4.2.1 指数函数的概念 导学案（含答案）高一数学人教A版必修第一册

4.2.1　指数函数的概念
1. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
2. 结合具体实例，会求指数函数的解析式.
3. 从具体实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用．
活动一 指数函数的概念
对于幂ax(a>0)，我们已经把指数x的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法，下面继续研究其他类型的基本初等函数．
问题1　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
时间/年 A地景区 B地景区
人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1 005 102
2014 732 11 1 118 113
2015 743 11 1 244 126
思考1
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
思考2
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．
做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．
问题2　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.
特征：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.
思考3
当底数a＝0，a＝1，a<0时，对自变量x的取值有何影响？
思考4
函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？
例1　在下列关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
(1) y＝2x+2；　　　　　(2) y＝(－2)x；
(3) y＝－2x； (4) y＝πx；
(5) y＝x3；
(6) y＝(a－1)x(a>1，a≠2).
根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数为自变量x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．
指出下列函数哪些是指数函数：
(1) y＝4x；　　　　　 (2) y＝x4；
(3) y＝(－4)x； (4) y＝xx；
(5) y＝(2a－1)x.
活动二　指数函数的概念及应用　
例2　已知指数函数f(x)＝ax（a＞0，且a≠1），且f(3) ＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
求指数函数f(x)＝ax（a>0，且a≠1）的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
已知指数函数y＝f(x)的图象过点.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 求f的值．
活动三 指数增长模型
例3　(1) 在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元（不含门票）的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A， B两地旅游收入变化情况；
(2) 在问题2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).形如y＝kax（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
某种细菌经过60 min培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，e≈2.718 28，t表示时间（单位：h），y表示细菌个数，10个细菌经过7 h培养，细菌能达到的个数为(　　)
A. 640　　　　 B. 1 280　　　　 C. 2 560　　　　 D. 5 120
1. （2024广州期中）下列函数中，是指数函数的是(　　)
A. y＝－3x B. y＝2x2－1
C. y＝ax+1 D. y＝πx
2. 设函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f(2)＝9，则f的值为(　　)
A. B. 3 C. D.
3. （多选）（2024贵阳月考）若函数f(x)＝(m2－m－1)ax（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. －1 D. 1
4. （2025西宁湟中区多巴高级中学月考）已知指数函数f(x)＝(a2－2a－2)ax，则f(3)的值为　　　　.
5. （2024海北期末）已知二次函数f(x)＝ax2＋bx在x＝－2处取得最大值，指数函数g(x)＝（）x.
(1) 求g（－）的值；
(2) 设函数h(x)＝g(x)＋，试判断h(x)的奇偶性，并说明理由．
4．2.1　指数函数的概念
【活动方案】
思考1：为了有利于观察规律，根据表格分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象(如图所示).
A地景区
B地景区
观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．
思考2：从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
＝≈1.11，
＝≈1.11，
……
＝≈1.11.
结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11－1＝0.11，是一个常数．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．
显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
……
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍．
如果设经过x年后的游客人次是2001年的y倍，那么y＝1.11x(x∈[0，＋∞)).
这是一个函数，其中指数x是自变量．
问题2：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
死亡1年后，生物体内碳14含量为(1－p)1；
死亡2年后，生物体内碳14含量为(1－p)2；
死亡3年后，生物体内碳14含量为(1－p)3；
……
死亡5 730年后，生物体内碳14含量为(1－p)5 730.
根据已知条件，(1－p)5 730＝，从而1－p＝，所以p＝1－.
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么y＝(1－p)x，即y＝(x∈[0，＋∞) ).
这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以1－的衰减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．
思考3：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；
当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，那么y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
思考4：函数y＝2x的指数是变量，是指数函数；函数y＝x2的指数是常数，是二次函数．
例1 (1) 解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式，所以不是指数函数．
(2) 底数为负，所以不是指数函数．
(3) 解析式中多一个负号，所以不是指数函数．
(4) 符合指数函数的定义，所以是指数函数．
(5) 指数为常数，所以不是指数函数．
(6) 令b＝a－1，则y＝bx，b>0，且b≠1，所以是指数函数．
跟踪训练　(1) 是指数函数．
(2) 因为自变量在底数上，所以不是指数函数．
(3) 因为底数－4<0，所以不是指数函数．
(4) 因为底数x不是常数，所以不是指数函数．
(5) 令2a－1＝b，则y＝bx，b>0，且b≠1，所以是指数函数．
例2 因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，所以a3＝π，
解得a＝π，则f(x)＝π，
所以f(0)＝π0＝1，f(1)＝π＝，f(－3)＝π-1＝.
跟踪训练　(1) 设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1).
因为图象过点，所以f(－1)＝，
即a-1＝，解得a＝3，所以f(x)＝3x.
(2) f＝3－＝＝.
例3 (1) 设经过x年，游客给A, B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，
则f(x)＝1 150×(10x＋600),
g(x)＝1 000×278×1.11x.
利用计算工具可得，
当x＝0时，f(0)－g(0)＝412 000.
当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22).
结合图可知：
当x<10.22时，f(x)>g(x)，
当x>10.22时，f(x)当x＝14时，g(14)－f(14)≈347 303.
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412 000万元；随后10年，虽然f(x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有f(x)＝g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)(2) 设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x).
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么h(x)＝.
当x＝10 000时，利用计算工具求得h(10 000)＝≈0.30，
所以生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.
跟踪训练　B　设原来的细菌数为a，由题意，得当t＝1时，y＝2a，所以2a＝10ek，即ek＝.当a＝10时，ek＝2，所以y＝10ekt＝10×2t.若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×27＝1 280.
【检测反馈】
1. D　根据指数函数的特征可知，A，B，C不满足，D满足．故选D.
2. D　因为f(x)＝ax，f(2)＝9，所以 a2＝9.又a>0，所以a＝3，所以f(x)＝3x，所以f＝.
3. AC　由题意，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.故选AC.
4. 27　由题意，得a2－2a－2＝1，解得a＝3或a＝－1. 又因为a>0且a≠1，所以a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(3)＝33＝27.
5. (1) 由题意，得－＝－2，即＝4，
则g(x)＝4x，
所以g(－)＝4－＝.
(2) h(x)为偶函数，理由如下：
h(x)＝g(x)＋＝4x＋4－x，其定义域为R，关于原点对称．
又因为h(－x)＝4－x＋4x＝h(x)，
所以h(x)为偶函数．