21.2 解一元二次方程 同步练习（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程 同步练习 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、选择题
1.下列方程无实数根的是( )
A. B. C. D.
2.有下列方程：；；；其中能用直接开平方法求解的是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
4.方程的两根是( )
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是( )
A. B. C. D.
7.用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是 ( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
8.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知方程的两根分别是和，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
10.已知菱形的边长为方程的一个根，有一条对角线为，则这个菱形的周长为( )
A. B. C. 或 D.
二、填空题
11.在一元二次方程中， ．
12.一元二次方程的根是 ．
13.方程的两根为，且，则 ．
14.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
15.已知方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
16.对于实数，，定义运算“”如下：若，则 ．
17.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
三、解答题
18.用合适的方法解一元二次方程．
；；．
19.已知，是一元二次方程的两个根，不解方程，求下列各式的值：
．
20.已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值；
若直角三角形的一边长为，另两边的长恰好是该方程的两根，求的值．
21.材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，；
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ______； ______．
类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
思维拓展：已知实数、满足，，且，求出的值．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
【解析】解：由原方程，得
，
，
则，
故选A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4.【答案】
【解析】解：
，，，
．
故选B．
本题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点灵活选择方法是关键用公式法解答，首先找出，，，计算，最后代入公式即可．
5.【答案】
【解析】解：一元二次方程有实数根，
，
．
故选：．
若一元二次方程有实数根，则．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，关键是根据题意列出不等式．
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可．
【解答】
解：，
，
，
把代入得：，
解得：，此时，符合题意，
故选：．
9.【答案】
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出边长是解决问题的关键．
解方程得出或，分两种情况：当时，，不能构成三角形；所以时，即可得出菱形的周长．
【解答】
解：如图所示：
四边形是菱形，
，
，
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
当时，，不能构成三角形；
所以，
菱形的周长．
故选：．
11.【答案】
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】且
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且，则可求得的取值范围．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得，且．
的取值范围是：且．
故答案为且．
15.【答案】
16.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【解答】
解：根据题意得，
，
，
或，
所以，．
故答案为或．
17.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
，
，
故答案为．
先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，再将其代入所求式子即可求解．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到是解题的关键．
18.【答案】解：，
，
，
，或，
，；
，
这里，，，
，
，
，；
，
，
，
，．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】【小题】
解：由题可知，，．
．
【小题】
．

20.【答案】【小题】
解：，，，，无论为何值，此方程总有一个根是定值；
【小题】
由知该方程的两根为，．
若斜边长为，则另两直角边的长分别为和，，，舍去；
若斜边长为，则另两直角边的长分别为和，，，舍去综上所述，的值为或．

21.【答案】；
；
或
【解析】、是一元二次方程的两个根，
，，
故答案为：；
由题意可知，，
．
实数、满足，，，
实数、是方程的两根，
，，
，
，即或
根据材料中一元二次方程根和系数的关系即可求解；
根据材料中一元二次方程根和系数的关系，得到，，再将分式通分化简求值即可；
由题意可知，实数、是方程的两根，进而得到，，再结合完全平方公式，得出，即可求解．
本题考查了一元二次方程根和系数的关系，分式的化简求值，完全平方公式等知识，理解材料中关于的一元二次方程的两个根为，，则是解题关键．