1.4 充分条件与必要条件 导学案（2课时,含答案）高一数学人教A版必修第一册

1．4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件(1)
1. 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．
2. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．
3. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
活动一 理解充分条件、必要条件的概念
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件， q称为命题的结论．下面我们将进一步考察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件．
思考1
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
(2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
(3) 若x2－4x＋3＝0，则x＝1；
(4) 若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b.
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 由p可以推出q，记为：p q 由p不能推出q，记为：pD /q
条件关系 p是q的充分条件 p不是q的充分条件
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
思考2
在思考1中，哪些命题中的p是q的充分条件？
思考3
在思考1中，哪些命题中的q是p的必要条件？
1. p q的含义
(1) “若p，则q”形式的命题为真命题．
(2) 由条件p可以得到结论q.
(3) p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q.
(4) 只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的．
(5) 为得到结论q，具备条件p就可以推出．
显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p q，只是说法不同而已．
2. 对充分条件概念的理解
“若p，则q”为假命题时，p推不出q，q不是p的必要条件，p也不是q的充分条件．
3. 对充分条件的理解
(1) 所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．
(2) 充分条件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分条件．
必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是 x>9的必要条件．
例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1) 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
(3) 若四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4) 若x2＝1，则x＝1；
(5) 若a＝b，则ac＝bc；
(6) 若x，y为无理数，则xy为无理数．
思考4
例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？
下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？
(1) p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2) p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；
(3) p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4) p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．
例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1) 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
(2) 若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
(3) 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
(4) 若x＝1，则x2＝1；
(5) 若ac＝bc，则a＝b；
(6) 若xy为无理数，则x，y为无理数．
思考5
例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等” .这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，那么你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？
下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？
(1) p：|x|＝1，q：x＝1；
(2) p：两个直角三角形全等，q：两个直角三角形的斜边相等；
(3) p：同位角相等，q：两条直线平行；
(4) p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．
活动二　理解充要条件的概念　
思考6
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3) 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；
(4) 若A∪B＝ ，则A与B均是空集．
充分条件与必要条件：
如果“p q”，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件．
思考7
什么情形下称p是q的充分必要条件？即称p是q的充要条件．
例3　下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
(2) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
(3) p：xy＞0，q：x＞0，y＞0；
(4) p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0).
思考8
通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
思考9
什么情形下称p是q的充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件？
如果p是q的充要条件，就记作p q，称为“p与q等价”或“p等价于q”．
“ ”和“ ”都具有传递性，即如果p q，q s，那么p s；如果p q，q s，那么p s.
活动三　掌握充分条件、必要条件的判断　
例4　指出下列命题中，p是q的什么条件：
(1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等；
(2) p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形；
(3) p：a2＝b2，q：a＝b；
(4) p：x＞y，q：x2＞y2.
性质定理是指某类对象具有的具体特征．例如，性质定理“平行四边形的对角线互相平分”表明：“平行四边形”具有“对角线互相平分”的特征，当然还有其他的特征，如“对角相等”“对边相等”“对边平行”等．
性质定理具有“必要性”， “对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件．下图中条件1，2，3，4……都是“四边形是平行四边形”的必要条件．
判定定理是指对象只要具有某具体特征，就一定有该对象的所有特征．例如，判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”表明，只要四边形具有“对角线互相平分”这个特征，就一定具有“平行四边形”所有特征1，2，3，4……
判定定理具有“充分性”，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充分条件．下图中条件1，2，3，4……都是“四边形是平行四边形”的充分条件．
我们发现，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件，即“四边形对角线互相平分”与“四边形是平行四边形”等价，这与平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形”也等价．因此“对角线互相平分的四边形”也可以作为“平行四边形”的定义．同样的，下列三个命题：
(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(3) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
其中的任何一个命题都可以作为平行四边形的定义．
指出下列命题中，p是q的什么条件．(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选出一种)
(1) p：x2＝1，q：x＝1；
(2) p：a≠0，q：|a|＞0；
(3) p：x＝2，q：x－1＝；
(4) p：三角形的三边互不相等，q：三角形是锐角三角形．
1. (2025株洲期末)已知x∈R，则“x＝1”是“(x＋1)(x－1)＝0”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 下列命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A. p：ab≠0，q：a≠0　 B. p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C. p：x2>1，q：x>1　 D. p：a>b，q：>
3. (多选)(2025郑州期末)下列说法中，正确的是(　　)
A. 若a>b>0，则ac2>bc2　 B. 若aC. “a>2”是“<”的充要条件　 D. “a>|b|”是“a2>b2”的充分不必要条件
4. (2025上海宝山月考)已知命题甲：命题乙：则甲是乙的________条件. (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
5. (2024临沂期末)(1) 是否存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件？
(2) 是否存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件？
1．4.2　充分条件与必要条件(2)
1. 进一步理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．
2. 掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断与证明方法．
3. 提高辩证思维的能力，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性和准确性．
活动一　巩固充分条件、必要条件与充要条件的概念　
思考1
如何从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件？
例1　(1) “x＝3”是“x－3＝”的________条件；
(2) “x＜2”是“x＜0”的________条件；
(3) “0≤x≤6”是“－2≤x≤4”的________条件；
(4) “两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的________条件．
活动二 用集合观点理解充分条件、必要条件、充要条件
思考2
在活动一的例1中，对于(1)而言，若设A＝{x|x＝3}，B＝{x|x－3＝}，此时集合A与B之间有怎样的关系？
对于(2)而言，若设A＝{x|x＜2}，B＝{x|x<0}，此时集合A与B之间有怎样的关系？
对于(3)而言，若设A＝{x|0≤x≤6}，B＝{x|－2≤x≤4}，此时集合A与B之间有怎样的关系？
思考3
你能从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件吗？
一般而言，若设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则“p q” “A B”；“q p” “B A”；“p q” “A＝B”．
例2　用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空．
(1) “|x|＝3”是“x2＝9”的________________；
(2) “x＝－1”是“x2＝1”的_______________．
活动三 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
例3　(1) 已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求实数m的值；
(2) 已知M＝{x|a－1若“x＜－2或x≥8”是“x＜m”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
活动四 充要条件的证明
例4　求证：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”．
1. “1A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. (2025上海徐汇期末)“<1”是“x>1”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. (多选)(2025惠州月考)－<5x－3<12成立的一个必要条件是(　　)
A. －C. －34. 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
5. 已知P＝{x|1≤x≤2}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1) 是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2) 是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．4　充分条件与必要条件
1．4.1　充分条件与必要条件(1)
【活动方案】
思考1：(1)(4)是真命题，(2)(3)是假命题．
思考2：(1) 这是一条菱形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
(2) 由于边长分别为3，4，5的直角三角形与边长为4的等边三角形，周长相等，但不全等，p q，所以p不是q的充分条件．
(3) 由于x＝3也满足x2－4x＋3＝0，p q，所以p不是q的充分条件．
(4) 这是一条平面内两直线平行的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
思考3：(1)(4)中q是p的必要条件，(2)(3)中q不是p的必要条件．
例1 (1) 这是一条平行四边形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
(2) 这是一条相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
(3) 这是一条菱形的性质定理，p q，所以p是q的充分条件．
(4) 由于(－1)2＝1，但－1≠1，p q，所以p不是q的充分条件．
(5) 由等式的性质知，p q，所以p是q的充分条件．
(6) 因为是无理数，但×＝2为有理数，p q，所以p不是q的充分条件．
思考4：不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等．
跟踪训练　(1) 因为p q，所以p是q的充分条件．
(2) 因为p q，所以p不是q的充分条件．
(3) 因为p q，所以p是q的充分条件．
(4) 因为p q，所以p是q的充分条件．
例2 (1) 这是平行四边形的一条性质定理，p q，所以q是p的必要条件．
(2) 这是三角形相似的一条性质定理，p q，所以q是p的必要条件．
(3) 因为对角线互相垂直的四边形可以不是菱形，p q，所以q不是p的必要条件．
(4) p q，所以q是p的必要条件．
(5) 因为－1×0＝1×0，但－1≠1，p q，所以q不是p的必要条件．
(6) 因为1×＝是无理数，但1，不全为无理数，p q，所以q不是p的必要条件．
思考5：不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等．
跟踪训练　(1) 因为q p，所以p是q的必要条件．
(2) 因为q p，所以p不是q的必要条件．
(3) 因为q p，所以p是q的必要条件．
(4) 因为q p，所以p是q的必要条件．
思考6：命题(1)(4)和其逆命题都是真命题．
命题(2)是真命题，它的逆命题是假命题．
命题(3)是假命题，它的逆命题是真命题．
思考7：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为p是q的充要条件．
例3 (1) 因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以q p，所以p不是q的充要条件．
(2) 因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，所以p是q的充要条件．
(3) 因为xy＞0时， x＞0，y＞0 不一定成立，所以 p q，所以p不是q的充要条件．
(4) 因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件．
思考8：“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件．
思考9：如果p q，且q p，那么称p是q的充分不必要条件；
如果p q，且q p，那么称p是q的必要不充分条件；
如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．
例4 (1) 根据三角形全等的性质，得出两个三角形的对应角相等，所以p q.反过来，由两个三角形的对应角相等，不能得出三角形全等．例如，两个等腰直角三角形，它们对应的角相等，但对应边不相等，这两个三角形就不全等，所以q p，所以p是q的充分不必要条件．
(2) 根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形是等边三角形，所以p q.反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等，所以q p.因此，p q，即p是q的充要条件．
(3) 因为a2＝b2 a2－b2＝0 (a－b)(a＋b)＝0 a－b＝0或a＋b＝0 a＝－b或a＝b，所以p q．反过来，a＝b a－b＝0 (a－b)(a＋b)＝0 a2－b2＝0 a2＝b2，所以 q p.因此，q p，但p q，即p是q的必要不充分条件．
(4) 取x＝1，y＝－2，此时，x＞y，但x2＜y2，所以p q.反过来，取x＝－2，y＝－1，此时，x2＞y2，但x＜y，所以q / p．因此，p是q的既不充分也不必要条件．
跟踪训练　(1) p是q的必要不充分条件．
(2) p是q的充要条件．
(3) p是q的充分不必要条件．
(4) p是q的既不充分也不必要条件．
【检测反馈】
1. A　当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，故充分性成立；当(x＋1)(x－1)＝0时，x＝1或x＝－1，故必要性不成立，所以“x＝1”是“(x＋1)(x－1)＝0”的充分不必要条件．
2. A　对于A，由ab≠0，得故p是q的充分条件；对于B，由a2＋b2≥0，得故p不是q的充分条件；对于C，由x2>1，得x>1或x<－1，故p不是q的充分条件；对于D，若b，故p不是q的充分条件．
3. BD　对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；对于B，因为ab2且a2>ab，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，当a>2时，<成立，当a<0时，<也成立，所以“a>2”是“<”的充分不必要条件，故C错误；对于D，当a>|b|时，a>|b|≥0，所以a2>b2；当a2>b2时，取a＝－2，b＝－1，则a>|b|不成立，所以“a>|b|”是“a2>b2”的充分不必要条件，故D正确. 故选BD.
4. 必要不充分　当x＝1，y＝7时，满足命题甲：此时命题乙不成立，即充分性不成立；反之，若命题乙：成立，则命题甲一定成立，即必要性成立，所以甲是乙的必要不充分条件．
5. (1) 因为“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件，
所以 {x|x<－1或x>3}，
则－≤－1，
解得m≥2，
故存在实数m≥2，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件．
(2) 因为“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件，
所以{x|x<－1或x>3} ，
显然这是不可能的，
故不存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件．
1．4.2　充分条件与必要条件(2)
【活动方案】
思考1：(1) 若p q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2) 若p q，则p是q的充要条件．
(3) 若p q，且q p，则称p是q的充分不必要条件．
(4) 若p q，且q p，则称p是q的必要不充分条件．
(5) 若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
例1 (1) 充要　(2) 必要不充分　(3) 既不充分也不必要　(4) 充分不必要
(1) 当x＝3时，x－3＝＝0；当x－3＝时，可得x＝3，所以“x＝3”是“x－3＝”的充要条件．
(2) 取x＝1，满足x＜2，但不满足x＜0，若x＜0，则必有x＜2，所以“x<2”是“x<0”的必要不充分条件．
(3) 由0≤x≤6，推不出－2≤x≤4，由－2≤x≤4也推不出0≤x≤6，所以“0≤x≤6”是“－2≤x≤4”的既不充分也不必要条件．
(4) 根据三角形全等的性质，得出两个全等三角形的面积相等，反过来，由两个三角形的面积相等，不能得出两个三角形全等．例如，如图，直角三角形ABC与等腰三角形A′BC同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等，所以“两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件．
思考2：(1) A＝B
(2) B?A
(3) A B，B A
思考3：设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．
(1) 若A B，则p是q的充分条件．
(2) 若B A，则p是q的必要条件．
(3) 若A＝B，则p是q的充要条件．
(4) 若A B且B A，即A?B，则p是q的充分不必要条件．
(5) 若B A且A B，即B?A，则p是q的必要不充分条件．
(6) 若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．
例2 (1) 充要条件　(2)充分不必要条件
例3 (1) 由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.
由mx＋1＝0，m≠0，得x＝－.
令A＝{2，－3}，B＝，
因为q是p的充分条件，所以B A.
当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝.
所以m＝－或m＝.
(2) 因为x∈N是x∈M的必要条件，所以M N，
所以解得－2≤a≤7.
故实数a的取值范围为－2≤a≤7.
跟踪训练　m≤－2　由题意知{x|x例4 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，＜0，所以ac<0.
充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”．
【检测反馈】
1. A　设A＝{x|12. B　由<1，得>0，即x(x－1)>0，解得x<0或x>1，所以充分性不成立；由“x>1”能得到“<1”，即必要性成立，所以“<1”是“x>1”的必要不充分条件．
3. AD　由－<5x－3<12，解得－4. m＝－2　函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．
5. (1) 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
即无解，
故实数m不存在．
(2) 若x∈P是x∈S的必要条件，则S P，
当S≠ 时，有解得m＝0；
当S＝ 时，有1－m>1＋m，解得m<0.
综上，实数m的取值范围为{m|m≤0}．