1.3 集合的基本运算 导学案（含答案）高一数学人教A版必修第一册

1．3　集合的基本运算
1. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．
2. 在具体情境中，了解全集的含义，理解补集的含义，能求给定(全集的)子集的补集．
3. 能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
活动一 并集
两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算．如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题．
思考1
观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
(1) A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2，3，4，5，6}；
(2) A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
思考2
在思考1中，集合C称为集合A与B的并集，那么如何定义两个集合的并集？
思考3
如何用Venn图表示集合A∪B
例1　设A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，求 A∪B.
设A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，6，7，8}，求A∪B.
例2　设A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤1}，求A∪B.
设A＝{x|－1思考4
下列关系式成立吗？
(1) A∪A＝A；(2)A∪ ＝A.
思考5
集合的并集有什么性质？
思考6
A∪B＝A可能成立吗？A∪B＝ 呢？
两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题．
活动二　交集　
思考7
观察下面的集合，集合A，B与集合C之间有什么关系？
(1) A＝{2，4，6，8，10}，B＝{3，5，8，12}，C＝{8}；
(2) A＝{x|x是立德中学今年在校的女同学}，B＝{x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}，C＝{x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学}．
思考8
在思考7中，我们称集合C为集合A与B的交集，那么如何定义两个集合的交集？
思考9
如何用Venn图来表示集合A∩B
例3　立德中学开运动会，设A＝{x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x| x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.
例4　设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系．
思考10
下列关系式成立吗？
(1) A∩A＝A；(2)A∩ ＝ .
思考11
对于任意两个集合A，B，它们的交集有怎样的性质？
思考12
A∩B＝A可能成立吗？A∩B＝ 可能成立吗？
例5　(1) 已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1(2) 已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{－1，0，2}，则A∩B＝________．
求两个集合的交集就是找出这两个集合的公共元素：
(1) 对于用描述法表示的实数组成的数集一般利用数轴分析求解；
(2) 对于用列举法表示的实数组成的数集一般利用定义或Venn图求解．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
设集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B＝________．
例6　学校举办了排球赛，高一(1)班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，班上有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，高一(1)班共有多少名同学没有参加过比赛？
在求有关集合运算的问题过程中要充分利用数轴、Venn图，无论求解交集问题，还是求解并集问题，关键还是寻求元素．
学校举办运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？
求集合A∩B的步骤：
(1) 首先要弄清集合A，B代表的元素是什么．
(2) 将所求交集用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式．
(3) 将化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可．
活动三　补集　
思考13
实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？
思考14
我们把思考13中的实数集R可看作一个全集，你能给出全集的含义吗？
思考15
我们把思考13中的集合{x∈R|x≤1}称为集合A＝{x∈R|x＞1}相对于全集U＝R的补集，那么如何定义集合A的补集？
思考16
如何用Venn图来表示集合 UA
例7　(1) 设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 UA， UB；　
(2) 设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B， U(A∪B).
研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，全集常用U来表示．
设全集U＝{1，3，5，6，8}，A＝{1，6}，B＝{5，6，8}，则( UA)∩B等于(　　)
A. {6}　　 B. {5，8}
C. {6，8}　　 D. {3，5，6，8}
思考17
根据补集的定义，补集有怎样的性质？
1. 全集与补集的互相依存关系
(1) 全集并非包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2) 补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3) UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U；其次是定义 UA＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系．
2. 补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
活动四 新定义型问题
例8　设M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M，且x P}，根据这一规定，M－(M－P)等于(　　)
A. M　　　　　　　B. P　　　　　　　C. M∪P　　　　　　　D. M∩P
题目给出了两个集合的一种运算“M－P”，其运算法则是：M－P是由所有属于M且不属于P的元素组成的集合，弄清法则便可以进行运算，特别是借助Venn图，使问题简捷明了．
设A，B是两个非空集合，规定A*B＝{x|x∈A∪B，且x A∩B}．若A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，求A*B.
1. 已知全集U＝{－1，1，3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且 UA＝{－1}，则实数a的值是(　　)
A. －1　 B. 1　 C. 3　 D. ±1
2. (2025榆林期末)如图，已知U表示全集，A，B是U的两个非空子集，则阴影部分可表示为(　　)
A. ( UA)∩B B. U(A∩B)
C. A∪( UB) D. ( U(A∩B))∩(A∪B)
3. (多选)(2024河南三模)对于R的两个非空子集A，B，定义运算A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则下列结论中正确的是(　　)
A. A×B＝B×A　 B. A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)
C. 若A C，则(A×B) (C×B)　 D. A×A表示一个正方形区域
4. (2025三亚期中)已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤5}，A∩( UB)＝{1，3，5}，则B＝________．
5. (2024深圳期末)已知集合A＝{x|－3≤x≤2}，集合B＝{x|1－m≤x≤3m－1}．
(1) 当m＝3时，求( RA)∩B；
(2) 若A B，求实数m的取值范围．
1．3　集合的基本运算
【活动方案】
思考1：类比实数的加法运算，集合有类似的并集运算．
(1)(2)中集合C都是由所有属于集合A和所有属于集合B的元素组成的，即集合A的所有元素和集合B的所有元素共同组成了集合C.
思考2：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
思考3：A∪B可用下图所示的阴影部分来表示：
例1 A∪B＝{－1，0，1}∪{0，1，2，3}＝{－1，0，1，2，3}．
跟踪训练　A∪B＝{3，4，5，6，7，8}．
例2 A∪B＝R.
跟踪训练　A∪B＝{x|－1思考4：两个关系式成立．
思考5：A∪B＝B∪A, A A∪B，B A∪B.
思考6：当B A时，A∪B＝A成立；只有当A＝B＝ 时，A∪B＝ .
思考7：(1)(2)中集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的．
思考8：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
思考9：A∩B可用下图中的阴影部分来表示．
例3 A∩B就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合，所以A∩B＝{x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}．
例4 平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合．
①直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2＝{点P}；
②直线l1，l2平行可表示为L1∩L2＝ ；
③直线l1，l2重合可表示为L1∩L2＝L1＝L2.
思考10：两个关系式成立．
思考11：A∩B＝B∩A, A∩B A，A∩B B.
思考12：当A B时，A∩B＝A成立；当A与B没有公共元素时，A∩B＝ ，如A＝{1}，B＝{2}，则A∩B＝ .
例5 (1) {x|1所以A∩B＝{x|1(2) {－1，2}　方法一：A∩B＝{－1，1，2，4}∩{－1，0，2}＝{－1，2}．
方法二：如图所示，所以A∩B＝{－1，2}．
跟踪训练　 　由于集合A表示的是数集，集合B表示的是点集，故没有公共元素，则A∩B＝ .
例6 设U＝{x|x为高一(1)班的同学}，A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为排球赛和田径赛都参加的同学}．
画出Venn图(如下图)，可知没有参加过比赛的同学有45－(12＋20－6)＝19(名)，
故这个班共有19名同学没有参加过比赛．
跟踪训练　如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.
由题意得解得x＝5，
即两项都参加的有5人．
思考13：剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．
思考14：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
思考15：对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．
思考16：用Venn图表示集合 UA如下图中的阴影部分．
例7 (1) 根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以 UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}．
(2) 根据三角形的分类可知A∩B＝ ，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
跟踪训练　B　依据补集和交集的定义，用Venn图表示或观察U，A，B中的元素，可得 UA＝{3，5，8}，则( UA)∩B＝{5，8}．
思考17： UA U， UU＝ ， U ＝U，A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ ， U( UA)＝A.
例8 D　当M∩P≠ 时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝ 时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x M}＝ ＝M∩P，故选D.
跟踪训练　因为A∪B＝{0，1，2，3，4}，A∩B＝{1，2}，所以A*B＝{0，3，4}．
【检测反馈】
1. A　由题意，得A＝{1，3}．因为a2＋2>1，所以a2＋2＝3且a＋2＝1，解得a＝－1.
2. D　在阴影部分区域内任取一个元素x，则x A∩B，且x∈A∪B，所以阴影部分可表示为( U(A∩B))∩(A∪B).
3. BC　由题意知，A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}表示以数集A中的数为横坐标，数集B中的数为纵坐标的点的集合，所以A×B≠B×A，故A错误；因为A×(B∩C)＝{(x，y)|x∈A，y∈(B∩C)}，(A×B)∩(A×C)＝{(x，y)|x∈A，y∈B}∩ {(x，y)|x∈A，y∈C}，所以A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)，故B正确；若A C，则(A×B) (C×B)，故C正确；若A＝{1}，则集合A×A只包含一个点，故D错误．故选BC.
4. {0，2，4}　由题意，得U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5}．因为A∩( UB)＝{1，3，5}，所以1∈A，3∈A，5∈A，1 B，3 B，5 B，所以B＝{0，2，4}．
5. (1) 由题意，得B＝{x|－2≤x≤8}， RA＝{x|x<－3或x>2}，
所以( RA)∩B＝{x|2(2) 因为A B，所以解得m≥4.
故实数m的取值范围为{m|m≥4}．