数学 必修 第一册 RJA
1.4.1 充分条件与必要条件
课程标准：1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．
教学重点：1.掌握充分条件、必要条件的概念.2.理解充分条件、必要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充分性、必要性．
教学难点：充分性与必要性的判断．
核心素养：1.通过充分性、必要性的判断，提升逻辑推理素养.2.借助充分条件、必要条件的应用，提升数学运算素养．
知识点一 命题的概念及结构
(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
(2)当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论．
知识点二 充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
[点拨] (1)“p是q的充分条件”的理解：以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着p只能推出结论q或结论q只能由p推出．
(2)“p是q的必要条件”的理解：若有q，则必须有p；而具备了p，不一定有q.
1．(必要条件的判断)已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的________条件．(填“充分”或“必要”)
答案：必要
2．(充分条件的判断)“a>0，b>0”是“ab>0”的________条件．(填“充分”或“必要”)
答案：充分
3．(利用充分条件求参数的取值范围)若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
答案：{a|a≤1}
题型一 充分条件的判断
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a∈Q，则a∈R；
(2)若x>1，则x2>1；
(3)若A B，则A∩B＝A；
(4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；
(5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.
[解] (1)由于Q?R，所以p q，
所以p是q的充分条件．
(2)由x>1可以推出x2>1.
因此p q，所以p是q的充分条件．
(3)由A B可以推出A∩B＝A.
因为p q，所以p是q的充分条件．
(4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
(5)由三角形中大角对大边可知，
若∠A>∠B，则BC>AC.
因此p q，所以p是q的充分条件．
【感悟提升】充分条件的三种判断方法
(1)定义法
第一步：确定谁是条件，谁是结论；
第二步：尝试由条件推结论；
第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件．
(2)命题判断方法
如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．
(3)集合转化法
设p，q对应的集合分别为A，B，若A B，则p是q的充分条件．
【跟踪训练】
1．给出下列三组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：这个四边形的对角线相等；
(3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0.
试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？
解：(1)因为相似的三角形不一定全等，
所以pq，
所以p不是q的充分条件．
(2)因为矩形的对角线相等，所以p q，
所以p是q的充分条件．
(3)因为由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0，
即p q，
所以p是q的充分条件．
题型二 必要条件的判断
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；
(2)若x＝1，则x－1＝；
(3)若a是自然数，则a是正整数．
[解] (1)直角三角形不一定是等腰三角形，
因此pq，所以q不是p的必要条件．
(2)当x＝1时，x－1＝＝0，
所以p q，所以q是p的必要条件．
(3)因为0是自然数，但不是正整数，
所以pq，所以q不是p的必要条件．
【感悟提升】必要条件的三种判断方法
(1)定义法
第一步：确定谁是条件，谁是结论；
第二步：尝试由条件推结论；
第三步：若条件能推出结论，则结论为条件的必要条件，否则结论就不是条件的必要条件．
(2)命题判断方法
如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．
(3)集合转化法
设p，q对应的集合分别为A，B，若A B，则q是p的必要条件．
【跟踪训练】
2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若－2≤x≤5，则－1≤x≤5；
(2)若△ABC为等边三角形，则△ABC是等腰三角形；
(3)若a－3b＝0，则＝3.
解：(1)当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件．
(2)因为等边三角形一定是等腰三角形，
所以p q，所以q是p的必要条件．
(3)当a＝b＝0时，a－3b＝0成立，
但是＝3不成立，所以pq，
所以q不是p的必要条件．
题型三 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
例3 已知p：关于x的不等式
[解] 记A＝，B＝{x|0若p是q的充分条件，则A B.
注意到B＝{x|0①若A＝ ，则≥，解得m≤0，此时A B，符合题意；
②若A≠ ，则<，解得m>0，
要使A B，应有
综上，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
【感悟提升】利用充分条件或必要条件求参数的取值范围的思路
(1)将p，q等价转化，并记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(2)根据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为集合A，B之间的包含关系．
(3)建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【跟踪训练】
3．已知集合M＝{x|a－1解：因为q是p的必要条件，所以M N.
于是解得－2≤a≤7.
故a的取值范围为{a|－2≤a≤7}．
13数学 必修 第一册 RJA
1.4.1 充分条件与必要条件
课程标准：1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．
教学重点：1.掌握充分条件、必要条件的概念.2.理解充分条件、必要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充分性、必要性．
教学难点：充分性与必要性的判断．
核心素养：1.通过充分性、必要性的判断，提升逻辑推理素养.2.借助充分条件、必要条件的应用，提升数学运算素养．
知识点一 命题的概念及结构
(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做 ．判断为真的语句是 ，判断为假的语句是 ．
(2)当命题表示为“若p，则q”时， 是命题的条件， 是命题的结论．
知识点二 充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为 ，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作 ，并且说，p是q的 ，q是p的 ．
如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作 ．此时，我们就说p不是q的 ，q不是p的 ．
[点拨] (1)“p是q的充分条件”的理解：以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着p只能推出结论q或结论q只能由p推出．
(2)“p是q的必要条件”的理解：若有q，则必须有p；而具备了p，不一定有q.
1．(必要条件的判断)已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的________条件．(填“充分”或“必要”)
2．(充分条件的判断)“a>0，b>0”是“ab>0”的________条件．(填“充分”或“必要”)
3．(利用充分条件求参数的取值范围)若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
题型一 充分条件的判断
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a∈Q，则a∈R；
(2)若x>1，则x2>1；
(3)若A B，则A∩B＝A；
(4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；
(5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.
【跟踪训练】
1．给出下列三组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：这个四边形的对角线相等；
(3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0.
试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？
题型二 必要条件的判断
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；
(2)若x＝1，则x－1＝；
(3)若a是自然数，则a是正整数．
【感悟提升】必要条件的三种判断方法
(1)定义法
第一步：确定谁是条件，谁是结论；
第二步：尝试由条件推结论；
第三步：若条件能推出结论，则结论为条件的必要条件，否则结论就不是条件的必要条件．
(2)命题判断方法
如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．
(3)集合转化法
设p，q对应的集合分别为A，B，若A B，则q是p的必要条件．
【跟踪训练】
2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若－2≤x≤5，则－1≤x≤5；
(2)若△ABC为等边三角形，则△ABC是等腰三角形；
(3)若a－3b＝0，则＝3.
题型三 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
例3 已知p：关于x的不等式【感悟提升】利用充分条件或必要条件求参数的取值范围的思路
(1)将p，q等价转化，并记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(2)根据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为集合A，B之间的包含关系．
(3)建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【跟踪训练】
3．已知集合M＝{x|a－113