2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章4.4 对数函数 同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数
一、单选题
1.下列函数是对数函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025陕西榆林八校联考）已知函数（且）的图象恒过点，则（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
3.（2025辽宁沈阳十中月考）函数的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2025天津三十二中月考）函数的单调递减区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.若函数与函数互为反函数，则的大致图象是（ ）
6.（2024江苏五市联考）已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.（2025陕西西安南开高级中学月考）已知函数，，，的部分图象如图所示，则（ ）
A. ①是的部分图象
B. ②是的部分图象
C. ③是的部分图象
D. ④是的部分图象
8.（2025江苏苏州质检）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递减，在上单调递增
B. 的最小值是
C. 没有最大值
D. 的解集为
9.（2025辽宁盘锦辽河油田第一高级中学月考）已知函数，，，则在区间上（ ）
A. 的递增速度越来越快
B. 的递减速度越来越慢
C. 的递减速度越来越慢
D. 的递减速度慢于的递减速度
三、填空题
10.若对数函数的图象过点，则________。
11.（2025河北唐山期末）已知函数，则的值域为________。
12.若函数的反函数的图象过点，则函数的图象必过点________。
四、解答题
13.（1）函数的图象是由函数的图象如何变化得到的？
（2）在平面直角坐标系中作出的图象；
（3）设函数与的图象的两个交点的横坐标分别为，，，请判断的符号。
14.（2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期末）已知函数是偶函数。
（1）求实数的值；
（2）若，求的取值集合。
15.（2025福建莆田第二中学月考）
（1）已知满足，满足，则等于多少？
（2）某养殖场随着技术的进步和规模的扩大，肉鸡产量在不断增加。现收集到2024年前10个月该养殖场上市的肉鸡数量（单位：万只）如下表，数量和月份之间可能存在以下四种函数关系：①；②；③；④。
月份m 1 2 3 4 5
数量W 1.0207 2.0000 2.5782 2.9974 3.3139
月份m 6 7 8 9 10
数量W 3.5789 3.8041 4.0000 4.1736 4.3294
①请从这四个函数模型中去掉一个与表格中数据不吻合的函数模型，并说明理由； ②从表格中选择2月份和8月份的数据，再从第①问剩下的三个模型中任选两个函数模型进行建模，求出其函数表达式，再分别求出这两个模型下4月份的肉鸡数量，并说明哪个函数模型更好（）。
一、单选题
1.答案：C
解析：对数函数定义为（，真数仅含自变量）：
A：真数为，含系数，非标准对数函数；
B：，是一次函数，非对数函数；
C：符合（），是对数函数；
D：含与的乘积，非对数函数。
2.答案：B
解析：对数函数恒过定点，令真数为1求定点：
令，解得（即）；
代入得（即）；
故。
3.答案：A
解析：对数函数定义域需满足“真数>0”：
由，解得，故定义域为。
4.答案：D
解析：复合函数单调性“同增异减”，分两步：
第一步：求定义域（真数>0）：，得或；
第二步：分析内外层函数：
外层函数（），底数，单调递减；
内层函数，开口向上，对称轴：
当时，单调递增，与外层“异减”，故复合函数单调递减；
当时，单调递减，与外层“同增”，故复合函数单调递增；
综上，单调递减区间为。
5.答案：A
解析：先求的反函数：
令，反解：，故；
图象特征：定义域，过定点，单调递增。
6.答案：A
解析：分别比较与0、1的大小：
：指数函数递增，；
、：对数函数（）递减，故（因），且（）；
综上，。
二、多选题
7.答案：ABCD
解析：根据指数函数与对数函数图象特征判断：
指数函数：，时递增（如），时递减（如）；
对数函数：，时递增（如），时递减（如）；
结合图象：①递减指数函数（），②递增指数函数（），③递减对数函数（），④递增对数函数（），均正确。
8.答案：BCD
解析：先分析函数的性质（偶函数，因）：
令（），则；
对：由均值不等式，（当且仅当时取等号），且在递减、递增；
结合（递增函数）：
A错误：在递减、递增，在递减、递增；
B正确：，最小值为；
C正确：无最大值，故无最大值；
D正确：，解集为。
9.答案：ABC
解析：分析各函数在的增减速度（导数反映变化率）：
A：，导数，随增大而增大，递增速度越来越快，正确；
B：，导数，绝对值随增大而减小，递减速度越来越慢，正确；
C：，导数，绝对值随增大而减小，递减速度越来越慢，正确；
D：比较速度：取，，，此时递减更快；取，，，仍递减更快，故D错误。
三、填空题
10.答案：
解析：设对数函数（），代入点：
，结合，得，故。
11.答案：
解析：分段求值域：
当时，：，即；
当时，：，即；
比较两段范围：，，故最小值为？ 修正：原函数当时，，而，故整体值域为（因）。
12.答案：
解析：反函数性质：若过，则过；
反函数过，故过。
四、解答题
13. 解：(1) 是由的图象向右平移1个单位得到（“左加右减”，自变量变为）。
(2)
(3) 判断的符号
解： 设（递减指数函数，过，），（图象如下），两函数交点横坐标为（假设）：
分析交点位置：
当时，，，；
当时，，，，故，即；
当时，，，；
当时，，，，结合时递增、趋近于0，故，即；
计算：一正一负，故（符号为负）。
14. 解：(1) 偶函数满足对任意成立：
计算，；
由：
化简左边：；
代入等式：
消去，整理得对任意成立，故。
(2) 先代入得，化简：
；
不等式化为：
因递增，故；
换元：设，方程化为，两边乘（，不等号方向不变）：
解方程，得或，故不等式解集为；
回代：；
故的取值集合为。
15. 解：(1) 利用函数对称性转化方程：
对：，即，是与的交点横坐标；
对：，即，是与的交点横坐标；
关键性质：与互为反函数，图象关于直线对称；
设与的交点为，则；
反函数交点关于对称，故（因对称点横坐标之和为）。
(2) ① 去掉不吻合的函数模型
解： 去掉模型④，理由：
模型④中，增大时，递减，故单调递减（若）或递增（若），但增长/递减速度逐渐减缓，最终趋近于；
表格中数据：随增大而递增，且增长速度（相邻差值）先减后稳（如1→2增0.9793，2→3增0.5782，3→4增0.4192，…，8→9增0.1736，9→10增0.1558），但模型④当时，而表格数据无趋近常数的趋势（如10月仍在递增），故不吻合。
② 选择2月份（）和8月份（）数据，任选两个模型（如①和②）：
模型①：
代入数据：
两式相除得，代入得；
故模型①：；
求4月份（）数量：（与表格中4月实际值2.9974偏差较大）。
模型②：
代入数据：
两式相除得，代入得；
故模型②：；
求4月份（）数量：（与表格中4月实际值2.9974偏差较小）。
模型优劣： 模型②计算的4月数量（≈2.8284）更接近实际值（2.9974），故模型②更好（若选其他模型，同理对比偏差）。