广东省深圳市红岭教育集团2025-2026学年九年级上学期开学考数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省深圳市红岭教育集团九年级上学期开学考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.下列分式是最简分式的是( )
A. B. C. D.
3.实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　）
A. B. C. 0 D. 1
4.如图，已知直线=ax+b与相交于点（2，），若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设
A. B. C. D.
6.小明同学在平行四边形中用尺规作图作等腰，下列作图不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ）
A. B. 6 C. 3 D.
8.如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ）
A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小
C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若分式的值为0，则x的值为 ．
10.如图所示，第四套人民币中1角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，其内角和为 ．
11.如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．若书架上已摆放30本语文书，则数学书最多还可以摆 本．
12.如图，将直角三角形沿方向向右平移得到直角三角形与交于点．若，，阴影部分的面积为，则平移的距离为 ．
13.如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接．若点F为的中点，则线段的长为 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
(1) 解不等式①，得 ；
(2) 解不等式②，得 ；
(3) 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4) 原不等式组的解集为 ．
15.(本小题8分)
小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式
…
小红：原式
…
(1) 小颖解法的依据是 ，小红解法的依据是 ．A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
(2) 请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值．
16.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点都在网格上，完成下列任务．
(1) 将向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，画出；
(2) 以点为旋转中心，将（1）中按顺时针方向旋转，得到，画出；
(3) 在（1）（2）的条件下，利用网格点和无刻度的直尺画出线段的中点P．
17.(本小题8分)
我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图．
(1) 根据图B完成因式分解： ：
(2) 现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ；
(3) 现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张；
(4) 若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由．
18.(本小题8分)
如图，已知矩形．
(1) 用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点、分别在、边上：（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）
(2) 若，求的长．
19.(本小题8分)
数学项目小姐为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息：
信息1 已知花30元购买弹簧A的数量是花30元购买弹簧B数量的一半，其中弹簧B的单价比弹簧的单价少3元．
信息2 弹簧并联时．拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的数据如下表： 弹簧长度/ cm10152025拉力5101520
信息3 在弹性限度内，弹簧伸长后最大长度均为．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 求弹簧和弹簧的单价．
(2) ①在图2中做出以弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点___________（填是或不是）在同一直线上．
②关于的函数表达式为___________，弹簧B在弹性限度内的最大拉力为___________N．
(3) 如何购买两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
20.(本小题8分)
【模型建构】
如图1，已知线段、所在直线交于点，其所交锐角为．
将图1中的线段其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点其中三个点为顶点（另一个顶点在平面内）的多个平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到．
(1) 【模型应用】
小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题：
如图4，在中，，点分别在延长线上，且．，求证：．
方法一：过点作，且，连接，，将证明．转化为证明；
方法二：过点作．且，连接．将证明，转化为证明．
请你依照小明的解题思路．任选一种方法，写出证明过程；
(2) 小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构建平行四边形的方法或者按照自己思路解答下面问题：
如图5．在中，，为上一点，为延长线上一点，且，．连接交于点，则的度数为 ：
(3) 【学以致用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图6．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图7，是等腰三角形，四边形是矩形，米，，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】1260°
11.【答案】47
12.【答案】
13.【答案】
/
14.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【小题4】

15.【答案】【小题1】


【小题2】
解：选择小颖的解法：
，
∵，
∴，
∴，则原式；
选择小红的解法，
，
，
；
∵当为，时，原式无意义，
∴当时，原式．

16.【答案】【小题1】
解：如图所示；

【小题2】
如图所示；

【小题3】
点P如图所示．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴P为线段的中点．

17.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】
1
3
4
【小题4】
解：由题意可知，，，
，
，
，
，即．

18.【答案】【小题1】
解：如图，菱形即为所求作．
证明：矩形，
，
，
垂直平分，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小题2】
解：在矩形中，，
，
，
四边形是菱形，
，，，，
设，则，
在中，，
，
解得，即，
，
．

19.【答案】【小题1】
解：设弹簧的单价为元，则弹簧的单价为元，
则，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：弹簧的单价为元，则弹簧的单价为元．
【小题2】
解：①描点并连线如图所示，
由图象可知，这些点分布在同一直线上．
②由①可知，与之间是一次函数关系，
设关于的函数表达式为，
则，解得，
关于的函数表达式为；
由题意可知，在弹性限度内，弹簧伸长后最大长度均为，
当时，，
则弹簧B在弹性限度内的最大拉力为．
【小题3】
解：设购买根弹簧，则购买根弹簧，
由题意得：，
解得，
当时，，
即弹簧A在弹性限度内的最大拉力为，
由（2）可知，弹簧B在弹性限度内的最大拉力为．
则
，
随的增大而增大，
，且为非负整数，
当时，有最大值为，
此时（根），
即购买根弹簧，购买根弹簧，并联后的弹簧拉力计拉力最大，最大拉力为．

20.【答案】【小题1】
解：方法一：如图4，过点作，且，连接、，
，，
，即，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
；
方法二：过点作．且，连接．
则四边形是平行四边形，
，，，
由方法一可知，，，
同理可证，，是等边三角形，
．
【小题2】

【小题3】
如图，以、为邻边作平行四边形，连接、，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
当时，最小，此时最小，
，米，
，
，
，
，
过点作于点，则，
在中，米， ，
米，米，
米，
在中，，
米，
钢丝绳长度的最小值为米．

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