数学 必修 第一册 RJA
1.5.1 全称量词与存在量词
课程标准：1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题，并能判断其真假．
教学重点：1.全称量词与存在量词的含义.2.含有量词的命题构成及全称量词命题和存在量词命题真假的判定．
教学难点：全称量词命题与存在量词命题真假的判定．
核心素养：通过用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相关内容，提升数学抽象素养和逻辑推理素养．
知识点一 全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)全称量词命题：含有 的命题，叫做全称量词命题．
(3)符号表示
①将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．
②全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 ．
[点拨] (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．
(2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来．
知识点二 存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词命题：含有 的命题，叫做存在量词命题．
(3)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 ．
[点拨] (1)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．
(2)存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来．
1．(存在量词命题的识别)下列命题中是存在量词命题的是( )
A． x∈R，x2－4x＋4≥0
B． x∈R，x2<0
C．平行四边形的对边不平行
D．矩形的任一组对边都不相等
2．(量词、存在量词的识别)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)．
3．(全称量词命题的识别)“梯形有两边平行”是________命题(填“全称量词”或“存在量词”)．
4．(全称量词命题的真假判断)“三角形两边之和大于第三边”是________命题(填“真”或“假”)．
题型一 全称量词命题与存在量词命题的识别
例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)凸多边形的外角和等于360°；
(3)有的一次函数的图象经过原点；
(4)有一个实数x，x不能取倒数．
【感悟提升】判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
【跟踪训练】
1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)圆内接四边形的对角互补；
(2)存在实数x，满足x2≥2；
(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；
(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)存在一个实数x，使得>1.
【感悟提升】全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧
(1)全称量词命题的真假判断
要判定一个全称量词命题 x∈M，p(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能找到集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)存在量词命题的真假判断
要判定一个存在量词命题 x∈M，p(x)是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
【跟踪训练】
2．判断下列命题的真假：
(1)任何实数都有平方根；
(2)存在有理数x，使x2－2＝0；
(3) x∈R，x2－x＋1>0；
(4) x∈Z，3x＋4＝5.
题型三 含有量词的命题的应用
例3 (1)已知命题“ －3≤x≤2，5a＋x－2＝0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2a－1≤x≤a＋1}，且B≠ .
①若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求a的取值范围；
②若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求a的取值范围．
【感悟提升】利用含量词的命题的真假求参数范围的方法
(1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，列不等式(组)求解即可．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解．
【跟踪训练】
3．(1)已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．
(2)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“ x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是________．
13数学 必修 第一册 RJA
1.5.1 全称量词与存在量词
课程标准：1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题，并能判断其真假．
教学重点：1.全称量词与存在量词的含义.2.含有量词的命题构成及全称量词命题和存在量词命题真假的判定．
教学难点：全称量词命题与存在量词命题真假的判定．
核心素养：通过用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相关内容，提升数学抽象素养和逻辑推理素养．
知识点一 全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
(3)符号表示
①将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．
②全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)．
[点拨] (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．
(2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来．
知识点二 存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
(3)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)．
[点拨] (1)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．
(2)存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来．
1．(存在量词命题的识别)下列命题中是存在量词命题的是( )
A． x∈R，x2－4x＋4≥0
B． x∈R，x2<0
C．平行四边形的对边不平行
D．矩形的任一组对边都不相等
答案：B
2．(量词、存在量词的识别)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)．
答案：有些 存在
3．(全称量词命题的识别)“梯形有两边平行”是________命题(填“全称量词”或“存在量词”)．
答案：全称量词
4．(全称量词命题的真假判断)“三角形两边之和大于第三边”是________命题(填“真”或“假”)．
答案：真
题型一 全称量词命题与存在量词命题的识别
例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)凸多边形的外角和等于360°；
(3)有的一次函数的图象经过原点；
(4)有一个实数x，x不能取倒数．
[解] (1)是全称量词命题，表示为 x∈N，x2≥0.
(2)是全称量词命题，表示为 凸多边形，其外角和等于360°.
(3)是存在量词命题，表示为 一次函数，其图象经过原点．
(4)是存在量词命题，表示为 x∈R，x不能取倒数．
【感悟提升】判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
【跟踪训练】
1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)圆内接四边形的对角互补；
(2)存在实数x，满足x2≥2；
(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；
(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
解：(1)是全称量词命题，表示为 圆内接四边形，其对角互补．
(2)是存在量词命题，表示为 x∈R，x2≥2.
(3)是存在量词命题，表示为 平行四边形，其对角线不互相垂直．
(4)是存在量词命题，表示为 a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)存在一个实数x，使得>1.
[解] (1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．
(1)在平面直角坐标系中，有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在一个实数0，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1(－3)2，所以该命题是假命题．
(4)易知≤1，所以该命题是假命题．
【感悟提升】全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧
(1)全称量词命题的真假判断
要判定一个全称量词命题 x∈M，p(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能找到集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)存在量词命题的真假判断
要判定一个存在量词命题 x∈M，p(x)是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
【跟踪训练】
2．判断下列命题的真假：
(1)任何实数都有平方根；
(2)存在有理数x，使x2－2＝0；
(3) x∈R，x2－x＋1>0；
(4) x∈Z，3x＋4＝5.
解：(1)因为负数没有平方根，所以该命题为假命题．
(2)因为方程x2－2＝0没有有理根，
所以该命题为假命题．
(3)因为x2－x＋1＝＋>0恒成立，
所以该命题为真命题．
(4)因为3x＋4＝5不存在整数解，所以该命题为假命题．
题型三 含有量词的命题的应用
例3 (1)已知命题“ －3≤x≤2，5a＋x－2＝0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] 由5a＋x－2＝0，得5a－2＝－x，∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3，∴－2≤5a－2≤3，即0≤a≤1.故实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}．
[答案] {a|0≤a≤1}
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2a－1≤x≤a＋1}，且B≠ .
①若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求a的取值范围；
②若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求a的取值范围．
[解] ①由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，所以B A，
又B≠ ，所以解得－1≤a≤2，
所以a的取值范围为{a|－1≤a≤2}．
②由于命题q为真命题，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以2a－1≤a＋1，即a≤2，
所以a＋1≤3，所以解得－4≤a≤2，
所以a的取值范围为{a|－4≤a≤2}．
【感悟提升】利用含量词的命题的真假求参数范围的方法
(1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，列不等式(组)求解即可．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解．
【跟踪训练】
3．(1)已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：由题意可得，当p为真命题时，方程x2＋3x＋a＝0有实根，所以Δ＝32－4a≥0，解得a≤，故实数a的取值范围是.
(2)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“ x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是________．
答案：{m|m>－1}
解析：当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}．
13
