚,2个黑色的变形金刚,从里面任意取2个变形金刚,下列事件中不是基本事件的为 ( )
A.恰好有2个红色的变形金刚
B.恰好有2个黑色的变形金刚
C.恰好有2个白色的变形金刚
D.至少有1个红色的变形金刚
8.(多选题)[2024·陕西汉中期末] 在25件同类产品中,有2件次品,从中任取5件产品,其中是随机事件的是 ( )
A.5件都是正品 B.至少有1件次品
C.有3件次品 D.至少有3件正品
9.(多选题)[2024·江苏常州期末] 某篮球运动员进行投篮训练,连续投篮两次,设事件A为随机事件“两次都投中”,事件B为随机事件“两次都未投中”,事件C为随机事件“恰有一次投中”,事件D为随机事件“至少有一次投中”,则下列关系正确的是 ( )
A.A D B.B∩D=
C.A∪B=B∪D D.A∪C=D
二、填空题
10.在掷一颗骰子的试验中,记“出现1点”为事件A;“出现2点”为事件B;“出现3点”为事件C;“出现4点”为事件D;“出现5点”为事件E;“出现6点”为事件F;“出现的点数不大于1”为事件G;“出现的点数小于5”为事件H;“出现奇数点”为事件I;“出现偶数点”为事件J.请根据这些事件,判断下列事件的关系:
(1)B H;
(2)D J;
(3)E I;
(4)A G;
(5)A+B+C+D= ;
(6)A+C+E= .
11.从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,则事件A={(a1,a2),(a2,a1)}的含义是 ,事件B={(a1,b1),(b1,a1),(a2,b1),(b1,a2)}的含义是 .
12.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则这一试验的样本空间包含的样本点的总数为 ,取出的三个数的和为奇数这一事件包含的样本点的个数为 .
三、解答题
13.已知试验E为“袋中有白球3个(编号为1,2,3)、黑球2个(编号为1,2),这5个球除颜色外完全相同,从中不放回地依次摸取2次,每次摸1个,观察摸出球的情况”.摸到白球的编号为1,2,3分别记为w1,w2,w3,摸到黑球的编号为1,2分别记为b1,b2.指出下列随机事件的含义:
(1)事件A={w1w2,w1w3,w2w1,w2w3,w3w1,w3w2};
(2)事件B={w1b1,w1b2,w2b1,w2b2,w3b1,w3b2,b1w1,b1w2,b1w3,b2w1,b2w2,b2w3};
(3)事件C={w1b1,w1b2,w2b1,w2b2,w3b1,w3b2}.
14.试验E为“箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只”.记随机事件A为“拿出的手套配不成对”;随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”;随机事件C为“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”.
(1)写出试验E的样本空间Ω,并指出样本点的个数;
(2)分别用样本点表示随机事件A、随机事件B、随机事件C,并指出每个随机事件的样本点的个数;
(3)写出A∩B,B∩C,A∩C,B∪C.
15.已知二次函数f(x)=ax2-bx+1(a≠0),设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到样本点(a,b),则使函数f(x)有零点的样本点的个数为 .
16.将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个质地均匀的正四面体(四个面上分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次,规定:正方体向上的面上的数字为a,正四面体的三个侧面上的数字之和为b.设点M的坐标为(a,b).
(1)若集合A={(a,b)|点M在y轴上},用列举法表示集合A;
(2)记“(a,b)满足a2+(b-6)2≤9”为事件B,写出事件B包含的样本点.
