数学 必修 第一册 RJA
第2课时 集合的表示
课程标准：针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
教学重点：1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合．
教学难点：会在集合不同的表示法中作出选择和转换．
核心素养：通过学习集合的表示方法，提升数学抽象素养和逻辑推理素养．
知识点 集合的表示方法
对于常用数集之外的集合，我们除了用自然语言(用文字叙述的形式描述集合的方法)描述，还有以下方法：
方法 含义 优点 缺点
列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法 方便，快捷，集合中的元素一目了然，适用于表示元素个数较少的集合 不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如2x－3>0的解集
描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法 语言简洁、抽象，元素的规律与性质能清楚地表示出来，适用于表示无限集或元素个数较多的集合 不易看出集合中的具体元素
[提醒] (1)使用列举法表示集合时，对于元素之间的排列顺序不作要求．
(2)描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略，如果竖线左侧元素的所属范围为实数集时，可以省略x∈R.
1．(列举法)方程x2＝4的解集用列举法表示为( )
A．{(－2，2)} B．{－2，2}
C．(－2，2) D．{－2}
答案：B
2．(描述法)若B＝{x|x2＝x}，则2________B(填“∈”或“ ”)．
答案：
3．(集合表示法的应用)集合A＝{x∈Z|－1答案：4
题型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合B；
(3)方程组的解组成的集合C；
(4)15的正约数组成的集合D.
[解] (1)因为－2≤x≤2，x∈Z，
所以x＝－2，－1，0，1，2，
所以A＝{－2，－1，0，1，2}．
(2)因为2和3是方程(x－2)2(x－3)＝0的解，所以B＝{2，3}．
(3)解方程组得
所以C＝{(3，2)}．
(4)因为15的正约数有1，3，5，15，
所以D＝{1，3，5，15}．
【感悟提升】列举法表示的集合的种类
(1)元素个数有限且较少时，全部列举，如{1，2，3，4}．
(2)元素个数有限且有规律时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1000}．
(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0，1，2，3，…}．
注意：(1)花括号“{ }”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}，都是不正确的．
(2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．
(3)用列举法表示集合时，要分清该集合是数集还是点集．
【跟踪训练】
1．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于－1且小于5的整数组成的集合A；
(2)方程x2－16＝0的实数根组成的集合B；
(3)小于10的素数组成的集合C；
(4)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点组成的集合D.
解：(1)大于－1且小于5的整数包括0，1，2，3，4，所以A＝{0，1，2，3，4}．
(2)方程x2－16＝0的实数根为－4，4，
所以B＝{－4，4}．
(3)小于10的素数有2，3，5，7，
所以C＝{2，3，5，7}．
(4)由解得
所以一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点为(0，1)，
所以D＝{(0，1)}．
题型二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)图中阴影部分的点(含边界)组成的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
[解] (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3)图中阴影部分的点(含边界)组成的集合可表示为.
(4)因为3和4的最小公倍数是12，所以3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N＋}．
【感悟提升】使用描述法表示集合应注意的问题
(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等．
(2)说明该集合中元素的共同属性．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．
【跟踪训练】
2．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但本题要求为正偶数，故限定n∈N＋，
所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}．
(2)设被3除余2的数为x，
则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
题型三 集合表示方法的简单应用
例3 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，
解得x＝，符合题意．
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，
由题意，得Δ＝9－8a＝0，解得a＝.
所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．
(2)由题意，得当即a<，且a≠0时，方程有两个不相等的实根，则集合A中有两个元素，
又由(1)知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素，
所以实数a的取值范围是.
【感悟提升】根据已知的集合求参数
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)若集合中的元素是含参数的方程的根，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论．
(3)求出参数的值或取值范围后，注意检验是否满足集合中元素的互异性．
【跟踪训练】
3．(1)若－3∈{a－3，2a－1，a2－1}，则a的值为________．
答案：－1
解析：当a－3＝－3，即a＝0时，2a－1＝－1＝a2－1，不符合题意；当2a－1＝－3，即a＝－1时，a－3＝－4，a2－1＝0，符合题意；又a2－1≥－1，即a2－1≠－3，所以a的值为－1.
(2)设a∈N，b∈N，a＋b＝2，A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－a)2＝5b}，(3，2)∈A，求a，b的值．
解：由a＋b＝2，得b＝2－a，代入(x－a)2＋(y－a)2＝5b，得(x－a)2＋(y－a)2＝5(2－a)①，
又因为(3，2)∈A，将点代入①，可得(3－a)2＋(2－a)2＝5(2－a)，
整理，得2a2－5a＋3＝0，解得a＝1或1.5，
因为a是自然数，所以a＝1，所以b＝2－a＝1.
综上，a＝1，b＝1.
随堂练习
1．已知a∈{0，1，2，3}，且a {1，2，3}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：A
解析：因为a∈{0，1，2，3}，且a {1，2，3}，所以a的值为0.故选A.
2．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( )
A．{x∈Z|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3答案：D
解析：由题意可知，满足题设条件的只有D.
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2，1)} D．{(1，－2)}
答案：D
解析：由得所以两函数的图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．
4．如图，坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为__________．
答案：{(x，y)|－2≤x≤0，0≤y≤1}
解析：易知阴影部分的点构成的集合为{(x，y)|－2≤x≤0，0≤y≤1}．
5．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集：________．
答案：不是 (答案不唯一)
解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若集合B为可倒数集，a∈B，则∈B.若集合B中有三个元素，则必有一个元素a满足a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．
13数学 必修 第一册 RJA
第2课时 集合的表示
课程标准：针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
教学重点：1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合．
教学难点：会在集合不同的表示法中作出选择和转换．
核心素养：通过学习集合的表示方法，提升数学抽象素养和逻辑推理素养．
知识点 集合的表示方法
对于常用数集之外的集合，我们除了用自然语言(用文字叙述的形式描述集合的方法)描述，还有以下方法：
方法 含义 优点 缺点
列举法 把集合的所有元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法 方便，快捷，集合中的元素一目了然，适用于表示元素个数较少的集合 不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如2x－3>0的解集
描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有 的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法 语言简洁、抽象，元素的规律与性质能清楚地表示出来，适用于表示无限集或元素个数较多的集合 不易看出集合中的具体元素
1．(列举法)方程x2＝4的解集用列举法表示为( )
A．{(－2，2)} B．{－2，2}
C．(－2，2) D．{－2}
2．(描述法)若B＝{x|x2＝x}，则2________B(填“∈”或“ ”)．
3．(集合表示法的应用)集合A＝{x∈Z|－1题型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合B；
(3)方程组的解组成的集合C；
(4)15的正约数组成的集合D.
【跟踪训练】
1．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于－1且小于5的整数组成的集合A；
(2)方程x2－16＝0的实数根组成的集合B；
(3)小于10的素数组成的集合C；
(4)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点组成的集合D.
题型二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)图中阴影部分的点(含边界)组成的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
【跟踪训练】
2．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
题型三 集合表示方法的简单应用
例3 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．
【跟踪训练】
3．(1)若－3∈{a－3，2a－1，a2－1}，则a的值为________．
(2)设a∈N，b∈N，a＋b＝2，A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－a)2＝5b}，(3，2)∈A，求a，b的值．
随堂练习
1．已知a∈{0，1，2，3}，且a {1，2，3}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( )
A．{x∈Z|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－33．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2，1)} D．{(1，－2)}
4．如图，坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为__________．
5．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集：________．
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