3.2.1　单调性与最大（小）值 导学案（2课时,含答案）高一数学人教A版必修第一册

3.2.1　单调性与最大（小）值(1)
1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义．
2. 掌握增（减）函数的证明和判断，学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
3. 能利用函数图象划分函数的单调区间.
活动一 探究增函数、减函数、单调性、单调区间的概念
函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性．下面进一步用符号语言刻画这种性质．
先研究二次函数f(x)＝x2的单调性．
画出它的图象（如图），可以看到：
图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当x≤0时，y随x的增大而减小；
图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x≥0时，y随x的增大而增大．
思考1
请你用符号语言描述上述单调性？
思考2
函数f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎样的单调性？
1. 增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：
如果 x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增（如图1）.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．
如果 x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减（如图2）.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．
图1 图2
2. 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
思考3
(1) 设A是区间I上某些自变量的值组成的集合，而且 x1，x2∈A，当x1(2) 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增，但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？
活动二　探究函数的单调性　
例1　画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1) y＝－x2＋2；
(2) y＝(x≠0).
例2　根据定义， 研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性．
画出函数y＝|－x2＋2|的图象，并写出单调区间．
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间I上的函数要么单调递增，要么单调递减，不能二者兼有．
活动三　探究函数单调性的证明方法　
例3　求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．
思考4
记y2－y1＝Δy，x2－x1＝Δx，那么函数的单调性与的符号有什么关系？
试讨论函数f(x)＝的单调性．
运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间I上任意取x1，x2且在x1活动四 探究函数单调性的应用
例4　设a为实数，已知函数y＝f(x)在定义域R上是减函数，且f(1－a)例5　若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都单调递减，求实数a的取值范围．
函数f(x)＝x2－3mx＋n在区间[－2，＋∞）上单调递增，则实数m的取值范围是　　　　．
由函数的单调性求参数取值范围的两种方法：
(1) 利用单调性的定义：例如，由f(x1)>f(x2)结合单调性，转化为x1与x2的大小关系．
(2) 利用函数的特征：例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围．
活动五 抽象函数的单调性的证明
例6　已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)是增函数．
因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)与f(x2)的大小，这时就要根据解题需要对抽象函数进行赋值．
1. （2025广西期末）已知函数f(x)＝x2＋ax－11在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，－4] B. [－4，＋∞)
C. (－∞，－2] D. [－2，＋∞)
2. 若函数f(x)＝4|x－a|＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则实数a的取值范围是(　　)
A. [1，＋∞）　 B. (1，＋∞)
C. (－∞，1)　 D.（－∞，1]
3. （多选）（2024淮安期中）已知函数f(x)＝－2x2＋ax在区间(－1，2)上不具有单调性，则实数a的值可以是(　　)
A. 9 B. －1 C. －3 D. 0
4. （2025天津张家窝中学期中）已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，若f(x－1)>f(1－3x)成立，则实数x的取值范围是　　　　Ｗ．
5. 已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1) 求实数m的值；
(2) 判断函数f(x)在区间[2，＋∞）上的单调性，并证明你的结论；
(3) 求函数f(x)在区间[2，6）上的值域．
3.2.1　单调性与最大（小）值(2)
1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.
2. 理解函数的最大（小）值是在指定区域上研究函数．
3. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.
活动一 探究函数的最大（小）值的概念
观察下图，可以发现，二次函数f(x)＝x2的图象上有一个最低点(0， 0)，即 x∈R，都有f(x)≥f(0).当一个函数f(x)的图象有最低点时，我们就说函数f(x)有最小值．
思考1
你能以函数f(x)＝－x2为例说明函数f(x)的最大值的含义吗？
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1) x∈D，都有f(x)≤M；
(2) x0∈D，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
其几何意义是函数f(x)的图象上最高点的纵坐标．
思考2
你能仿照函数最大值的定义，给出函数y＝f(x)的最小值的定义吗？
思考3
若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
活动二　利用图象求函数的最值　
例1　下图是函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值，并写出值域．
1. 函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵坐标．
2. 图象法求最值的一般步骤：(1) 作图象；(2) 找单调区间；(3) 确定最值．
活动三 求二次函数的最值
例2　“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位： m）与时间t （单位：s）之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1 m）？
活动四　利用单调性求函数的最值　
例3　求函数f(x)＝在区间[2，5]上的最大值与最小值．
求函数f(x)＝x＋在区间[1，3]上的最大值与最小值．
1. 当函数的图象不知或不易作出时，常利用单调性求其最值．
2. 函数的最值与单调性的关系：
若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在区间[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
活动五　探究二次函数在闭区间上的最值　
例4　(1) 已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0，2]，求函数f(x)的最值；
(2) 已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
(3) 已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值；
(4) 已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].
(1) 当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2) 用a表示出函数f(x)在区间[－5，5]上的最值．
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值有如下结论：
对称轴x＝h与[m，n]的位置关系 最大值 最小值
hh>n f(m) f(n)
m≤h< f(n) f(h)
h＝ f(m)或f(n) f(h)
1. 函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|(　　)
A. 最小值为0，最大值为3 B. 最小值为－3，最大值为0
C. 最小值为－3，最大值为3 D. 既无最小值，也无最大值
2. 函数f(x)＝，x∈[3，5]的最大值是(　　)
A. B. C. 1 D. 2
3. （多选）（2025长沙大学附属中学期中）如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)在区间[－4，－1]∪[1，3]上单调递减
B. f(x)在区间[－1，1]上单调递增
C. f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2
D. f(x)在区间[－1，3]上有最大值3，有最小值－2
4. （2024石家庄二十五中月考）函数f(x)＝2x＋的最大值为　　　　．
5. 已知函数f(x)＝x2－ax＋4－a2.
(1) 若a＝2，且x∈[－2，3]，求函数f(x)的值域；
(2) 若 x∈[－2，2]，都有f(x)≤0，求实数a的取值范围．
3.2.1　单调性与最大(小)值(1)
【活动方案】
思考1：用符号语言描述，就是任意取x1，x2∈(－∞，0]，得到f(x1)＝x， f(x2)＝x，那么当x1f(x2). 这时我们就说函数f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是单调递减的．
任意取x1，x2∈[0，＋∞)，得到f(x1)＝x， f(x2)＝x，那么当x1思考2：f(x)＝|x|在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增；
f(x)＝－x2在区间(－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞)上单调递减．
思考3：(1) 不能，例如反比例函数f(x)＝－，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，但在整个定义域上不是单调递增的．
(2) 函数f(x)＝x在区间(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是单调递减，在区间[0，＋∞)上是单调递增的．
例1 (1) 函数图象如图1，增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞).
(2) 函数图象如图2，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个减区间．
图1 图2
　
例2 函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R.
x1，x2∈R，且x1则f(x1)－ f(x2)＝(kx1＋b)－ (kx2＋b)＝k(x1－x2)．
由x1所以当k>0时，k(x1－x2)<0，
所以f(x1)－ f(x2)<0，即f(x1)此时，f(x)＝kx＋b是增函数；
当k<0时，k(x1－x2)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
此时，f(x)＝kx＋b 是减函数．
跟踪训练　函数y＝|－x2＋2|的图象，如图所示，观察图象可知，增区间为(－，0)，[，＋∞)；减区间为(－∞，－]，[0，].
例3 设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个值，且x10.
因为f(x1)－f(x2)＝－＝－＝，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．
思考4：设函数y＝f(x)的定义域为D，区间I D.
如果 x1，x2∈I，x1≠x2，都有＞0，
那么y＝f(x)在区间I上单调递增；
如果 x1，x2∈I，x1≠x2，都有＜0，
那么y＝f(x)在区间I上单调递减．
跟踪训练　由题意，得f(x)的定义域为R，
在定义域内任取x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
其中x1－x2<0，x＋1>0，x＋1>0.
①当x1，x2∈(－1，1)，即|x1|<1，|x2|<1时，
|x1x2|<1，所以x1x2<1，即1－x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)此时f(x)单调递增．
②当x1，x2∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)时，
1－x1x2<0，所以f(x1)>f(x2)，
此时f(x)单调递减．
综上所述，f(x)在区间(－1，1)上单调递增，在区间(－∞，－1]和[1，＋∞)上单调递减．
例4 因为y＝f(x)在定义域R上是减函数，且f(1－a)2a－1，解得a<，即实数 a的取值范围为.
例5 f(x)＝－(x－a)2＋a2，当a≤1时，f(x)在区间[1，2]上单调递减．
g(x)＝，当a>0时，g(x)在区间[1，2]上单调递减．
综上，实数a的取值范围是(0，1].
跟踪训练　　f(x)＝x2－3mx＋n的图象开口向上，且对称轴为直线x＝.由函数f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递增可知≤－2，解得m≤－，故实数m的取值范围是(－∞，－].
例6 设x1＜x2，则x2－x1＞0，
所以f(x2－x1)>1，即f(x2－x1)－1>0.
因为f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1)，
所以f(x)是增函数．
【检测反馈】
1. B　因为函数f(x)＝x2＋ax－11在区间(－，＋∞)上单调递增，所以－≤2，解得a≥－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞).
2. B　因为函数f(x)＝4|x－a|＋3在区间(－∞，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增，且函数f(x)在区间[1，＋∞)上不单调，所以a>1，即实数a的取值范围是(1，＋∞).
3. BCD　因为二次函数f(x)＝－2x2＋ax在区间(－1，2)上不具有单调性，所以－1<－<2，解得－44. 由题意，得解得5. (1) 因为f(x)＝x＋，且f(1)＝1＋m＝3，
所以m＝2.
(2) 函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝.
因为2≤x1所以x1－x2<0，x1x2－2>0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增．
(3) 由(2)，得f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在区间[2，6)上单调递增．
又f(2)＝2＋＝3，f(6)＝6＋＝，
所以f(x)在区间[2，6)上的值域为.
3．2.1　单调性与最大(小)值(2)
【活动方案】
思考1：可以发现，二次函数f(x)＝－x2的图象上有一个最高点(0, 0)，即 x∈R，都有f(x)≤f(0).当一个函数f(x)的图象有最高点时，我们就说函数f(x)有最大值．
思考2：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1) x∈D，都有f(x)≥M；
(2) x0∈D，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．
思考3：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
例1 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，4)，最低的点是(－1.5，－2)，所以当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝4；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2.函数的增区间为[－1.5，3]，[5，6]；减区间为[－4，－1.5]，[3，5]，[6，7].
跟踪训练　y＝－|x－1|＋2＝图象如图所示，由图知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2].
例2 画出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象．
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识可知，
对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，
当t＝－＝1.5时，函数有最大值h＝≈29.
故烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.
例3 任取2≤x1则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为2≤x1所以x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，
所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以f(x)＝在区间[2，5]上单调递减，
故f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝.
跟踪训练　设1≤x1＜x2≤3，
则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－＝(x1－x2)(1－).
又因为x1当1≤x1＜x2≤2时，1－<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在区间[1，2]上单调递减；
当20，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在区间(2，3]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4.
又因为f(1)＝5，f(3)＝3＋＝所以f(x)的最大值为5.
例4 (1) 因为函数f(x)＝x2－2x－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
所以f(x)在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且f(0)＝f(2)，
所以f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
(2) 由(1) 知，对称轴为直线x＝1，
①当1≥t＋2，即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3；
②当≤1f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4；
③当t≤1<，即0f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4；
④当t>1时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝
φ(t)＝
(3) f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a.
①当a≥1时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，最小值为f(1)＝3－2a；
②当－1＜a＜1时，函数图象如图2所示，函数 f(x)在区间[－1，1]上先单调递减后单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；
③当a≤－1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[－1，1]上单调递增，最小值为f(－1)＝3＋2a.
　　
图1　　　　 图2　　　　　图3
(4) 设＝t(t≥0)，则x－2－3＝t2－2t－3.
因为y＝t2－2t－3(t≥0)在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1，即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
跟踪训练　(1) 因为a＝－1，
所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
所以f(x)在区间[－5，1]上单调递减，f(x)在区间[1，5]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.
(2) 函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为直线x＝－a.
①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5，5]上单调递增，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，
f(x)min＝f(－5)＝27－10a；
②当－5<－a≤0，即0≤a<5时，函数图象如图1所示，
由图象可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，f(x)max＝f(5)＝27＋10a；
③当0<－a<5，即－5由图象可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；
④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5，5]上单调递减，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.
综上，当a≤－5时，f(x)max＝27－10a，f(x)min＝27＋10a；当－5图1　 图2
【检测反馈】
1. C　f(x)＝|x－2|－|x＋1|＝当－12. B　因为f(x)＝＝＝2－，所以f(x)＝在区间[3，5]上单调递增，所以当x＝5时，函数f(x)取得最大值.
3. BD　对于A，B，由函数f(x)的图象可得，f(x)在区间[－4，－1]和[1，3]上单调递减，在区间[－1，1]上单调递增，故A错误，B正确；对于C，由图象可得，函数f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，无最小值，故C错误；对于D，由图象可得，函数f(x)在区间[－1，3]上有最大值3，有最小值－2，故D正确. 故选BD.
4. 　令＝t(t≥0)，则x＝1－t2，所以y＝－2t2＋t＋2＝－2＋(t≥0)，由二次函数的性质知，其图象的对称轴为直线t＝，开口向下，所以函数y＝－2＋在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当t＝，即x＝时，f(x)取得最大值为f＝.
5. (1)当a＝2时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
所以f(x)＝(x－1)2－1在区间[－2，1]上单调递减，在区间(1，3]上单调递增，
则f(x)在x＝1处取得最小值－1.
又f(－2)＝8，f(3)＝3，
所以函数f(x)的值域为[－1，8].
(2)由题意，得x2－ax＋4－a2≤0在x∈[－2，2]上恒成立，
则解得a≥4或a≤－4，
故实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞).