数学 必修 第一册 RJA
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假．
教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断．
核心素养：1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的否定的应用，提升数学运算素养．
知识点一 全称量词命题的否定
全称量词命题p 綈p 结论
x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是 命题
知识点二 存在量词命题的否定
存在量词命题p 綈p 结论
x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是 命题
[拓展] 常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
[想一想] x∈M，p(x)与 x∈M，綈p(x)的真假性如何？
提示：相反．
1．(全称量词命题的否定)设命题p： x∈R，x2＋1>0，则綈p为( )
A． x∈R，x2＋1>0 B． x∈R，x2＋1≤0
C． x∈R，x2＋1<0 D． x∈R，x2＋1≤0
2．(存在量词命题否定的真假判断)命题“ x∈Q，x2＝7”的否定是________命题(填“真”或“假”)．
3．(由命题真假求参数的取值范围)命题p：ax2＋2x＋1＝0有实根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为________．
题型一 全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定．
(1)对所有正数x，>x＋1；
(2)所有被5整除的整数都是奇数；
(3)每一个平行四边形都是中心对称图形．
【感悟提升】全称量词命题否定的步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
注意：对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．
【跟踪训练】
1．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)等圆的面积相等；
(3)每个三角形至少有两个锐角．
题型二 存在量词命题的否定
例2 写出下列命题的否定．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)有些三角形的三个内角都是60°；
(3) x∈R，|x＋1|≤1.
【感悟提升】存在量词命题否定的步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．
(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等．
注意：对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．
【跟踪训练】
2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有的素数是偶数；
(2) x∈R，x2＋x＋≠0；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
题型三 含有量词命题的否定的应用
例3 (1)已知命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．
(2)若命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
【感悟提升】由命题真假求参数范围的两个关注点
(1)p与綈p的真假性为一真一假，解决问题时可以相互转化．
(2)求参数范围问题，通常根据相关全称量词或存在量词命题的意义列出不等式(组)求解．
【跟踪训练】
3．(1)已知命题“存在x≤a，使得|x|＝2”是假命题，求实数a的取值范围．
(2)已知命题p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围．
13数学 必修 第一册 RJA
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假．
教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断．
核心素养：1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的否定的应用，提升数学运算素养．
知识点一 全称量词命题的否定
全称量词命题p 綈p 结论
x∈M，p(x) x∈M， 綈p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
知识点二 存在量词命题的否定
存在量词命题p 綈p 结论
x∈M，p(x) x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
[拓展] 常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
[想一想] x∈M，p(x)与 x∈M，綈p(x)的真假性如何？
提示：相反．
1．(全称量词命题的否定)设命题p： x∈R，x2＋1>0，则綈p为( )
A． x∈R，x2＋1>0 B． x∈R，x2＋1≤0
C． x∈R，x2＋1<0 D． x∈R，x2＋1≤0
答案：B
2．(存在量词命题否定的真假判断)命题“ x∈Q，x2＝7”的否定是________命题(填“真”或“假”)．
答案：真
3．(由命题真假求参数的取值范围)命题p：ax2＋2x＋1＝0有实根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为________．
答案：{a|a≤1}
题型一 全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定．
(1)对所有正数x，>x＋1；
(2)所有被5整除的整数都是奇数；
(3)每一个平行四边形都是中心对称图形．
[解] (1)该命题的否定为：存在正数x，≤x＋1.
(2)该命题的否定为：存在一个被5整除的整数不是奇数．
(3)该命题的否定为：存在一个平行四边形，它不是中心对称图形．
【感悟提升】全称量词命题否定的步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
注意：对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．
【跟踪训练】
1．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)等圆的面积相等；
(3)每个三角形至少有两个锐角．
解：(1)该命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以该命题的否定是真命题．
(2)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知该命题的否定是假命题．
(3)该命题的否定是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知该命题的否定为假命题．
题型二 存在量词命题的否定
例2 写出下列命题的否定．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)有些三角形的三个内角都是60°；
(3) x∈R，|x＋1|≤1.
[解] (1)该命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．
(2)该命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．
(3)该命题的否定为“ x∈R，|x＋1|>1”．
【感悟提升】存在量词命题否定的步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．
(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等．
注意：对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．
【跟踪训练】
2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有的素数是偶数；
(2) x∈R，x2＋x＋≠0；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
解：(1)该命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，是假命题，如2是素数也是偶数．
(2)该命题的否定为“ x∈R，x2＋x＋＝0”，是假命题，因为当x＝1时，x2＋x＋＝≠0.
(3)该命题的否定为“ x∈R，x3＋1≠0”，是假命题，因为当x＝－1时，x3＋1＝0.
题型三 含有量词命题的否定的应用
例3 (1)已知命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．
[解] 因为綈p为假命题，所以命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，所以m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}．
(2)若命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
[解] 因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“对任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以实数a的取值范围为{a|a≥1}．
【感悟提升】由命题真假求参数范围的两个关注点
(1)p与綈p的真假性为一真一假，解决问题时可以相互转化．
(2)求参数范围问题，通常根据相关全称量词或存在量词命题的意义列出不等式(组)求解．
【跟踪训练】
3．(1)已知命题“存在x≤a，使得|x|＝2”是假命题，求实数a的取值范围．
解：因为命题“存在x≤a，使得|x|＝2”是假命题，所以此命题的否定“对任意x≤a，|x|≠2”是真命题，所以a<－2.
所以实数a的取值范围为{a|a<－2}．
(2)已知命题p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围．
解：因为綈p是假命题，所以p是真命题，
即 x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，
所以{x|－3≤x≤2} {x|a－4≤x≤a＋5}，
则解得－3≤a≤1，
即实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}．
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