数学 必修 第一册 RJA
1.4.2 充要条件
课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
教学重点：1.掌握充要条件的概念.2.理解充要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充要性．
教学难点：充要条件的证明与探求．
核心素养：1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养.2.借助充要条件的应用，培养数学运算素养．
知识点 充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
(3)概括：如果p q，那么p与q互为充要条件．
[拓展]
1．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A B，则p是q的充分条件．
(2)若B A，则p是q的必要条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件．
(5)若B?A，则p是q的必要不充分条件．
(6)若A，B无包含关系，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．“ ”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充要条件．
1．(充要条件的判断)“三角形全等”是“三角形面积相等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
2．(探求充要条件)“x2＝1”的充要条件是________．
答案：x＝±1
3．(充要条件的传递性)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案：充要
题型一 充要条件的判断
例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：x≠0，q：x＋|x|>0；
(2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0；
(3)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点．
[解] (1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，
如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以pq，
所以p不是q的充要条件．
(2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，
则a≠0，所以pq，
所以p不是q的充要条件．
(3)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p q，
所以p是q的充要条件．
【感悟提升】判断充分条件、必要条件及充要条件的方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
【跟踪训练】
1．在下列各题中，试判断p是q的什么条件？
(1)p：M＝{2，4}，q：{2}?M {2，4，5}；
(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(3)a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
解：(1)因为{2}?M {2，4，5}，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5至少有一个，则集合M可能为{2，4}，{2，5}，{2，4，5}三种情况，所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为a＋5是无理数 a是无理数，并且a是无理数 a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．
(3)因为a2＋b2＝0 a＝b＝0，并且a＝b＝0 a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
题型二 充要条件的证明
例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.
①证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
∴a×12＋b×1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
②证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，
∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[条件探究] 将本例条件“有一个根是1”改为“有一个正根和一个负根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac<0”，怎样证明？
证明：①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.
②充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根．
综上所述，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
【感悟提升】充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．
提醒：证明时一定要注意分清充分性与必要性的证明方向．
【跟踪训练】
2．设a，b，c为△ABC的三边，求证：关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明：①充分性：
因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2，
所以x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0.
即(x＋a)2－c2＝0，(x＋a＋c)(x＋a－c)＝0，
所以x1＝－a－c，x2＝－a＋c.
同理，x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c)2－a2＝0，(x＋a＋c)(x＋c－a)＝0，
所以x3＝－a－c，x4＝a－c.
所以两个方程有公共根－a－c.
②必要性：
设两个方程有公共根α，
则α2＋2aα＋b2＝0，α2＋2cα－b2＝0，
两式相加，得α2＋(a＋c)α＝0，
所以α＝0或α＝－a－c.
若α＝0，代入任一方程，得b＝0，这与已知a，b，c为△ABC的三边相矛盾，
所以α＝－a－c，代入题中的任何一个方程，均可得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°.
综上所述，关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
题型三 探求充要条件
例3 求关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件．
[解] 设关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根为x1，x2.
依题意，得
不等式组等价于
即解得
所以m≥3.
即关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件是m≥3.
【感悟提升】探求充要条件的两种方法
(1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
(2)非等价法：先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从必要性和充分性两方面说明．
【跟踪训练】
3．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．
解：若方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根，设为x0，则
由②，得k＝－x－x0，
代入①，得x＝1，
解得x0＝1，因此k＝－2.
反过来，当k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝1.
x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0，
解得x3＝1，x4＝－2.
因此两个方程有公共实根1，
所以方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件是k＝－2.
13数学 必修 第一册 RJA
1.4.2 充要条件
课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
教学重点：1.掌握充要条件的概念.2.理解充要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充要性．
教学难点：充要条件的证明与探求．
核心素养：1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养.2.借助充要条件的应用，培养数学运算素养．
知识点 充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 ．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的 ，那么q也是p的 ．
(3)概括：如果 ，那么p与q互为 ．
[拓展]
1．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A B，则p是q的充分条件．
(2)若B A，则p是q的必要条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件．
(5)若B?A，则p是q的必要不充分条件．
(6)若A，B无包含关系，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．“ ”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充要条件．
1．(充要条件的判断)“三角形全等”是“三角形面积相等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(探求充要条件)“x2＝1”的充要条件是________．
3．(充要条件的传递性)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
题型一 充要条件的判断
例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：x≠0，q：x＋|x|>0；
(2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0；
(3)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点．
【感悟提升】判断充分条件、必要条件及充要条件的方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
【跟踪训练】
1．在下列各题中，试判断p是q的什么条件？
(1)p：M＝{2，4}，q：{2}?M {2，4，5}；
(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(3)a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
题型二 充要条件的证明
例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[条件探究] 将本例条件“有一个根是1”改为“有一个正根和一个负根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac<0”，怎样证明？
【感悟提升】充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．
提醒：证明时一定要注意分清充分性与必要性的证明方向．
【跟踪训练】
2．设a，b，c为△ABC的三边，求证：关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
题型三 探求充要条件
例3 求关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件．
【感悟提升】探求充要条件的两种方法
(1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
(2)非等价法：先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从必要性和充分性两方面说明．
【跟踪训练】
3．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．
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