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15.2 随机事件的概率
第2课时 频率与概率
探究点一 频率与概率的关系
探究点二 利用频率估计概率
探究点三 频率的应用
【学习目标】
结合具体实例,会用频率估计概率.
知识点 随机事件的概率
1.频率的稳定性
一般地,对于给定的随机事件 ，在相同条件下，随着试验次数的
______,事件发生的频率会在随机事件发生的概率 的附近
_________________.我们将频率的这个性质称为频率的________.
增加
摆动并趋于稳定
稳定性
2.频率与概率
若随机事件在次试验中发生了次，则当试验次数 很大时，可以
用事件发生的频率___来估计事件的概率，即 ___.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）事件的概率越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大.( )
√
（2）中奖率为 的彩票，买1000张彩票不一定中奖.( )
√
（3）某种疾病的治愈率为 ，若前7个人没有被治愈，则后3个人
一定能被治愈.( )
×
（4）试验次数相同，频率可能不同，这说明随机事件发生的频率具
有随机性.( )
√
2.在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币的试验，若掷100次，设“正面
向上”为事件，此次试验中，出现正面向上的次数为47，则事件 发
生的频率为_____．
0.47
探究点一 频率与概率的关系
例1（1） 甲同学在数学探究活动中做抛硬币试验，共抛掷了2000次，
其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是( )
A.抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517
B.甲同学的试验中，反面朝上的频率为0.483
C.抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5
D.甲同学的试验中，正面朝上的频率接近0.517
√
[解析] 甲同学的试验中，正面朝上的频率为 ，反面朝上的频率
为 ，故B正确,D错误；
抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为 ，为定值，故
A，C错误.故选B.
（2）（多选题）下列说法正确的是( )
A.频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度
B.每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数
C.每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D.概率就是频率
√
√
[解析] 对于A，频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事
件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可以反映事件发生的频
繁程度，故A正确；
对于B，试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故B正确；
对于C，各个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误；
对于D，概率是大量重复试验后频率的稳定值，故D错误.故选 .
变式（1） （多选题）下列说法中正确的是( )
A.当试验次数很大时，概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B.做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率 就是事
件 发生的概率
C.频率是不能脱离 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖
于试验次数的理论值
D.任意事件发生的概率总满足
√
√
[解析] 对于A，由概率与频率的关系知A正确；
对于B，概率是频率的稳定值，故B错误；
对于C，由概率与频率的关系知C正确；
对于D，任意事件A发生的概率总满足，故D错误.
故选 .
（2）[2024·广州华南师大附中期末]下列说法中正确的是( )
A.有一批产品的次品率为 ，则从中任意取出200件产品必有10件
是次品
B.抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51
C.随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
D.掷骰子100次，出现6点的结果有20次，则出现6点的频率为0.2
√
[解析] 对于A，一批产品的次品率为 ，则从中任取200件，其中
次品有10件左右，而不一定是10件，故A错误；
对于B，这100次试验中出现正面朝上的频率为 ，故B错误；
对于C，根据定义，随机事件发生的概率是频率的稳定值，
它不一定等于频率，故C错误；
对于D，抛掷骰子100次，出现6点的结果有20次，则出现6点的频率
是 ，故D正确.故选D.
探究点二 利用频率估计概率
例2（1） 为了解某社区居民家庭人均月收入（百元）情况,调查了
该社区80户居民的家庭人均月收入,列出频率分布表如下:
家庭人均月收 入（百元）
频率 0.1 0.2 0.15 0.1 0.1
则这80户居民中, 家庭人均月收入在 内的有____户
（用数字作答）.假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低等
收入家庭,现从该社区居民中随机抽取1户,估计该家庭为中低等收入
家庭的概率是____.
28
0.3
[解析] ,所以这80户居
民中,家庭人均月收入在内的有 （户）.
频率分布表中第一组与第二组的频率之和为 ,
所以可估计所求概率为0.3.
（2）［2024·乌鲁木齐期末］ 在一个不透明的纸盒中装有6个白球
和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出1个球，
记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳
定在0.8附近，则袋子中红球约有____个.
24
[解析] 设袋子中红球有 个，利用频率的稳定值来估算概率，则
，解得 ，故袋子中红球约有24个.
变式（1） 利用简单随机抽样的方法抽取了某校500名学生,其中共
青团员有320人,戴眼镜的有365人.若在这个学校中随机抽取1名学生,
则估计这名学生是共青团员的概率为_____,戴眼镜的概率为_____.
0.64
0.73
[解析] 抽取的500名学生中有共青团员320人,即共青团员出现的频率
为 ,所以在该校随机抽取1名学生,估计这名学生是共青团员
的概率为0.64.
抽取的500名学生中戴眼镜的有365人,即戴眼镜的学生出现的频率为
,所以在该校随机抽取1名学生,估计这名学生戴眼镜的概率
为0.73.
（2）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末
期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，
易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是制作的关键.
某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样
品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到
相关数据如下（单件成本利润率利润 成本 ）：
甲款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率
频数 10 60 30
乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率
频数 50 30 20
①用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一
等品的概率；
解：用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一
等品的概率为 .
②若甲、乙两款鲁班锁玩具各生产100件的投资成本均为20 000元，
且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具各100件
所获得的利润.
解：对于甲款鲁班锁玩具，一等品的利润为
（元），二等品的利润为 （元），三等品的
利润为 （元），故100件甲款鲁班锁玩具所获
得的利润为 （元）.
对于乙款鲁班锁玩具，一等品的利润为
（元），二等品的利润为 （元），三等品
的利润为 （元），故100件乙款鲁班锁玩具所
获得的利润为 （元）.
［素养小结］
（1）频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,当 很大时,频
率总是在一个稳定值附近上下摆动,这个稳定值就是概率.
（2）解此类题目的步骤:先利用频率的计算公式依次计算出各个频
率值,然后根据概率的定义确定频率的稳定值,即为概率.
探究点三 频率的应用
例3 一个游戏包含两个随机事件和，规定事件 发生则甲获胜，
事件发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件和 发生的概
率是否相等.在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩
到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏
不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；
当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为 ，乙获胜的频率为0.7.
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可
能性会越来越小.
相对10次游戏，1000次游戏时的频率更接近概率的可能性更大，
因此我们更愿意相信1000次游戏时的频率离概率更近.
而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和 ，存在很大
差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性
的判断.
变式（1） 某同学进行投篮训练，共投3组，每组投篮次数和命中的
次数如下表：
第一组 第二组 第三组 合计
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 68 124 174 366
命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则下列估
计值中可能性最大的是( )
A.0.58 B.0.61 C.0.62 D.0.627
√
[解析] 试验次数越多，频率越接近概率，对概率的估计误差越小，
可能性越大，所以合计列对应的频率最为合适，即0.61.故选B.
（2）为了了解在一个小水库中鱼的养殖情况，从这个小水库中的多
处不同位置捕捞出100条鱼，将这100条鱼做记号后再放回水库.几天
后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条. 根
据上述样本，我们可以估计小水库中鱼的总条数约为( )
A.20 000 B.6000 C.12 000 D.2000
[解析] 设鱼的总条数为，则由题可知，解得 .故
选D.
√
［素养小结］
概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了
事件发生的可能性的大小，但是概率只是提供了一种“可能性”，而
不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件也
不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大.
1.随机事件的概率
一般地,随机事件 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量
重复试验后,随着试验次数的增加,事件 发生的频率会逐渐稳定在区
间中的某个常数上,这个常数可以用来度量事件 发生的可能性
的大小,定义为事件发生的概率.即用事件发生的频率作为事件 发
生的概率,从精确度上来讲,它是一种近似计算,即 .通过频率
求事件 发生的概率的前提是大量重复的试验,试验的次数越多,获得
的数据越多,这时用来表示 就越精确.
2.频率与概率之间的区别与联系
（1）频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于
概率,在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.
（2）频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数
的重复试验得到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10
次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的.
（3）概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若
一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是 ,与做多
少次试验无关.
3.随机模拟的步骤
（1）建立概率模型;
（2）进行模拟试验（可用计算器或计算机进行）;
（3）统计试验结果.
随机模拟的基本思路:
1.针对实际问题建立一个简单可行的概率统计模型,使所求问题的解
为该模型的概率分布或者数字特征,比如:某个事件发生的概率.
2.对模型中的随机变量建立抽样方法,在计算机上进行模拟试验,得到
足够的随机数,并对相关事件进行统计.
3.对试验结果进行分析,给出所求问题解的估计及其精度（方差）的
估计.
例1 [2024·四川宜宾高一期末] 袋子中有四个小球,分别写有“中”“华”
“民”“族”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“华”两个字都
被取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率,利用
计算机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表取到写有
“中”“华”“民”“族”这四个字的小球,以每三个随机数为一组,表示取球
三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
由此可以估计,恰好抽取三次停止的概率为__.
[解析] 由随机模拟产生的随机数可知,表示恰好抽取三次停止的随机
数有021,001,130,031,共4组,所以估计恰好抽取三次停止的概率为
.
例2 [2024·吕梁高一期末] 甲、乙两人进行一场三局两胜制的比赛
（比满三局）,假设每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为 ,
各局比赛相互独立.用计算机产生 之间的整数随机数,当出现随机
数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜,当出现随机数4或5时,表示一局比赛
乙获胜.由于要比赛三局,所以每三个随机数为一组,现产生了20组随机
数:
123 344 423 114 423 453 354 332 125
342 534 443 541 512 152 432 334 151
314 525
（1）用以上随机数估计甲获胜的概率;
解：计算机产生的20组随机数相当于做了20次重复试验,其中表示甲
获胜的有123,423,114,423,332,125,342,512,152,432,334,151,314,共13组,
故估计甲获胜的概率为 .
（2）计算甲获胜的概率.
解：甲获胜的概率
.第2课时 频率与概率
【课前预习】
知识点
1.增加 摆动并趋于稳定 稳定性
2.
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.0.47
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)AB [解析] (1)甲同学的试验中,正面朝上的频率为0.517,反面朝上的频率为0.483,故B正确,D错误;抛掷一枚硬币,正面朝上与反面朝上的概率均为0.5,为定值,故A,C错误.故选B.
(2)对于A,频数是指事件发生的次数,频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值,二者都可以反映事件发生的频繁程度,故A正确;对于B,试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和,故B正确;对于C,各个试验结果出现的频率之和一定等于1,故C错误;对于D,概率是大量重复试验后频率的稳定值,故D错误.故选AB.
变式 (1)AC (2)D [解析] (1)对于A,由概率与频率的关系知A正确;对于B,概率是频率的稳定值,故B错误;对于C,由概率与频率的关系知C正确;对于D,任意事件A发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1,故D错误.故选AC.
(2)对于A,一批产品的次品率为0.05,则从中任取200件,其中次品有10件左右,而不一定是10件,故A错误;对于B,这100次试验中出现正面朝上的频率为0.51,故B错误;对于C,根据定义,随机事件发生的概率是频率的稳定值,它不一定等于频率,故C错误;对于D,抛掷骰子100次,出现6点的结果有20次,则出现6点的频率是=0.2,故D正确.故选D.
探究点二
例2 (1)28 0.3 (2)24 [解析] (1)a=1-(0.1+0.2+0.15+0.1+0.1)=0.35,所以这80户居民中,家庭人均月收入在[28,34)内的有80×0.35=28(户).频率分布表中第一组与第二组的频率之和为0.3, 所以可估计所求概率为0.3.
(2)设袋子中红球有x个,利用频率的稳定值来估算概率,则≈0.8,解得x≈24,故袋子中红球约有24个.
变式 (1)0.64 0.73 [解析] 抽取的500名学生中有共青团员320人,即共青团员出现的频率为=0.64,所以在该校随机抽取1名学生,估计这名学生是共青团员的概率为0.64.抽取的500名学生中戴眼镜的有365人,即戴眼镜的学生出现的频率为=0.73,所以在该校随机抽取1名学生,估计这名学生戴眼镜的概率为0.73.
(2)解:①用频率估计概率,从这200件产品中随机抽取一件,该产品是一等品的概率为=.
②对于甲款鲁班锁玩具,一等品的利润为×10%×10=200(元),二等品的利润为×8%×60=960(元),三等品的利润为×4%×30=240(元),故100件甲款鲁班锁玩具所获得的利润为200+960+240=1400(元).
对于乙款鲁班锁玩具,一等品的利润为×7.5%×50=750(元),二等品的利润为×5.5%×30=330(元),三等品的利润为×3%×20=120(元),故100件乙款鲁班锁玩具所获得的利润为750+330+120=1200(元).
探究点三
例3 解:当游戏玩了10次时,甲、乙获胜的频率都为0.5;
当游戏玩了1000次时,甲获胜的频率为0.3,乙获胜的频率为0.7.
根据频率的稳定性,随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可能性会越来越小.
相对10次游戏,1000次游戏时的频率更接近概率的可能性更大,
因此我们更愿意相信1000次游戏时的频率离概率更近.
而游戏玩到1000次时,甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7,存在很大差距,
所以有理由认为游戏是不公平的.因此,应该支持甲对游戏公平性的判断.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)试验次数越多,频率越接近概率,对概率的估计误差越小,可能性越大,所以合计列对应的频率最为合适,即0.61.故选B.
(2)设鱼的总条数为n,则由题可知≈,解得n≈2000.故选D.第2课时 频率与概率
1.C [解析] 对于A,概率是定值,故A错误;对于B,试验得到的频率与概率可以相等,故B错误;对于C,当试验次数很大时,频率稳定在概率附近,故C正确;对于D,频率只能估计概率,故D错误.故选C.
2.A [解析] 对于A,患此疾病的病人被治愈的可能性为10%,故A正确;对于B,医院接收10位患此疾病的病人,不一定有一位病人被治愈,故B错误;对于C,如果前9位病人都没有被治愈,那么第10位病人不一定能被治愈,故C错误;对于D,医院接收10位患此疾病的病人,不一定有能被治愈的,故D错误.故选A.
3.A [解析] 由表可知,取到卡片的号码为奇数有13+5+6+18+11=53(次),所以所求频率为=0.53.故选A.
4.A [解析] 由题意可知投篮命中的频率为=0.56,得到的频率可能比概率大,可能比概率小,也可能等于概率,故A正确,C错误;投篮10次或100次相当于进行10次或100次试验,每一次的结果都是随机的,其结果可能一次没中,也可能投中多次,频率、概率只反映事件发生的可能性的大小,不能说明事件是否一定发生,故B,D错误.故选A.
5.D [解析] 对于A选项,就算四面体是均匀的,每个面落在地上的次数仍旧可能不一样,在均匀的条件下,随着试验次数的增多,每个面落在地上的次数将会变得越来越接近,换句话说,即使是均匀的四面体,仅仅在200次试验下,得到落在地上的面的统计结果也可能不一样,故A选项错误;对于B,C选项,这200次试验中,标记为2,3,4的面落在地上的频率分别为,,,即0.18,0.21,0.39,B选项中所估计的概率0.72和频率0.18差别过大,C选项认为标记为4的面必定落在地上,是必然事件,概率为1,但频率只有0.39,因此不能认为必然发生,故B,C选项错误;对于D选项,标记为3的面落在地上的概率估计是0.2,和试验频率0.21非常接近,故D选项正确.故选D.
6.B [解析] 设红球的个数为x,由题意可知≈,可得x≈5,所以红球的个数最可能是5.故选B.
7.B [解析] 设该校有a名学生,则约有0.4a的学生近视,约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h,且每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数约为0.3a×0.5=0.15a,所以约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h,且其中约有0.4a-0.15a=0.25a的学生近视,所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,该学生近视的概率P==.故选B.
8.ACD [解析] 在A中,抛掷一枚质地均匀的骰子,掷得点数为6的概率是,即每掷6次就可能有一次掷得点数6,故A中说法错误;在B中,抛掷一枚硬币,试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率,故B中说法正确;在C中,某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的可能性会下雨,故C中说法错误;在D中,设“掷一枚骰子一次,向上的点数是偶数”为事件A,“掷一枚骰子一次,向上的点数是奇数”为事件B,则A,B中至少有一个发生的概率是1,A,B中恰有一个发生的概率也是1,故D中说法错误.故选ACD.
9.ABC [解析] 由频率估计概率得P(A)==0.55,故A正确;P(B)==0.18,故B正确;因为100-55-18=27,所以P(C)==0.27,故C正确,D错误.故选ABC.
10.0.499 5 [解析] 在掷均匀硬币的试验中,掷30 000次,其中有14 984次正面朝上,则出现正面朝上的频率是≈0.499 5.
11. 0.21 0.18 [解析] 赔付金额大于投保金额的频率为=0.21,则估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21.在样本车辆中,车主是新司机的占15%,故投保的新司机人数为15%×(600+80+110+120+90)=150,在赔付金额为4500元的样本车辆中,车主是新司机的占30%,故已投保的新司机中,获赔金额为4500元的有90×30%=27(人),则估计在已投保的新司机中,获赔金额为4500元的概率为=0.18.
12.0.14 [解析] 由题知a=0.1-(0.001+0.002×2+0.006+0.017×2+0.020+0.023)=0.012,故估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于[10,30)内的概率为(0.012+0.002)×10=0.14.
13.解:(1)表格中的频率从左向右依次为0.60,0.60,0.62,0.61,0.59,0.61,0.60,0.60.
(2)由(1)知,虽然计算出的频率不全相同,但都在0.60上下摆动,所以中国人在邮箱名称里使用数字的概率约为0.60.
14.解:(1)
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10 0.1
[39.97,39.99) 20 0.2
[39.99,40.01) 50 0.5
[40.01,40.03] 20 0.2
合计 100 1.0
(2)标准尺寸是40.00 mm,若要使误差不超过0.03 mm,则直径应落在[39.97,40.03]内.
由(1)中表知,直径落在[39.97,40.03]内的频率为0.2+0.5+0.2=0.9,所以估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率为0.9.第2课时 频率与概率
一、选择题
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 ( )
A.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
B.试验得到的频率与概率不可能相等
C.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
D.频率等于概率
2.[2024·江苏淮安期末] 已知医院治疗某种疾病的治愈率为10%,下列说法正确的是 ( )
A.患此疾病的病人被治愈的可能性为10%
B.医院接收10位患此疾病的病人,其中有一位病人被治愈
C.如果前9位病人都没有被治愈,那么第10位病人一定能被治愈
D.医院接收10位患此疾病的病人,其中一定有能被治愈的
3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到卡片的号码为奇数的频率是 ( )
A.0.53 B.0.5
C.0.47 D.0.37
4.根据统计,某篮球运动员在1000次投篮中,命中560次,则该运动员 ( )
A.投篮命中的频率为0.56
B.投篮10次至少有5次命中
C.投篮命中的概率为0.56
D.投篮100次有56次命中
5.[2024·天津河东区高一期末] 用木块制作的一个四面体,四个面上分别标记1,2,3,4,重复抛掷这个四面体200次,记录每个面落在地上的次数(如下表).下列说法正确的是 ( )
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A.该四面体一定不是均匀的
B.再抛掷一次,估计标记为2的面落在地上的概率为0.72
C.再抛掷一次,标记为4的面落在地上
D.再抛掷一次,估计标记为3的面落在地上的概率为0.2
6.一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球,某班分成20个小组进行随机摸球试验,每组各进行50次,每次有放回地摸1个球并记录颜色.统计得共摸到红球619次,则袋中红球的个数最有可能为 ( )
A.3 B.5
C.7 D.9
7.众所周知,长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约40%的人近视,而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,则该名学生近视的概率为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)下列说法错误的是 ( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子,掷得点数为6的概率是,即每掷6次就有一次掷得点数6
B.抛掷一枚硬币,试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率
C.某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的区域下雨
D.随机事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大
9.(多选题)统计两支球队之间的100次比赛结果,其中甲胜的次数为55,乙胜的次数为18.记甲胜为事件A,乙胜为事件B,平局为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中正确的是 ( )
A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18
C.P(C)=0.27 D.P(C)=0.45
二、填空题
10.在掷均匀硬币的试验中,掷30 000次,其中有14 984次正面朝上,则出现正面朝上的频率是 .(精确到0.000 1)
11.某保险公司利用简单随机抽样的方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示.
赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500
车辆数/辆 600 80 110 120 90
若每辆车的投保金额均为2500元,估计赔付金额大于投保金额的概率为 .在样本车辆中,车主是新司机的占15%,在赔付金额为4500元的样本车辆中,车主是新司机的占30%,估计在已投保的新司机中,获赔金额为4500元的概率为 .
12.在某地区进行流行病学调查,随机调查了200位某种疾病患者的年龄,得到了如图的样本数据的频率分布直方图,根据图中信息估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于[10,30)内的概率为 .
三、解答题
13.某人发现中国人在邮箱名称里喜欢用数字,于是他做了调查,结果如下表:
邮箱数 60 130 265 306 1233 2130 4700 6897
名称里有数 字的邮箱数 36 78 165 187 728 1300 2820 4131
频率
(1)填写上表中的频率(结果保留到小数点后两位);
(2)中国人在邮箱名称里使用数字的概率约是多少
14.某乒乓球制造商生产了一批乒乓球,从中随机抽取100个,测得每个乒乓球的直径(单位:mm),将数据分组如下表:
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10
[39.97,39.99) 20
[39.99,40.01) 50
[40.01,40.03] 20
合计 100
(1)请将上表补充完整;
(2)已知标准乒乓球的直径为40.00 mm,试估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率.第2课时 频率与概率
【学习目标】
结合具体实例,会用频率估计概率.
◆ 知识点 随机事件的概率
1.频率的稳定性
一般地,对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的 ,事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近 .我们将频率的这个性质称为频率的 .
2.频率与概率
若随机事件A在n次试验中发生了m次,则当试验次数n很大时,可以用事件A发生的频率 来估计事件A的概率,即P(A)≈ .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)事件的概率越大,在重复试验中,相应的频率一般也越大. ( )
(2)中奖率为的彩票,买1000张彩票不一定中奖. ( )
(3)某种疾病的治愈率为0.3,若前7个人没有被治愈,则后3个人一定能被治愈. ( )
(4)试验次数相同,频率可能不同,这说明随机事件发生的频率具有随机性. ( )
2.在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币的试验,若掷100次,设“正面向上”为事件A,此次试验中,出现正面向上的次数为47,则事件A发生的频率为 .
◆ 探究点一 频率与概率的关系
例1 (1)甲同学在数学探究活动中做抛硬币试验,共抛掷了2000次,其中正面朝上的有1034次,则下列说法正确的是 ( )
A.抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为0.517
B.甲同学的试验中,反面朝上的频率为0.483
C.抛掷一枚硬币,反面朝上的概率小于0.5
D.甲同学的试验中,正面朝上的频率接近0.517
(2)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度
B.每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数
C.每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D.概率就是频率
变式 (1)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.当试验次数很大时,概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值
B.做n次随机试验,事件M发生m次,则事件M发生的频率就是事件M发生的概率
C.频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D.任意事件A发生的概率P(A)总满足0
(2)[2024·广州华南师大附中期末] 下列说法中正确的是 ( )
A.有一批产品的次品率为0.05,则从中任意取出200件产品必有10件是次品
B.抛100次硬币,结果51次出现正面,则出现正面的概率是0.51
C.随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
D.掷骰子100次,出现6点的结果有20次,则出现6点的频率为0.2
◆ 探究点二 利用频率估计概率
例2 (1)为了解某社区居民家庭人均月收入(百元)情况,调查了该社区80户居民的家庭人均月收入,列出频率分布表如下:
家庭人均月收入(百元) 第一组 [10,16) 第二组 [16,22) 第三组 [22,28) 第四组 [28,34) 第五组 [34,40) 第六组 [40,46]
频率 0.1 0.2 0.15 a 0.1 0.1
则这80户居民中, 家庭人均月收入在[28,34)内的有 户(用数字作答).假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低等收入家庭,现从该社区居民中随机抽取1户,估计该家庭为中低等收入家庭的概率是 .
(2)[2024·乌鲁木齐期末] 在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出1个球,记下颜色后再放回袋中,通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近,则袋子中红球约有 个.
变式 (1)利用简单随机抽样的方法抽取了某校500名学生,其中共青团员有320人,戴眼镜的有365人.若在这个学校中随机抽取1名学生,则估计这名学生是共青团员的概率为 ,戴眼镜的概率为 .
(2)鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具,相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明,它看似简单,却凝结着不平凡的智慧,易拆难装,十分巧妙,每根木条上的花纹是卖点,也是制作的关键.某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具,各生产了100件样品,样品分为一等品、二等品、三等品,根据销售部市场调研分析,得到相关数据如下(单件成本利润率=利润÷成本×100%):
甲款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 10% 8% 4%
频数 10 60 30
乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 7.5% 5.5% 3%
频数 50 30 20
①用频率估计概率,从这200件产品中随机抽取一件,求该产品是一等品的概率;
②若甲、乙两款鲁班锁玩具各生产100件的投资成本均为20 000元,且每件的投资成本是相同的,分别求投资这两款鲁班锁玩具各100件所获得的利润.
[素养小结]
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近上下摆动,这个稳定值就是概率.
(2)解此类题目的步骤:先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值,然后根据概率的定义确定频率的稳定值,即为概率.
◆ 探究点三 频率的应用
例3 一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜,事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.在游戏过程中甲发现:玩了10次时,双方各胜5次;但玩到1000次时,自己才胜300次,而乙却胜了700次.据此,甲认为游戏不公平,但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论 为什么
变式 (1)某同学进行投篮训练,共投3组,每组投篮次数和命中的次数如下表:
第一组 第二组 第三组 合计
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 68 124 174 366
命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61
根据表中的数据信息,用频率估计一次投篮命中的概率,则下列估计值中可能性最大的是 ( )
A.0.58 B.0.61
C.0.62 D.0.627
(2)为了了解在一个小水库中鱼的养殖情况,从这个小水库中的多处不同位置捕捞出100条鱼,将这100条鱼做记号后再放回水库.几天后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼,其中带有记号的鱼有6条. 根据上述样本,我们可以估计小水库中鱼的总条数约为 ( )
A.20 000 B.6000
C.12 000 D.2000
[素养小结]
概率是事件的本质属性,不随试验次数的变化而变化,概率反映了事件发生的可能性的大小,但是概率只是提供了一种“可能性”,而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例,即使是大概率事件也不能肯定事件一定发生,只是认为发生的可能性大.