微突破(三) 古典概型的应用
【典型例题】
例1 解:(1)把4个红球分别标记为A1,A2,A3,A4,2个蓝球分别标记为B1,B2,
从箱子中不放回地随机抽取2个球的样本空间Ω1={A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2},共包含15个样本点,
设事件E为“从箱子中不放回地随机抽取2个球且颜色相同”,则E={A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,B1B2},共包含7个样本点,所以P(E)=.
(2)把4个红球分别标记为A1,A2,A3,A4,2个蓝球分别标记为B1,B2,
从箱子中有放回地抽取2个球的样本空间Ω2={A1A1,A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A1,A2A2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A1,A3A2,A3A3,A3A4,A3B1,A3B2,A4A1,A4A2,A4A3,A4A4,A4B1,A4B2,B1A1,B1A2,B1A3,B1A4,B1B1,B1B2,B2A1,B2A2,B2A3,B2A4,B2B1,B2B2},共包含36个样本点,
设事件F为“从箱子中有放回地抽取2个球且颜色相同”,
则F={A1A1,A1A2,A1A3,A1A4,A2A1,A2A2,A2A3,A2A4,A3A1,A3A2,A3A3,A3A4,A4A1,A4A2,A4A3,
A4A4,B1B1,B1B2,B2B1,B2B2},共包含20个样本点,
所以P(F)==.
变式 解:(1)从盒中任取两个球的样本空间Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共包含6个样本点,
记取出的两个球的编号之和大于4为事件A,
则事件A包含(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个样本点,
所以P(A)==,故从盒中任取两个球,取出的两个球的编号之和大于4的概率为.
(2)从盒中有放回地抽取两个球的样本空间Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含16个样本点,
记|x-y|≤2为事件B,则事件B包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共14个样本点,所以P(B)==,
故事件|x-y|≤2发生的概率为.
例2 解:(1)方案A:猜“是奇数”获胜的概率P1==,猜“是偶数”获胜的概率P2==.
方案B:猜“是4的整数倍”获胜的概率P3==,猜“不是4的整数倍”获胜的概率P4==.
方案C:猜“是大于4的数”获胜的概率P5==,猜“不是大于4的数”获胜的概率P6==.
如果我是乙,为了尽可能获胜,我将选择方案B并猜“不是4的整数倍”,这样获胜的概率最大.
(2)为了保证游戏的公平性,应选方案A,无论猜“是奇数”还是猜“是偶数”,甲获胜和乙获胜的可能性都相等.
(3)如果设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性,可以猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”.
变式 解:(1)连续掷骰子两次的样本空间共包含6×6=36(个)样本点,
记“两次点数之和为6”为事件B,“两次点数之和能被4整除”为事件C,
则B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共包含5个样本点,C={(1,3),(3,1),(2,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(6,6)},共包含9个样本点,
所以P(B)=,P(C)==,
所以乙先发球的概率为,丙先发球的概率为,二者不相等,故这个方法不公平.
(2)如图,用树形图列举每局比赛当裁判的可能,则样本空间共包含8个样本点.
其中事件“甲当2局裁判”包含的样本点有6个,所以在4局比赛中甲当2局裁判的概率为=.微突破(三) 古典概型的应用
1.A [解析] 该试验的样本空间共包含4×3=12(个)样本点,其中各位数字之和等于5的样本点有14,41,23,32,共4个,所以各位数字之和等于5的概率为=.故选A.
2.B [解析] 设黄球的个数为n,由古典概型的概率公式可得≈,解得n≈15.故选B.
3.A [解析] 画出树形图如图所示,所以该试验的样本空间共包含16个样本点.对于A,所确定的点在直线y=x+4上包含的样本点有(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),共4个,所确定的点在直线y=-x+8上包含的样本点有(1,7),(2,6),(3,5),共3个,因为两个事件包含的样本点个数不一样,所以两个事件发生的概率不一样,故A中规则不正确;对于B,取出的两个数乘积大于15包含的样本点有(2,8),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共8个,则取出的两个数乘积不大于15包含的样本点也有8个,因为两个事件包含的样本点个数一样,所以两个事件发生的概率一样,故B中规则正确;对于C,取出的两个数乘积不小于20包含的样本点有(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共6个,则取出的两个数乘积小于20包含的样本点有10个,由于5×6=3×10=30,故C中规则正确;对于D,取出的两个数相加和为奇数包含的样本点有(1,6),(1,8),(2,5),(2,7),(3,6),(3,8),(4,5),(4,7),共8个,则取出的两个数相加和为偶数包含的样本点也有8个,因为两个事件包含的样本点个数一样,所以两个事件发生的概率一样,故D中规则正确.故选A.
4.CD [解析] 方案一:易得“选到2号球”的概率P1=.
方案二:先后有放回地摸出两个球,则样本空间包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9个,其中“选到2号球”包含的样本点有(1,2),(2,1),(2,2),共3个,所以“选到2号球”的概率P2==.
方案三:同时摸出两个球,则样本空间包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,其中“选到2号球”包含的样本点有(1,2),共1个,所以“选到2号球”的概率P3=.因为P1=P2=P3,所以A,B错误,C,D正确.故选CD.
5. [解析] 质点P从点A出发跳动五次到达点B,每次向右或向下跳一个单位长度,则样本空间包含的样本点有右右下下下,右下右下下,右下下右下,右下下下右,下右右下下,下右下右下,下右下下右,下下下右右,下下右右下,下下右下右,共10个,其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达包含的样本点有右右下下下,共1个,所以质点跳动的路线恰好在饕餮纹上的概率为.
6. [解析] 将2个红球编号为a,b,2个黄球编号为1,2,记“两次取到的都是黄球”为事件A.在有放回简单随机抽样方式下的样本空间Ω1={(a,a),(a,b),(a,1),(a,2),(b,a),(b,b),(b,1),(b,2),(1,a),(1,b),(1,1),(1,2),(2,a),(2,b),(2,1),(2,2)},共包含16个样本点,A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},共包含4个样本点,所以P(A)==.在无放回简单随机抽样方式下的样本空间Ω2={(a,b),(a,1),(a,2),(b,a),(b,1),(b,2),(1,a),(1,b),(1,2),(2,a),(2,b),(2,1)},共包含12个样本点,A={(1,2),(2,1)},共包含2个样本点,所以P(A)==.故所求概率分别为,.
7. [解析] 样本空间包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,其中“a=b或a=b-1”包含的样本点有(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4),(4,5),(5,5),(5,6),(6,6),共11个,所以他们“心有灵犀”的概率为.
8.解:(1)由题意可知该试验的样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共包含16个样本点.
(2)由题意可知A={(1,1),(2,1),(1,2)},共包含3个样本点,所以P(A)=;B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共包含6个样本点,所以P(B)==;
事件AB包含的样本点有(1,2),共1个,所以P(AB)=.
9.解:(1)该试验的样本空间包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个,
其中“a+b=5”包含的样本点有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个,故a+b=5的概率为.
(2)这个游戏规则不公平,理由如下:
设甲赢为事件A,乙赢为事件B,
则事件A包含的样本点有(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共15个,则事件B包含的样本点有10个,
由古典概型的概率计算公式可得P(A)==,P(B)==,
因为P(A)>P(B),所以这个游戏规则不公平.
10.解:(1)甲盒中的3个红球分别记为a1,a2,a3,2个白球分别记为b1,b2.从甲盒中按先后顺序随机取2个球,取后不放回,样本空间中每个样本点用有序数组(M,N)表示,其中M,N都取自5个球中的任意1个,且不能重复,
即对M的每一种情况,N都有4种不同的情况与之对应,且M有5种不同的情况,列举可知共有5×4=20(个)样本点,
其中至少取得1个红球包含的样本点有3×4+2×3=18(个),故至少取得1个红球的概率P==.
(2)参考答案一:选择的是甲盒,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率为,在乙盒中摸到红球的概率为,
在甲盒中摸到红球的概率大于乙盒,故选择的应该是甲盒,
但这种判断并不能保证完全正确,也存在选择乙盒的可能性.
参考答案二:选择的是乙盒,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率较低,但是不为0,
所以存在选择乙盒的可能性,但这种判断并不能保证完全正确,也存在选择甲盒的可能性.
参考答案三:无法判断,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,都是概率不为0的随机事件,都有可能发生,所以无法判断.微突破(三) 古典概型的应用
【知识综述】
古典概型求概率问题在考试中常考查古典概型的概率计算,根据古典概型概率求参数,有放回与无放回概率问题,古典概型与集合、函数、统计等知识的综合问题.解决此类问题时,首先要审题,正确理解样本点与事件的关系,其次要注意做到不重不漏.
类型一 放回与不放回问题
例1 [2024·山东济宁期末] 一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外,没有其他差异).
(1)若从箱子中不放回地随机抽取2个球,求2个球的颜色相同的概率;
(2)若从箱子中有放回地抽取2个球,求2个球的颜色相同的概率.
变式 一个盒子中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状、大小和质地完全相同的小球.
(1)从盒子中任取两个球,求取出的两个球的编号之和大于4的概率;
(2)从盒中任取一个球,记下该球的编号x,将球放回,再从盒中任取一个球,记下该球的编号y,求事件|x-y|≤2发生的概率.
类型二 古典概型的综合应用
例2 有一个转盘游戏,转盘被分成10等份,如图所示,转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字(指针指到分界线上时重转).游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种中选一种:
方案A:猜“是奇数”或“是偶数”;
方案B:猜“是4的整数倍”或“不是4的整数倍”;
方案C:猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,怎样猜 为什么
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案 为什么
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
变式 [2024·保定期末] 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛,比赛规则如下:每次比赛两人上场比赛,第三人为裁判,一局结束后,败者下场作为裁判,原裁判上场与胜者比赛,按此规则循环下去,共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛,甲作为裁判.
(1)第一局比赛开始前,丙提出由掷骰子决定谁先发球,连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记下骰子朝上的点数,若两次点数之和为6,则由乙先发球,若两次点数之和能被4整除,则由丙先发球,用所学知识判断这个方法公平吗 并说明理由.
(2)三人实力相当,在每局比赛中战胜对手的概率均为,求在4局比赛中甲当2局裁判的概率.微突破(三) 古典概型的应用
一、选择题
1.从数字1,2,3,4中,无放回地抽取2个数字组成一个两位数,其各位数字之和等于5的概率为 ( )
A. B.
C. D.
2.[2024·南京高一期末] 一个口袋中装有10个红球和若干个黄球,在不允许将球倒出来数的前提下,为估计口袋中黄球的个数,小明采用了如下的方法:每次从口袋中摸出1个球,记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程200次,共摸出红球80次,根据上述数值,估计口袋中黄球的个数为 ( )
A.10 B.15
C.25 D.40
3.[2024·湖北荆州高一期末] 有2个信封,第一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4,第二个信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8.甲、乙两人商定了一个游戏,规则是:从这两个信封中各随机抽取一张卡片,得到两个数.为了使多次游戏后对双方都公平,则规则不正确的是 ( )
A.第一个信封内取出的数作为横坐标,第二个信封内取出的数作为纵坐标,所确定的点在直线y=x+4上甲获胜,所确定的点在直线y=-x+8上乙获胜
B.取出的两个数乘积不大于15甲获胜,否则乙获胜
C.取出的两个数乘积不小于20时甲得5分,否则乙得3分,游戏结束后,累计得分高的人获胜
D.取出的两个数相加,若得到的和为奇数,则甲获胜,否则乙获胜
4.(多选题)一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球,分别标有数字1,2,3,现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一:任意摸出一个球并选择该球;方案二:先后有放回地摸出两个球,若第二次摸出的球号码比第一次大,则选择第二次摸出的球,否则选择第一次摸出的球;方案三:同时摸出两个球,选择其中号码较大的球.记三种方案选到2号球的概率分别为P1,P2,P3,则 ( )
A.P1>P2 B.P1>P3
C.P2=P3 D.P1=P3
二、填空题
5.[2024·江苏徐州期中] 饕餮纹(如图①),青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期,最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到方格纸上,如图②所示,每个小方格的边长为1,有一质点从点A出发跳动五次到达点B,每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能的,那么质点跳动的路线恰好在饕餮纹上的概率为 .
6.已知盒中有除颜色外完全相同的2个红球和2个黄球,每次从中抽取1个球,抽取两次分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样,在以上两种抽样方式下,两次取到的都是黄球的概率分别为 , .
7.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若a=b或a=b-1,则称甲、乙“心有灵犀”.现在甲、乙玩一局这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 .
三、解答题
8.[2023·天津和平区高一期末] 一个盒子中装有4个编号依次为1,2,3,4的球,这4个球除号码外完全相同,采用有放回的方式取球,先从盒子中随机取1个球,该球的编号记为X,将球放回袋中,然后再从袋中随机取1个球,该球的编号记为Y.
(1)写出该试验的样本空间;
(2)设事件A为“两次取出球的编号之和小于4”,事件B为“X9.甲、乙两人进行摸球游戏,游戏规则是:在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1,2,3,4,5的5个球,甲先随机摸出1个球,记下编号,设编号为a,放回后乙再随机摸出1个球,也记下编号,设编号为b,记录摸球结果(a,b),若a+b>5,则甲赢,否则乙赢.
(1)求a+b=5的概率.
(2)这个游戏规则公平吗 请说明理由.
10.有甲、乙两个盒子,其中甲盒中有3个红球,2个白球;乙盒中有1个红球,4个白球(除颜色外,球的质地、大小完全相同).
(1)从甲盒中按先后顺序随机取2个球,取后不放回,则至少取得1个红球的概率是多少
(2)现在从两个盒子中任意选择一个,再从中任意摸出1个球,如果摸到的是红球,你认为选择的是哪个盒子 作出你的判断,并说说你的想法,你认为能否作出完全正确的判断 (共16张PPT)
微突破（三） 古典概型的应用
【知识综述】
古典概型求概率问题在考试中常考查古典概型的概率计算，根
据古典概型概率求参数，有放回与无放回概率问题,古典概型与集合、
函数、统计等知识的综合问题.解决此类问题时，首先要审题,正确理
解样本点与事件的关系，其次要注意做到不重不漏.
类型一 放回与不放回问题
例1 [2024·山东济宁期末] 一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球
（球除颜色外，没有其他差异）.
（1）若从箱子中不放回地随机抽取2个球，求2个球的颜色相同的概率；
解：把4个红球分别标记为，，， ，2个蓝球分别标记为
， ，
从箱子中不放回地随机抽取2个球的样本空间， ，
，，，，，，，， ，
，，， ，共包含15个样本点，
设事件 为“从箱子中不放回地随机抽取2个球且颜色相同”，则
，，，，，， ，共包含7个
样本点，所以 .
（2）若从箱子中有放回地抽取2个球，求2个球的颜色相同的概率.
解：把4个红球分别标记为，，， ，2个蓝球分别标记为
， ，
从箱子中有放回地抽取2个球的样本空间， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，，，，，， ，共包含36个样本点，
设事件 为“从箱子中有放回地抽取2个球且颜色相同”，
则，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
，， ，共包含20个样本点，
所以 .
变式 一个盒子中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状、大小和质
地完全相同的小球.
（1）从盒子中任取两个球，求取出的两个球的编号之和大于4的概率；
解：从盒中任取两个球的样本空间，， ，
，， ，共包含6个样本点，
记取出的两个球的编号之和大于4为事件 ，
则事件包含，，， ，共4个样本点，
所以 ，故从盒中任取两个球，取出的两个球的编号之和
大于4的概率为 .
（2）从盒中任取一个球，记下该球的编号 ，将球放回，再从盒中
任取一个球，记下该球的编号，求事件 发生的概率.
解：从盒中有放回地抽取两个球的样本空间， ，
，，，，，，，， ，
，，，， ，共包含16个样本点，
记为事件，则事件包含，，， ，
，，，，，，，， ，
，共14个样本点,
所以 ,故事件发生的概率为 .
类型二 古典概型的综合应用
例2 有一个转盘游戏，转盘被分成10等份，如图所示，
转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出
的数字（指针指到分界线上时重转）.游戏规则如下：
两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，
方案 猜“是奇数”或“是偶数”；
方案 猜“是4的整数倍”或“不是4的整数倍”；
方案 猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲
获胜.猜数方案从以下三种中选一种：
请回答问题：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种
猜数方案，怎样猜？为什么？
解：方案猜“是奇数”获胜的概率 ,猜“是
偶数”获胜的概率 .
方案猜“是4的整数倍”获胜的概率 ，猜
“不是4的整数倍”获胜的概率 .
方案猜“是大于4的数”获胜的概率 ，猜 “不是大于4的数”
获胜的概率 .
如果我是乙，为了尽可能获胜，我将选择方案 并猜 “不是4的整数倍”，
这样获胜的概率最大.
（2）为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
解：为了保证游戏的公平性,应选方案 ,无论猜“是奇数”还是猜“是偶
数”，甲获胜和乙获胜的可能性都相等.
（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.
解：如果设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性,可以猜“是
大于5的数”或“不是大于5的数”.
变式 [2024·保定期末] 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则
如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者
下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进
行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判.
（1）第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷
一枚质地均匀的骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和
为6，则由乙先发球，若两次点数之和能被4整除，则由丙先发球，
用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由.
解：连续掷骰子两次的样本空间共包含 （个）样本点，
记“两次点数之和为6”为事件 ，“两次点数之和能被4整除”为事件 ，
则，，，， ，
共包含5个样本点，，，，，， ，
，， ，共包含9个样本点，
所以， ，所以乙先发球的概率为 ，
丙先发球的概率为 ，二者不相等，故这个方法不公平.
（2）三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为 ，求在4局
比赛中甲当2局裁判的概率.
解：如图，用树形图列举每局比赛当裁判的可能，则样本空间共包
含8个样本点.
其中事件“甲当2局裁判”包含的样本点有6个，所以在4局比赛中甲当
2局裁判的概率为 .
