九年级数学上册人教版 第21章《一元二次方程》章节测试卷（含答案）

第21章《一元二次方程》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．若是方程的一个根，则k的值是（ ）
A．0 B．2 C． D．
5．分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．10或8 D．10或6
6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ）
A．3步 B．5步 C．6步 D．9步
7．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（ ）
A． B．6 C．4或 D．或6
8．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ）
3.1 3.2 3.3 3.4
0.5
A． B． C． D．
9．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解
C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根
10．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．3或4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程： ．
12．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ．
13．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ．
14．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ．
15．设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
16．如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) ； (2)．
18．解方程：
(1)， (2)．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当时，方程的两个根是，，求的值．
20．关于x的一元二次方程．
(1)判定此方程根的情况；
(2)等腰 ABC的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值．
21．体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套．
(1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？
22．材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，．
根据材料回答以下问题．
(1)二阶行列式__________；
(2)求解中的值；
(3)结合材料，若，，且，求的值．
23．已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两个实数根，满足，求的值．
24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值；
(3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值．
25．阅读材料，并解决问题．
【学习研究】
我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】
参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】
小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即x（ ）；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形;
第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ；
【拓展应用】
一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ．
参考答案
一、选择题
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知项的最高次数是的整式方程是一元二次方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断．
【详解】解：A选项：方程中只含有一个未知数，未知项的最高次数是，是整式方程，所以方程是一元二次方程，故A选项符合题意；
B选项：方程中含有二个未知数，未知项的最高次数是，所以方程不是一元二次方程，故选项B不符合题意；
C选项：方程中的未知数在分母的位置，是分式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意；
D选项：方程整理后得到：，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故D选项不符合题意．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解．
【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是；
故选：B．
3．B
【分析】本考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再利用完全平方公式进行配方，即可求解．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选B．
4．B
【分析】本题考查一元二次方程的根，把代入方程，进行求解即可.
【详解】解：把代入方程，得：，
解得：；
故选B
5．A
【分析】本题考查解一元二次方程，先解方程得到两根，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定各边长度，最后计算周长即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得 ，，
∵以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，
则：①若腰为2，底为4，则三边为2、2、4．
此时 ，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），舍去．
②若腰为4，底为2，则三边为4、4、2．
此时 ，，均满足三角形三边关系．
∴符合条件的三角形边长为4、4、2，周长为 ．
故选A
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
设矩形田地的长为步，则宽为步，根据面积公式列出一元二次方程，解方程后确定长和宽的具体数值，再求两者的差即可．
【详解】解：设长为步，则宽为步，
∴，
解得，，
当时，宽为步，满足长>宽，此时长比宽多（步）；
当时，宽为步，不符合长>宽的条件，舍去；
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程．根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程的两实数根为，
，，，
，
，即，
解得或，
，
，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果．
【详解】解：由表格可知：当时，，当时，，
∴当时，必然存在一个，使，
∴（，，，为常数）一个解的范围是；
故选D．
9．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况．
【详解】A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确．
B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误．
C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误．
D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误．
故选A．
10．C
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，根据勾股定理列方程是关键．
在中求出对角线的长度，过点作于点，用含的代数式表示出、的长度，然后在中利用勾股定理得出，根据的长度等于列方程求解．
【详解】解：在正方形中，，
．
由题意，得，，
，．
如图，过点作于点，
则由勾股定理可得，，
，
．
在中，
，
，
即，
解得，．
故在，两点移动的过程中，当的长度为时，
的值为2或4．
故选：C ．
二、填空题
11．（答案不唯一）
【分析】本题根据一元二次方程解的定义即可得到方程。
【详解】解：根据一元二次方程的解的定义，
则二次项系数为1的方程为，
即;
故答案为：（答案不唯一）.
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键．
根据方程无实数根，得，即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
13．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．
【详解】解：依题意可得，
解得，
故答案为：．
14．2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程，得，
所以，
所以．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
由一元二次方程根与系数的关系可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
【详解】解：由方程可知
，
故答案为：．
16．和
【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程．
设，则，根据等面积法计算即可．
【详解】解：设，
∵矩形的面积为，
∴，
∴，，
∵
∴
整理得：，
解得：，，
故答案为：和．
解答题
17．（1）解：
，
二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是；
（2）解：，
，或
二次项系数是 ，一次项系数是4，常数项是0或二次项系数是1 ，一次项系数是，常数项是0．
18．（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
19．（1）证明：∵，
∴
；
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）由题意，当时，，
∴．
20．（1）证明：．
方程有两个实数根；
（2）解：由，且，
得
∴，，
即、的长为，，
当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得；
当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件．
综上所述，．
21．（1）解：设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为．
根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为．
（2）解：设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元．
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）
答：该款跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元．
22．（1）解：由题意得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．
23．（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
∴
24．（1）解：，
，
，
∵，
不符合邻根方程的定义，
∴不是邻根方程；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程是邻根方程，
∴，
∴，
故或；
（3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，
∴，
由根与系数的关系：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
答：t的最大值为4．
25．解：[理解应用] ∵，
∴，
结合题意，将看作一个长为，宽为，面积为的矩形，
∴很容易观察出构图是③，
故答案为：③；
[类比迁移] ，
第一步：将原方程变为，即；
第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为；
故答案为：，，；
[拓展应用] ，
，
，
∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
，，
解得：，，
当时，，
∴，，方程的一个正根为1；
当时，，
∴，，方程的一个正根为3；
综上所述，方程的一个正根为1或3，
故答案为：，3，1或3．