秘密★启用前
6.在矩形ABCD中，已知AB=2,点E为线段AD的中点，且BE⊥AC,则CA·CE
2025一2026学年高三9月质量检测考试
A.2
B.4
数学
C.8
D.16
注意事项：
7.不透明袋子里装有大小、材质完全相同的3个白球、8个黑球，现从中每次随机不放回地抽
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数X的数学期望E(X)=
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
A号
R专
c
本试卷上无效。
8.微扰级数是物理学中用于处理非线性系统的重要方法，对于小扰动参数入（入∈[101”，1）)，
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可得系统的能量E=∑EA,若E。=E1=…=En=2,n∈N,n为常数，则
i=0
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
A.当E取最小值时，nλ"+1一1=(n十1)入1
合题目要求的。
B.当E取最大值时，以+1十1=(n十1)入”
1.已知命题p:x∈Z,x2∈N,则7p:
C.E无最小值
A.3x∈Z,x2tN
B.3x∈Z,x2∈N
D.E无最大值
C.3xZ,x2在N
D.Hx∈Z,x2tN
2.样本数据3,6,5,11,4,8的第60百分位数为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
A.3
B.4
C.6
D.9
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
3.设复数z1=a十2i,z2=1十3ai,其中a∈R,若z1-之2在复平面内对应的点位于第四象限，
9.若正数a,b,c,d满足a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则下列说法正确的是
则a的取值范围为
A.c2=bd
A(后
B层+
B.若b=2a,则d=4.5a
c(+
C.若a,b均为整数，则c一定为整数
D.(1,+∞)
D.若a,b均为整数，则d一定为整数
4记P2,0为双商线E后
=1(a>0)的右焦点，则E的渐近线方程为
10.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=(2x十1)lnx,则下列说法正
A.y=士2x
B.y=士√3x
确的是
C.y=士x
D.y=±√5x
A.当x<0时，f(x)=(2x-1)ln2(-x)
5.已知第二象限角e满足3sin(受-a十1=0，则tan2a=
B.f(0)+f(1)=1
C.当x>0时，f(x)单调递增
C22
3
D.x轴是曲线y=f(x)的一条切线
数学试题第1页（共4页）
数学试题第2页（共4页）2025一2026学年高三9月质量检测考试
数学
参考答案
1.A【解析】对于命题p:Hx∈Z,x2∈N,由全称量
2
1
.8
词命题的否定为存在量词命题，故p:3x∈Z,
8=990,所以E(X)=1×品+2×
24
x2N.
+3x锅+4×-台
64
故选A.
故选B.
2.C【解析】将样本数据按照从小到大的顺序排列
为3,4,5,6,8,11，由于6×0.6=3.6，故第60百分
8.D【解析】E=22x=2X4t1-1
A-1,令Ea)
位数为6.
故选C.
2x2放Ea)=2x8"+H-6a+1
0
(A-1)8
3.D【解析】易得z1一z2=a一1十(2-3a)i,其在复
设函数f(入)=以+1+1一(n+1)λ"，则f'(入)=
平面内对应的点为(a一1,2一3a),由题意可得
n(n+1)x-1(a-1)≤0，故f(x)在[10”，1)上
1a-1>0,解得a>1.
单调递减，注意到f(1)=n+1一n一1=0，故
2-3a<0,
故选D.
fa)>f(1)=0,故E'a)=2Xfa）
G-1)>0,即
4.B【解析】易知a2十3=22，解得a=1,故E:x2
E(入)在[101”，1)上单调递增，故当入=101”时，E
苦=1，其渐近线方程为y=士3x.
取得最小值，且其无最大值，易知A不为E取得最
小值的情形.
故选B.
故选D.
5.D【解析】由诱导公式可得c0s。=一子，放咖。
9.ABC【解析】易得c=bd,故A正确；若b=2a,
2w2
,即tana=-2V2,故tan2a=
2tan a
则c=3a,则d-积·3a=4.5a,故B正确：者a,6
1-tan'a
为整数，则b一a为整数，故c=b十(b一a)为整数，
4√2
7·
故C正确；取a=3,b=4,c=5,则d=名，故d不
故选D.
为整数，故D错误.
6.C
【解析】易知驼-C定-C-C心-2C,
故选ABC.
10.AD【解析】因为f(x)是定义域为R的奇函数，
CA=CD+CB,故由BE⊥AC可知BE·CA=0,
所以当x<0时，f(x)=-f(-x)=一[2（一x)+
即(C⑦-2·(Ci+C)=0,显然C⑦.C-
1]1n2(-x)=(2x-1)ln2(-x),故A正确；因为
f(x)是定义域为R的奇函数，故f(0)=0,注意
0,故CD-c,于是BC=2w2,Ci.Ci-
到f(1)=0,故f(0)十f(1)=0,故B错误；当
(c+CD)·(2ci+c市)=2c+c市-8.
x>0时，f(x)=2nx(nx+2+是，令
故选C.
7.B【解析】易得选取次数X的可能取值有1,2,3，
g)=nx+2+日所以g()士-
4,P(X=)=品P(X=2)=品×8=品
8
子，当0PX=8》=音×品×g-總P(X=0=品×
当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以当
x>0时，g(x)≥g(1)=3,即g(x)>0,所以当
·数学答案（第1页，共5页）·2025一2026学年高三9月质量检测考试
数学
评分细则
1232
π
为等边三角形，则VC=√2！
(11分)
取VC的中点E,由于VA=AC=2,VB=BC=
13.4
2,故VC⊥AE,VC⊥BE.故∠AEB为二面角
14.(-1,0)U(0,+∞)
A-VC-B的平面角，
(12分)
15.解：(1)易得P(X<2)=P(X>2)=0.5,(3分)
又P(2≤X≤6)=0.4，则P(X>6)=0.1.
由于VC=√2，故AE=EB=
2-()=
(6分)
(2)由对称性可知P(X<-2)=0.1,
(8分)
W14
2
(13分)
P(-2≤X≤2)=0.5-0.1=0.4，
(10分)
故P(X≥-21X≤2)=P(2≤X≤2)-0.4
故coS∠AEB=AE+EB-AB--1
2AE·EB
7
P(X≤2)-0.5
(14分)
0.8.
(13分)
16.解：(1)证明：如图，取AB的中点O,连接VO,
CO.因为AC⊥BC,AC=BC=2,故CO⊥AB,且
即二面角A-℃-B的正弦值为，一（一》-
CO=√2，AB=2√2.
(2分)
43
7.
(15分)
又VA=VB=2,AB=2√2，则VO⊥AB,VO=
方法二建系法：如图，以O为原点，O心为x轴
√2.
(4分)
的正方向，AB为y轴的正方向，过O作平面
由于VC-2,则VO2+C02-VC,即VO⊥C0.
ABC的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐
(5分)
标系O-xyx,
由于VO⊥AB,AB,COC平面ABC,AB∩CO=
O,故VO⊥平面ABC.
(6分)
又VOC平面VAB,故平面VAB⊥平面ABC.
(7分)
则A(0,-√2,0)，B(0,√2,0)，C(√2,0,0)，D
Coo)v(受o)
(2)由于CO⊥AB,VO⊥AB,且VO,COC平面
设平面VAC的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面
VOC,VO∩CO=O,故AB⊥平面VOC.(8分)
VBC的法向量为n2=(x2,y2,2).由于VC=
又ABC平面ABC,故平面VOC⊥平面ABC.
(9分)
(竖0.-》ad=,0.成=，
设点V在平面ABC上的投影为D.由于平面
-√2,0).
(11分)
VOC⊥平面ABC,且OC为两平面的交线，故D
在线段OC上，则VC与平面ABC所成的角为
n1·AC=0,
故
取x1=√3，则n1=(3,-√3，
∠VC0=60°.
(10分)
n1·V=0,
方法一儿几何法：由于VO-CO=√2，故△VOC
1);
(12分)
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