1.1 第1课时 集合的概念 学案
课程标准：1.通过实例，了解集合的含义.2.理解元素与集合的属于关系．
教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定．
教学难点：理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题．
核心素养：1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养.2.借助集合中元素的特性的学习，培养逻辑推理素养和数学运算素养．
知识点一 元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
[想一想] 元素1，3，5与元素5，1，3组成的集合相等吗？
提示：由集合中元素的无序性可知，元素1，3，5与元素5，1，3组成的集合相等．
知识点二 元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
[提醒] 符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，且二者必居其一，注意开口方向．
知识点三 常用的数集及其记法
名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
1．(集合的概念)下列元素的全体不能构成集合的是( )
A．中国古代四大发明
B．周长为10 cm的三角形
C．方程x2－3x＋2＝0的实数解
D．地球上的小河流
答案：D
2．(元素与集合的关系)已知集合M由小于5的数构成，则有( )
A．3∈M B．－3 M
C．0 M D．7∈M
答案：A
3．(集合中元素的特性)由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
4．(集合概念的应用)已知集合A中，元素x满足2x＋a>0，a∈R.若1 A，2∈A，则实数a的取值范围为________．
答案：－4
题型一 对集合的理解
例1 中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的有哪些？并说明你的理由．
(1)2024～2025赛季，CBA的所有队伍；
(2)CBA中比较著名的球员；
(3)CBA中得分前五位的球员；
(4)CBA中比较高的球员．
[解] 能构成一个集合的有(1)(3)．
(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．
(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．
(3)“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合．
(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．
【感悟提升】一组对象能构成集合的两个条件
(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
(2)任何两个对象都是不同的．
【跟踪训练】
1．下列各组对象可以构成集合的是( )
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．平面直角坐标系中第一象限的一些点
D．所有小的正数
答案：B
解析：A中“难题”的标准不确定，所以不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，所以不能构成集合；D中“小”的标准不确定，所以不能构成集合．故选B.
题型二 元素与集合的关系
例2 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② Q；③0∈N＋；④|－5| N＋.
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①π是实数，所以π∈R正确；②是无理数，所以 Q正确；③0不是正整数，所以0∈N＋错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5| N＋错误．故选B.
[答案] B
(2)如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中x＝a＋b(a，b∈Q)，则下列元素中属于集合M的是________(填序号)．
①x＝0；②x＝；③x＝3－2π；④x＝；⑤x＝＋.
[解析] 当a＝b＝0时，x＝0，①属于集合M；当a＝0，b＝1时，x＝，②属于集合M；当a＝3，b＝－2π时，b Q，x＝3－2π M，③不属于集合M；当a＝3，b＝2时，x＝3＋2＝，④属于集合M；x＝＋＝2－＋2＋＝4，当a＝4，b＝0时，x＝4，⑤属于集合M.
[答案] ①②④⑤
【感悟提升】判断元素与集合关系的两种方法
(1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
【跟踪训练】
2．(1)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
答案：B
解析：由题意得，当a＝2时，2∈A，6－2＝4∈A；当a＝4时，4∈A，6－4＝2∈A；当a＝6时，6∈A，6－6＝0 A，所以a＝2或4.故选B.
(2)集合A中的元素x满足∈N，且x∈N，则集合A中的元素为________．
答案：0，1，2
解析：∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0，1，2.
题型三 集合中元素的特性及应用
例3 (1)已知集合A只含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a.
①若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
②若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上，实数a的值为0.
(2)已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素2x，2x2，且集合A与B相等，求x，y的值．
[解] 因为集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素2x，2x2，
所以x≠y，且2x≠2x2，所以x≠y，且x≠0，x≠1.
因为集合A与B相等，
所以或
由可得(舍去)．
由可得(舍去)或
综上所述，x＝，y＝1.
[条件探究] 本例(1)中，若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
解：由集合中元素的互异性可知a2≠1，
即a≠±1.
【感悟提升】利用集合中元素的特性求参数的步骤
注意：在利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的运用．
【跟踪训练】
3．(1)已知集合A中含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．
解：因为－3∈A，
所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，
所以a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，集合A不满足元素的互异性，所以a＝－1舍去；
当a＝－时，经检验，符合题意．
综上，a＝－.
(2)已知集合A中含有三个元素0，1，a2，集合B中含有三个元素1，0，2a＋3，若集合A与B相等，求a的值．
解：因为集合A与集合B相等，所以a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3.
当a＝－1时，a2＝1，2a＋3＝1，集合A，B均不满足元素的互异性，所以a≠－1.
当a＝3时，经检验，符合题意．
综上，a＝3.
随堂练习
1．下列各组对象不能构成一个集合的是( )
A．不超过20的非负实数
B．方程x2－4＝0在实数范围内的解
C．未来世界的高科技产品
D．某校体重超过130斤的同学的全体
答案：C
解析：A，B，D均有明确的标准，可以构成一个集合，C中“高科技产品”的标准不确定，不能构成一个集合．故选C.
2．下列说法中不正确的是( )
A．若a∈N，则 N
B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q
D．若a∈R，则∈R
答案：A
解析：A不正确，反例：a＝1∈N，＝1∈N.
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则集合M中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
答案：3
解析：由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3.经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性；当m＝3时，满足题意．综上，m＝3.
5．若集合A中有三个元素x，x＋1，1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A与B相等，则实数x的值为________．
答案：－1
解析：因为A与B相等，所以或解得x＝±1.经检验，x＝1不符合集合中元素的互异性，而x＝－1符合，所以x＝－1.1.1 第1课时 集合的概念 学案
课程标准：1.通过实例，了解集合的含义.2.理解元素与集合的属于关系．
教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定．
教学难点：理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题．
核心素养：1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养.2.借助集合中元素的特性的学习，培养逻辑推理素养和数学运算素养．
知识点一 元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把 统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些 组成的总体叫做集合，简称为 ，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：构成两个集合的元素是 的．
(4)集合中元素的特性： 、互异性和无序性．
[想一想] 元素1，3，5与元素5，1，3组成的集合相等吗？
知识点二 元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作a A；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作a A.
知识点三 常用的数集及其记法
名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
1．(集合的概念)下列元素的全体不能构成集合的是( )
A．中国古代四大发明
B．周长为10 cm的三角形
C．方程x2－3x＋2＝0的实数解
D．地球上的小河流
2．(元素与集合的关系)已知集合M由小于5的数构成，则有( )
A．3∈M B．－3 M
C．0 M D．7∈M
3．(集合中元素的特性)由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．(集合概念的应用)已知集合A中，元素x满足2x＋a>0，a∈R.若1 A，2∈A，则实数a的取值范围为________．
题型一 对集合的理解
例1 中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的有哪些？并说明你的理由．
(1)2024～2025赛季，CBA的所有队伍；
(2)CBA中比较著名的球员；
(3)CBA中得分前五位的球员；
(4)CBA中比较高的球员．
【跟踪训练】
1．下列各组对象可以构成集合的是( )
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．平面直角坐标系中第一象限的一些点
D．所有小的正数
题型二 元素与集合的关系
例2 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② Q；③0∈N＋；④|－5| N＋.
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中x＝a＋b(a，b∈Q)，则下列元素中属于集合M的是________(填序号)．
①x＝0；②x＝；③x＝3－2π；④x＝；⑤x＝＋.
【跟踪训练】
2．(1)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
题型三 集合中元素的特性及应用
例3 (1)已知集合A只含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
(2)已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素2x，2x2，且集合A与B相等，求x，y的值．
【感悟提升】利用集合中元素的特性求参数的步骤
注意：在利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的运用．
【跟踪训练】
3．(1)已知集合A中含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．
(2)已知集合A中含有三个元素0，1，a2，集合B中含有三个元素1，0，2a＋3，若集合A与B相等，求a的值．
随堂练习
1．下列各组对象不能构成一个集合的是( )
A．不超过20的非负实数
B．方程x2－4＝0在实数范围内的解
C．未来世界的高科技产品
D．某校体重超过130斤的同学的全体
2．下列说法中不正确的是( )
A．若a∈N，则 N
B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q
D．若a∈R，则∈R
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则集合M中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
5．若集合A中有三个元素x，x＋1，1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A与B相等，则实数x的值为________．