九年级数学上册人教版 第二十三章《旋转》单元检测卷（含答案）

第二十三章《旋转》单元检测卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列右边的四个图形中，不能由图形M在同一平面内经过旋转得到的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（　　）
A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C． D．AE＝AB+CD
5．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（　　）
①点A与点A′关于点O对称；
②BO＝B′O；
③AC∥A′C′；
④∠ABC＝∠C′A′B′．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
6．如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（　　）
A．30° B．90° C．60° D．150°
8．已知点P的坐标为（x，y）且，则点P关于原点的对称点P′的坐标是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣1，） C．（1，） D．（1，）
9．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转180°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（　　）
A．不变 B．先增大再减小
C．先减小再增大 D．不断增大
10．如图，在△AOB中，OA＝OB＝8，点C的坐标为（0，2），点P是OB上一动点，连接CP，将CP绕C点逆时针旋转90°得到线段CD，使点D恰好落在AB上，则点D的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（6，2） C．（2，5） D．（2，6）
11．如图，有两个全等的矩形ABCD和矩形A′B′C′D′重合摆放，将矩形A′B′C′D′绕点C逆时针旋转，延长A′D′交AD于点E，线段A′E的中点为点F，AB的长为2，BC的长为4，当CF取最小时，AF的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（0，4），点P（2，3）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置， ，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（　　）
A．（80，2） B．（80，3） C．（82，3） D．（82，2）
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如果点A（a+1，2）与点B（2﹣2a，b）关于原点对称，那么a+b＝　 　 ．
14．如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是　 ．
15．如图，已知，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是 　 　 ．
16．如图，点G是菱形ABCD的对称中心，连接BD，点E是AD边上一点，且，连接EG并延长交BC于点F，连接CG．S1，S2分别表示四边形ABGE和△GFC的面积，若S2＝6，则S1＝　 　 ．
17．如图，AC为正方形ABCD的对角线，点H为AC的中点，点E为AC上的动点（不与端点重合），连接BE，将线段BE绕点B沿逆时针方向旋转90°得到线段BF，连接HF，若四边形BCHF的面积为4，则正方形ABCD的边长为　 　 ．
18．如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣3，3），C（﹣4，﹣1）．（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2并写出点B2的坐标．
20．（8分）如图，O为平行四边形ABCD的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O作直线EF∥AB，分别交AD，BC于E，F，连接AF，CE．
（1）证明：四边形AFCE是菱形．
（2）若四边形AFCE是正方形且BC＝6，求AB的长．
21．（8分）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，
（1）求证：AB＝BH；
（2）连接BG交CH于O，已知AB＝5，BC＝13，求BG的长．
22．（8分）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心．
（2）若AC＝6，AB＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
（3）连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
23．（10分）（1）阅读理解：
如图1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，连接BE（或将△ACD绕着点D旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 　 　 ，并写出过程；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
24．（10分）（1）操作发现：
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．现将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，如图所示则∠AB′B＝　 　 ；
（2）解决问题：
如图2，在等边△ABC内有一点P，且，如果将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′，求∠BPC的度数和PP′的长．
25．（10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接BP，DQ，延长BP交直线DQ于点E．
（1）如图1，试猜想线段BP和DQ有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若△BCP是等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，3）、（4，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B．
（1）点B的坐标为 　 　 ；
（2）求用含k的代数式表示b；
（3）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值．
（4）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．C
【解答】解：①由M顺时针旋转90°得到，故①正确；
②由M逆时针旋转90°得到，故②正确
③由M无法旋转得到，故③错误；
④由M顺时针旋转360°得到，故④正确．
故选：C．
2．B
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3．C
【解答】解：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项不合题意；
B．正方形的旋转角度是90°，故此选项不合题意；
C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项符合题意；
D．正八边形的最小旋转角是45°，故此选项不合题意；
故选：C．
4．D
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
故A选项正确，不符合题意；
由旋转可得，CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，AB＝DE，
∴∠ADC＝∠DAC．
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝∠DAC＝45°，
故B选项正确，不符合题意；
∵∠ADC＝∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴ADAC，
故C选项正确，不符合题意；
AE＝AD+DECD+AB，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
5．A
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴由中心对称的性质可得，OB＝OB′，OC＝OC′，点A与点A′关于点O对称，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，AC∥A′C′，
∴①②③正确，④错误，
综上所述，只有选项A正确，符合题意，
故选：A．
6．B
【解答】解：如图所示：标有数字的3个位置都是中心对称图形．
故选：B．
7．C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
即旋转角度为60°．
故选：C．
8．D
【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（﹣1，），
∴点P关于原点的对称点P′的坐标是（1，）．
故选：D．
9．A
【解答】解：由条件可知∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，
即∠BOM＝∠CON，
∵在△BOM和△CON中，
，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是：，
即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于，重叠部分四边形OMCN的面积不变，
故选：A．
10．D
【解答】解：过点D作y轴的垂线，垂足为M，
由旋转可知，
CD＝CP，∠DCP＝90°，
∴∠DCM+∠PCO＝90°，
又∵∠PCO+∠CPO＝90°，
∴∠DCM＝∠CPO．
在△DCM和△CPO中，
，
∴△DCM≌△CPO（AAS），
∴DM＝CO．
∵点C的坐标为（0，2），
∴DM＝OC＝2．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝45°，
∴∠BAO＝∠ADM＝45°，
∴AM＝DM＝2，
∴MO＝8﹣2＝6，
∴点D的坐标为（2，6）．
故选：D．
11．B
【解答】解：如下图，连接CF，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′均为矩形且全等，且AB＝2，BC＝4，
∴AB＝CD＝C′D′＝2，BC＝AD＝A′D′＝4，∠ABC＝∠ADC＝∠A′D′C＝90°，
∴矩形A′B′C′D′绕点C逆时针旋转，
则当CF⊥A′E，即点F与点D′重合时，CF取最小值，如下图，连接CE，
此时CF＝CD′＝2，
∵点F为线段A′E的中点，
∴EF＝A′F＝A′D′＝AD，
∵∠A′D′C＝90°，
∴∠CD′E＝180°﹣∠A′D′C＝90°，
又∵CD′＝CD，
∴Rt△CDE≌Rt△CD′E（HL），
∴DE＝D′E＝EF＝AD，即点A与点E重合，
∴AF＝EF＝AD＝4．
故选：B．
12．C
【解答】解：将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，如图，分别连接PC和P′C，过点P和P′分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
∴PM＝P′M，∠PCP′＝90°，
∴∠PCM+∠P′CN＝∠PCM+∠P＝90°，
∴∠P′CN＝∠P．
在△PCM和△CP′N中，
，
∴△PCM≌△CP′N（AAS），
∴P′N＝MC，CN＝PM，
又∵点A的坐标为（0，4），点P坐标为（2，3），
∴P′N＝MC＝2，CN＝PM＝3，
∴点P′的坐标为（7，2）．
同理可得：
第2次旋转后，点P的坐标为（10，1），
第3次旋转后，点P的坐标为（13，2），
第4次旋转后，点P的坐标为（18，3），
点5次旋转后，点P的坐标为（23，2），
……，
每旋转四次，点P的横坐标增加16，纵坐标按2，1，2，3循环出现，
∴点P4n的坐标为（16n+2，3），
∴P20（82，3），
∴连续旋转20次后，点P的坐标为（82，3）．
故选：C．
二、填空题
13．1．
【解答】解：由题意得：
，
解得．
∴a+b＝3﹣2＝1，
故答案为：1．
14．4
【解答】解：依题意有△DOC的面积等于△AOB的面积是6，CD＝AB＝3．
根据三角形的面积公式，则CD边上的高是6×2÷3＝4．
故答案为：4．
15．3
【解答】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC＝AC＝1，DE＝AB，
∴AD＝2，
∴在Rt△EDA中，DE3，
∴AB＝3．
故答案为：3．
16．16．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥AD于点M，
过点B作BN⊥AD于点N，
∵点G是菱形ABCD的对称中心，
∴DG＝BG，S△DEG＝S△BFG，S△ABD＝2S△BCG，
∴BN＝2GM，
∵S△DEGDE×GM，
S△ABDAD×BN，
，
∴，
设S△DEG＝a，
则S△ABD＝5a，S△BCG，S△GFB＝a，
∴S△GFCa，
∵S△GFC＝6，
∴6，
解得a＝4，
∴S△ABD＝5×4＝20，
∴四边形ABGE的面积S1＝S△ABD﹣S△DEG＝20﹣4＝16．
故答案为：16．
17．．
【解答】解：连接BH、AF，如图，
由题意可得：AH＝BH＝CH，∠BCH＝∠BAH＝45°，BH⊥AC，AB＝BC，BE＝BF∠CBE＝∠ABF＝90°﹣∠ABE，
∴△CBE≌△ABF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCH＝45°，
∴∠CAF＝90°，即随着点E的运动，点F始终在过点A且与AC垂直的直线上运动，
∴AF∥BH，
∴S四边形BCHF＝S△BCH+S△BHF
，
则AH＝CH＝BH＝2，
∴．
故答案为：．
18．①③④．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
∵∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；
∴S△BOD＝S△COE，
∴S四边形ODBE＝S△OBCS△ABC36＝3，所以③正确；
作OH⊥DE，如图，
则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，OHOE，HEOHOE，
∴DEOE，
∴S△ODE OE OEOE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6OE，
当OE⊥BC 时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE，
∴△BDE周长的最小值＝69，所以④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题
19．解：（1）∵A（﹣1，0），B（﹣3，3），C（﹣4，﹣1），
∴点A，B，C关于原点对称的点分别为A1（1，0），B1（3，﹣3），C1（4，1），
作出△A1B1C1如图所示：
（2）作出△A2B2C2如图所示：
∴B2（﹣3，﹣3）．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠FOC＝∠BAC＝90°，
∴AC⊥EF，
∴ AFCE是菱形；
（2）解：∵四边形AFCE是正方形，
∴∠AFC＝90°，AF＝CF，∠CAF＝∠ACF＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝6，
∴AB3．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠BCH，
∵∠D＝90°，BH⊥AC，
∴∠D＝∠BHC，
由旋转得，CE＝CB，
在△EDC和△CHB中，
，
∴△EDC≌△CHB（AAS），
∴BH＝CD＝AB．
（2）∵在△HBO和△CGO中，，
∴△HBO≌△CGO（AAS），
∴OH＝OC，OB＝OG，
在Rt△BCH中，BH＝5，BC＝13，
由勾股定理得：CH12，
∴OH6，
在Rt△OHB中，由勾股定理得：
OB，
∴BG＝2OB＝2．
22．解：（1）如图，点O即为所求．
（2）由题意，△ABC≌△DEF，
∵△DEF的周长＝△ABC的周长＝6+5+4＝15．
（3）结论：四边形ACDF是平行四边形．
理由：由题意，OA＝OD，OC＝OF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
23．（1）解：如图1所示：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴8﹣6＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，
∴1＜AD＜7；
故答案为：1＜AD＜7；
（2）证明：如图2所示：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
24．解：（1）∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，
∴AB′＝AB，∠BAB′＝90°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B＝45°；
故答案为：45°；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP，∠PBP′＝60°，△BPC≌△BP′A，
∴△BPP′为等边三角形，
∴∠BP′P＝60°，PP′＝BP，
在△APP′中，∵AP′＝1，PP′，AP＝2，
∴AP′2+PP′2＝AP2，
∴△APP′为直角三角形，∠AP′P＝90°，
∴∠BP′A＝∠AP′P+∠BP′P＝90°+60°＝150°，
∵△BPC≌△BP′A，
∴∠BPC＝∠BP′A＝150°．
答：∠BPC的度数为150°，PP′的长为．
25．解：（1）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由如下：如图1，设直线BP与CD交于点F，
∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
∴BP＝DQ，∠CBE＝∠CDQ，
又∵∠BFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠BCF＝90°，
∴BE⊥DQ；
（2）△DEP为等腰直角三角形，理由如下：
如图2，∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PCD＝30°，
又∵CP＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CDQ＝60°＝∠BPC，
∴∠EPD＝45°，∠EDP＝45°，
∴△DEP为等腰直角三角形．
26．解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴AB可由OC平移得到，
∵A（﹣2，3）、C（4，1）、O（0，0），
∴B（4﹣2，1+3），
即B（2，4），
故答案为：（2，4）；
（2）把B（2，4）代入y＝kx+b，得2k+b＝4，
∴b＝4﹣2k；
（3）∵一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B，
∴当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，则图象必过点O（0，0），
∴，
解得k＝2；
（4）当直线y＝kx+b经过A点时，得，
解得k，
当直线y＝kx+b经过C点时，得，
解得k，
根据一次函数的性质知，当k或k时，一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点，
∴一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围是：k或k．