1.1 集合的概念 导学案（含答案）高一数学人教A版必修第一册

1．1　集合的概念
1. 通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
2. 针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
活动一 探究集合的概念
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为“许多的人或物聚在一起”．
在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆)等．下面先从集合的含义开始．
看下面的例子：
(1) 1～10之间的所有偶数；
(2) 立德中学今年入学的全体高一学生；
(3) 所有的正方形；
(4) 到直线l的距离等于定长d的所有点；
(5) 方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；
(6) 地球上的四大洋．
例(1)中，我们把1～10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样的，例(2)中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合．
思考1
上面的例(3)到例(6)也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？
思考2
通过以上讨论，你能给出元素与集合的概念吗？
思考3
对于给定的集合，它的元素确定吗？
思考4
对于一个给定的集合，它的元素可以相同吗？
思考5
如何判断两个集合相等？
1. 集合与元素的表示：
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
2. 集合中元素的三个特性：(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．
3. 元素与集合的关系：
(1) “属于”：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2) “不属于”：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
4. 几个常用数集及其记法：
非负整数集(或自然数集)记作N；正整数集记作N*或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R.
活动二 探究集合中元素的特征
例1　请判断下列各组对象能否构成集合，并说明理由．
(1) 不超过5的自然数；
(2) 很小的实数；
(3) 高一(1)班里个子高的学生；
(4) 接近于0的所有数．
在“①著名的数学家；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是(　　)
A. ②　　B. ③ C. ②③ D. ①②③
例2　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
1. 集合元素特性中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合的问题．
2. 求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验．
已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若a∈A，则实数a的值是________．
判断一组对象能否组成集合的方法及其关注点：
(1) 方法
判断一组对象能否组成集合，关键是看这些元素是否满足确定性、互异性、无序性，如果满足上述条件，那么就可以确定这些元素可以组成集合，否则不能组成集合．
(2) 关注点
利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性、无序性．
活动三　探究集合与元素的关系与表达　
1. 列举法：将集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法．
例3　请用列举法表示下列集合：
(1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3) 方程组的解集．
请用列举法表示下列集合：
(1) 立方后仍等于原数的数组成的集合；
(2) 由1～20以内的所有质数组成的集合．
思考6
(1) 你能用自然语言描述集合{0，3，6，9}吗？
(2) 你能用列举法表示不等式x－7＜3的解集吗？
2. 描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
例4　请用描述法表示下列集合：
(1) 大于等于3的实数构成的集合；
(2) 所有正偶数构成的集合；
(3) 不等式3x＋5>2的解集；
(4) 平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合．
例5　试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1) 方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；
(2) 由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
选择适当的方法表示下列集合：
(1) 二次函数y＝－x2＋2x＋4的函数值组成的集合；
(2) 二次函数y＝－x2＋2x＋4图象上的点组成的集合．
思考7
举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点．
1. (2025长春期末)已知3∈{1，a，a＋2}，则实数a的值是(　　)
A. 3 B. 1 C. 3或1 D. 0
2. 设集合A＝{2，4}，集合B＝{1，2}，集合M＝，则M中所有元素之积为(　　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 16
3. (多选)(2024常州溧阳中学调研)下列各组中，M，P表示不同集合的是(　　)
A. M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B. M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C. M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D. M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
4. (2025北海期末)用列举法表示由倒数大于的整数构成的集合为________．
5. 已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}，求集合A满足下列条件时，实数a的所有可能取值组成的集合．
(1) 集合A中有且仅有一个元素；
(2) 集合A中有两个元素．
1．1　集合的概念
【活动方案】
思考1：例(3)到例(6)都能组成集合．
例(3)中的元素为“每一个正方形”；
例(4)中的元素为“到直线l的距离等于定长d的每一个点”；
例(5)中的元素为“方程x2－3x＋2＝0的每一个实数根”；
例(6)中的元素为“地球上四大洋中的每一个洋”．
思考2：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
思考3：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了．例如，“1～10之间的所有偶数”构成一个集合，2，4，6，8，10是这个集合的元素，1，3，5，7，9，…不是它的元素；“较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的．
思考4：一个给定的集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
思考5：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
例1 (1) 能，因为集合中的元素为0，1，2，3，4，5.
(2) 不能，元素不确定．
(3) 不能，元素不确定．
(4) 不能，元素不确定．
跟踪训练　C　著名的数学家的标准不确定，因而不能构成集合；正三角形标准明确，能构成集合；方程x2－2＝0的实数解也是确定的，能构成集合，故选C.
例2 －1　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝－1 或a＝1.①当a＝1时，集合A的元素是1和1，不符合集合元素的互异性，故a≠1；②当a＝－1时，集合A含有两个元素1和－1，符合集合元素的互异性，故a＝－1.
跟踪训练　1　若a∈A，则a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，0＝－3，不成立；当a＝2a－1时，a＝1，此时集合A含有两个元素－2，1，符合题意．综上可知，a＝1.
例3 　(1) {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}　(2) {0，1}
(3) {(3，2)}
跟踪训练　(1) {0，－1，1}　(2) {2，3，5，7，11，13，17，19}
思考6：(1) 能，大于等于0且小于等于9的3的倍数．
(2) 不能，不等式x－7<3的解是x<10，元素有无数个，列举不完．
例4 　(1) {x∈R|x≥3}　(2) {x∈N*|x＝2k，k∈N*}
(3) {x∈R|x>－1}　(4) {(x，y)|x＞0，y＞0}
例5 　(1) 描述法表示为A＝{x∈R| x2－2＝0}．
列举法表示为A＝{，－}．
(2) 描述法表示为B＝{x∈Z| 10＜x＜20}．
列举法表示为B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．
跟踪训练　(1) 二次函数y＝－x2＋2x＋4的函数值有无数个，用描述法表示为{y|y＝－x2＋2x＋4}．
(2) 二次函数y＝－x2＋2x＋4图象上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝－x2＋2x＋4}．
思考7：用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x－1>0的解集；
描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素．
【检测反馈】
1. A　由题意，得a＝3或a＋2＝3，即a＝3或a＝1. 当a＝3时，集合为{1，3，5}，符合题意；当a＝1时，集合为{1，1，3}，不符合题意，所以a＝3.
2. B　因为A＝{2，4}，B＝{1，2}，所以当x＝2，y＝1时，z＝2；当x＝2，y＝2时，z＝1；当x＝4，y＝1时，z＝4；当x＝4，y＝2时，z＝2，所以M＝{1，2，4}，所以M中所有元素之积为8.
3. ABD　对于A，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；对于B，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；对于C，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝{x|x≥1}，故M＝P；对于D，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P.故选ABD.
4. {1，2，3}　由>，得05. (1) 集合A中有且仅有一个元素，即方程ax2－3x＋1＝0，a∈R只有一个解，
①当a＝0时，方程为－3x＋1＝0，解得x＝，符合要求；
②当a≠0时，方程为一元二次方程，则Δ＝9－4a＝0，解得a＝，
所以实数a的所有可能取值组成的集合为.
(2) 集合中有两个元素，即方程ax2－3x＋1＝0，a∈R为一元二次方程，a≠0，且方程有两个解，
所以Δ＝9－4a>0，解得a<，所以实数a的所有可能取值组成的集合为.