单元素养测评卷(七)
1.B [解析] 连续两次抛掷同一个骰子,两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生,∴①是随机事件.某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生,∴②是随机事件.从集合{1,2,3}中任取两个不同元素,它们的和必大于2,∴③是必然事件.在标准大气压下,水加热到100 ℃时才会沸腾,∴④是不可能事件.故随机事件有2个,故选B.
2.B [解析] 记从口袋中摸出1个球,“摸出黑球”“摸出红球”“摸出白球”分别为事件A,B,C,则由题意知,A,B,C两两互斥且P(A)+P(B)+P(C)=1,故所求概率P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.3-0.2=0.5,故选B.
3.C [解析] 根据表格中的数据可得,该植物一年生长的高度在[30,40)内的频率为=0.4.故选C.
4.C [解析] 根据题意,将2个苹果分别记为1和2,3个桃子分别记为A,B,C,从盘中任选2个的样本空间Ω={(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C)},共包含10个样本点.记事件M为“选中的水果品种相同”,则事件M包含的样本点有(1,2),(A,B),(A,C),(B,C),共4个,所以P(M)==.故选C.
5.C [解析] 由题意得,P(A)==,P(B)==,∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),∴=+-P(AB),解得P(AB)=.故选C.
6.B [解析] 因为x1∈{0,1},x2∈{0,1},所以(x1,x2)的取值情况为(1,1),(1,0),(0,1),(0,0),故①正确;事件B中x2=1,x1∈{0,1},故②正确;事件“电路是断路”中,x1,x2至少有一个为0,因此事件“电路是断路”={(0,1),(1,0),(0,0)},因为A={(1,1),(1,0)},所以={(0,1),(0,0)},又={(1,0),(0,0)},所以“电路是断路”可表示为∪,故③错误;事件“电路是通路”中,x1,x2都为1,因此事件“电路是通路”={(1,1)},又A={(1,1),(1,0)},B={(0,1),(1,1)},所以“电路是通路”可表示为A∩B,其中只包含1个样本点,故④错误.故正确说法的个数是2,故选B.
7.C [解析] 对于规则一,甲、乙发球的概率都是,所以该规则是公平的.对于规则二,记2个红球分别为红1,红2,2个黑球分别为黑1,黑2,则随机取出2个球的样本空间所包含的样本点有(红1,红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,黑1),(红2,黑2),(黑1,黑2),共6个,其中“取出的2个球同色”包含的样本点有2个,∴甲发球的概率为<,所以该规则不公平.对于规则三,记3个红球分别为红3,红4,红5,则随机取出2个球的样本空间包含的样本点有(红3,红4),(红3,红5),(红3,黑),(红4,红5),(红4,黑),(红5,黑),共6个,其中“取出的2个球同色”包含的样本点有3个,∴两人发球的可能性均为,该规则是公平的.综上可得,对甲、乙公平的发球规则为规则一和规则三.故选C.
8.D [解析] 记甲、乙、丙获得一等奖分别为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,所以P()=1-=,P()=1-=,P()=1-=,则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=××+××+××=,这三人都获得一等奖的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=,所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率P=+=.故选D.
9.BD [解析] 对于A,当从口袋中取出两个黑球时,事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生,所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件,所以A不符合题意;对于B,从口袋中取出两个球,事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生,但必有一个事件发生,所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”是互斥事件,也是对立事件,所以B符合题意;对于C,当从口袋中取出一个红球和一个黑球时,事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生,所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件,所以C不符合题意;对于D,事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生,当取出两个红球时,这两个事件都没有发生,所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件,但不是对立事件,所以D符合题意.故选BD.
10.BC [解析] 该同学随机选一个选项,Ω1={A,B,C,D},随机选两个选项,Ω2={AB,AC,AD,BC,BD,CD},随机选三个选项,Ω3={ABC,ABD,ACD,BCD},随机选四个选项,Ω4={ABCD}.对于A,“仅随机选一个选项,能得分”包含的样本点为A,B,C,共3个,所以所求概率是,故A错误.对于B,“随机至少选择两个选项,能得分”包含的样本点为AB,AC,BC,ABC,共4个,所以所求概率是=,故B正确.对于C,“仅随机选择三个选项,能得分”包含的样本点只有ABC,则所求概率是,故C正确.对于D,随机选择选项,能得分的概率是=,故D错误.故选BC.
11.BCD [解析] 由题意可知,事件A包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),共30个,事件B包含的样本点有(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),共6个,事件C包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),共18个,事件D包含的样本点有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个,样本空间包含的样本点共有62=36(个).对于A选项,A∩B={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5)}≠ ,所以A与B不互斥,故A错误;对于B选项,因为A∩D= ,A∪D=Ω,所以A与D对立,故B正确;对于C选项,事件BC包含的样本点有(4,1),(4,2),(4,3),共3个,则P(BC)==,又因为P(B)==,P(C)==,所以P(BC)=P(B)P(C),则B与C相互独立,故C正确;对于D选项,因为B∩D={(4,6)},所以P(BD)==×=P(B)P(D),则B与D相互独立,故D正确.故选BCD.
12.掷出2点 掷出2,3,4,5,6点 掷出1,3,5点 [解析] 因为A={3,5},B={2,4,6},C={1,2},所以BC={2},A+B={2,3,4,5,6},={1,3,5}.
13. [解析] 依题意,样本空间包含的样本点有(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(6,0),(6,1),(6,2),(6,3),共12个.由m·n=-b+2a=0,得b=2a,则事件m⊥n包含的样本点有(4,2),(6,3),共2个,所以向量m=(b,a)与向量n=(-1,2)垂直的概率P==.
14.0.388 8 [解析] 比赛三局,甲最终获胜的概率P1=0.63;比赛四局,甲最终获胜的概率P2=(1-0.6)×0.63;比赛五局,甲最终获胜的概率P3=(1-0.6)2×0.63+0.6×(1-0.6)×0.63=(0.16+0.24)×0.63=0.4×0.63.故甲最终获胜的概率P=P1+P2+P3=1.8×0.63=0.388 8.
15.解:(1)根据题意可得,样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)}.
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A,则事件A包含的样本点为(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红),事件A包含的样本点个数为3,
由(1)可知,样本空间样本点总数为8,故P(A)=.
16.解:(1)两人掷出的点数之和用列表的方式表示如下:
小明掷出的点数 小刚掷出的点数
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
所以样本空间共有36个样本点,点数之和为奇数包含的样本点有18个,则小刚得1分的概率为=,小明得1分的概率为1-=,两者相同,所以这个游戏公平.
(2)样本空间用树形图表示如下:
所以样本空间共有24个样本点,3个球中既有红球又有白球包含18个样本点,故所求概率为=.
17.解:(1)依题意,前两局比赛乙均获胜的概率为×=.
(2)①若乙最终获得全部奖金,则乙最终以3∶1获胜或3∶2获胜.
若乙以3∶1获胜,则第3,4局比赛乙均获胜,其概率为×=;
若乙以3∶2获胜,则乙第3,4局比赛输1局胜1局,第5局比赛获胜,其概率为××+××=.
故乙最终获得全部奖金的概率为+=.
②由①知,继续比赛,乙最终获胜的概率是,则甲最终获胜的概率为,
所以甲、乙按2∶1分配奖金不合理,应按20∶7将奖金分配给甲、乙.
18.解:(1)由频率分布直方图可知,年龄在[20,40)内的频率为(0.015+0.02)×10=0.35,年龄在[20,50)内的频率为0.35+0.03×10=0.65,
所以样本数据的中位数一定在[40,50)内,由40+10×=45,
可估计样本数据的中位数为45.
(2)由分层抽样的方法可知,抽取的8人中,年龄在[20,30)内的有3人,分别记为A1,A2,A3;
年龄在[50,60)内的有5人,分别记为B1,B2,B3,B4,B5.
从这8人中随机抽取2人,样本空间包含的样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A1,B5),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A3,B5),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,B5),(B2,B3),(B2,B4),(B2,B5),(B3,B4),(B3,B5),(B4,B5),共28个.
记“这2人取自不同年龄区间”为事件A,其包含的样本点有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A1,B5),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A3,B5),共15个.
故这2人取自不同年龄区间的概率P(A)=.
19.解:(1)丙连胜四场的情况为“第一场丙胜甲负,第二场丙胜乙负,第三场丙胜甲负,第四场丙胜乙负”,
所以丙连胜四场的概率P1==.
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
而甲或丙连胜四场的概率为×2=,
乙上场后连胜三场且最终获胜的概率P2==,
故需要进行第五场比赛的概率P3=1--=1-=.
(3)三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下:
记事件A为“一局比赛甲输”,事件B为“一局比赛丙输”,事件C为“一局比赛乙输”,事件M为“甲最终获胜”,事件N为“乙最终获胜”,
则甲最终获胜包含的样本点有(B,C,B,C),(A,B,C,B,C),(A,C,B,C,B),(B,A,B,C,C),(B,A,C,B,C),(B,C,A,C,B),(B,C,A,B,C),(B,C,B,A,C),
故甲最终获胜的概率P(M)=+7×=.
由甲、丙首先比赛可知,丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等,
即丙最终获胜的概率也是.
所以乙最终获胜的概率P(N)=1-×2=.
又>,所以三人中乙最终获胜的概率最大.单元素养测评卷(七)
第15章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列事件:
①连续两次抛掷同一个骰子,两次都出现2点;
②某人买彩票中奖;
③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素,它们的和大于2;
④在标准大气压下,水加热到90 ℃时会沸腾.
其中是随机事件的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中任意摸出1个球,摸出红球的概率是0.3,摸出白球的概率是0.2,那么摸出黑球的概率是 ( )
A.0.4 B.0.5
C.0.6 D.0.95
3.某地一种植物一年生长的高度如下表:
高度/cm [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
频数 20 30 80 40 30
则该植物一年生长的高度在[30,40)内的频率是 ( )
A.0.8 B.0.65
C.0.4 D.0.25
4.[2024·江苏南通期末] 一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子,从盘中任选2个,则选中的水果品种相同的概率为 ( )
A. B.
C. D.
5.某班共有48名同学,其中12名同学精通乐器,8名同学擅长舞蹈,从该班中任选一名同学了解其艺术特长.记“选中的同学精通乐器”为事件A,“选中的同学擅长舞蹈”为事件B,若P(A∪B)=,则P(AB)= ( )
A. B.
C. D.
6.M,N两个元件组成一个串联电路,每个元件可能正常或失效.设“M元件正常”为事件A,“N元件正常”为事件B,用x1,x2分别表示M,N两个元件的状态,用(x1,x2)表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效,则下列说法正确的个数是 ( )
①样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)};
②事件B={(0,1),(1,1)};
③事件“电路是断路”可以用∩(或 )表示;
④事件“电路是通路”可以用A∪B(或A+B)表示,共包含3个样本点.
A.0 B.2
C.3 D.4
7.某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则,规则一:投掷1枚质地均匀的硬币,出现正面向上,甲发球,否则乙发球;规则二:从装有大小质地相同的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;规则三:从装有大小质地相同的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.则对甲、乙公平的发球规则是 ( )
A.规则一和规则二 B.规则二和规则三
C.规则一和规则三 D.只有规则一
8.甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛,若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为,,且三人是否获得一等奖相互独立,则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·安徽皖北六校高一期末] 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,则下列各组事件中是互斥事件的是 ( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
10.在某次数学测试中,对多项选择题的要求是“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是ABC,且某同学不会做该题(该同学至少选一项且可能全选),则下列结论正确的是 ( )
A.该同学仅随机选一个选项,能得分的概率是
B.该同学随机至少选择两个选项,能得分的概率是
C.该同学仅随机选择三个选项,能得分的概率是
D.该同学随机选择选项,能得分的概率是
11.[2024·广东惠州高一期末] 抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子,用a表示黄色骰子朝上的点数,b表示白色骰子朝上的点数,用(a,b)表示一次试验的结果,该试验的样本空间为Ω,记事件A为“0
20”,则 ( )
A.A与B互斥 B.A与D对立
C.B与C相互独立 D.B与D相互独立
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.掷一枚骰子,设事件A为“掷出大于2的奇数点”,事件B为“掷出偶数点”,事件C为“掷出点数小于3”,则事件BC为“ ”,事件A+B为“ ”,事件为“ ”.
13.从集合{0,1,2,3}中随机取一个数a,从集合{3,4,6}中随机取一个数b,则向量m=(b,a)与向量n=(-1,2)垂直的概率为 .
14.甲、乙两人进行羽毛球比赛,各局比赛结果相互独立,比赛规则如下:比赛至多五局,连续获胜三局者最终获胜.根据以往比赛情况,每局比赛甲获胜的概率均为0.6,则甲最终获胜的概率为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各1个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取1个球.
(1)写出样本空间Ω;
(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.
16.(15分)(1)小明和小刚正在做掷骰子游戏,两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时,小刚得1分,否则小明得1分.这个游戏公平吗
(2)盒子里装有3个红球,1个白球,从中任取3个球,求3个球中既有红球又有白球的概率.
17.(15分)[2024·江苏溧阳高一期末] 在网球比赛中,甲、乙两名选手在决赛中相遇.根据以往赛事统计,甲、乙对局中,甲获胜的频率为,乙获胜的频率为.为便于研究,用此频率代替他们在决赛中每局获胜的概率,各局比赛互不影响.决赛采用五局三胜制,最终获胜者获得全部奖金.
(1)求前两局比赛乙均获胜的概率.
(2)已知前两局打成1∶1.
①求乙最终获得全部奖金的概率.
②若比赛此时因故终止,有人提出甲、乙按2∶1分配奖金,你认为分配合理吗 为什么
18.(17分)某新能源汽车销售部为了了解广大客户对新能源性能的需求,随机抽取200名用户进行了问卷调查,根据统计情况,将他们的年龄(单位:岁)按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分组,并绘制出了频率分布直方图如图所示.
(1)估计样本数据的中位数;
(2)销售部从年龄在[20,30),[50,60)内的用户中用分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机抽取2人进行电话回访,求这2人取自不同年龄区间的概率.
19.(17分)在校运动会上,有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、丙首先比赛,乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为,各场比赛结果相互独立.
(1)求丙连胜四场的概率.
(2)求需要进行第五场比赛的概率.
(3)甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大 请说明理由.