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15.3 互斥事件和独立事件
第2课时 独立事件
探究点一 相互独立事件的判断
探究点二 相互独立事件概率的计算
探究点三 相互独立事件概率的综合应用
【学习目标】
1.结合具体实例,了解两个随机事件独立性的含义.
2.在熟悉的情境中,能够将古典概型与事件独立性相结合,计算简单问
题的概率.
知识点一 相互独立事件
1.一般地，对于两个随机事件， ，如果__________________，那
么称， 为相互独立事件.
2.事件与事件相互独立,即事件（或）是否发生,对事件（或 ）
发生的概率__________.
没有影响
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）必然事件 、不可能事件 都与任意事件相互独立.( )
√
（2）袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,事件 为“第一次
摸得白球”,事件为“第二次摸得白球”,则与 相互独立.( )
×
知识点二 独立性的性质
1.两个相互独立的事件,同时发生,即事件 发生的概率为
__________________.这就是说,两个相互独立的事件同时发生的概率
等于每个事件发生的概率的乘积.
2.如果事件与 相互独立,那么______, ______,______也都相互独立.
A与
与
与
3.一般地,如果事件,, ,相互独立,那么这 个事件同时发生的
概率等于每个事件发生的概率的______，即
.
乘积
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果事件与相互独立,那么与 也相互独立. ( )
√
（2）对于两个相互独立的事件与，若, ，则
.( )
√
2.事件相互独立与事件互斥的区别是什么
解：事件相互独立强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概
率没有影响,而事件互斥强调两个事件不可能同时发生.
探究点一 相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件.
（1）甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两
组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中
选出1名女生”;
解：“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名
女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
（2）容器内盛有5个白球和3个黄球,“从8个球中任意取出1个,取出的
是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”;
解：“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为 ,若这一事件
发生,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为 ,
若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为 ,故前一事件是否发
生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件.
（3）掷一枚骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
解：该试验的样本空间，2，3，4，5，，记事件 为“出现
偶数点”,事件为“出现3点或6点”,则,, ,
则,, ,
所以,即事件与 相互独立.
变式（1） （多选题）[2024·江苏常州期末] 已知事件， 发生的
概率分别为， ，则下列结论正确的有( )
A.若与互斥，则
B.若，则
C.若，则与 相互独立
D.若与相互独立，则
√
√
√
[解析] 对于A，若A与B互斥，则
，故A正确；
对于B，若，则 ，故B错误；
对于C，若 ，则
，所以A与B相互独立，故C正确；
对于D，若A与B相互独立，有 ，则
，故D
正确.故选 .
（2）[2024·江苏淮安期末]抛掷一枚质地均匀的硬币三次，每一次抛
掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次正面向上”为事件 ，
“恰有一次正面向上”为事件，“恰有两次正面向上”为事件 ，“三次
全部正面向上或者全部反面向上”为事件 ，则下列结论正确的是
( )
A.与互斥 B.与 相互独立
C.与相互独立 D.与 对立
√
[解析] 抛掷一枚质地均匀的硬币三次，样本空间 （正正正），
（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），
（反正反），（反反反） ，共包含8个样本点，
事件A包含的样本点有（正正正），（正正反），（正反正），
（正反反），共4个，
事件B包含的样本点有（正反反），（反反正），（反正反），共3个，
事件C包含的样本点有（正正反），（正反正），（反正正），共3个，
事件D包含的样本点有（正正正），（反反反），共2个.
对于A，事件A与事件B可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，， ，
，所以A与D相互独立，故B正确；
对于C，， ，所以A与C不相互独立，
故C错误；
对于D，C和D互斥但不对立，故D错误.故选B.
［素养小结］
判断两事件是否具有独立性的方法
（1）直接判定两个事件发生是否相互影响.
（2）检验 是否成立.
需要注意的是，不要把相互独立事件与互斥事件、对立事件的概念
混淆.
探究点二 相互独立事件概率的计算
例2 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛,甲投篮命中的概率为 ,乙
投篮命中的概率为 ,在每次投篮中,甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
（1）求甲、乙各投篮一次,恰好有1人命中的概率;
解：甲、乙各投篮一次,恰好有1人命中的概率为 .
（2）求甲、乙各投篮一次,至少有1人命中的概率.
解：甲、乙各投篮一次,两人均没有命中的概率为 ,所以甲、
乙各投篮一次,至少有1人命中的概率为 .
变式 某校组织全校数学老师参加解题大赛，对于大赛中的最后一个
解答题，甲得满分的概率为，乙得满分的概率为 ，且甲、乙两
人答题互不影响.记事件为“甲最后一个解答题得满分”，事件 为
“乙最后一个解答题得满分”.
（1）求甲、乙两人最后一个解答题都得满分的概率；
解：“甲、乙两人最后一个解答题都得满分”为事件，且事件，
相互独立，
由题意可知， ，
所以 .
（2）求甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分的概率.
解：因为“甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分”为事件 ，
且， 互斥，
所以 .
［素养小结］
1.准确理解互斥事件、相互独立事件的含义,灵活利用概率的加法和
乘法公式解题.
2.利用“正难则反”解题,若所求事件的概率正面计算较烦琐时,可以从
对立面入手求解.
探究点三 相互独立事件概率的综合应用
例3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只
记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，其计算机考试“合格”，
并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为
，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，， ，所有考试
是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获
得合格证书的可能性最大？
解：设“甲获得合格证书”为事件，“乙获得合格证书”为事件 ，“丙
获得合格证书”为事件 ，
则，， .
因为 ，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格
证书的概率.
解：设“恰有两人获得合格证书”为事件 ，则
.
变式 [2024·江苏常州期末] 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人
决定进行一场投篮比赛，每次投一个球.先由其中一人投篮，若投篮
不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当
出现某人连续两次投篮命中的情况时，比赛结束，且此人获胜.经过
抽签决定，甲先开始投篮.已知甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投
篮命中的概率为 ，且两人每次投篮的结果互不干扰.
（1）求甲、乙投篮总次数不超过4且乙获胜的概率；
解：若甲、乙投篮总次数为2，则乙不可能获胜；
若甲、乙投篮总次数为3且乙获胜，则第1次甲未投中，乙投中第2，
3次，其概率 ；
若甲、乙投篮总次数为4且乙获胜，则第1次甲投中、第2次甲未投中，
乙投中第3，4次，其概率 .
记“甲、乙投篮总次数不超过4且乙获胜”为事件 ，
则 ，
所以甲、乙投篮总次数不超过4且乙获胜的概率为 .
（2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率.
解：若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中2
次，其概率 .
若比赛结束时乙赢得比赛，且甲恰好投了2次篮.
①甲投中第1次，第2次甲未投中，乙投中第3，4次，由（1）知，其
概率 ；
②甲第1次未投中，第2次乙未投中，第3次甲未投中，第4,5次乙投中，
其概率 ；
③甲第1次未投中，第2次乙投中，第3次乙未投中，第4次甲未投中，
第5,6次乙投中，
其概率 .
综上可得，比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率
.
［素养小结］
求较复杂事件的概率的一般步骤：
（1）列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示.
（2）理清事件之间的关系,列出关系式.
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其
对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
1.由两个事件相互独立的定义,容易验证必然事件 、不可能事件
都与任意事件相互独立.这是因为必然事件 总会发生,不会受任何事
件是否发生的影响;同样,不可能事件 总不会发生,也不受任何事件
是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.
2.互斥事件与相互独立事件都描述两个事件间的关系,但互斥事件强
调不可能同时发生,相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一
个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下:
相互独立事件 互斥事件
判断方 法 一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率没有影响
概率公 式
生活中相互独立事件的概率
概率问题来源于生活,又服务于生活.在生活中概率问题无处不在,这就
需要学生能够具备获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力,适
应数字化学习的需要,积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活
动经验.
例1 如图,已知电路中有5个开关,开关 闭合
的概率为,其他开关闭合的概率都是 ,且各开
关是否闭合是相互独立的,则灯亮的概率为__.
[解析] 灯亮的对立事件是,至少有一个断开,且,, 同时断开,
所以灯亮的概率 .
例2 [2024·长沙雅礼中学高一月考] 某足球俱乐部举办新一届足球赛,
按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,那
么需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮
流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚
进不得分,本阶段总得分高者获胜,且当分差拉大到即使落后一方剩下
的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需
出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方
每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的
局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员
先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为 ,乙队每位球员罚进点球
的概率均为 .假设每轮罚球中,两队球员进球与否互不影响,各轮结果
也互不影响.
（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
解：每一轮罚球中,设事件为“甲队球员罚进点球”,则事件 为“甲队
球员未罚进点球”;
设事件为“乙队球员罚进点球”,则事件 为“乙队球员未罚进点球”.
每一轮罚球中,设事件 为“甲、乙两队打成平局”.
由题意得,在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙两队球员均未罚进点球,甲、乙两队球员均罚进点球.
则,故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为 .
（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球
员均未得分,甲队暂时以 领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
解：因为甲队第5个球员需出场罚球,所以前四轮罚球结束后，甲、乙
两队的分差不能超过1分,结合题意可知，前四轮罚球结束后，甲、乙
两队比分可能为或或 .
①甲、乙两队的比分为 的概率为
.
②甲、乙两队的比分为 的概率为
.
③甲、乙两队的比分为 的概率为
.
综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为 .第2课时 独立事件
【课前预习】
知识点一
1.P(AB)=P(A)P(B)
2.没有影响
诊断分析
(1)√ (2)×
知识点二
1.P(AB)=P(A)P(B)
2.A与 与B 与
3.乘积
诊断分析
1.(1)√ (2)√
2.解:事件相互独立强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,而事件互斥强调两个事件不可能同时发生.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,
若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,故前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件.
(3)该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},记事件A为“出现偶数点”,事件B为“出现3点或6点”,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6},则P(A)==,P(B)==,P(AB)=,
所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A与B相互独立.
变式 (1)ACD (2)B [解析] (1)对于A,若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.2+0.4=0.6,故A正确;对于B,若A B,则P(AB)=P(A)=0.2,故B错误;对于C,若P(A)=0.12=P(A)-P(AB)=0.2-P(AB),则P(AB)=0.08=P(A)P(B),所以A与B相互独立,故C正确;对于D,若A与B相互独立,有P(AB)=P(A)P(B)=0.08,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.4-0.08=0.52,故D正确.故选ACD.
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币三次,样本空间Ω={(正正正),(正正反),(正反正),(反正正),(正反反),(反反正),(反正反),(反反反)},共包含8个样本点,事件A包含的样本点有(正正正),(正正反),(正反正),(正反反),共4个,事件B包含的样本点有(正反反),(反反正),(反正反),共3个,事件C包含的样本点有(正正反),(正反正),(反正正),共3个,事件D包含的样本点有(正正正),(反反反),共2个.对于A,事件A与事件B可能同时发生,不是互斥事件,故A错误;对于B,P(A)==,P(D)==,P(AD)==×=P(A)P(D),所以A与D相互独立,故B正确;对于C,P(C)=,P(AC)=≠P(A)P(C),所以A与C不相互独立,故C错误;对于D,C和D互斥但不对立,故D错误.故选B.
探究点二
例2 解:(1)甲、乙各投篮一次,恰好有1人命中的概率为×+×=.
(2)甲、乙各投篮一次,两人均没有命中的概率为×=,所以甲、乙各投篮一次,至少有1人命中的概率为1-=.
变式 解:(1)“甲、乙两人最后一个解答题都得满分”为事件AB,且事件A,B相互独立,
由题意可知P(A)=0.8,P(B)=0.7,
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56.
(2)因为“甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分”为事件B+A,且B,A互斥,
所以P(B+A)=P(B)+P(A)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.8)×0.7+0.8×(1-0.7)=0.38.
探究点三
例3 解:(1)设“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,
则P(A)=×=,P(B)=×=,P(C)=×=.
因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“恰有两人获得合格证书”为事件D,则P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=.
变式 解:(1)若甲、乙投篮总次数为2,则乙不可能获胜;
若甲、乙投篮总次数为3且乙获胜,则第1次甲未投中,乙投中第2,3次,
其概率P1=××=;
若甲、乙投篮总次数为4且乙获胜,则第1次甲投中、第2次甲未投中,乙投中第3,4次,
其概率P2=×××=.
记“甲、乙投篮总次数不超过4且乙获胜”为事件A,
则P(A)=P1+P2=+=,
所以甲、乙投篮总次数不超过4且乙获胜的概率为.
(2)若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮,则甲连续投中2次,其概率P3=×=.
若比赛结束时乙赢得比赛,且甲恰好投了2次篮.
①甲投中第1次,第2次甲未投中,乙投中第3,4次,由(1)知,其概率P2=;
②甲第1次未投中,第2次乙未投中,第3次甲未投中,第4,5次乙投中,其概率P4=××××=;
③甲第1次未投中,第2次乙投中,第3次乙未投中,第4次甲未投中,第5,6次乙投中,
其概率P5=×××××=.
综上可得,比赛结束时,甲恰好投了2次篮的概率P=P3+P2+P4+P5=+++=.第2课时 独立事件
1.A [解析] 由题意知,甲、乙两人各射击1次都中靶的概率为0.8×0.9=0.72.故选A.
2.A [解析] 由题意P(AB)=P(A)P(B)=0.12,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.12=0.58.故选A.
3.B [解析] ∵事件M,N同时发生的对立事件为事件M,N至多有一个发生,∴事件M,N至多有一个发生的概率为1-P(MN)=1-P(M)P(N).故选B.
4.B [解析] A,B,C三道必答题目,该同学都回答正确的概率P1=0.8×0.7×0.5=0.28,所以该同学最多有两道题目回答正确的概率P=1-P1=1-0.28=0.72.故选B.
5.A [解析] 因为P()=,所以P(B)=,因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-P(AB)=,所以P(AB)=,所以P(AB)=P(A)·P(B),所以A与B相互独立.故选A.
6.D [解析] 由题意得P(A)=,P(B)==,所以P()=,P()=,因为A,B相互独立,所以,相互独立,又事件A,B中至少有一个发生的对立事件是事件A,B都不发生,所以事件A, B中至少有一个发生的概率P=1-P( )=1-P()P()=1-×=.故选D.
7.A [解析] 依题意可知,甲进入决赛的概率为×=,乙进入决赛的概率为×=,丙进入决赛的概率为×=,所以甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率P=××+××+××=.故选A.
8.BCD [解析] 对于A,若A,B互斥,则P(AB)=0,故A错误;对于B,若A,B互斥,则A ,则P(A+)=P()=1-P(B)=,故B正确;对于C,若A,B相互独立,则P(A)=P(A)P()=P(A)[1-P(B)]=,故C正确;对于D,若A,B相互独立,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,故D正确.故选BCD.
9.BC [解析] 根据题意,从袋中随机摸出2个球,该试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},因为A={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B={(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)},C={(2,3),(2,4),(3,4)},AB={(1,4),(2,3)},AC={(2,3),(2,4)},BC={(2,3),(3,4)},ABC={(2,3)},所以P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(AB)==,P(AC)==,P(ABC)=.对于A,因为AB={(1,4),(2,3)},所以事件A与B可以同时发生,所以A,B不互斥,故A错误;对于B,因为P(A)P(C)=P(AC),所以A与C相互独立,故B正确;对于C,P(AB)+P(AC)=P(A),故C正确;对于D,P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),故D错误.故选BC.
10. [解析] ∵A与B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,∴P(AB)=P(A)P(B)=×=.
11. [解析] 设A,B分别表示事件“甲投篮一次命中”和“乙投篮一次命中”,所以P(A)=,P(B)=,则恰有一人命中的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=×+×=.
12. [解析] 设“玩5次游戏后甲获胜”为事件A,“玩5次游戏后乙获胜”为事件B,“玩5次游戏后结束”为事件C.依题意得,事件A为第2,4,5次游戏甲获胜,第1,3次游戏乙获胜,事件B为第2,4,5次游戏乙获胜,第1,3次游戏甲获胜,所以P(A)=××××=,P(B)=××××=.因为事件A与B互斥,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
13.解:(1)甲赢得比赛的概率为×=,乙赢得比赛的概率为×=,
因为>,所以派甲参赛赢得比赛的概率更大.
(2)由(1)得,甲和乙均未赢得比赛的概率为×=,
则两人中至少有一人赢得比赛的概率为1-=.
14.解:(1)甲租车时间超过三小时且不超过四小时的概率为1--=,
乙租车时间超过三小时且不超过四小时的概率为1--=.
(2)甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况.
都付0元的概率P1=×=;
都付2元的概率P2=×=;
都付4元的概率P3=×=.
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率P=P1+P2+P3=++=.
(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ元,
则ξ=4表示两人的租车费用之和为4元,
其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元、4元,②2元、2元,③4元、0元,
所以P(ξ=4)=×+×+×=,
故甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.
15., [解析] 记“甲家庭回答正确这道题”为事件A,“乙家庭回答正确这道题”为事件B,“丙家庭回答正确这道题”为事件C,因为A,B,C相互独立,所以,,相互独立,
则
可得所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为,.
因为A,B,C相互独立,且AB,AC,BC互斥,
所以P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+
P()P(B)P(C)=××+××+××=,
所以恰有两个家庭回答正确这道题的概率为.
16.解:(1)设袋中有红球m个.
记“从袋中摸出1个球为红球”为事件A,则P(A)=,
记“摸球两次,至少有一次摸出白球”为事件B,则“摸球两次,两次均为红球”为事件,
则P(B)=1-P()=1-[P(A)]2=1-=,得m=4,即袋中有红球4个.
(2)记“摸球三次共取出2个白球”为事件C,
则三次摸球可能情况为“白白红”“白红白”“红白白”,
则P(C)=××+××+××=,所以摸球三次共取出2个白球的概率为.
(3)记“第三次摸球后停止摸球”为事件E,“第五次摸球后停止摸球”为事件F,
由题意知袋中红球的个数m满足1≤m≤9.
若m=1,则不可能连续两次摸到红球,不符合题意.
若m=2,则P(E)=××=,
P(F)=××××=,P(E)=P(F),不符合题意.
若m=9,则最多第四次摸球后就停止摸球,不符合题意.
若m=8,则P(E)=××=,
P(F)=××××+××××=,此时P(E)>P(F),符合题意.
若3≤m≤7,则P(E)=××,P(F)=××××+××××+××××,由P(E)>P(F),得1>+2,
即m2-5m+6>0,解得m<2或m>3,所以m=4,5,6,7.
综上所述,袋中红球个数的所有可能取值为4,5,6,7,8.第2课时 独立事件
【学习目标】
1.结合具体实例,了解两个随机事件独立性的含义.
2.在熟悉的情境中,能够将古典概型与事件独立性相结合,计算简单问题的概率.
◆ 知识点一 相互独立事件
1.一般地,对于两个随机事件A,B,如果 ,那么称A,B为相互独立事件.
2.事件A与事件B相互独立,即事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的概率 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件相互独立. ( )
(2)袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,事件A为“第一次摸得白球”,事件B为“第二次摸得白球”,则A与B相互独立. ( )
◆ 知识点二 独立性的性质
1.两个相互独立的事件A,B同时发生,即事件AB发生的概率为 .这就是说,两个相互独立的事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积.
2.如果事件A与B相互独立,那么 , , 也都相互独立.
3.一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 ,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果事件A与B相互独立,那么与也相互独立. ( )
(2)对于两个相互独立的事件A与B,若P(A)=0.3,P(B)=0.4,则P(A)=0.18. ( )
2.事件相互独立与事件互斥的区别是什么
◆ 探究点一 相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件.
(1)甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白球和3个黄球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”;
(3)掷一枚骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
变式 (1)(多选题)[2024·江苏常州期末] 已知事件A,B发生的概率分别为0.2,0.4,则下列结论正确的有 ( )
A.若A与B互斥,则P(A+B)=0.6
B.若A B,则P(AB)=0.4
C.若P(A)=0.12,则A与B相互独立
D.若A与B相互独立,则P(A+B)=0.52
(2)[2024·江苏淮安期末] 抛掷一枚质地均匀的硬币三次,每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上,记“第一次正面向上”为事件A,“恰有一次正面向上”为事件B,“恰有两次正面向上”为事件C,“三次全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D,则下列结论正确的是 ( )
A.A与B互斥 B.A与D相互独立
C.A与C相互独立 D.C与D对立
[素养小结]
判断两事件是否具有独立性的方法
(1)直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
需要注意的是,不要把相互独立事件与互斥事件、对立事件的概念混淆.
◆ 探究点二 相互独立事件概率的计算
例2 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛,甲投篮命中的概率为,乙投篮命中的概率为,在每次投篮中,甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)求甲、乙各投篮一次,恰好有1人命中的概率;
(2)求甲、乙各投篮一次,至少有1人命中的概率.
变式 某校组织全校数学老师参加解题大赛,对于大赛中的最后一个解答题,甲得满分的概率为0.8,乙得满分的概率为0.7,且甲、乙两人答题互不影响.记事件A为“甲最后一个解答题得满分”,事件B为“乙最后一个解答题得满分”.
(1)求甲、乙两人最后一个解答题都得满分的概率;
(2)求甲、乙恰有一人最后一个解答题得满分的概率.
[素养小结]
1.准确理解互斥事件、相互独立事件的含义,灵活利用概率的加法和乘法公式解题.
2.利用“正难则反”解题,若所求事件的概率正面计算较烦琐时,可以从对立面入手求解.
◆ 探究点三 相互独立事件概率的综合应用
例3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,其计算机考试“合格”,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.
变式 [2024·江苏常州期末] 为了增添学习生活的乐趣,甲、乙两人决定进行一场投篮比赛,每次投一个球.先由其中一人投篮,若投篮不中,则换另一人投篮;若投篮命中,则由他继续投篮,当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况时,比赛结束,且此人获胜.经过抽签决定,甲先开始投篮.已知甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且两人每次投篮的结果互不干扰.
(1)求甲、乙投篮总次数不超过4且乙获胜的概率;
(2)求比赛结束时,甲恰好投了2次篮的概率.
[素养小结]
求较复杂事件的概率的一般步骤:
(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系,列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.第2课时 独立事件
一、选择题
1.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲中靶的概率为0.8,乙中靶的概率为0.9,两人是否中靶互不影响,则甲、乙两人各射击1次都中靶的概率为 ( )
A.0.72 B.0.26
C.0.98 D.0.85
2.已知事件A,B相互独立,P(A)=0.4,P(B)=0.3,则P(A+B)= ( )
A.0.58 B.0.9
C.0.7 D.0.72
3.已知事件M,N相互独立,P(M),P(N)分别表示它们发生的概率,则1-P(M)P(N)表示 ( )
A.事件M,N同时发生的概率
B.事件M,N至多有一个发生的概率
C.事件M,N至少有一个发生的概率
D.事件M,N都不发生的概率
4.某校举办航天知识竞赛,竞赛设置了A,B,C三道必答题目.已知某同学能正确回答A,B,C题目的概率分别为0.8,0.7,0.5,且回答各题是否正确相互独立,则该同学最多有两道题目回答正确的概率为 ( )
A.0.56 B.0.72
C.0.89 D.0.92
5.若P(A)=,P()=,P(A∪B)=,则事件A与B的关系为 ( )
A.相互独立 B.对立
C.互斥 D.无法判断
6.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次,结果互不影响,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数大于4”为事件B,则事件A,B中至少有一个发生的概率是 ( )
A. B.
C. D.
7.游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段,只有预赛和半决赛的成绩都达标才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛的成绩达标的概率分别为和,乙在预赛和半决赛的成绩达标的概率分别为和,丙在预赛和半决赛的成绩达标的概率分别为和,他们各次比赛达标与否互不影响.则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2024·江苏泰州期末] 已知事件A,B满足P(A)=,P(B)=,则 ( )
A.若A,B互斥,则P(AB)=
B.若A,B互斥,则P(A+)=
C.若A,B相互独立,则P(A)=
D.若A,B相互独立,则P(A+B)=
9.(多选题)[2024·江苏南通期末] 一个袋子中有大小和质地均相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个白色球(标号为3和4),从袋中随机摸出2个球.记“两个球颜色不同”为事件A,“两个球的标号的和为奇数”为事件B,“两个球的标号都不小于2”为事件C,则 ( )
A.A与B互斥
B.A与C相互独立
C.P(AB)+P(AC)=P(A)
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
二、填空题
10.已知A与B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(AB)= .
11.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习,甲同学投篮一次命中的概率为,乙同学投篮一次命中的概率为,假设两人投篮命中与否互不影响,则甲、乙两人各投篮一次,恰有一人命中的概率是 .
12.甲、乙两名同学玩剪刀、石头、布游戏,每次从开始到确定胜负为1次游戏,且甲或乙连续胜2次时结束游戏.若每次游戏甲胜的概率为,且各次游戏之间相互独立,则玩5次游戏后结束的概率为 .
三、解答题
13.某学校组织“红楼论数”数学知识应用竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均须参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为,;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为,.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大
(2)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
14.[2024·江苏江阴联考] 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,,两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人租车时间超过三小时,且不超过四小时的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;
(3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.
15.在某社区举办的“环保我参与”有奖问答比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误这道题的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确这道题的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响,则乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为 ,甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭回答正确这道题的概率为 .
16.[2024·江苏无锡期末] 袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个.现进行摸球游戏.
(1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球,共摸球两次,至少有一次摸出白球的概率是,求袋中红球的个数.
(2)已知袋中有红球5个,从袋中每次摸出1个球,若是红球则放回袋中,若是白球则不放回袋中,求摸球三次共取出2个白球的概率.
(3)若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球,连续两次摸到红球则停止摸球,否则继续摸球直至第六次摸球后结束.若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率,求袋中红球个数的所有可能取值.
