(共54张PPT)
15.3 互斥事件和独立事件
第1课时 互斥事件和对立事件
探究点一 互斥事件与对立事件的判断
探究点二 互斥、对立事件的概率公式
探究点三 概率性质的综合应用
【学习目标】
1.结合具体实例,了解随机事件互斥、对立的含义，能够根据定义辨
别事件的互斥与对立关系.
2.掌握互斥事件的概率加法公式.
知识点一 互斥事件和对立事件
1.互斥事件
一般地,如果事件与事件 ____________发生,即________,那么称事
件与事件 为__________.可以用图（如图）表示.
不可能同时
互斥事件
2.对立事件
一般地,如果事件和事件 在任何一次试验中有且仅有一
个发生,即 ,且________,那么称事件与事件 为_________
__.事件 的对立事件记为___,可以用图（如图）表示.
对立事件
3.概率的加法公式
（1）如果事件，互斥，那么事件 发生的概率，等于事件
， 分别发生的概率的____，即_______________________.
和
（2）如果事件,, , 中任何两个事件都是互斥事件，那么称
事件,, ,两两互斥.如果事件,, , 两两互斥，那么
__________________________.
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若两个事件互斥,则这两个事件互为对立事件.( )
×
（2）若两个事件互为对立事件,则这两个事件互斥.( )
√
（3）若事件，为互斥事件,则事件， 也是互斥事件.( )
×
（4）若事件，为对立事件,则， .( )
√
知识点二 随机事件的概率的常用性质
随机事件的概率的常用性质：
（1） ；
（2）当时， ；
推广:对于任意事件,因为 ,所以0___ ___1.
（3）当，不互斥时， ____________________.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若事件与互为对立事件,则 ( )
×
（2）在同一试验中,对任意两个事件， ，有
.( )
×
（3）若事件与互为对立事件,则, .( )
√
（4）若事件发生的概率，则 ( )
√
2.已知,，若，则 ____,
____.
0.6
0.1
[解析] 因为,， ，所以
, .
探究点一 互斥事件与对立事件的判断
例1 从装有2个红球和2个白球（球除颜色外均相同）的口袋中任取2个
球,用集合的形式分别写出下列事件,并判断每对事件是否互斥或对立.
（1）“至少有1个白球”与“都是白球”;
解：给2个红球编号为1,2,给2个白球编号为3,4,从口袋中任取2个球,用
表示取出的2个球,则该试验的样本空间,, ,
,,.
设事件为“至少有1个白球”,则, ,,, .
设事件为“都是白球”,则,所以,所以和 不互斥.
（2）“至少有1个白球”与“至少有1个红球”;
解：设事件为“至少有1个红球”,则,,, ,,
因为,,,,所以和 不互斥.
（3）“至少有1个白球”与“都是红球”.
解：设事件为“都是红球”,则,因为 ,
,所以和 互为对立事件.
变式（1） 某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加演讲
比赛，则下列事件互为对立事件的是( )
A.恰有2名男生与恰有4名男生
B.至少有3名男生与全是男生
C.至少有1名男生与全是女生
D.至少有1名男生与至少有1名女生
√
[解析] “恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事
件，故A错误；
“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；
“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，
是对立事件，故C正确；
“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不是互斥事件，
故D错误.故选C.
（2）从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,则下列各组事件是互斥
事件而不是对立事件的是( )
A.“恰有一个是奇数”和“全是奇数”
B.“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”
C.“至少有一个是奇数”和“全是奇数”
D.“至少有一个是偶数”和“全是偶数”
√
[解析] 从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，在该试验中,设事件A
为“两个都是奇数”,事件B为“一个奇数一个偶数”,事件C为“两个都是
偶数”,则事件A,B,C两两互斥，且（ 为样本空间）.
对于A,“恰有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B和A,因为事件A
和事件B不可能同时发生，所以是互斥事件，因为事件C发生时,事件
A与B都不发生,所以A和B不是对立事件，故A正确;
对于B,“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”分别是事件B和事件
,显然不互斥，故B错误;
对于C,“至少有一个是奇数"和“全是奇数”分别是事件
和事件A,显然不互斥，故C错误;
对于D,“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件 和事件C,
显然不互斥，故D错误.故选A.
（3）（多选题）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，
现从中任意取出两个球.设事件为“取出的球都是黑球”，事件 为
“取出的球都是白球”，事件 为“取出的球中至少有一个黑球”，则下
列结论不正确的是( )
A.和 是互斥事件
B.和 是对立事件
C.和 是对立事件
D.和 是互斥事件，但不是对立事件
√
√
√
[解析] 袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，
取球的方法有如下几种:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白
球;③取出的两球一黑一白.事件包括①③两种情况，则事件 是事
件的子事件，故A中结论不正确;
事件与事件 互斥且对立，故C中结论正确，D中结论不正确;
事件与事件 互斥，但不对立，故B中结论不正确.故选 .
［素养小结］
要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件包含的所有
结果，看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下，看两个事件的
并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件.
探究点二 互斥、对立事件的概率公式
例2（1） 围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子
的概率为,从中取出2粒都是白子的概率是 ,则从中任意取出2粒恰
好同色的概率是( )
A. B. C. D.1
[解析] 由题意知,从中任意取出2粒恰好同色的概率 .故
选B.
√
（2）从装有质地、大小均相同的2个红球和 个白球的口袋中随机取
出1个球,若取到红球的概率是 ,则取到白球的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] “取到红球”与“取到白球”互为对立事件,故所求概率
.故选C.
√
（3）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件， ，且
，，，则 ____.
0.4
[解析] .
变式（1） 给出下列说法，其中正确的是( )
A.若，为两个随机事件，则
B.若事件，，两两互斥，则
C.若，为互斥事件，则
D.若，则
√
[解析] 对于A，当A，B为两个互斥事件时，才有
，当A，B不互斥时，
，故A错误；
对于B，当事件A，B，C两两互斥，且 时，才有
，故B错误；
对于C，当A，B为互斥事件时， ，故C正确；
对于D，由概率的性质可知，若，则 ，故D错误.故选C.
（2）已知随机事件和互斥，和对立，且 ,
，则 ( )
A.0.8 B.0.7 C.0.6 D.0.5
[解析] 由随机事件A和B互斥可知， ，将
,代入计算可得 ，又A和C对立，
所以，所以 .故选B.
√
（3）（多选题）甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率
为 ，则下列结论错误的是( )
A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是
C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是
√
√
√
[解析] “甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概
率是 ，故A中结论正确；
设甲不输为事件A，则事件A是 “甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的
并事件，所以 ，故B中结论错误；
“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为 ，故C中结论错误；
设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥
事件的并事件，所以，故D中结论错误.故选 .
［素养小结］
1.在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否
互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏，
然后再利用概率加法公式计算.
2.利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实互为
对立事件时才能应用.
探究点三 概率性质的综合应用
例3 盒子里装有红、黑、白、绿四种颜色的球共12个,从中任取1个
球.记事件为“取出1个红球”,事件为“取出1个黑球”,事件 为“取出1
个白球”,事件为“取出1个绿球”.已知,, ,
.
（1）求“取出1个球为红球或黑球”发生的概率;
解：根据题意可知，事件,，， 两两互斥.
“取出1个球为红球或黑球”发生的概率
.
（2）求“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率.
解：“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率
.
变式 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个题，其中选择题3个，
判断题2个，甲、乙两人各抽一题（甲、乙两人不抽同一题）.
（1）甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是
多少？
解：把3个选择题记为，，，2个判断题记为， .
则“甲抽到选择题，乙抽到判断题”包含的样本点有 ，
，，，， ，共6个；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”包含的样本点有， ，
，，， ，共6个；
“甲、乙都抽到选择题”包含的样本点有，， ，
，， ，共6个；
“甲、乙都抽到判断题”包含的样本点有， ，共2个.
因此样本空间包含 （个）样本点.
记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件，则 ；
记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件 ，则 .
易知, 为互斥事件，故甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽
到判断题的概率 .
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件，则事件 为
“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意得 ，故甲、乙两
人中至少有一人抽到选择题的概率 .
［素养小结］
求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化为彼此
互斥的事件的概率的和;二是先求对立事件的概率,再求所求事件的概率.
1.事件与集合之间的对应关系
符号 概率论 集合论
必然事件 全集
不可能事件 空集
试验的可能结果
A 事件
符号 概率论 集合论
续表
2.互斥事件的推广
两个事件互斥的定义可以推广到个事件中去:如果事件,,, ,
中的任意两个事件互斥,就称事件,,, , 两两互斥.从集合
的角度来看, 个事件两两互斥是指各个事件所包含的样本点组成的
集合两两之间的交集均为空集.
例如,掷一枚骰子,{出现1点},{出现2点},{出现3点},{出现4点},{出现5
点},{出现6点}两两互斥.
3.概率加法公式的推广
一般地,如果事件,,, , 两两互斥（彼此互斥）,那么事件“
”发生（事件,,, , 中至少有一个发
生）的概率等于这 个事件分别发生的概率之和,即
.
1.判断事件间的关系时,一是要考虑试验的前提条件,无论事件间的关
系是包含、相等,还是互斥、对立,其发生的条件都是一样的;二是考
虑事件是否有交事件,可考虑利用 图分析,对于较难判断关系的,
也可列出事件包含的样本点,再进行分析.
例1 掷一枚骰子,观察它朝上的点数.设事件为“点数为1”,事件 为
“点数为偶数”,事件为“点数小于3”,事件为“点数大于2”,事件 为
“点数是3的倍数”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件.
解：由题意知,样本空间,, ,
,, .
（2）事件与,与,与 之间各有什么关系
解：由（1）知,,则事件包含事件；
,则事件 包含事件；
且 ,即与 是对立事件.
（3）用集合的形式表示事件,,, .
解：由（1）知,,,, ,
所以,,, .
例2 柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，
（，，为左脚，，，为右脚，且，为一双，，
为一双，， 为一双）表示6只鞋，从中随机地取出2只.
（1）写出该试验的样本空间.
解：该试验的样本空间，，， ，
，，，，，， ，
，，， .
（2）求下列事件的概率，并说明它们的关系：
①事件 为“取出的鞋不成双”；
②事件 为“取出的鞋都是左脚的”；
③事件 为“取出的鞋都是同一只脚的”；
④事件 为“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.
解：由（1）得， .
①，，， ，
， .
②，，，， .
③，，，，， ，
， .
④,，，，， ，
， .
，，，之间有如下关系：，，与互斥，
与互斥， .
2.转化与化归思想在和事件中的应用
转化与化归思想的核心是把陌生问题转化为熟悉的问题,事实上解题
过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程,是求解系统趋近于目标
系统的过程.
在本节中运用加法公式及对立思想把复杂概率问题分解为易求解的
概率问题.
例3（1） [2024·北京通州区高一期中]若某群体中的成员用现金支付
的概率为,用非现金支付的概率为 （只有这两种支付方式）,则
既用现金支付也用非现金支付的概率为( )
A.0.1 B.0.15 C.0.4 D.0.45
[解析] 设事件A为“用现金支付”,事件B为“用非现金支付”,则 为
“既用现金支付也用非现金支付”,则, ,
,则
.故选B.
√
（2）已知随机事件和互斥,且,,则事件
的对立事件发生的概率为( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
[解析] 因为 ,事件A和B互斥,所以
,所以 ,所以事件
B的对立事件发生的概率为 .故选D.
√
例4 [2024·四川泸州高一期中] 围棋是一种策略性两人棋类游戏,已
知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子,从中随机取出2粒,都是黑子的
概率是,都是白子的概率是 .
（1）求从中任意取出2粒恰好同色的概率;
解：设事件为“从中任意取出2粒都是黑子”,事件 为“从中任意取出
2粒都是白子”,事件为“从中任意取出2粒恰好同色”,
则,且事件与 互斥, 则 ,
故从中任意取出2粒恰好同色的概率是 .
（2）求从中任意取出2粒恰好不同色的概率.
解：设事件为“从中任意取出2粒恰好不同色”,由（1）知事件 与事
件是对立事件,且 ,所以从中任意取出2粒恰好不同色的概
率 .15.3 互斥事件和独立事件
第1课时 互斥事件和对立事件
【课前预习】
知识点一
1.不可能同时 AB= 互斥事件
2.AB= 对立事件
3.(1)和 P(A+B)=P(A)+P(B)
(2)P(A1)+P(A2)+…+P(An)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√
知识点二
(2)≤ ≤ (3)P(A)+P(B)-P(AB)
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.0.6 0.1 [解析] 因为P(A)=0.6,P(B)=0.1, B A,所以P(A+B)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.1.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)给2个红球编号为1,2,给2个白球编号为3,4,从口袋中任取2个球,用(x,y)表示取出的2个球,则该试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.设事件A为“至少有1个白球”,则A={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.
设事件B为“都是白球”,则B={(3,4)},所以B A,所以A和B不互斥.
(2)设事件C为“至少有1个红球”,则C={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},因为A∩C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},所以A和C不互斥.
(3)设事件D为“都是红球”,则D={(1,2)},因为A∪D=Ω,A∩D= ,所以A和D互为对立事件.
变式 (1)C (2)A (3)ABD [解析] (1)“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件,但不是对立事件,故A错误;“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生,不是互斥事件,故B错误;“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,故C正确;“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生,不是互斥事件,故D错误.故选C.
(2)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,在该试验中,设事件A为“两个都是奇数”,事件B为“一个奇数一个偶数”,事件C为“两个都是偶数”,则事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω(Ω为样本空间).对于A,“恰有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B和A,因为事件A和事件B不可能同时发生,所以是互斥事件,因为事件C发生时,事件A与B都不发生,所以A和B不是对立事件,故A正确;对于B,“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”分别是事件B和事件B∪C,显然不互斥,故B错误;对于C,“至少有一个是奇数"和“全是奇数”分别是事件B∪A和事件A,显然不互斥,故C错误;对于D,“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件B∪C和事件C,显然不互斥,故D错误.故选A.
(3)袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,取球的方法有如下几种:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白.事件R包括①③两种情况,则事件P是事件R的子事件,故A中结论不正确;事件Q与事件R互斥且对立,故C中结论正确,D中结论不正确;事件P与事件Q互斥,但不对立,故B中结论不正确.故选ABD.
探究点二
例2 (1)B (2)C (3)0.4 [解析] (1)由题意知,从中任意取出2粒恰好同色的概率P=+=.故选B.
(2)“取到红球”与“取到白球”互为对立事件,故所求概率P=1-=.故选C.
(3)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.3-0.3=0.4.
变式 (1)C (2)B (3)BCD [解析] (1)对于A,当A,B为两个互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),当A,B不互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),故A错误;对于B,当事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,故B错误;对于C,当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,故C正确;对于D,由概率的性质可知,若A B,则P(A)≤P(B),故D错误.故选C.
(2)由随机事件A和B互斥可知, P(A∪B)=P(A)+P(B),将P(A∪B)=0.5,P(B)=0.2代入计算可得P(A)=0.3,又A和C对立,所以P(A)+P(C)=1,所以P(C)=0.7.故选B.
(3)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是1--=,故A中结论正确;设甲不输为事件A,则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=,故B中结论错误;“乙输”的概率即“甲获胜”的概率,为,故C中结论错误;设乙不输为事件B,则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(B)=+=,故D中结论错误.故选BCD.
探究点三
例3 解:根据题意可知,事件A,B,C,D两两互斥.
(1)“取出1个球为红球或黑球”发生的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
变式 解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.
则“甲抽到选择题,乙抽到判断题”包含的样本点有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6个;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”包含的样本点有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p3,x3),共6个;
“甲、乙都抽到选择题”包含的样本点有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6个;
“甲、乙都抽到判断题”包含的样本点有(p1,p2),(p2,p1),共2个.因此样本空间包含6+6+6+2=20(个)样本点.
(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,则P(A)==;
记“甲抽到判断题,乙抽到选择题”为事件B,
则P(B)==.
易知A,B为互斥事件,故甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C,则事件为“甲、乙两人都抽到判断题”,
由题意得P()==,故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率P(C)=1-P()=1-=.15.3 互斥事件和独立事件
第1课时 互斥事件和对立事件
1.A [解析] 由题意可得P(A∪B)=P(A)+P(B),所以P(B)=0.3.故选A.
2.C [解析] 设取到红心为事件A,则P(A)=,则没有取到红心是A的对立事件,所以P()=1-P(A)=.故选C.
3.C [解析] 根据对立事件的概念,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.故选C.
4.B [解析] ∩B表示“点数为2”,A∩表示“点数为5”,∪B表示“点数为3或2或1或4或6”,A∪表示“点数为1或3或4或5或6”.故选B.
5.D [解析] 根据题意,由A和C对立,可得P(A)+P(C)=1,又P(C)=0.8,所以P(A)=0.2,由随机事件A和B互斥,得P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5.故选D.
6.C [解析] 由题意可得事件共包含18-10=8(个)样本点,由A∪B包含16个样本点,且P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B),得A∩B共包含10+8-16=2(个)样本点,则∩B共包含8-2=6(个)样本点,所以P(∩B)==.故选C.
7.B [解析] 事件A与B不可能同时发生,也可以都不发生,故A与B互斥,但是不对立,故①正确,②错误;事件A与C不可能同时发生,但是A与C一定有一个会发生,故A与C对立,故③正确;事件A与D可以同时发生,故A与D不互斥,故④错误.故选B.
8.BCD [解析] 对于A,对立事件一定是互斥事件,故A中说法正确;对于B,当且仅当A与B互斥时才有P(A∪B)=P(A)+P(B),故B中说法不正确;对于C,若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)≤1,故C中说法不正确;对于D,若袋中有除颜色外完全相同的红、黄、黑、蓝四种颜色的小球各一个,从袋中任意摸出一个小球,记事件A为“摸到红球或黄球”,事件B为“摸到黄球或黑球”,则满足P(A)=,P(B)=,P(A)+P(B)=1,但事件A与B不对立,故D中说法不正确.故选BCD.
9.ABC [解析] 连续抛掷一颗均匀的骰子两次,样本空间中包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个.事件“m=2”包含的样本点有(1,1),共1个,所以事件“m=2”发生的概率为,故A中说法错误;事件“m是奇数”包含的样本点有(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共18个,故事件“m是奇数”发生的概率为=,故B中说法错误;事件“m=2”与“m≠3”可以同时发生,不是对立事件,故C中说法错误;事件“m是奇数”与“a=b”不能同时发生,所以事件“m是奇数”与“a=b”为互斥事件,故D中说法正确.故选ABC.
10.①④ [解析] 对于①,恰有1件次品和恰有2件次品不可能同时发生,为互斥事件;对于②,至少有1件次品包含全是次品的情况,不是互斥事件;对于③,至少有1件正品和至少有1件次品均包含1件次品和1件正品的情况,不是互斥事件;对于④,至少有1件次品和全是正品不可能同时发生,为互斥事件.故填①④.
11.0.9 [解析] 因为一次考试中,小明的数学成绩超过90分的概率是0.8,物理成绩超过90分的概率是0.7,两门成绩都超过90分的概率是0.6,所以他的数学成绩和物理成绩至少有一门超过90分的概率P=0.8+0.7-0.6=0.9.
12. [解析] 密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列包含的样本点有(1,3,5,7),(1,3,5,9),(1,3,7,9),(1,5,7,9),(3,5,7,9),共5个,记最多输入2次就能开锁为事件A,输入1次能开锁为事件A1,第2次输入才能开锁为事件A2,则事件A是事件A1和事件A2的和,且它们互斥,易知P(A1)=,P(A2)=,则P(A)=P(A1)+P(A2)=,所以最多输入2次就能开锁的概率是.
13.解:记“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F两两互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.18,P(C)=0.28,P(D)=0.19,P(E)=0.21,P(F)=0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.18+0.28=0.56.
(2)方法一:“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.28+0.19+0.21+0.04=0.72.
方法二:“派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.18=0.72.
14.解:设取得2个红玻璃球为事件A,取得2个绿玻璃球为事件B,至少取得1个红玻璃球为事件C,
易知A,B为互斥事件,B,C为对立事件.
该试验样本空间共包含10×9=90(个)样本点,
其中事件A包含的样本点有7×6=42(个),
事件B包含的样本点有3×2=6(个),
所以P(A)==,P(B)==.
(1)取得2个红玻璃球的概率P(A)=.
(2)取得2个同颜色的玻璃球的概率为P(A)+P(B)=+=.
(3)至少取得1个红玻璃球的概率P(C)=1-P(B)=1-=.
15.BCD [解析] P(p+q=5)==,故A错误;若p=6,则A=≥1恒成立,所以事件p=6与事件A=0不可能同时发生,所以事件p=6与事件A=0互斥,故B正确;P(p>q)==,故C正确;A的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,当q=1时,A==[p]的所有可能取值为1,2,3,4,5,6,所以事件q=1与事件A=0不可能同时发生,两事件互斥,故D正确.故选BCD.
16.解:(1)记“小亮获得玩具”为事件A,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含16个样本点,A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)},共包含5个样本点,所以小亮获得玩具的概率P(A)=.
(2)记“小亮获得水杯”为事件B,记“小亮获得饮料”为事件C. 则B={(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含6个样本点,
所以小亮获得水杯的概率P(B)==,
小亮获得饮料的概率P(C)=1-P(A)-P(B)=1--=,
所以P(B)>P(C),所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.15.3 互斥事件和独立事件
第1课时 互斥事件和对立事件
一、选择题
1.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)= ( )
A.0.3 B.0.7
C.0.1 D.1
2.从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,取到红心的概率为,则没有取到红心的概率为 ( )
A. B.
C. D.1
3.[2024·长沙雅礼中学月考] 有一个人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是 ( )
A.至多有1次中靶 B.2次都中靶
C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
4.[2024·上海黄浦区期末] 掷一颗质地均匀的骰子,观察朝上的点数,若“点数大于3”为事件A,“点数为偶数”为事件B,则“点数为5”可以表示为 ( )
A.∩B B.A∩
C.∪B D.A∪
5.已知随机事件A和B互斥,A和C对立,且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(A∪B)= ( )
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.5
6.[2024·杭州期中] 已知某样本空间中共包含18个等可能的样本点,其中事件A包含10个样本点,事件B包含8个样本点,事件A∪B包含16个样本点,则P(∩B)= ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·江苏连云港高级中学月考] 记“抛掷一颗骰子,向上的点数是4或5或6”为事件A,“抛掷一颗骰子,向上的点数是1或2”为事件B,“抛掷一颗骰子,向上的点数是1或2或3”为事件C,“抛掷一颗骰子,向上的点数是1或2或3或4”为事件D,下列判断正确的有 ( )
①A与B互斥;②A与B对立;③A与C对立;④A与D互斥.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.(多选题)下列说法中不正确的有 ( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1
D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件
9.(多选题)[2024·江苏无锡一中月考] 连续抛掷一颗均匀的骰子两次,所得向上的点数分别为a,b,记m=a+b,则下列说法错误的是 ( )
A.事件“m=2”发生的概率为
B.事件“m是奇数”发生的概率为
C.事件“m=2”与事件“m≠3”为对立事件
D.事件“m是奇数”与事件“a=b”为互斥事件
二、填空题
10.一箱产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件.给出下列4组事件:①恰有1件次品和恰有2件次品;②至少有1件次品和全是次品;③至少有1件正品和至少有1件次品;④至少有1件次品和全是正品.其中为互斥事件的是 (填序号).
11.一次考试,小明的数学成绩超过90分的概率是0.8,物理成绩超过90分的概率是0.7,两门成绩都超过90分的概率是0.6,则他的数学成绩和物理至少有一门超过90分的概率是 .
12.保险柜的密码由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四个不重复的数字组成,假设一个人记不清自己的保险柜密码,只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列,则最多输入2次就能开锁的概率是 .
三、解答题
13.某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示:
人数 0 1 2 3 4 大于或等于5
概率 0.1 0.18 0.28 0.19 0.21 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率;
(2)求派出医生至少2人的概率.
14.在一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取1个玻璃球.试求:
(1)取得2个红玻璃球的概率;
(2)取得2个同颜色的玻璃球的概率;
(3)至少取得1个红玻璃球的概率.
15.(多选题)[2024·常州高一期末] 连续两次抛掷同一颗骰子,记第一次向上的点数为p,第二次向上的点数为q,设A=,其中[x]表示不超过x的最大整数,则 ( )
A.P(p+q=5)=
B.事件p=6与事件A=0互斥
C.P(p>q)=
D.事件q=1与事件A=0互斥
16.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.活动规则如下:不透明的袋子内装有相同的4个小球,分别标有1,2,3,4,现有放回地随机摸取两次,每次摸取1个小球,记录2个小球的编号分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.15.3 互斥事件和独立事件
第1课时 互斥事件和对立事件
【学习目标】
1.结合具体实例,了解随机事件互斥、对立的含义,能够根据定义辨别事件的互斥与对立关系.
2.掌握互斥事件的概率加法公式.
◆ 知识点一 互斥事件和对立事件
1.互斥事件
一般地,如果事件A与事件B 发生,即 ,那么称事件A与事件B为 .可以用图(如图)表示.
2.对立事件
一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A+B=Ω,且 ,那么称事件A与事件B为 .事件A的对立事件记为 ,可以用图(如图)表示.
3.概率的加法公式
(1)如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等于事件A,B分别发生的概率的 ,即 .
(2)如果事件A1,A2,…,An中任何两个事件都是互斥事件,那么称事件A1,A2,…,An两两互斥.如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么P(A1+A2+…+An)= .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两个事件互斥,则这两个事件互为对立事件. ( )
(2)若两个事件互为对立事件,则这两个事件互斥. ( )
(3)若事件A,B为互斥事件,则事件,也是互斥事件. ( )
(4)若事件A,B为对立事件,则=B,=A. ( )
◆ 知识点二 随机事件的概率的常用性质
随机事件的概率的常用性质:
(1)P()=1-P(A);
(2)当A B时,P(A)≤P(B);
推广:对于任意事件A,因为 A Ω,所以0 P(A) 1.
(3)当A,B不互斥时,P(A+B)= .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若事件A与B互为对立事件,则P(A)=-P(B). ( )
(2) 在同一试验中,对任意两个事件A,B,有P(A+B)=P(A)+P(B). ( )
(3)若事件A与B互为对立事件,则P(A+B)=1,P(AB)=0. ( )
(4)若事件A发生的概率P(A)=0.3,则P()=0.7. ( )
2.已知P(A)=0.6,P(B)=0.1,若B A,则P(A+B)= ,P(AB)= .
◆ 探究点一 互斥事件与对立事件的判断
例1 从装有2个红球和2个白球(球除颜色外均相同)的口袋中任取2个球,用集合的形式分别写出下列事件,并判断每对事件是否互斥或对立.
(1)“至少有1个白球”与“都是白球”;
(2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”;
(3)“至少有1个白球”与“都是红球”.
变式 (1)某小组有5名男生和4名女生,从中任选4名同学参加演讲比赛,则下列事件互为对立事件的是 ( )
A.恰有2名男生与恰有4名男生
B.至少有3名男生与全是男生
C.至少有1名男生与全是女生
D.至少有1名男生与至少有1名女生
(2)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,则下列各组事件是互斥事件而不是对立事件的是 ( )
A.“恰有一个是奇数”和“全是奇数”
B.“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”
C.“至少有一个是奇数”和“全是奇数”
D.“至少有一个是偶数”和“全是偶数”
(3)(多选题)一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中任意取出两个球.设事件P为“取出的球都是黑球”,事件Q为“取出的球都是白球”,事件R为“取出的球中至少有一个黑球”,则下列结论不正确的是 ( )
A.P和R是互斥事件
B.P和Q是对立事件
C.Q和R是对立事件
D.Q和R是互斥事件,但不是对立事件
[素养小结]
要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件的并事件是否为必然事件,从而可判断是否为对立事件.
◆ 探究点二 互斥、对立事件的概率公式
例2 (1)围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,从中取出2粒都是白子的概率是,则从中任意取出2粒恰好同色的概率是 ( )
A. B.
C. D.1
(2)从装有质地、大小均相同的2个红球和n个白球的口袋中随机取出1个球,若取到红球的概率是,则取到白球的概率为 ( )
A. B.
C. D.
(3)已知在一次随机试验中,定义两个随机事件A,B,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∩B)=0.3,则P(A∪B)= .
变式 (1)给出下列说法,其中正确的是 ( )
A.若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1
C.若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1
D.若A B,则P(A)
(2)已知随机事件A和B互斥,A和C对立,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.2,则P(C)= ( )
A.0.8 B.0.7
C.0.6 D.0.5
(3)(多选题)甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列结论错误的是 ( )
A.甲获胜的概率是
B.甲不输的概率是
C.乙输的概率是
D.乙不输的概率是
[素养小结]
1.在运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件,做到不重不漏,然后再利用概率加法公式计算.
2.利用对立事件的概率公式求解时,必须准确判断两个事件确实互为对立事件时才能应用.
◆ 探究点三 概率性质的综合应用
例3 盒子里装有红、黑、白、绿四种颜色的球共12个,从中任取1个球.记事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
(1)求“取出1个球为红球或黑球”发生的概率;
(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率.
变式 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个题,其中选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题(甲、乙两人不抽同一题).
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少
[素养小结]
求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化为彼此互斥的事件的概率的和;二是先求对立事件的概率,再求所求事件的概率.