本章总结提升
【知识辨析】
1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.× 7.√ 8.√
9.√ 10.√
【素养提升】
题型一
例1 解:(1)由已知得,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,因为采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人、2人、2人.
(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有样本点为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G),共有21个.
(ii)不妨设抽出的7名同学中来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则事件M包含的样本点有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(F,G),共5个,
所以事件M发生的概率P(M)=.
变式 解:(1)设7个红球的编号分别为1,2,3,4,5,6,7,3个白球的编号分别为8,9,10,
在有放回情况下,第一次摸球时有10种等可能的结果,第二次摸球时有10种等可能的结果,将两次摸球的结果配对,组成100种等可能的结果,如下表所示:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (1,10)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (2,9) (2,10)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) (3,9) (3,10)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,7) (4,8) (4,9) (4,10)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (5,7) (5,8) (5,9) (5,10)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (6,7) (6,8) (6,9) (6,10)
7 (7,1) (7,2) (7,3) (7,4) (7,5) (7,6) (7,7) (7,8) (7,9) (7,10)
8 (8,1) (8,2) (8,3) (8,4) (8,5) (8,6) (8,7) (8,8) (8,9) (8,10)
9 (9,1) (9,2) (9,3) (9,4) (9,5) (9,6) (9,7) (9,8) (9,9) (9,10)
10 (10,1) (10,2) (10,3) (10,4) (10,5) (10,6) (10,7) (10,8) (10,9) (10,10)
由上表可知,第二次摸到白球有30种可能的结果,
记事件A为“有放回地摸球第二次摸到白球”,则P(A)==.
(2)在不放回情况下,第一次摸球时有10种等可能的结果,
第二次摸球时有9种等可能的结果,将两次摸球的结果配对,组成90种等可能的结果,如下表所示:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (1,10)
2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (2,9) (2,10)
3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) (3,9) (3,10)
4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5) (4,6) (4,7) (4,8) (4,9) (4,10)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) × (5,6) (5,7) (5,8) (5,9) (5,10)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) × (6,7) (6,8) (6,9) (6,10)
7 (7,1) (7,2) (7,3) (7,4) (7,5) (7,6) × (7,8) (7,9) (7,10)
8 (8,1) (8,2) (8,3) (8,4) (8,5) (8,6) (8,7) × (8,9) (8,10)
9 (9,1) (9,2) (9,3) (9,4) (9,5) (9,6) (9,7) (9,8) × (9,10)
10 (10,1) (10,2) (10,3) (10,4) (10,5) (10,6) (10,7) (10,8) (10,9) ×
由上表可知,第二次摸到白球的可能结果有27种,
记事件B为“不放回地摸球第二次摸到白球”,
则P(B)==.
(3)由(1)中的表格可知,有放回地摸球摸到球的颜色相同的可能结果有58种.
记事件C为“有放回地摸球摸到球的颜色相同”,则P(C)==.
(4)由(2)中的表格可知,不放回地摸球摸到球的颜色相同的可能结果有48种,
记事件D为“不放回地摸球摸到球的颜色相同”,则P(D)==.
题型二
例2 解:(1)根据表格数据可以看出,40天里,有15个“+”,也就是有15天是“上涨”的,用频率估计概率可得,该茶品价格“上涨”的概率为=;
40天里,有15个“-”,也就是有15天是“下跌”的,用频率估计概率可得,
该茶品价格“下跌”的概率为=;
40天里,有10个“0”,也就是有10天是“不变”的,用频率估计概率可得,
该茶品价格“不变”的概率为=.
(2)由于第40天处于“上涨”状态,从前39天的14次“上涨”进行分析,“上涨”后下一天仍“上涨”的有4次,“不变”的有8次,“下跌”的有2次,
因此估计第41天“不变”的概率最大.
变式 解:(1)设该公司共有x名员工,
依题意得=,解得x=2400,
所以该公司共有2400名员工.
(2)抽到一名男员工不肥胖的概率为=,抽到一名女员工不肥胖的概率为=,则抽到的2名男员工都不肥胖的概率为×=,
抽到的2名女员工都不肥胖的概率为×=.
设事件M为“抽到的员工中至少有一名肥胖”,则事件为“抽到的员工都不肥胖”,
所以P()=×=,所以P(M)=1-=,
所以抽到的员工中至少有一名肥胖的概率为.
题型三
例3 (1)ACD (2)C [解析] (1)事件C包含的情况有一女二男、二女一男、三男,事件B为三男,故A与C为互斥事件,故A正确;A与B为互斥事件,但不互为对立事件,故B错误; B与C存在包含关系,不是对立事件,故C,D正确.故选ACD.
(2)∵P(B)=1-P(),P()=,∴P(B)=,∵事件A,B是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.故选C.
变式 ACD [解析] A+B表示两个事件至少有一个发生,故A正确;B+A表示两个事件恰有一个发生,故B错误;表示两个事件均不发生,故C正确; 表示两个事件均不发生,故D正确.故选ACD.
例4 解:(1)∵每1000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,
∴P(A)=,P(B)==,P(C)==.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E,
则P(E)=1-P(A)-P(B)=1--=.
变式 解:(1)记“射击一次,命中9环或10环”为事件A,由互斥事件概率的加法公式得 P(A)=0.32+0.28=0.6.
(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,由互斥事件概率的加法公式得P(B)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)因为事件“射击一次,命中不足8环”与事件“射击一次,至少命中8环”是对立事件,
所以表示事件“射击一次,命中不足8环”,根据对立事件的概率公式得 P()=1-P(B)=1-0.78=0.22.
题型四
例5 解:(1)记“甲在两轮活动中恰好猜对一个成语”为事件M,
则P(M)=×+×=.
(2)记“‘星队’在两轮活动中共猜对三个成语”为事件N,
则P(N)=P(A2B1B2+A1B1B2+A1A2B2+A1A2B1)=P(A2B1B2)+P(A1B1B2)+
P(A1A2B2)+P(A1A2B1)=×××+×××+×××+×××=.
变式 解:(1)设事件A为“甲答对”,事件B为“乙答对”,
则P(A)=,P(B)=,P()=,P()=,
“甲、乙两位同学中恰有一人答对”为事件A∪B,
则P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=,
所以甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.
(2)设事件C为“丙答对”,则P(C)=p,P()=1-p,
设事件D为“甲、乙、丙三人中至少有一人答对”,
则P(D)=1-P()=1-P()P()P()=1-××(1-p)=,解得p=,所以p的值为.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.“方程x2+2x+8=0有两个实根”是不可能事件. ( )
2.在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. ( )
3.对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件. ( )
4.两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件. ( )
5.“在适宜条件下种下一粒种子,观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽”与“不发芽”. ( )
6.掷一枚质地均匀的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果的可能性是相等的. ( )
7.在古典概型中,若样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则P(A)=. ( )
8.随机数的抽取就是简单随机抽样. ( )
9.随机试验的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为该试验的样本空间. ( )
10.若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B). ( )
◆ 题型一 古典概型的概率求解
[类型总述] (1)样本点与样本空间;(2)古典概型的概率公式.
例1 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
(2)抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
(i)试用所给字母列举出所有的样本点;
(ii)设事件M为“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
变式 [2024·四川达州期末] 一个袋子中有10个大小相同的球,其中有7个红球,3个白球,从中随机摸取两次,每次摸取一个球.
(1)求有放回地摸球第二次摸到白球的概率;
(2)求不放回地摸球第二次摸到白球的概率;
(3)求有放回地摸球摸到球的颜色相同的概率;
(4)求不放回地摸球摸到球的颜色相同的概率.
◆ 题型二 频率与概率的关系
[类型总述] (1)随机事件的频率与概率;(2)随机事件的关系与运算.
例2 [2024·山东青岛即墨区期中] 为研究某茶品价格变化的规律,收集了该茶品连续40天的价格变化数据,如表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.用频率估计概率.
时段 价格变化
第1天到第10天 - + + 0 - - - + + 0
第11天到第20天 + 0 - - + - + 0 - +
第21天到第30天 0 + + 0 - - - + + 0
第31天到第40天 0 + 0 - - - 0 + - +
(1)试估计该茶品价格“上涨”“下跌”“不变”的概率;
(2)假设该茶品每天的价格变化只受前一天影响,判断第41天该茶品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大
变式 [2024·福建福州质检] 国际上常采用身体质量指数(BMI)来衡量人体肥瘦程度,其计算公式是BMI=(体重单位为kg,身高单位为m).为了解某公司员工的身体肥瘦情况,研究人员从该公司员工体检数据中,采用分层抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的身高和体重数据,计算得到他们的BMI值,并根据“中国成人的BMI数值标准”,整理得到如下结果:
性别 偏瘦(BMI<18.5) 正常(18.5≤BMI<24) 偏胖(24≤BMI<28) 肥胖(BMI≥28)
男 12 17 11 10
女 9 11 7 3
(1)若该公司男员工有1500名,则该公司共有多少名员工
(2)以频率估计概率,分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工,求抽到的员工中至少有一名肥胖的概率.
◆ 题型三 互斥事件与对立事件的概率及应用
[类型总述] (1)互斥事件;(2)对立事件;(3)概率的基本性质.
例3 (1)(多选题)从某班级中任意选出三名学生,设事件A为“三名学生都是女生”,事件B为“三名学生都不是女生”,事件C为“三名学生不都是女生”,则下列结论正确的是 ( )
A.A与C为互斥事件
B.A与B互为对立事件
C.B与C存在包含关系
D.B与C不是对立事件
(2)[2024·江西吉安高一期末] 已知事件A,B是互斥事件,P(A)=,P()=,则P(A∪B)= ( )
A. B. C. D.
变式 (多选题)设A,B是两个随机事件,则下列说法正确的是 ( )
A.A+B表示两个事件至少有一个发生
B.B+A表示两个事件至少有一个发生
C.表示两个事件均不发生
D. 表示两个事件均不发生
例4 某商场举行有奖销售活动,购物每满100元可抽取1张奖券,多购多得,每1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)抽取1张奖券中奖的概率;
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
变式 射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该选手射击一次:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
◆ 题型四 相互独立事件的概率计算
[类型总述] (1)相互独立事件的定义;(2)相互独立事件的概率公式.
例5 [2024·江苏连云港高级中学月考] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,活动共两轮,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为,在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.记甲在第i轮猜对成语为事件Ai,乙在第i轮猜对成语为事件Bi(i=1,2).
(1)求甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率;
(2)求“星队”在两轮活动中共猜对三个成语的概率.
变式 [2024·安徽皖北六校高一期末] 为了普及国家安全教育,某校组织了一次国家安全知识竞赛,已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为,,p,且三人答题互不影响.
(1)求甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率;
(2)若甲、乙、丙三人中至少有一人答对的概率为,求p的值.(共39张PPT)
本章总结提升
题型一 古典概型的概率求解
题型二 频率与概率的关系
题型三 互斥事件与对立事件的概率及应用
题型四 相互独立事件的概率计算
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.“方程 有两个实根”是不可能事件.( )
√
2.在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( )
√
3.对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )
√
4.两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件.( )
×
5.“在适宜条件下种下一粒种子,观察它是否发芽”属于古典概型,其基
本事件是“发芽”与“不发芽”.( )
×
6.掷一枚质地均匀的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”
这三个结果的可能性是相等的.( )
×
7.在古典概型中,若样本空间 包含个样本点，事件包含其中的
个样本点，则 .( )
√
8.随机数的抽取就是简单随机抽样.( )
√
9.随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称
为该试验的样本空间.( )
√
10.若事件，相互独立，则 .( )
√
题型一 古典概型的概率求解
［类型总述］（1）样本点与样本空间;（2）古典概型的概率公式.
例1 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,
160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动.
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
解：由已知得,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 ,
因为采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,所以应从甲、乙、丙三个
年级的学生志愿者中分别抽取3人、2人、2人.
（2）抽出的7名同学分别用,,,,,, 表示,现从中随机抽取2名
同学承担敬老院的卫生工作.
（ⅰ）试用所给字母列举出所有的样本点;
解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有样本点为 ,
,,,,,,,,, ,
,,,,,,,,, ,共
有21个.
（ⅱ）设事件为“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件 发生的概率.
解：不妨设抽出的7名同学中来自甲年级的是,, ,来自乙年级的是
,,来自丙年级的是,,
则事件包含的样本点有, , ,, ,共5个,
所以事件发生的概率 .
变式 [2024·四川达州期末] 一个袋子中有10个大小相同的球，其中
有7个红球，3个白球，从中随机摸取两次，每次摸取一个球.
（1）求有放回地摸球第二次摸到白球的概率；
解：设7个红球的编号分别为1，2，3，4，5，6，7，3个白球的编号
分别为8，9，10，
在有放回情况下，第一次摸球时有10种等可能的结果，第二次摸球
时有10种等可能的结果，将两次摸球的结果配对，组成100种等可能
的结果，如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
续表
9
10
续表
由上表可知，第二次摸到白球有30种可能的结果，
记事件为“有放回地摸球第二次摸到白球”，则 .
（2）求不放回地摸球第二次摸到白球的概率；
解：在不放回情况下，第一次摸球时有10种等可能的结果，
第二次摸球时有9种等可能的结果，将两次摸球的结果配对，组成90
种等可能的结果，如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 ×
2 ×
3 ×
4 ×
5 ×
6 ×
7 ×
8 ×
续表
9 ×
10 ×
续表
由上表可知，第二次摸到白球的可能结果有27种，
记事件 为“不放回地摸球第二次摸到白球”，
则 .
（3）求有放回地摸球摸到球的颜色相同的概率；
解：由（1）中的表格可知，有放回地摸球摸到球的颜色相同的可能
结果有58种.
记事件为“有放回地摸球摸到球的颜色相同”，则 .
（4）求不放回地摸球摸到球的颜色相同的概率.
解：由（2）中的表格可知，不放回地摸球摸到球的颜色相同的可能
结果有48种，
记事件为“不放回地摸球摸到球的颜色相同”，则 .
题型二 频率与概率的关系
［类型总述］（1）随机事件的频率与概率;（2）随机事件的关系与
运算.
例2 [2024·山东青岛即墨区期中] 为研究某茶品价格变化的规律，收
集了该茶品连续40天的价格变化数据，如表所示.在描述价格变化时，
用“ ”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“”表示“下跌”，
即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一
天价格相同.用频率估计概率.
时段 价格变化 第1天到第10天 0 0
第11天到第20天 0 0
第21天到第30天 0 0 0
第31天到第40天 0 0 0
（1）试估计该茶品价格“上涨”“下跌”“不变”的概率；
解：根据表格数据可以看出，40天里，有15个“ ”，也就是有15天是
“上涨”的，用频率估计概率可得，该茶品价格“上涨”的概率为 ；
40天里，有15个“”，也就是有15天是“下跌”的，用频率估计概率可得，
该茶品价格“下跌”的概率为 ；
40天里，有10个“0”，也就是有10天是“不变”的，用频率估计概率可得，
该茶品价格“不变”的概率为 .
（2）假设该茶品每天的价格变化只受前一天影响，判断第41天该茶
品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大？
解：由于第40天处于“上涨”状态，从前39天的14次“上涨”进行分析，
“上涨”后下一天仍“上涨”的有4次，“不变”的有8次，“下跌”的有2次，
因此估计第41天“不变”的概率最大.
变式 [2024·福建福州质检] 国际上常采用身体质量指数 来衡
量人体肥瘦程度，其计算公式是（体重单位为 ，身高
单位为 ）.为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司
员工体检数据中，采用分层抽样方法抽取了50名男员工、30名女员
工的身高和体重数据，计算得到他们的 值，并根据“中国成人的
数值标准”，整理得到如下结果：
性 别
男 12 17 11 10
女 9 11 7 3
（1）若该公司男员工有1500名，则该公司共有多少名员工？
解：设该公司共有 名员工，
依题意得，解得 ，所以该公司共有2400名员工.
（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名
员工，求抽到的员工中至少有一名肥胖的概率.
解：抽到一名男员工不肥胖的概率为 ，抽到一名女员工不肥胖
的概率为，则抽到的2名男员工都不肥胖的概率为 ，
抽到的2名女员工都不肥胖的概率为 .
设事件为“抽到的员工中至少有一名肥胖”，则事件 为“抽到的员
工都不肥胖”，
所以 ，所以 ，
所以抽到的员工中至少有一名肥胖的概率为 .
题型三 互斥事件与对立事件的概率及应用
［类型总述］（1）互斥事件;（2）对立事件;（3）概率的基本性质.
例3（1） （多选题）从某班级中任意选出三名学生，设事件 为“三
名学生都是女生”，事件为“三名学生都不是女生”，事件 为“三名
学生不都是女生”，则下列结论正确的是( )
A.与为互斥事件 B.与 互为对立事件
C.与存在包含关系 D.与 不是对立事件
√
√
√
[解析] 事件C包含的情况有一女二男、二女一男、三男，事件B为三
男，故A与C为互斥事件，故A正确；
A与B为互斥事件，但不互为对立事件，故B错误；
B与C存在包含关系，不是对立事件，故C，D正确.故选 .
（2）[2024·江西吉安高一期末]已知事件， 是互斥事件，
，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，，，
事件A，B是互斥事件， .故选C.
√
变式 （多选题）设， 是两个随机事件，则下列说法正确的是
( )
A. 表示两个事件至少有一个发生
B. 表示两个事件至少有一个发生
C. 表示两个事件均不发生
D. 表示两个事件均不发生
[解析] 表示两个事件至少有一个发生，故A正确；
表示两个事件恰有一个发生，故B错误；
表示两个事件均不发生，故C正确；
表示两个事件均不发生，故D正确.故选 .
√
√
√
例4 某商场举行有奖销售活动,购物每满100元可抽取1张奖券,多购多
得,每1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50
个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为,, ,求:
（1）,, ;
解： 每1000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,
,, .
（3）抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件 ,
则 .
（2）抽取1张奖券中奖的概率;
解：设“抽取1张奖券中奖”为事件 ,则
.
变式 射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该选手射击一次：
（1）命中9环或10环的概率；
解：记“射击一次，命中9环或10环”为事件 ，由互斥事件概率的加
法公式得 .
（2）至少命中8环的概率；
解：设“射击一次，至少命中8环”为事件 ，由互斥事件概率的加法
公式得 .
（3）命中不足8环的概率.
解：因为事件“射击一次，命中不足8环”与事件“射击一次，至少命
中8环”是对立事件，
所以 表示事件“射击一次，命中不足8环”，
根据对立事件的概率公式得 .
题型四 相互独立事件的概率计算
［类型总述］（1）相互独立事件的定义;（2）相互独立事件的概率
公式.
例5 [2024·江苏连云港高级中学月考] 甲、乙两人组成“星队”参加猜
成语活动，活动共两轮，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲
每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为 ，在每轮活动中，甲和
乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.记甲在第 轮猜对成语为
事件，乙在第轮猜对成语为事件 .
（1）求甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率；
解：记“甲在两轮活动中恰好猜对一个成语”为事件 ，
则 .
（2）求“星队”在两轮活动中共猜对三个成语的概率.
解：记“‘星队’在两轮活动中共猜对三个成语”为事件 ，
则 .
变式 [2024·安徽皖北六校高一期末] 为了普及国家安全教育，某校
组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道
题目的概率分别为，， ，且三人答题互不影响.
（1）求甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率；
解：设事件为“甲答对”，事件 为“乙答对”，
则，，， ，
“甲、乙两位同学中恰有一人答对”为事件 ，
则 ，
所以甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为 .
（2）若甲、乙、丙三人中至少有一人答对的概率为，求 的值.
解：设事件为“丙答对”，则, ，
设事件 为“甲、乙、丙三人中至少有一人答对”，
则 ，
解得，所以的值为 .
