3.4　函数的应用（一） 导学案（含答案）高一数学人教A版必修第一册

3.4　函数的应用（一）
1. 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题．
2. 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．
活动一 一次函数模型
我们学习过的一次函数、二次函数、分段函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系．下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法．
例1　某厂日生产文具盒的总成本y（单位：元）与日产量x（单位：套）之间的关系为y＝6x＋30 000，而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 2 000套　　　　 B. 3 000套 C. 4 000套　　　 D. 5 000套
1. 一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2. 一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或ax＋b≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
如图所示，这是某通信公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y（单位：元）与通话时间t（单位：min）之间的函数关系图象．根据图象填空：
(1) 如果通话2 min，那么需要付电话费　　　　元；
(2) 如果通话5 min，那么需要付电话费　　　　元；
(3) 如果t≥3，那么电话费y（单位：元）与通话时间t（单位：min）之间的函数关系式为　　　　　　　　　　．
活动二　二次函数模型　
例2　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1) 求平均每天的销售量y（单位：箱）与销售单价x（单位：元/箱）之间的函数关系式；
(2) 求该批发商平均每天的销售利润w（单位：元）与销售单价x（单位：元/箱）之间的函数关系式；
(3) 当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．
渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为k(k＞0).
(1) 写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2) 求鱼群年增长量的最大值．
活动三　幂函数模型 　
例3　某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1) 分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2) 该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
幂函数模型应用的求解策略：
(1) 给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式．
(2) 根据题意，直接列出相应的函数关系式．
在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比．
(1) 写出气体流量速率v关于管道半径r的函数解析式；
(2) 若气体在半径为3 cm的管道中的流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
(3) 已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率（精确到1 cm3/s）.
活动四　分段函数模型　
例4　一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示．
(1) 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
在某疾病的治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品，生产此药品的年固定成本为250万元，每生产x(x>0)千件需另投入成本C(x)万元．当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450. 每件药品的售价为0.05万元，假设该公司生产的此药品能全部售完．
(1) 写出生产此药品获得的年利润L(x)（单位：万元）关于年产量x（单位：千件）的函数解析式；
(2) 该公司决定将生产此药品所获利润的1%用来捐赠，那么当年产量为多少千件时，生产此药品获得的年利润最大？此时可捐赠多少万元？
1. 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型．
2. 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
1. （2024慈溪月考）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y（单位：℃）和泡茶时间t（单位：min）满足关系式y＝若喝茶的最佳口感水温大约是60 ℃，则泡完茶需要等待的时间为(　　)
A. 1.5 min B. 2 min
C. 3 min D. 4 min
2. 若给下图的容器甲均匀注水，则下列图象中能大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是(　　)
A B C D
3. （多选）（2024绵阳中学月考）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费x(x>0)元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当0B. 当200≤x<300时，应进乙商场购物
C. 当400≤x<500时，应进乙商场购物
D. 当x>500时，应进甲商场购物
4. （2024广东领航高中联盟联考）已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照20%返现，超过100元的部分按照30%返现．若促销活动期间在该店铺购买x(x∈N*)件该商品，所需费用（支付款减去返现）为f(x)元，则当x≥3时，f(x)＝　　　　．
5. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数R(x)＝其中x（单位：台）是仪器的月产量．
(1) 将利润表示为月产量x的函数f(x)；
(2) 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入＝总成本＋利润）
3．4　函数的应用(一)
【活动方案】
例1 D　因为利润 z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000.由z≥0，解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．
跟踪训练　(1) 3.6　(2) 6　(3) y＝1.2t(t≥3)
(1) 由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2) 由图象可知，当t＝5时，y＝6，即需付电话费6元．
(3) 易知当t≥3时，图象过点(3，3.6)，(5，6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3).
例2 (1) 根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).
(2) 因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润，
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N).
(3) 因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，
所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125，
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．
跟踪训练　(1) 根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是y＝kx·，0≤x＜m.
(2) 由(1)知，y＝kx·＝－x2＋kx＝－·＋，0≤x＜m，
则当x＝时，y取得最大值，ymax＝，
所以鱼群年增长量的最大值为.
例3 (1) 设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)，
由题意，得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0).
(2) 设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元.依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20).
令t＝(0≤t≤2)，则x＝20－t2，
所以y＝＋＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.
故当投资稳健型产品16万元，投资风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．
跟踪训练　(1) 由题意，得v＝kr4(k是大于0的常数).
(2) 由r＝3，v＝400，得k·34＝400，
解得k＝，
所以流量速率v的表达式为v＝r4.
(3) 因为v＝r4，
所以当r＝5时，v＝×54≈3 086(cm3/s).
例4 (1) 阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.
(2) 获得路程关于时间变化的函数解析式：
s＝
这个函数的图象如图所示．
跟踪训练　(1) 因为每件药品的售价为0.05万元，所以x千件药品的销售额为0.05×1 000x(万元).
由题意，得当0当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－(51x＋－1 450)－250＝1 200－，
所以L(x)＝1 000x∈N*.
(2) 当0因为950<1 000，所以当年产量为100千件时，生产此药品获得的年利润最大，最大年利润为1 000万元，此时可捐赠1 000×1%＝10(万元).
【检测反馈】
1. D　令60＝－10t＋100，解得t＝4；令＝60，解得t＝2，不符合题意，所以需要等待的时间为4 min.
2. B　容器下端较窄，上端较宽，当均匀地注入水时，随着时间的推移，高度的变化速度越来越小，结合选项可知B正确．
3. AC　当00.84x，所以应进甲商场购物，故A正确；当200≤x<300时，甲商场的费用为0.84x，乙商场的费用为x－40，则x－40－0.84x＝0.16x－40，当200≤x<250时，－8≤0.16x－40<0，即x－40<0.84x，所以应进入乙商场购物，当250≤x<300时，x－40>0.84x，所以应进甲商场购物，故B错误；当400≤x<500时，甲商场的费用为0.84x，乙商场的费用为x－80，x－80－0.84x＝0.16x－80，因为400≤x<500，所以－16≤0.16x－80<0，即x－80<0.84x，所以应进乙商场购物，故C正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为600×0.84＝504(元)，在乙商场的费用为600－120＝480(元)，所以乙商场的费用低，所以应在乙商场购物，故D错误. 故选AC.
4. 28x＋10　因为当x≥3时，40x≥3×40＝120元，所以f(x)＝100×0.8＋(40x－100)×0.7＝28x＋10.
5. (1) 因为月产量为x台，则总成本为(20 000＋100x)元，
所以f(x)＝
(2) 当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，f(x)max＝25 000；
当x>400时，f(x)＝60 000－100x单调递减，
所以f(x)<60 000－100×400＝20 000，
所以当x＝300时，f(x)max＝25 000，
故当月产量的值为300时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．