2.1 等式性质与不等式性质 导学案（含答案）高一数学人教A版必修第一册

2．1　等式性质与不等式性质
1. 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小．
2. 能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题．
活动一 描述现实世界和日常生活中的不等关系
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．
问题1　你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1) 某路段限速40 km/h；
(2) 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
(3) 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(4) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
问题2　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2 000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
活动二　两个实数大小的比较　
关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也对．
思考1
实数比较大小的依据与方法是什么？
例1　比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．
(1) 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；
(2) 设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
实数比较大小的方法：
(1) 比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a－b的符号(注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要).
(2) 比较两个实数大小的步骤：作差→化简整理(配方，分解因式、分类讨论)→判断差的符号→得出结论．
注意：①在比较两个代数式的大小时，一定要注意字母的取值范围；②比较实数的大小经常用到分类讨论的方法，此处分类讨论的标准是：对于任意两个实数 a和b，在a＝b，a>b，a活动三　等式性质与不等式性质　
思考2
请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？
思考3
类比等式的基本性质，试猜想不等式的基本性质，并加以证明．
例2　已知a>b>0，c＜0，求证：>.
实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．
活动四　不等式的性质及应用　
例3　已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.
(1) 已知a>b>0，c(2) 已知bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
活动五 利用不等式的性质求取值范围
例4　(1) 已知2(2) 已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
变式：将本例(1) 中，条件不变，求a＋b，ab的取值范围．
利用不等式的性质求取值范围应注意的问题：
本例(1)中不能直接用a的范围减去或除以b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
活动六　实际应用　
例5　已知b g糖水中有a g糖(b＞a＞0)，若再添加m g糖(m＞0)溶解在其中，则糖水变得更甜(即糖水中含糖浓度变大).试根据这个事实写出a，b，m所满足的不等关系，并给予证明．
某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a元，二级小麦每千克b元(b1. 与a>b等价的不等式是(　　)
A. |a|>|b|　 B. a2>b2　 C. >1　 D. a3>b3
2. 如果aA. －<－　 B. ab3. (多选)(2025株洲期末)已知x>0，y<0，z<0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A. x>yz B. xz4. (2024上海嘉定月考)给出下列命题：①若ab>0，a>b，则<；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③对于正数a，b，m，若a>b，则<.其中真命题的序号是________．
5. 下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因．
甲：因为－6所以－2乙：因为2又－6丙：因为2又－2所以－32．1　等式性质与不等式性质
【活动方案】
问题1：(1) 设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，则0＜v≤40.
(2) 由题意，得
(3) 设△ABC的三条边为a，b，c，则a＋b＞c，a－b＜c.
(4) 如图，设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E为直线AB上不同于点D的任意一点，则CD＜CE.
问题2：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为x万元，则不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为x≥20.
求出其解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围．
思考1：a>b a－b>0；a＝b a－b＝0; a例1 因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2＞0，
所以(x＋2)(x＋3)＞(x＋1)(x＋4).
跟踪训练　(1) 因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).
(2) 因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
思考2：等式有下面的基本性质：
性质1　如果a＝b，那么b＝a；
性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性．
思考3：性质1　如果a>b，那么bb，即a>b b证明：因为a＞b，所以a－b＞0.又因为正数的相反数是负数，所以－(a－b)＜0，即b－a＜0，所以 b＜a.
性质2　如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c a>c.
证明：因为a＞b，b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0.由两个正数的和是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，所以a＞c.
性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c.
证明：因为a＞b，所以a－b＞0.又因为(a＋c)－(b＋c)＝a－b，所以(a＋c)－(b＋c)＞0，故a＋c＞b＋c.
性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac证明：ac－bc＝(a－b)c.因为a＞b，所以a－b＞0，所以当c＞0时，(a－b)c＞0，从而 ac＞bc；当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac＜bc.
性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
证明：由a＞b和性质3，得a＋c＞b＋c.又由c＞d和性质3，得b＋c＞b＋d，由性质2，得a＋c＞b＋d.
性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
证明：因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得ac＞bc.因为c＞d＞0，b＞0，由性质4，得bc＞bd.由性质2，得ac＞bd.
性质7　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).
例2 因为a>b>0，所以ab>0，>0，
所以a·>b·，即>.
由c＜0，得>.
例3 方法一：由a＞b，得a－b＞0；
由c＜d，得d－c＞0.
因为(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0，
所以a－c＞b－d.
方法二：因为c＜d，所以－c＞－d.
又因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，
即a－c＞b－d.
跟踪训练　(1) 因为c－d>0.
又a>b>0，所以a－c>b－d>0，
所以0<<.
因为0(2) 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc.
又因为bd>0，
所以≤，
所以＋1≤＋1，所以≤.
例4 (1) 因为3≤b<10，所以－10<－b≤－3.
因为2因为＜≤，所以<≤.
(2) 因为－≤α<β≤，
所以－≤<，－<≤.
两式相加得－<<.
因为－≤<，－<≤，
所以－≤－<，
两式相加得－≤<.
又α<β，所以<0，所以－≤<0.
变式：由2即5例5 ＜ (b＞a＞0，且m＞0)，证明如下：
因为－＝＝
＝＝，
又b＞a＞0，且m＞0，所以a－b＜0，b＋m＞0，
所以<0，所以＜.
跟踪训练　分级收购时，粮站支出(ma＋nb)元，
按平均价格收购时，粮站支出元．
因为(ma＋nb)－＝(a－b)(m－n)，且b所以当m>n时，粮食收购站占便宜；当m＝n时，一样；当m【检测反馈】
1. D　令a＝1，b＝－2，满足a>b，但|a|<|b|，a22. A　对于A，因为ab·(－)，即－>－，故A正确；对于B，因为ab2，故B错误；对于C，因为a0，所以－a2<－ab，故C错误；对于D，因为a|b|，故D错误．
3. BC　对于A，x>0，yz>0，但x与yz不能比较大小，故A不一定成立；对于B，xz<0，yz>0，故B成立；对于C，由题意，得<0<，故C成立；对于D，－＝，yz>0，x>0，但z－y符号不确定，所以－的符号不能确定，故D不一定成立．故选BC.
4. ①③　对于①，若ab>0，a>b，则－＝<0，<，故①正确；对于②，若a>b，c>d，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝b－d＝3，故②错误；对于③，正数a，b，m，若a>b，则－＝＝，又b－a<0，m>0，a>0，a＋m>0，所以－<0，<，故③正确. 综上，真命题的序号是①③.
5. 甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，所以甲同学对同向不等式求差是错误的．
乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，而在本题中只知道－6丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形．丙同学将2