4.2.2　指数函数的图象和性质 导学案（3课时,含答案）高一数学人教A版必修第一册

4.2.2　指数函数的图象和性质(1)
1. 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
2. 会利用指数函数的性质比较两个幂值的大小．
活动一 指数函数的图象和性质
下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数．首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质．
先从简单的函数y＝2x开始．
思考1
请同学们完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y＝2x的图象．
x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 0.35 0.71 1.41 2.83
思考2
画出函数y＝的图象，并与函数y＝2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y＝2x的图象，画出函数y＝的图象？
思考3
选取底数a（a>0，且a≠1）的若干个不同的值， 在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、 公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的值域和性质吗？
例 1　当a>0，a≠1时，函数f(x)＝ax-2－3的图象必过定点　　　　．
活动二　指数函数的图象与性质的应用　
例2　比较下列各组数中两个值的大小：
(1) 1.52.5，1.53.2；
(2) 0.5-1.2，0.5-1.5；
(3) 1.50.3，0.81.2.
比较两个数的大小时，一般是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如例2的(1)、(2).当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实际问题也可能是其他数值．
比较下列各组数中两个值的大小：
(1) 30.8，30.7；
(2) 0.75-0.1，0.750.1；
(3) 1.012.7，0.993.5；
例3　(1) 已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；
(2) 已知0.2x<25，求实数x的取值范围．
通过函数值的大小关系来寻找出自变量的取值范围是单调性运用的又一常用方法．
不等式2x2－x＜4的解集为　　　　．
活动三 与指数函数有关的定义域和值域问题
例4　求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝；
(2) y＝2；
(3) y＝.
求指数型函数的定义域和值域的一般方法：
(1) 求指数型函数的定义域时，先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型．
①由于指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的定义域是R，所以函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．
②对于函数y＝f(ax)（a>0，且a≠1）的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(t)的定义域中．
③求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式（组）.
(2) 求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，还需注意：在求形如y＝af(x)（a>0，且a≠1）的函数值域时，先求得f(x)的值域（即函数t＝f(x)中t的范围），再根据y＝at的单调性，列出指数不等式（组），得出at的范围，即y＝af(x)的值域．
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝0.3；
(2) y＝3；
(3) y＝.
活动四 指数函数的图象与性质的实际应用
例5　如图，某城市人口呈指数增长．
(1) 根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
(2) 该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
1. （2025六安月考）已知指数函数f(x)＝(a－1)x在R上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. (1，＋∞) B. (2，＋∞) C. (0，1) D. (1，2)
2. 设a＝20.6，b＝21.5，c＝0.53，则a，b，c的大小关系是(　　)
A. a3. （多选）（2024六安开学考试）下列结论中，正确的是(　　)
A. 函数y＝2x-1是指数函数
B. 函数y＝的单调增区间是(1，＋∞)
C. 若am>an(a>0，a≠1)，则m>n
D. 函数f(x)＝ax-2＋1(a>0，a≠1)的图象必过定点(2，2)
4. （2025长沙明德中学期中）函数f(x)＝的定义域为　　　　．
5. 已知函数f(x)＝1－.
(1) 证明：函数f(x)是R上的增函数；
(2) 当x∈[－1，2]时，求函数f(x)的值域．
4.2.2　指数函数的图象和性质(2)
1. 了解简单函数图象的平移变换和对称变换，根据函数图象平移变换的规律，会进行函数图象的平移变换，掌握f(x)与f(－x)、f(x)与－f(x)的图象关系.
2. 会应用指数函数的性质研究复合函数的定义域、值域和单调性．
活动一 指数函数底数的大小与图象的关系
问题　指数函数y＝ax（a>0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有怎样的关系？
思考1
观察同一平面直角坐标系中函数：①y＝；②y＝；③y＝3x；④y＝2x的图象，你能得出什么规律？
思考2
当a>b>0（a≠1且b≠1）时，对任意一个实数x0，何时ax0>bx0？何时ax0当x0为正数时，不论底数大于1还是大于0且小于1，底数大的指数函数对应的函数值大；当x0为负数时，底数大的指数函数对应的函数值小. 因此对于几个不同的指数函数，当自变量为相同的数时，可以通过其函数值的大小比较底数的大小，即过与y轴平行的直线与指数函数图象的交点向y轴投影后，通过y轴的数值大小比较底数的大小．
例1　如图是指数函数：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是　　　　　　　Ｗ．（用“<”连接）
根据在同一坐标系中y＝与y＝的图象判定，若＝，则a，b的大小关系如何？
利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质．这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”．
活动二 指数函数图象的变换
例2　说明函数y＝2x-2，y＝2x+2的图象与指数函数y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图．
当h>0时，函数y＝ax的图象向左平移 h个单位长度，就得到函数y＝ax＋h的图象；当h<0时，函数y＝ax的图象向右平移|h|个单位长度，就得到函数y＝ax＋h的图象．
函数y＝的大致图象是(　　)
A　 B C D
活动三 掌握与指数函数相关函数的单调性
例3　已知函数y＝.
(1) 作出函数图象；
(2) 由图象指出其单调区间；
(3) 由图象指出当x为何值时，函数有最值？
函数y＝的单调增区间为(　　)
A. (－∞，＋∞) B. (0，＋∞) C. (1，＋∞) D. (0，1)
1. （2025江门期末）已知函数f(x)＝－2x，则f(x)(　　)
A. 是偶函数，且是区间[0，＋∞）上的减函数
B. 是偶函数，且是R上的增函数
C. 是奇函数，且是区间[0，＋∞）上的增函数
D. 是奇函数，且是R上的减函数
2. 在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝1＋的图象可能是(　　)
A B C D
3. （多选）已知函数f(x)＝|ax－1|（a>0，且a≠1），则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的图象恒过定点(0，1)
B. 函数f(x)的值域为[0，＋∞）
C. 函数f(x)在区间（－∞，0]上单调递增
D. 若直线y＝2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是（0，）
4. （2025沙坪坝期末）已知函数f(x)＝4x－3×2x+1－3，x∈（－∞，2]，则f(x)的值域为　　　　．
5. 已知f(x)＝是定义在R上的奇函数．
(1) 判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；
(2) 若f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围．
4.2.2　指数函数的图象和性质(3)
1. 会应用指数函数的性质求复合函数的单调性、奇偶性.
2. 会利用指数函数解决简单的应用题.
3. 通过探究、小组合作学习，体会分类讨论、数形结合及等价转化思想的应用．
活动一 指数型复合函数的性质
例1　若函数f(x)＝a|2x-4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则函数f(x)的减区间是　　　　．
函数f(x)＝ax2－3x＋3在区间[0，2]上有最大值8，则函数f(x)的增区间为　　　　．
活动二 数形结合
例2　关于x的方程＝有负根，求实数a的取值范围．
当x∈[1，2]时，函数y＝x2与y＝ax(a＞0，a≠1)的图象有交点，则实数a的取值范围是　　　　　　．
活动三 指数函数在实际问题中的应用
例3　某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%，写出这种物质的剩余量y关于时间x的关系式．
例4　某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a元，每期利率为r，设存期是x(x∈N*)，本利和（本金加上利息）为y元．
(1) 写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
(2) 如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和（保留两位小数）.
类似上面的题目，设本金为N，每期利率为p，则经过x期后本息和y＝N(1＋p)x，形如y＝kax（k∈R，a>0且a≠1）的函数称为指数型函数．
用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的.设漂洗前衣服上的污垢量为1，写出衣服上存留的污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式．若要使存留的污垢不超过原有的1%，至少要漂洗几次？
1. 若指数函数y＝b·ax在区间[b，2]上的最大值和最小值的和是6，则实数a的值为(　　)
A. 2或3 B. －3 C. 2 D. 3
2. （2025辽宁期末）已知a>0，且a≠1，则“A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. （多选）（2024济南一中月考）已知函数f(x)＝a－2x2＋x－1(0A. f(x)有最小值 B. f(x)的单调增区间为
C. f(x)有最大值 D. f(x)的单调增区间为
4. （2024惠州期中）已知关于x的方程2 024x＝有实数根，则实数a的取值范围为　　　　．
5. 设a，b为实数，已知定义在R上的函数f(x)＝a－为奇函数，且其图象经过点.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若对任意的x∈R，都有不等式f(2x)＋f(x2－m)>0恒成立，求实数m的取值范围．
4．2.2　指数函数的图象和性质(1)
【活动方案】
思考1：
x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4
思考2：因为y＝＝2－x，点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数y＝2x图象上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(－x，y)都在函数y＝的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y＝2x的图象，画出y＝的图象．
思考3：如图，选取底数a的若干值，用信息技术画图，发现指数函数y＝ax的图象按底数a的取值，可分为01两种类型．因此，指数函数的性质也可以分01两种情况进行研究．
一般地，指数函数的图象和性质如下所示．
项目 01
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 (1) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
(2) 减函数 (2) 增函数
例1 (2，－2)　当a>0且a≠1时，总有f(2)＝a2-2－3＝a0－3＝1－3＝－2，所以函数f(x)＝ax-2－3的图象必过定点(2，－2).
例2 (1) 考察指数函数y＝1.5x.
因为1.5>1，所以y＝1.5x是增函数．
又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2) 考察指数函数y＝0.5x.
因为0<0.5<1，所以y＝0.5x是减函数．
又因为－1.2>－1.5，所以0.5-1.2<0.5-1.5.
(3) 考察指数函数y＝1.5x，y＝0.8x.
因为1.5>1，所以y＝1.5x是增函数．
又因为0.3＞0，所以1.50.3＞1.50＝1.
同理0.81.2＜0.80＝1，故1.50.3>0.81.2.
跟踪训练　(1) 因为3>1，
所以指数函数y＝3x是增函数．
因为0.8>0.7，所以30.8>30.7.
(2) 因为0<0.75<1，
所以指数函数y＝0.75x是减函数．
因为－0.1<0.1，所以0.75-0.1>0.750.1.
(3) 由指数函数的性质知，
1．012.7>1.010＝1，
0．993.5<0.990＝1，
所以1.012.7>0.993.5.
例3 (1) 因为3>1，所以指数函数y＝3x是增函数．
由3x≥30.5，可得x≥0.5，
故实数x的取值范围为[0.5，＋∞).
(2) 因为0<0.2<1，所以指数函数y＝0.2x是减函数．
因为25＝＝0.2-2，
所以0.2x<0.2-2，由此可得x>－2，
故实数x的取值范围为(－2，＋∞).
跟踪训练　(－1，2)　由题意，得x2－x<2，解得－1例4 (1) 要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30.因为函数y＝3x是增函数，所以x≤0，
所以函数y＝的定义域为(－∞，0].
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以∈[0，1)，
即函数y＝的值域为[0，1).
(2) 要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4，
所以函数y＝2的定义域为{x|x≠4}．
因为≠0，所以2≠1，
即函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(3) 要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，
所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所以＝＝1，
即函数y＝的值域为{y|y＝1}．
跟踪训练　(1) 由x－1≠0，得x≠1，
所以函数的定义域为{x|x≠1}．
由≠0，得y≠1，
所以函数的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2) 由5x－1≥0，得x≥，
所以函数的定义域为.
由≥0，得y≥1，
所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3) 函数y＝的定义域为R.
因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
所以≤＝16.
又因为>0，
所以函数y＝的值域为(0，16].
例5 (1) 观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．
(2) 因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．
【检测反馈】
1. B　由题意，得a－1>1，解得a>2，即实数a的取值范围是(2，＋∞).
2. B　因为y＝2x是R上的增函数，所以20<20.6<21.5，即13. BD　对于A，由指数函数定义，得函数y＝2x-1不是指数函数，故A错误；对于B，令u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则u＝－(x－1)2＋1在区间(－∞，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，所以函数y＝－x2＋2x的单调增区间是(1，＋∞)，故B正确；对于C，当0an，得m0，a≠1)中，令x－2＝0，得x＝2，又f(2)＝2，所以函数f(x)的图象必过点(2，2)，故D正确．故选BD.
4. (－∞，0)∪(0，4]　函数f(x)＝的定义域满足解得x≤4且x≠0.
5. (1) 任取x1，x2∈R，且x1因为(5x2＋1)(5x1＋1)>0，5x1－5x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)是R上的增函数．
(2) 由(1)知，当x∈[－1，2]时，f(－1)≤f(x)≤f(2)，
所以f(x)的值域为.
4．2.2　指数函数的图象和性质(2)
【活动方案】
问题：略
思考1：①当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快；②当0思考2：根据幂函数的性质知，当x0＞0时，ax0>bx0；当x0＜0时，ax0例1 b跟踪训练　如图，y＝k与y＝，y＝的交点的横坐标可看作a，b.由图可知a＜b＜0或a＝b＝0或 a＞b＞0.
例2 比较函数y＝2x与函数y＝2x-2，y＝2x+2的取值关系，列表如下：
x y＝2x-2 y＝2x y＝2x+2
… … … …
－4 2-6 2-4 2-2
－3 2-5 2-3 2-1
－2 2-4 2-2 20
－1 2-3 2-1 21
0 2-2 20 22
1 2-1 21 23
2 20 22 24
… … … …
由此可知，函数y＝2x-2中x＝a＋2对应的y值与函数y＝2x中x＝a对应的y值相等，所以将指数函数y＝2x的图象向右平移2个单位长度，得到函数y＝2x-2的图象．
同样地，函数y＝2x+2中x＝a－2对应的y值与函数y＝2x中x＝a对应的y值相等，所以将指数函数y＝2x的图象向左平移2个单位长度，得到函数y＝2x+2的图象．图象如下图所示．
跟踪训练　B　当x＜0时，函数的图象是抛物线的一部分；当x≥0时，只需将y＝2x的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位长度即可，故大致图象为B.
例3 (1) 略
(2) 单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞).
(3) 当x＝－1时，y取得最大值为1.
跟踪训练　A　因为y＝＝2x-1，所以函数y＝的图象可以看成是函数y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的，因为函数y＝2x在R上单调递增，所以函数y＝的单调增区间为(－∞，＋∞).
【检测反馈】
1. D　因为函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－ 2－x＝2x－ ＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．设t＝2x，则t>0，函数t＝2x在R上单调递增，所以f(x)＝－t，易知f(x)在区间(0，＋∞) 上单调递减，所以函数f(x)＝－ 2x是R上的减函数．
2. D　当00，所以y＝1＋在区间(－∞，1)和区间(1，＋∞)上分别单调递减，且当x＝0时，y＝a>0，故A，B错误；当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数．又1－a<0，所以y＝1＋在区间(－∞，1)和区间(1，＋∞)上分别单调递增，故C错误，D正确．
3. BD　由题意，得x∈R.对于A，f(0)＝|a0－1|＝0，所以函数f(x)的图象恒过定点(0，0)，故A错误；对于B，x∈R，则ax－1>－1，所以|ax－1|≥0，即函数f(x)的值域为[0，＋∞)，故B正确；对于C，当01和01时，2a>2，显然不符合题意；当0图1 图2
4. [－12，－3)　令t＝2x，则05. (1) 因为f(x)＝＝－，y＝2x＋1在R上单调递增，所以f(x)是R上的减函数，证明如下：
任意取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1所以2x2－2x1>0，(2x1＋1)(2x2＋1)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)是R上的减函数．
(2) 因为函数f(x)是奇函数，
所以f(1－a)＋f(1－a2)<0等价于f(1－a)<－f(1－a2)＝f(a2－1).
因为f(x)在R上是减函数，
所以a2－1<1－a，即a2＋a－2<0，
解得－2所以实数a的取值范围为(－2，1).
4．2.2　指数函数的图象和性质(3)
【活动方案】
例1 [2，＋∞)　由f(1)＝，得a2＝，所以a＝(负值舍去)，即f(x)＝.因为y＝|2x－4|在区间(－∞，2)上单调递减，在区间[2，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在区间(－∞，2)上单调递增，在区间[2，＋∞)上单调递减．
跟踪训练　　因为x2－3x＋3＝＋，所以x2－3x＋3在x＝0处取得最大值3，在x＝处取得最小值.故当a>1时，f(x)max＝f(0)＝a3＝8，则a＝2；当0例2 y＝的定义域为R.
因为0<<1，所以y＝在R上单调递减，
又因为方程＝有负根，
所以>1，解得故实数a的取值范围是.
跟踪训练　∪(1，]　当a>1时，如图1，使得两个函数图象有交点，需满足×22≥a2，即1图1 图2
例3 设该物质最初的质量是1，经过x年剩余量是y.
经过1年，剩余量y＝1×0.84＝0.841；
经过2年，剩余量y＝0.84×0.84＝0.842；
……
一般地，经过x年，剩余量y＝0.84x(x＞0，x∈N*).
例4 (1) 已知本金为a元，利率为r，则
1期后的本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，
2期后的本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，
3期后的本利和为y＝a(1＋r)3，
……
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*，
即本利和y随存期x变化的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N*.
(2) 将a＝1 000，r＝2.25%，x＝5代入上式，
得y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68，
即5期后的本利和约为1 117.68元．
跟踪训练　衣服上存留的污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式为y＝1×，即y＝(x＞0，x∈N*).
设至少要漂洗x次，可使存留的污垢不超过原有的1%，
则≤1%，即4x≥100.
当x＝3时，43＝64<100；
当x＝4时，44＝256>100，
所以至少要漂洗4次．
【检测反馈】
1. C　由y＝f(x)＝b·ax为指数函数，得b＝1，a>0且a≠1，即y＝ax在区间[1，2]上的最大值和最小值的和是6.由于指数函数为单调函数，故f(x)最值在端点处取得，即f(1)＋f(2)＝a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故实数a的值为2.
2. A　由f(x)在R上单调递增，得解得≤a≤2，所以“3. AD　设u(x)＝－2x2＋x－1＝－22－，则u(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．因为y＝ax(04. 　因为2 024x>0，且关于x的方程2 024x＝有实数根，所以>0，即(3a＋2)(a－5)<0，解得－5. (1) 因为f(x)＝a－为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝a－＝0.
又a－＝，解得a＝1，b＝2，
故f(x)＝1－，经检验，f(x)＝1－是奇函数，满足题意，故f(x)＝1－.
(2) 任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝1－－1＋＝＝.
因为y＝2x在R上单调递增，所以2x1＋1－2x2＋1<0.
又因为2x1＋1>0，2x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)＝<0，
即f(x1)故f(x)＝1－在R上单调递增．
又f(x)＝1－是定义在R上的奇函数，
所以由f(2x)＋f(x2－m)>0，得f(x2－m)>－f(2x)＝f(－2x)，
故x2－m>－2x，所以m所以m<－1，即实数m的取值范围是(－∞，－1).