数学 必修 第一册 RJA
1.4.1 充分条件与必要条件
课程标准:1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
教学重点:1.掌握充分条件、必要条件的概念.2.理解充分条件、必要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充分性、必要性.
教学难点:充分性与必要性的判断.
核心素养:1.通过充分性、必要性的判断,提升逻辑推理素养.2.借助充分条件、必要条件的应用,提升数学运算素养.
知识点一 命题的概念及结构
(1)一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.
(2)当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.
知识点二 充分条件与必要条件
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.
如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,记作pq.此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.
[点拨] (1)“p是q的充分条件”的理解:以p为条件可以推出结论q,但这并不意味着p只能推出结论q或结论q只能由p推出.
(2)“p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,不一定有q.
1.(必要条件的判断)已知p:a≠0,q:ab≠0,则p是q的________条件.(填“充分”或“必要”)
答案:必要
2.(充分条件的判断)“a>0,b>0”是“ab>0”的________条件.(填“充分”或“必要”)
答案:充分
3.(利用充分条件求参数的取值范围)若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是________.
答案:{a|a≤1}
题型一 充分条件的判断
例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?
(1)若a∈Q,则a∈R;
(2)若x>1,则x2>1;
(3)若A B,则A∩B=A;
(4)若(a-2)(a-3)=0,则a=3;
(5)在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC.
[解] (1)由于Q?R,所以p q,
所以p是q的充分条件.
(2)由x>1可以推出x2>1.
因此p q,所以p是q的充分条件.
(3)由A B可以推出A∩B=A.
因为p q,所以p是q的充分条件.
(4)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,
因此pq,所以p不是q的充分条件.
(5)由三角形中大角对大边可知,
若∠A>∠B,则BC>AC.
因此p q,所以p是q的充分条件.
【感悟提升】充分条件的三种判断方法
(1)定义法
第一步:确定谁是条件,谁是结论;
第二步:尝试由条件推结论;
第三步:若条件能推出结论,则条件为结论的充分条件,否则条件就不是结论的充分条件.
(2)命题判断方法
如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.
(3)集合转化法
设p,q对应的集合分别为A,B,若A B,则p是q的充分条件.
【跟踪训练】
1.给出下列三组命题:
(1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;
(2)p:一个四边形是矩形,q:这个四边形的对角线相等;
(3)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0.
试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件?
解:(1)因为相似的三角形不一定全等,
所以pq,
所以p不是q的充分条件.
(2)因为矩形的对角线相等,所以p q,
所以p是q的充分条件.
(3)因为由x+1=0可得(x+1)(x-2)=0,
即p q,
所以p是q的充分条件.
题型二 必要条件的判断
例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形;
(2)若x=1,则x-1=;
(3)若a是自然数,则a是正整数.
[解] (1)直角三角形不一定是等腰三角形,
因此pq,所以q不是p的必要条件.
(2)当x=1时,x-1==0,
所以p q,所以q是p的必要条件.
(3)因为0是自然数,但不是正整数,
所以pq,所以q不是p的必要条件.
【感悟提升】必要条件的三种判断方法
(1)定义法
第一步:确定谁是条件,谁是结论;
第二步:尝试由条件推结论;
第三步:若条件能推出结论,则结论为条件的必要条件,否则结论就不是条件的必要条件.
(2)命题判断方法
如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.
(3)集合转化法
设p,q对应的集合分别为A,B,若A B,则q是p的必要条件.
【跟踪训练】
2.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若-2≤x≤5,则-1≤x≤5;
(2)若△ABC为等边三角形,则△ABC是等腰三角形;
(3)若a-3b=0,则=3.
解:(1)当x=-2时,-2≤x≤5成立,但是-1≤x≤5不成立,所以pq,所以q不是p的必要条件.
(2)因为等边三角形一定是等腰三角形,
所以p q,所以q是p的必要条件.
(3)当a=b=0时,a-3b=0成立,
但是=3不成立,所以pq,
所以q不是p的必要条件.
题型三 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
例3 已知p:关于x的不等式[解] 记A=,B={x|0若p是q的充分条件,则A B.
注意到B={x|0①若A= ,则≥,解得m≤0,此时A B,符合题意;
②若A≠ ,则<,解得m>0,
要使A B,应有
综上,实数m的取值范围是{m|m≤3}.
【感悟提升】利用充分条件或必要条件求参数的取值范围的思路
(1)将p,q等价转化,并记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(2)根据充分条件或必要条件与集合间的关系,将问题转化为集合A,B之间的包含关系.
(3)建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【跟踪训练】
3.已知集合M={x|a-1解:因为q是p的必要条件,所以M N.
于是解得-2≤a≤7.
故a的取值范围为{a|-2≤a≤7}.
13数学 必修 第一册 RJA
1.4.1 充分条件与必要条件
课程标准:1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
教学重点:1.掌握充分条件、必要条件的概念.2.理解充分条件、必要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充分性、必要性.
教学难点:充分性与必要性的判断.
核心素养:1.通过充分性、必要性的判断,提升逻辑推理素养.2.借助充分条件、必要条件的应用,提升数学运算素养.
知识点一 命题的概念及结构
(1)一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 .判断为真的语句是 ,判断为假的语句是 .
(2)当命题表示为“若p,则q”时, 是命题的条件, 是命题的结论.
知识点二 充分条件与必要条件
一般地,“若p,则q”为 ,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作 ,并且说,p是q的 ,q是p的 .
如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,记作 .此时,我们就说p不是q的 ,q不是p的 .
[点拨] (1)“p是q的充分条件”的理解:以p为条件可以推出结论q,但这并不意味着p只能推出结论q或结论q只能由p推出.
(2)“p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,不一定有q.
1.(必要条件的判断)已知p:a≠0,q:ab≠0,则p是q的________条件.(填“充分”或“必要”)
2.(充分条件的判断)“a>0,b>0”是“ab>0”的________条件.(填“充分”或“必要”)
3.(利用充分条件求参数的取值范围)若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是________.
题型一 充分条件的判断
例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?
(1)若a∈Q,则a∈R;
(2)若x>1,则x2>1;
(3)若A B,则A∩B=A;
(4)若(a-2)(a-3)=0,则a=3;
(5)在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC.
【跟踪训练】
1.给出下列三组命题:
(1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;
(2)p:一个四边形是矩形,q:这个四边形的对角线相等;
(3)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0.
试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件?
题型二 必要条件的判断
例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形;
(2)若x=1,则x-1=;
(3)若a是自然数,则a是正整数.
【感悟提升】必要条件的三种判断方法
(1)定义法
第一步:确定谁是条件,谁是结论;
第二步:尝试由条件推结论;
第三步:若条件能推出结论,则结论为条件的必要条件,否则结论就不是条件的必要条件.
(2)命题判断方法
如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.
(3)集合转化法
设p,q对应的集合分别为A,B,若A B,则q是p的必要条件.
【跟踪训练】
2.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若-2≤x≤5,则-1≤x≤5;
(2)若△ABC为等边三角形,则△ABC是等腰三角形;
(3)若a-3b=0,则=3.
题型三 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
例3 已知p:关于x的不等式【感悟提升】利用充分条件或必要条件求参数的取值范围的思路
(1)将p,q等价转化,并记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(2)根据充分条件或必要条件与集合间的关系,将问题转化为集合A,B之间的包含关系.
(3)建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【跟踪训练】
3.已知集合M={x|a-113