1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 导学案（含答案）高一数学人教A版必修第一册

1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
1. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．
2. 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
3. 进一步提高用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力．
4. 培养对立统一的思维．
活动一 全称量词命题的否定
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．例如“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”，“空集是集合A＝{1，2，3}的真子集”的否定为“空集不是集合A＝{1，2，3}的真子集” .下面，我们研究利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定．
思考1
一个命题和它的否定的真假情况是怎样的？
思考2
写出下列命题的否定：
(1) 所有的矩形都是平行四边形；
(2) 每一个素数都是奇数；
(3) x∈R，x＋|x|≥0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
1. 全称量词命题的否定
(1) 全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2) 对于全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为 x∈M， p(x).
其中符号“ p(x)”表示“p(x)不成立”．
2. 对全称量词命题的否定及其特点的理解
(1) 全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定时既要改变全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所提供的结论是对全称量词命题进行否定的关键．
(2) 对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要先改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定．
例1　写出下列全称量词命题的否定：
(1) 所有能被3整除的整数都是奇数；
(2) 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3) 对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
写出下列命题的否定，并判断真假．
(1) 不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2) 等圆的面积相等；
(3) 每个三角形至少有两个锐角．
活动二 存在量词命题的否定
思考3
写出下列命题的否定：
(1) 存在一个实数的绝对值是正数；
(2) 有的平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2－2x＋3＝0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
1. 存在量词命题的否定
(1) 存在量词命题的否定是全称量词命题．
(2) 对于存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为 x∈M， p(x).
2. 对存在量词命题的否定及其特点的理解
存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定时既要改变存在量词，又要否定结论，所以找出存在量词，明确命题所提供的结论是对存在量词命题否定的关键．
例2　写出下列存在量词命题的否定：
(1) x∈R，x＋2≤0；
(2) 有的三角形是等边三角形；
(3) 有一个偶数是素数．
写出下列命题的否定，并判断真假．
(1) 有一个奇数不能被3整除；
(2) 有些三角形的三个内角都是60°；
(3) x∈R，|x＋1|≤1.
活动三　掌握命题的否定的综合应用　
例3　写出下列命题的否定，并判断真假．
(1) 任意两个等边三角形都相似；
(2) x∈R，x2－x＋1＝0.
例4　已知p： x∈R，ax2＋2ax＋1＝0，q：a≤m或a≥m＋3.
(1) 若命题 p是真命题，求实数a的取值范围；
(2) 若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
1. (2024池州期中)命题p： x≤0，x2－2x＋a≤0的否定是(　　)
A. x>0，x2－2x＋a≤0 B. x>0，x2－2x＋a≤0
C. x≤0，x2－2x＋a>0 D. x≤0，x2－2x＋a>0
2. 若“ x∈M，|x|A. {x|x<0} B. {x|0≤x≤1}
C. {x|13. (多选)(2025湘潭一中月考)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是(　　)
A. x∈R，x2－x＋<0 B. 所有的正方形都是矩形
C. x∈R，x2＋2x＋2＝0 D. 至少有一个实数x，使x3＋1＝0
4. (2024奉贤期中)“存在x>0，使得x2＋ax＋1≥0”的否定形式为______________．
5. 对下列含有量词的命题作否定，并判断真假．
(1) 存在某个整数a，使得a2＝a；
(2) 任意实数都可以写成平方和的形式；
(3) 每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数；
(4) m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根；
(5) m>0，方程x2＋x＋m＝0有实数根．
1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
【活动方案】
思考1：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
思考2：(1) 存在一个矩形不是平行四边形．
(2) 存在一个素数不是奇数．
(3) x∈R，x＋|x|＜0.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．
例1 (1) 存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2) 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
(3) x∈Z，x2的个位数字等于3.
跟踪训练　(1) 这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．因为当12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题．
(2) 这一命题可以表述为“所有等圆的面积都相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题．
(3) 这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题．
思考3：(1) 所有实数的绝对值都不是正数．
(2) 每一个平行四边形都不是菱形．
(3) x∈R，x2－2x＋3≠0.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．
例2 (1) x∈R，x＋2＞0.
(2) 所有的三角形都不是等边三角形．
(3) 任意一个偶数都不是素数．
跟踪训练　(1) 题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，例如5是奇数，但5不能被3整除．
(2) 题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.
(3) 题中命题的否定为“ x∈R，|x＋1|>1”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|>1.
例3 (1) 该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．
(2) 该命题的否定： x∈R，x2－x＋1≠0.因为对任意x∈R，x2－x＋1＝＋＞0，所以这是一个真命题．
例4 (1) 因为命题 p是真命题，所以命题p是假命题，即关于x的方程ax2＋2ax＋1＝0无实数根．
当a＝0时，方程无解，符合题意；
当a≠0时，Δ＝4a2－4a<0，解得0故实数a的取值范围是{a|0≤a＜1}．
(2) 由(1)知若命题p是真命题，则a<0或a≥1.
因为命题p是命题q的必要不充分条件，
所以{a|a≤m或a≥m＋3}?{a|a<0或a≥1}，
则解得－2≤m<0，
所以实数m的取值范围是{m|－2≤m＜0}．
【检测反馈】
1. C　命题p： x≤0，x2－2x＋a≤0为存在量词命题，其否定为 x≤0，x2－2x＋a>0.
2. C　因为“ x∈M，x<2”为假命题，所以“ x∈M, x≥2”为真命题，所以A，B，D错误，经检验C符合要求，故选C.
3. AC　对于A，原命题的否定为 x∈R，x2－x＋≥0，是全称量词命题，因为x2－x＋＝≥0，所以原命题的否定为真命题，故A符合题意；对于B，原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故B不符合题意；对于C，原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝22－8＝－4<0，所以x2＋2x＋2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，故C符合题意；对于D，原命题的否定为对于任意实数x，都有x3＋1≠0. 因为当x＝－1时，x3＋1＝0，所以原命题的否定不是真命题，故D不符合题意．故选AC.
4. 对任意x>0，x2＋ax＋1<0　因为命题“存在x>0，使得x2＋ax＋1≥0”是存在量词命题，所以命题的否定为“对任意x>0，x2＋ax＋1<0”．
5. (1) 命题“存在某个整数a，使得a2＝a”，
其否定为“对于任意的整数a，都有a2≠a”．
当a＝1时，a2＝a，
所以原命题的否定为假命题．
(2) 命题“任意实数都可以写成平方和的形式”，
其否定为“存在实数不可以写成平方和的形式”．
因为负数不能写成平方和的形式，
所以原命题的否定为真命题．
(3) 命题“每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数”，
其否定为“存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数”．
因为两个奇数之和一定为偶数，
所以原命题的否定为假命题．
(4) 命题“ m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根”，
其否定为“ m>0，方程x2＋x－m＝0没有实数根”．
因为m>0，所以Δ＝1＋4m>0，
所以 m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根，
所以原命题的否定为假命题．
(5) 命题“ m>0，方程x2＋x＋m＝0有实数根”，
其否定为“ m>0，方程x2＋x＋m＝0没有实数根”．
由Δ＝1－4m≥0，解得m≤，
所以 m>0，方程x2＋x＋m＝0有实数根，
所以原命题的否定为假命题．